小學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題(含答案)

29/29小學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題(含答案)小學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題（含答案）一、小數(shù)的巧算

1.

答案：

2.

答案：

=1.1?25+1.01?75

=103.25。

3.計(jì)算2.89?

4.68+4.68?6.11+4.68=_____。

答案：46.8。

解析：4.68×（2.89+6.11+1）=46.8

4.計(jì)算17.48?37-17.48?19+17.48?82=_____。答案：1748。

解析:

5.

答案：

=1。

6.計(jì)算75?4.7+15.9?25=_____。

答案：750。

=75?(4.7+5.3)

=75?10

=750。

7.

答案：

原式

8.

=172.4?6.2+1724?0.38+1000?0.38=172.4?6.2+172.4?3.8+380

=172.4?(6.2+3.8)+380

=172.4?10+380

=1724+380

=2104。

9.

答案：前面還

963個(gè)

10.

答案：

原式

=11.11?45

=499.95。

二、數(shù)的整除性

（一）填空題

1.四位數(shù)“3AA1”是9的倍數(shù)，那么A=_____。

答案：7。

解析：已知四位數(shù)3AA1正好是9的倍數(shù),則其各位數(shù)字之和3+A+A+1一定是9的倍數(shù),可能是9的1

設(shè)3+A。

2.

答案：

解析：11整除.3.

答案：

,4.能同時(shí)被2、5、7整除的最大五位數(shù)是_____。

答案：99960。

解析：解法一:能被2、5整除,個(gè)位數(shù)應(yīng)為0,其余數(shù)位上盡量取9,用7去除999□0,可知方框內(nèi)

解法二:或者這樣想,2,5,7的最小公倍數(shù)是70,而能被70整除的最小六位是100030。它減去70仍然是70的倍數(shù),所以能被2,5,7整除的最大五位數(shù)是100030-70=99960。

5.1至100以內(nèi)所有不能被3整除的數(shù)的和是_____。

答案：3367。

=3367

6.

答案：

12,15,18,21,…，96，99

這一列數(shù)共30個(gè)數(shù)，其和為

12+15+18+…+96+99

=(12+99)?30÷2

=1665。

7.已知一個(gè)五位數(shù)□691□能被55整除,所有符合題意的五位數(shù)是_____。

答案：96910或46915。

5。當(dāng)B=0時(shí)

出A=4

8.173

∵能被11整除的四位數(shù)的個(gè)位與百位的數(shù)字和減去十位與千位的數(shù)字和所得的差能被11整除。

∴(7+□)-(1+3)=3+□能被11整除,∴□內(nèi)只能填8。

∵能被6整除的自然數(shù)是偶數(shù),并且數(shù)字和能被3整除,

而1+7+3+□=11+□,∴□內(nèi)只能填4。

所以,所填三個(gè)數(shù)字之和是7+8+4=19。

9．在1992后面補(bǔ)上三個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)七位數(shù)，使它們分別能被2、3、5、11整除，這個(gè)七位數(shù)最小值是多少？

小,

[注]

…120，

10,也剛好出手了1991張票券？

答案：不可能。

由于瓦夏原有100張票,最后還有100張票,所以他作了多少次“兩換三”,那么也就作了多少次“三換兩”,因此他一共出手了2k+3k=5k張票,而1991不是5的倍數(shù)。

三質(zhì)數(shù)與合數(shù)

（一）填空題

1.在一位的自然數(shù)中，既是奇數(shù)又是合數(shù)的有_____；既不是合數(shù)又不是質(zhì)數(shù)的有_____；既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的有_____。

答案：

1。

2.

答案：

3

答案：

解析：首先注意到41是質(zhì)數(shù),兩個(gè)自然數(shù)的和與差的積是41,可見它們的差是1,這是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù),大數(shù)是21,小數(shù)是20,所以這兩個(gè)自然數(shù)的積是20?21=420。

4.在下式□中分別填入三個(gè)質(zhì)數(shù),使等式成立。

答案：2、5、43。

解析：接近50的質(zhì)數(shù)有43,再將7分拆成質(zhì)數(shù)2與質(zhì)數(shù)5的和.即2+5+43=50。

另外,

[注]

5.

答案：

=11?(2?2?3)?13

由此可以看出這三個(gè)數(shù)是11,12,13。

6.找出1992所有的不同質(zhì)因數(shù),它們的和是_____。

答案：88。

解析：先把1992分解質(zhì)因數(shù),然后把不同質(zhì)數(shù)相加,求出它們的和。

1992=2?2?2?3?83

所以1992所有不同的質(zhì)因數(shù)有:2,3,83。它們的和是

7.

答案：

2

(

8．2

?

將18表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)和18=5+13=7+11，

所以長(zhǎng)方形的面積是5?13=65或7?11=77，

故長(zhǎng)方形的面積至多是77平方單位。

9.把7、14、20、21、28、30分成兩組，每三個(gè)數(shù)相乘，使兩組數(shù)的乘積相等。

答案：先把7，14,20,21,28,30分解質(zhì)因數(shù),看這六個(gè)數(shù)中共有哪幾個(gè)質(zhì)因數(shù),再分?jǐn)傇趦山M中,使兩組數(shù)乘積相等。

14=7?220=2?2?5

且

[注]

10.學(xué)生1430人參加團(tuán)體操,分成人數(shù)相等的若干隊(duì),每隊(duì)人數(shù)在100至200之間,問哪幾種分法?

答案：把1430分解質(zhì)因數(shù)得：

1430=2?5?11?13

根據(jù)題目的要求,應(yīng)在2、5、11及13中選用若干個(gè)數(shù)，使它們的乘積在100到200之間，于是得三種答案：

（1）2?5?11=110；

（2）2?5?13=130；

（

10

1．28

答案：

解析：

2.用

答案：4。

解析：因?yàn)?05的約數(shù)有1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬分別是105和1,35和3,21與5,15與7。所以能拼成4種不同的長(zhǎng)方形。

3.一個(gè)兩位數(shù),十位數(shù)字減個(gè)位數(shù)字的差是28的約數(shù),十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的積是2

4.這個(gè)兩位數(shù)

答案：64。

解析：因?yàn)?8=2?2?7,所以28的約數(shù)有6個(gè):1,2,4,7,14,28。在數(shù)字0,1,2,…，9中，只有6與4之積，或者8與3之積是24，又6-4=2，8-3=5。故符合題目要求的兩位數(shù)僅有64。

4.李老師帶領(lǐng)一班學(xué)生去種樹,學(xué)生恰好被平均分成四個(gè)小組,總共種樹667棵,如果師生每人種

答案：

解析：,每人種667

5.

答案：40或20。

解析：兩個(gè)自然數(shù)的和是50,最大公約數(shù)是5,這兩個(gè)自然數(shù)可能是5和45,15和35,它們的差分別為(45-5=)40,(35-15=)20,所以應(yīng)填40或20。

[注]這里的關(guān)鍵是依最大公約數(shù)是5的條件,將50分拆為兩數(shù)之和:50=5+45=15+35。

6.現(xiàn)有梨36個(gè),桔108個(gè),分給若干個(gè)小朋友,要求每人所得的梨數(shù),桔數(shù)相等,最多可分給_____個(gè)小朋友,每個(gè)小朋友得梨_____個(gè),桔_____個(gè)。

答案：36,1,3。

解析：要把梨36個(gè)、桔子108個(gè)分給若干個(gè)小朋友，要求每人所得的梨數(shù)、桔子相等，小朋友的人數(shù)一定是36的約數(shù)，又要是108的約數(shù)，即一定是36和108的公約數(shù).因?yàn)橐笞疃嗫煞纸o多

分給36

7.

答案：

48與42

是6厘米。由此可按如下方法來(lái)剪:長(zhǎng)邊每排剪8塊,寬邊可剪7塊,共可剪

(48÷6)?(42÷6)=8?7=56(塊)正方形布片。

8．寫出小于20的三個(gè)自然數(shù)，使它們的最大公約數(shù)是1，但兩兩均不互質(zhì)，請(qǐng)問有多少組這種解？

解析：三個(gè)數(shù)都不是質(zhì)數(shù),至少是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積,兩兩之間的最大公約數(shù)只能分別是2,3和5,這

種自然數(shù)有6,10,15和12,10,15及18,10,15三組。

9．和為1111的四個(gè)自然數(shù)，它們的最大公約數(shù)最大能夠是多少？

答案：四個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)必須能整除這四個(gè)數(shù)的和,也就是說它們的最大公約數(shù)應(yīng)該是1111的

和應(yīng)為

它們的最大公約數(shù)為101，所以101為所求。

10．狐貍和黃鼠狼進(jìn)行跳躍比賽，狐貍每次跳214米，黃鼠狼每次跳4

3

2米，它們每秒鐘都只跳一

次.比賽途中,從起點(diǎn)開始每隔8

3

12米設(shè)有一個(gè)陷井,當(dāng)它們之中有一個(gè)掉進(jìn)陷井時(shí),另一個(gè)跳了多

少米?

答案：黃鼠狼掉進(jìn)陷井時(shí)已跳的行程應(yīng)該是432與8312的“最小公倍數(shù)”499，即跳了499411

÷=9

次掉進(jìn)陷井，狐貍掉進(jìn)陷井時(shí)已跳的行程應(yīng)該是214和8312的“最小公倍數(shù)”299，即跳了

2

99÷29

=11次掉進(jìn)陷井。

經(jīng)過比較可知,黃鼠狼先掉進(jìn)陷井,這時(shí)狐貍已跳的行程是2

1

4

?9=40.5(米)。

1余

數(shù)是

答案：

44。

2.a÷

答案：

被除數(shù)=24?121+23=2927。

3.一個(gè)三位數(shù)被37除余17,被36除余3,那么這個(gè)三位數(shù)是_____。

答案：831

解析：這個(gè)三位數(shù)可以寫成：

37?商+17=36?商+(商+17)。

“三

4.393

答案：

解析：

∵393-8=385，

385=5?7?11=(5?7)?11=(5?11)?7=(7?11)?5，

∴385能被兩位數(shù)11，35，55，77整除。本題的答案是4個(gè):11,35,55,77。

5.31453?68765?987657的積,除以4的余數(shù)是_____。

答案：1。

1

∴

6.888……8乘以666……6的積，除以7余數(shù)是_____。

50個(gè)850個(gè)6

解析：因?yàn)?11111能被7整除,所以888888和666666均能被7整除。而50=6?8+2,故得被乘數(shù)與88被7除的余數(shù)相同,乘數(shù)與66被7除的余數(shù)相同,進(jìn)而得:被乘數(shù)被7除余4,乘數(shù)被7除余3。所以乘積與(4?3=)12被7整除的余數(shù)相同。因此得乘積被7除的余數(shù)是5。

7.如果時(shí)針現(xiàn)在表示的時(shí)間是18點(diǎn)整,那么分針旋轉(zhuǎn)1990圈之后是_____點(diǎn)鐘。

答案：

解析：

與終點(diǎn),

由

812

顆彈子，那么每個(gè)學(xué)生正好分得12顆，問這班有多少個(gè)學(xué)生？原有多少顆彈子？

答案：依題意知，原來(lái)每個(gè)學(xué)生分相等的若干顆，余12顆，則學(xué)生人數(shù)大于12.同時(shí)由增加12顆后每個(gè)學(xué)生正好分得12顆,即12+12=24(顆),24能被班級(jí)人數(shù)整除,又24能分解為

24=1?24=2?12=3?8=4?6

由班級(jí)人數(shù)大于12,可知符合題意的是24人。所以,共有彈子數(shù)12?24-12=276(顆)。

9．已知：a……1991,問：a除以13,余數(shù)是幾？

1991

。原數(shù)

10．

(1)

(2)

答案：因?yàn)?77777÷13=59829,即777777能被13整除,把這100個(gè)7,從第一個(gè)起,每6個(gè)分成一組,100÷6=16…4，共16組還多4個(gè)。

每一組除以13的商都是59829,7777除以13的商是598,余數(shù)是3。

所以,100個(gè)7組成一百位數(shù)除以13后,余數(shù)是3,商數(shù)中各位數(shù)字之和是

(5+9+8+2+9)16+(5+9+8)=550。

六中國(guó)剩余定理

1.

答案：

余數(shù)均為7。

2.

答案：

解析：用一個(gè)兩位數(shù)除58余2,除73余3,除85余1,那么58-2=56,73-3=70,85-1=84能被這個(gè)兩位數(shù)整除,這個(gè)兩位數(shù)一定是56、70和84的公約數(shù).

2567084

7283542

456

由可可見,56、70、84的兩位數(shù)公約數(shù)是2?7=14，可見這個(gè)兩位數(shù)是14。

3.學(xué)習(xí)委員收買練習(xí)本的錢,她只記下四組各交的錢,第一組2.61元,第二組3.19元,第三組2.61元,第四組3.48元,又知道每本練習(xí)本價(jià)格都超過1角,全班共有_____人。

答案：

=11.89÷0.29

=41(人)。

[注]這里為了利用練習(xí)本單價(jià)是總價(jià)的公約數(shù)這一隱含條件,將小數(shù)化成整數(shù)來(lái)考慮,為解決

說是受了輾轉(zhuǎn)相除法的啟示。

4.五年級(jí)兩個(gè)班的學(xué)生一起排隊(duì)出操,如果9人排一行,多出一個(gè)人；如果10人排一行，同樣多出一個(gè)人.這兩個(gè)班最少共有_____人。

答案：91

解析：

減1是1.所以,

5.

答案：

為。

6.

答案：

10和8的最小公倍數(shù)多6人,10和8的最小公倍數(shù)是40,所以參加隊(duì)列訓(xùn)練的學(xué)生至少有46人。

7.把幾十個(gè)蘋果平均分成若干份,每份9個(gè)余8個(gè),每份8個(gè)余7個(gè),每份4個(gè)余3個(gè).這堆蘋果共有_____個(gè)。

答案：71。

解析：依題意知,這堆蘋果總個(gè)數(shù),添進(jìn)1個(gè)蘋果后,正好是9,8,4的倍數(shù).因?yàn)?,8,4的最小公倍數(shù)是9?8=72,所以這堆蘋果至少有9?8-1=71(個(gè))。

[注]本題為什么求9,8,4的最小公倍數(shù)呢?這是根據(jù)限制條件“這堆蘋果共幾十個(gè)”決定的.若限制條件改為“這堆蘋果的個(gè)數(shù)在100-200之間”的話，那么這堆蘋果共有9?8?2-1=141（個(gè)）。因此，在解答問題時(shí)，一定要把條件看清楚，尤其要注意“隱含條件”的應(yīng)用。

83個(gè)。

,

9.求被6除余4,被8除余6,被10除余8的最小整數(shù)。

答案：設(shè)所求數(shù)為x,則x+2就能同時(shí)被6,8,10整除.由于[6,8,10]=120,所以x=120-2=118。

10.一盒圍棋子,三只三只數(shù)多二只,五只五只數(shù)多四只,七只七只數(shù)多六只,若此盒圍棋子的個(gè)數(shù)在200到300之間,問有多少圍棋子?

答案：設(shè)有x個(gè)圍棋子,則x+1是3,5,7的倍數(shù),x+1是[3,5,7]=3?5?7=105的倍

數(shù),x+1=210,x=209。

七奇數(shù)與偶數(shù)

（一）填空題

1.2，4______。

答案：

60。

2.

答案：

85三

個(gè)

3.100

有_____

答案：

解析：由于100個(gè)自然數(shù)的和是10000,即100個(gè)自然數(shù)中必須有偶數(shù)個(gè)奇數(shù),又由于奇數(shù)比偶數(shù)多,因此偶數(shù)最多只有48個(gè)。

4.下圖是一張靶紙,靶紙上的1、3、5、7、9表示射中該靶區(qū)的分?jǐn)?shù).甲說:我打了六槍,每槍都中靶得分,共得了27分.乙說:我打了3槍,每槍都中靶得分,共得了27分。

13579

已知甲、乙兩人中有一人說的是真話，那么說假話的是_____。

答案：甲

解析：由于分?jǐn)?shù)都是奇數(shù),6個(gè)奇數(shù)之和為偶數(shù),不可能是奇數(shù)27,所以說假話的是甲。

5.

后,

答案：

分,

?2-3=23

有3

7.如果將

_____

答案：

解析：根據(jù)奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)的性質(zhì),先編排偶數(shù)頁(yè)的文章(2頁(yè),4頁(yè),…，14頁(yè))，這樣共有7篇文章的第一頁(yè)都是奇數(shù)頁(yè)碼。

然后,編排奇數(shù)頁(yè)的文章(1頁(yè),3頁(yè),…，15頁(yè))，根據(jù)奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)的性質(zhì)，這樣編排，就又有4篇文章的第一頁(yè)都是奇數(shù)頁(yè)碼。

所以,每篇文章的第一頁(yè)是奇數(shù)頁(yè)碼的文章最多是7+4=11(篇)。

7.一本書中間的某一張被撕掉了,余下的各頁(yè)碼數(shù)之和是1133,這本書有_____頁(yè),撕掉的是第

_____頁(yè)和第_____頁(yè)。

答案：48,21,22。

,被撕一

頁(yè)和第22頁(yè)。

9棵樹上，

蚆答案：相距最遠(yuǎn)的兩塊木牌的距離,等于它們分別與中間一塊木牌的距離之和。如果三塊木牌間兩兩距離都是奇數(shù),就會(huì)出現(xiàn)“奇+奇=奇”，這顯然不成立，所以必有兩塊木牌的距離是偶數(shù)。

0369

13．如圖所示，一個(gè)圓周上有9個(gè)位置，依次編為1~9號(hào).現(xiàn)在有一個(gè)小球在1號(hào)位置上。第一天順時(shí)針前進(jìn)10個(gè)位置,第二天逆時(shí)針前進(jìn)14個(gè)位置。以后,第奇數(shù)天與第一天相同,順時(shí)針前進(jìn)

10個(gè)位置,第偶數(shù)天與第二天相同,逆時(shí)針前進(jìn)14個(gè)位置。問:至少經(jīng)過多少天,小球又回到1號(hào)位置。

前進(jìn)

1

第15

1.

答案：二。

解析：因?yàn)?4=28，由某年二月份有五個(gè)星期日，所以這年二月份應(yīng)是29天，且2月1日與2月29日均為星期日，3月1日是星期一，所以從這年3月1日起到這年6月1日共經(jīng)過了

31+30+31+1=93(天)。

因?yàn)?3?7=13…2，所以這年6月1日是星期二。

2.1989年12月5日是星期二,那么再過十年的12月5日是星期_____。

答案：日。

解析：依題意知，這十年中1992年、1996年都是閏年，因此，這十年之中共有

因?yàn)?/p>

3.

答案：

為6

因?yàn)椋▊€(gè)）。

4.也就是說,從第一盞白燈起,每一盞白燈后面都緊接著有3盞彩燈,小明想第73盞燈是_____燈。

答案：白。

解析：依題意知,電燈的安裝排列如下:白,紅,黃,綠,白,紅,黃,綠,白,……這一排列是按“白，紅，黃，綠”交替循環(huán)出現(xiàn)的，也就是這一排列的周期為4。

由73÷4=18…1,可知第73盞燈是白燈。

5.時(shí)針現(xiàn)在表示的時(shí)間是14時(shí)正,那么分針旋轉(zhuǎn)1991周后,時(shí)針表示的時(shí)間是____。

答案：13時(shí)。

解析：分針旋轉(zhuǎn)一周為1小時(shí),旋轉(zhuǎn)1991周為1991小時(shí)。一天24小時(shí),1991÷24=82…23，1991

時(shí)。

[注

,周期6.

解析：仔細(xì)觀察題中表格。

12345(奇數(shù)排)

第一組

9

第二組

第三組

排列；

(2)觀察第二組,第三組,發(fā)現(xiàn)奇數(shù)排的數(shù)如果用9除有如下規(guī)律:第1列用9除余數(shù)為1,第2

列用9除余數(shù)為2,…，第5列用9除余數(shù)為。

(3)109=1…1，10在1+1組，第1列

19÷9=2…1，19在2+1組，第1列

因?yàn)?992÷9=221…3，所以1992應(yīng)排列在（221+1）=222組中奇數(shù)排第3列數(shù)的位置上。

7.把分?jǐn)?shù)

7

4

化成小數(shù)后，小數(shù)點(diǎn)第110位上的數(shù)字是_____。

答案：7。

5

8.8?9=72,

在9

1989286……

這串?dāng)?shù)字從1開始往右數(shù)，第1989個(gè)數(shù)字是什么？

……

可見1989后面的數(shù)總是不斷循環(huán)重復(fù)出現(xiàn)286884，每6個(gè)一組，即循環(huán)周期為6.因?yàn)?/p>

(1989-4)÷6=330…5，所以所求數(shù)字是8。

9.1991個(gè)1990相乘所得的積與1990個(gè)1991相乘所得的積，再相加的和末兩位數(shù)是多少？

答案：1991個(gè)1990相乘所得的積末尾兩位是0,我們只需考察1990個(gè)1991相乘的積末尾兩位數(shù)即可。1個(gè)1991末兩位數(shù)是91,2個(gè)1991相乘的積末尾兩位數(shù)是81,3個(gè)1991相乘的積末尾兩位數(shù)是71,4個(gè)至10個(gè)1991相乘的積的末兩位數(shù)分別是61,51,41,31,21,11,01,11個(gè)1991相乘積的

10。因

5厘米也

,每一

。剩余2?[(100-10)÷30]+1

=2?3+1

=7(段)。

于利用最小公倍數(shù)發(fā)現(xiàn)周期現(xiàn)象,化難為易。九圖形的計(jì)數(shù)

（一）填空題

1．下圖中一共有（）條線段。

2.

_____個(gè)三角形,

△OA

3.

C的兩大類。含頂點(diǎn)C的又可分成另外兩頂點(diǎn)在線段AB上的和在線段BD上的兩小類.分類圖解如下:

(3+2+1)+(3+2+1)+3

=15(個(gè))三角形。

答案：108,36。

解析：(1)因?yàn)殚L(zhǎng)方形是由長(zhǎng)和寬組成的,因此可分別考慮所有長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬的可能種數(shù)。按照前面所介紹的線段的計(jì)數(shù)方法可分別求出長(zhǎng)和寬的線段條數(shù),將它們相乘就是所有長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)。

因?yàn)锳B邊上有8+7+6+…+2+1=

28

9?

=36條線段，AD邊上有2+1=3條線段，所以圖中一共有

(2)三角形一共有6行,每行都有3+2+1=6(個(gè)),所以一共有6?6=36(個(gè))三角形。

6.在下圖中,所有長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)是______。

7.

答案：

先考慮有一組對(duì)邊平行于BC的長(zhǎng)方形有多少個(gè)。這一類按其水平邊的位置可分為6小類,即

位置在BF、FE、EC、FC、BE、BC。同樣,其豎直邊也分為6類。所以這一類有6?6=36個(gè)長(zhǎng)方形。

另一類是沒有邊平行于BC的.這一類又分類兩小類,分解圖如下頁(yè)圖所示,其中分別有6個(gè)和2個(gè)長(zhǎng)方形。

(

8.

12.

10個(gè)。.故題圖中,梯形個(gè)數(shù)與三角形的個(gè)數(shù)之差為2?10=20(個(gè))。

13．現(xiàn)在都是由邊長(zhǎng)為1厘米的紅色、白色兩種正方形分別組成邊長(zhǎng)為2厘米、4厘米、8厘米、

9厘米的大小不同的正方形、它們的特點(diǎn)都是正方形的四邊的小正方形都是涂有紅顏色的小正方形，除此以外，都是涂有白色的小正方形，要組成這樣4個(gè)大小不同的正方形，總共需要紅色正方形多少個(gè)？白色正方形多少個(gè)？

答案：邊長(zhǎng)2厘米的正方形:

2?2=4(個(gè))……紅色

(9-2)?(9-2)=49(個(gè))……白色

所以,紅色小正方形共有

4+12+28+32=76(個(gè))，

4+36+49=89(個(gè))。

[注]本題的要求是由邊長(zhǎng)為1厘米的紅色和白色兩種正方形,分別組成邊長(zhǎng)是2厘米,4厘米,8厘米,9厘米的大小不同的正方形,可以看作方陣問題來(lái)解。四周的小正方形是涂紅色的,可看成是空心方陣。因此,涂紅色正方形的個(gè)數(shù)等于4?(n-1)。其他小正方形是涂白色的，可當(dāng)作實(shí)心方陣。所以，涂白色的正方形的個(gè)數(shù)等于(n-2)?(n-2).比如,由邊長(zhǎng)為1厘米的正方形組成邊長(zhǎng)為9

是

1.

答案：

底邊

2.如下圖,在三角形ABC中,BC=8厘米,AD=6厘米,E、F分別為AB和AC的中點(diǎn)。那么三角形EBF的面積是______平方厘米。

答案：6平方厘米。

我們可得出，EFBC

∥，

1

EFBC=4

2

=厘米。

△

△BEF的高=1

AD3

2

=厘米。

故，△BEF的面積=1

436

2

??=平方厘米。

3.

答案：

積為20

1.

22=2×

222=22×22=112×4=484；

2222=222×222=1112×4=49284；………………

=______×____

=_________。

解析：根據(jù)已知等式的觀察和分析,可知算式演變規(guī)律有兩種形式:其一是等積恒變；其二是11×

11=121,111×111=12321,……。

22

×

。

2.A與

BD,與

答案：

解析：1格的

狀態(tài)相同,寫的字母是A。

3.下面是CBA,,三行按不同規(guī)律排列的,那么當(dāng)A=32時(shí),B+C=______。

答案:318。

解析：由數(shù)表可知A和B都是等差數(shù)列,根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

aan=

當(dāng)

當(dāng)

公式nS

這

4.2,3,4,

答案：27，45。

解析：正長(zhǎng)形網(wǎng)格內(nèi)的所有格點(diǎn)數(shù)之和必是平方數(shù),如2×2方格網(wǎng)中共有格點(diǎn)32=9(個(gè)),3×3方

格網(wǎng)中共有格點(diǎn)42=16(個(gè))。

第45列上,而1999=452-26,從第1行倒退26行,所以第1999個(gè)點(diǎn)在第27行第45列上。

5.有一張黑白相間的相間的方格紙,用記號(hào)(2,3)表示從上往下數(shù)第2行,從左往右數(shù)第3列的這一格(如圖),那么(19,98)這一格是______色。

答案：白

而

6.1圈外面再畫出

______

答案：

7.

1

11

121

1331

14641

15101051

………………

那么第1999行中左起第三個(gè)數(shù)是______。

答案：1995003

8.

(1)如果2算作第一次拐彎處,那么第45次拐彎的數(shù)是什么?

(2)從1978到2010的自然數(shù)中,恰好在拐彎處的數(shù)是什么?答案：觀察拐彎處的數(shù)的規(guī)律,可以得到n個(gè)拐彎處的數(shù),

1+(1+3+5+…+n)=(2

1

+n)2+1；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)為

1+2×(1+2+3+…+

2

n

)=(1+

2

n

)×

2

n

+1。

n

n

所以

9.字,,四個(gè)角

891011121314

15161718192021

22232425262728

答案：仔細(xì)觀察十字框中的五個(gè)數(shù)里,中間一個(gè)是這五個(gè)數(shù)的平均值,也是其余四個(gè)數(shù)的平均值,所以中間一個(gè)數(shù)可由500÷5=100得到,且即得四個(gè)角上數(shù)字這和為100×4=400。

13.如圖,在一張方格紙上畫折線(用實(shí)線表示的部分),圖中每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1,從A點(diǎn)出發(fā)依次給每條直線段編號(hào)。

(1)編號(hào)1994的直線段長(zhǎng)是多少?

(1)

1994

(2)長(zhǎng)度為1994的線段有兩條,編號(hào)分別為:

1994×2-1=3987;

1994×2=3988。

十二數(shù)列的求和

（一）填空題

1.1～1991這1991個(gè)自然數(shù)中,所有的奇數(shù)之和與所有的偶數(shù)之和的差是______。答案：996。

解析：(1+3+...+1991)-(2+4+(1990)

=1+1++1

=996。

2.

答案：

…+2

=1001。

3.計(jì)算:

100+99+98-97-96+95+94+93-92-91+…+10+9+8-7-6+5+4+3-2-1=______。

解析：100+99+98-97-96+95+94+93-92-91+…+10+9+8-7-6+5+4+3-2-1

=100+(99-97)+(98-96)+95+(94-92)+(93-91)+…+10+(9-7)+(8-6)+5+(4

-2)+(3-1)

=[(2-1)+(4-3)+…+(1992-1991)]+[(

21-31)+(21-31)+…+(21-3

1

)]

=996+996×(

21-3

1

)

=996+996×6

1

=996+166

=1162。

5.100與500之間能被9整除的所有自然數(shù)之和是______。

答案：13266。

,

10層有答案：55。

解析：第一層有1個(gè)；第二層有1+2=3個(gè)；第三層有1+2+3=6個(gè)；……第十層有

1+2+3+(10)

211

10?

=55(個(gè))。

（二）解答題

8.如下圖,三角形每邊2等分時(shí),頂點(diǎn)向下的小三角形有1個(gè);每邊4等分時(shí),頂點(diǎn)向下的小三角形

有6個(gè);每邊10等分時(shí),頂點(diǎn)向下的小三角形有幾個(gè)?20等分呢?

答案：三角形每邊二、三、四等分后,每排所產(chǎn)生的頂角向下的小三角形的個(gè)數(shù)是1,2,3。同樣,

三角形每邊10等分時(shí),頂角向下的小三角形有

9.求)。

211?

=1-

21

=1-

1991。

所以

211?+321?+431?+…+199119901?+1991

1=1。

10.求值:?9281

28154

1101740141011

88=+++++

答案：1

521?+4851?+71181?+1014111?+1317141?+1620

171?

=(1+4+7+10+13+16)+(

521?+851?+1181?+14111?+17141?+20

171?)

1

23

456

78910

1112131415

16×××××

×××××××

答案：

可知

3.計(jì)算

答案：

提示:

4.下面是一列有規(guī)律排列的數(shù)組:(1,

21,31);(31,41,51),(51,61,7

1

);……;第100個(gè)數(shù)組內(nèi)三個(gè)分?jǐn)?shù)分母的和是______。

答案：600

提示:第n組中間的分?jǐn)?shù)的分母是2n,則第n組內(nèi)三個(gè)分?jǐn)?shù)分母之和是(2n-1)+2n+(2n+1)=6n。

5.把所有的奇數(shù)依次一項(xiàng),二項(xiàng),三項(xiàng),四項(xiàng)循環(huán)分為:(3),(5,7),(9,11,13),

(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41),(43),…,則第100個(gè)括號(hào)內(nèi)的各數(shù)之和為______。

答案：1992。

,正好是

從3個(gè)括號(hào)6.1999答案：

n(n+1)個(gè)數(shù)。

7.如數(shù)表:

第1行12345(1415)

第2行3029282726(1716)

第3行3132333435(4445)

………

第n行………………A……

第n+1行………………B……

第+B=391,

那么n

答案：

,其和為

30n+1

由

分

組。

1+2+3+

其中順序數(shù)為奇數(shù)的數(shù)組有[

2

19

]+1=10組,這10個(gè)數(shù)組所有數(shù)的和為104=10000,因此其中順序數(shù)為偶數(shù)的數(shù)組中所有數(shù)的和為18145-10000=8145。

今有從第一組開始的前19個(gè)數(shù)組,求其中順序數(shù)為偶數(shù)的數(shù)組中所有數(shù)的和。

(1)

(2)第100個(gè)數(shù)是什么數(shù)?

(3)

(4)把第一個(gè)數(shù)至第52個(gè)數(shù)全部加起來(lái),和是多少?

(5)

(6)從第一個(gè)數(shù)起,順次加起來(lái),如果和為304,那么共有多少個(gè)數(shù)字相加?

答案：

(2)。

(3)

25×

10.數(shù)

任取其中一數(shù),并劃去該數(shù)所在的行與列。這樣做了100次以后,求所取出的100個(gè)數(shù)的和。

答案：將第2行的每個(gè)數(shù)減去100,第3行每個(gè)數(shù)減去200,…,第100行每個(gè)數(shù)減去9900,我們就得到一個(gè)各行都是1,2,…,100的數(shù)表。在后一個(gè)數(shù)表按規(guī)定方法取出的各數(shù)之和是1+2+…+100=5050。于是在原表中所求各數(shù)之和為:5050+(100+200+…+9900)=5050+495000=500050。

（一）填空題

1.兩列對(duì)開的火車途中相遇,甲車上的乘客從看到乙車到乙車從旁邊開過去,共用6秒鐘。已知甲車每小時(shí)行45千米,乙車每小時(shí)行36千米,乙車全長(zhǎng)_____米。

答案：135。

=81000

=135(

2..

______

答案：

其間客車要行300÷60=5(小時(shí));

貨車要行300÷50=6(小時(shí)).

所以,要使兩車同時(shí)到達(dá)全程的中點(diǎn),貨車要提前一小時(shí)出發(fā),即必須在上午7點(diǎn)出發(fā)。

3.甲乙兩地相距450千米,快慢兩列火車同時(shí)從兩地相向開出,3小時(shí)后兩車在距中點(diǎn)12千米處相遇,快車每小時(shí)比慢車每小時(shí)快______千米。

答案：8。

解析：快車和慢車同時(shí)從兩地相向開出,3小時(shí)后兩車距中點(diǎn)12米處相遇,由此可見快車3小時(shí)比慢車多行12×2=24(千米)。所以,快車每小時(shí)比慢車快24÷3=8(千米)。

4.,貨車每小時(shí)行

______

答案：

解法一

360÷

40×

貨車此時(shí)距乙站還有

360-260=100(千米)。

貨車?yán)^續(xù)前行,客車返回甲站(化為相遇問題)“相遇時(shí)間”為

所以,相遇點(diǎn)離乙站60×1=60(千米)。

解法二假設(shè)客車到達(dá)乙站后不停,而是繼續(xù)向前行駛(0.5÷2)=0.25小時(shí)后返回,那么兩車行駛路程之和為

360×2+60×0.5=750(千米)

750÷

40×

5.

秒。

答案：

解析：列車速度為(250-210)÷(25-23)=20(米/秒).列車車身長(zhǎng)為20×25-250=

250(米)。列車與貨車從相遇到離開需(250+320)÷(20-17)=190(秒)。

6.小冬從甲地向乙地走,小青同時(shí)從乙地向甲地走,當(dāng)各自到達(dá)終點(diǎn)后,又立刻返回,行走過程中,

是______米。

答案：105。

解析：根據(jù)題意,作線段圖如下:

根據(jù)相向行程問題的特點(diǎn),小冬與小青第一次相遇時(shí),兩人所行路程之和恰是甲、乙之間的路程。

40×

2=80(米

因此,

7.,甲到B,那么

BA,

答案：

解析：因?yàn)橐业乃俣仁羌椎乃俣鹊?/p>

32,所以第一次相遇時(shí),乙走了BA,兩地距離的52(甲走了5

3),即相遇點(diǎn)距B地

52

個(gè)單程。因?yàn)榈谝淮蜗嘤鰞扇斯沧吡艘粋€(gè)單程,第二次相遇共走了三個(gè)單程,所以第二次相遇乙走了52×3=56(個(gè))單程,即相遇點(diǎn)距A地5

1

個(gè)單程(見下圖)?？梢钥闯?兩次相遇地點(diǎn)

相距1-51-52=52(個(gè))單程,所以兩地相距20÷5

2

=50(千米)。

8.甲、乙兩地相距352千米.甲、乙兩汽車從甲、乙兩地對(duì)開.甲車每小時(shí)行36千米,乙車每小時(shí)

行44千米.乙車因事,在甲車開出32千米后才出發(fā).兩車從各自出發(fā)起到相遇時(shí),哪輛汽車走的路程多?多多少千米?

答案：相遇問題的特點(diǎn)及基本關(guān)系知,在甲車開出32千米后兩車相遇時(shí)間為

36×

44

注:

9.,乙車才從B城出發(fā)。兩車相遇時(shí),甲車比乙車多行駛30千米。試求BA,兩城市之間的距離。

答案：從乙車出發(fā)到兩車相遇,甲車比乙車少行55-30=25(千米)。

25千米是乙車行的1-

6165,所以乙車行了25÷6

1

=150(千米)。

150×2+30=330(千米)。

10.一條單線鐵路線上有BA,EDC,,,五個(gè)車站,它們之間的路程如下圖所示(單位:千米)。兩列火

車從EA,相向?qū)﹂_,A車先開了3分鐘,每小時(shí)行60千米,E車每小時(shí)行50千米,兩車在車站上才能停車,互相讓道、錯(cuò)車.兩車應(yīng)該安排在哪一個(gè)車站會(huì)車(相遇),才能使停車等候的時(shí)間最短,先到的火車至少要停車多長(zhǎng)時(shí)間?

165

,都

是A,

605+

（一）填空題

1．當(dāng)甲在60米賽跑中沖過終點(diǎn)線時(shí)，比乙領(lǐng)先10米、比丙領(lǐng)先20米，如果乙和丙按原來(lái)的速

度繼續(xù)沖向終點(diǎn)，那么當(dāng)乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)將比丙領(lǐng)先米。

解析：解法一依題意,畫出線段圖如下:

起

在同樣時(shí)間內(nèi),甲跑60米,乙跑50米,丙跑40米,也就是在相同單位時(shí)間內(nèi)甲跑6米,乙跑5米,丙跑4米。所以,由上圖看出,當(dāng)乙跑10米到達(dá)終點(diǎn)時(shí),丙又跑了8米,此時(shí)丙距終點(diǎn)

,丙的行程為

程的10

5

兩次路程差和10+2=12(米),就是乙比丙領(lǐng)先的路程。

2.一只兔子奔跑時(shí),每一步都跑0.5米；一只狗奔跑時(shí),每一步都跑1.5米.狗跑一步時(shí),兔子能跑三步.如果讓狗和兔子在100米跑道上賽跑,那么獲勝的一定是。

解析：從題面上看,狗和兔子的速度是一樣的,但因?yàn)楫?dāng)狗跑了66步后,狗共跑了99米,剩下1米,這時(shí)它也得再花一步的時(shí)間,這相當(dāng)于狗要往反100.5米,而當(dāng)狗跑了66步后,兔子跑了(3?66)=198步,再花2步的時(shí)間,即到達(dá)終點(diǎn)。所以狗較慢.兔子一定獲勝。

3.騎車人以每分鐘300米的速度,從102路電車始發(fā)站出發(fā),沿102路電車線前進(jìn),騎車人離開出發(fā)地2100米時(shí),一輛102路電車開出了始發(fā)站,這輛電車每分鐘行500米,行5分鐘到達(dá)一站并停車1

答案：

,共花(1?2)=2

(600?

4.

時(shí)間少

答案：

千米。那么,當(dāng)騎自行車的人到學(xué)校時(shí),步行的人離學(xué)校還有(騎車人比步行人早到4小時(shí)):5?4=20(千米)，

又騎車比步行每小時(shí)快

13-5=8(千米)，

所以,亮亮家到學(xué)校的距離是

(20?8)?13=32.5(千米)。

5.從時(shí)針指向4點(diǎn)開始,再經(jīng)過分鐘,時(shí)鐘與分針第一次重合。

答案：21

11

9。

6.,乙從

解析：甲以每分鐘300米的速度從起點(diǎn)跑出1分鐘,這時(shí)甲離乙

400-300?1=100(米)

甲用5分鐘比乙多跑100米,則甲每分鐘比乙多跑100?5=20(米)

7.一只螞蟻沿等邊三角形的三條邊由A點(diǎn)開始爬行一周.在三條邊上爬行的速度分別為每分50厘

米、每分20厘米、每分30厘米(如右圖).它爬行一周的平均速度是。

答案：31

1

29

厘米/

解析：設(shè)邊長(zhǎng)為300厘米

,則爬行一周需

31300

300300=++(分鐘),

115米/

?

所以,16分鐘內(nèi)二人相遇的次數(shù)是

????????????

-?11200111001660+1=121526412120011960+?????-=+?????-?=[]13.52+=52+1=53(次)

這里的中括號(hào)[]不是普通的括號(hào),[x]表示x的整數(shù)部分,如[]25.225==??

?

???,[]33=,[]06.0=。

12.如圖,A,B,C三個(gè)原料加工廠分別停著甲、乙、丙三輛汽車，各車速度依次是60，48，36千米

/時(shí)，各廠間的距離如圖所示(單位:千米),如果甲、丙車按箭頭方向行駛，乙車反向行駛，每到一廠甲車停2分，乙車停3分，丙車停5分。那么,三車同時(shí)開動(dòng)后何時(shí)何處首次同時(shí)相遇。

14.減少0.5米,

1600+6?[400?(6-5.5)]=6400(米),

此時(shí)甲、乙的速度分別變?yōu)?米/秒和5米/秒.乙第一次追上甲時(shí),甲跑了

6400+4?[400?(5-4)]=8000(米),

需

(10000-7600)?5.5=

11

4800

(秒),

乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí),甲距終點(diǎn)

(10000-8000)-4.5?

4800=2000-4

3671963=(米)。

1.1。例如,

擦掉9

答案：

2.,袋中

答案：

解析：每次操作都不改變袋中所有數(shù)之和除以100的余數(shù),所以最后一張紙片上的數(shù)等于1~99的

和除以100的余數(shù)。

(1+2+…+99)÷100=

2

99

)991(?+÷100

=4950÷100

=49100+50

故這張紙片上的數(shù)是50。

3.用1~10十個(gè)數(shù)隨意排成一排。如果相鄰兩個(gè)數(shù)中,前面的大于后面的,就將它們變換位置。如此操作直到前面的數(shù)都小于后面的數(shù)為止。已知10在這列數(shù)中的第6位,那么最少要實(shí)行_____次交換。最多要實(shí)行_____次交換。

答案：

9，8，7，6，5

4.5

2

答案：

解析：20，20，20，20

5..比如

變換,

(15,40)(15,25)(15,10)(5,10)(5,5)。

對(duì)(1024,111…1)作這樣的連續(xù)變換，最后得到的兩個(gè)相同的

20個(gè)1

數(shù)是_____。

答案：1。

解析：變換中的兩個(gè)數(shù),它們的最大公約數(shù)始終末變,是后得到的兩個(gè)相同的數(shù)即為它們的最大公

約數(shù).因?yàn)?024=210,而