正切恒等式的應(yīng)用

正切恒等式正切恒等式：當(dāng)A+B+C=k兀時(shí)，tanA+tanB+tanC=tanA-tanB?tanC【證明】tan(A+B)=tan"+tan,tanC=-tan(A+B),/.tanA+tanB=-tanC(1-tanAtanB)1-tanAtanB故tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC。?！就普?】若A+B=—，則(1+tanA)(l+tanB)=2。4【證明】利用正切恒等式，令C=135°，有tanA+tanB-1=-tanA?tanB，即tanA+tanB+tanA?tanB=1，則tanA(1+tanB)+tanB+1=2，即有(1+tanA)(1+tanB)=2?！就普?】令k=0時(shí)，當(dāng)A+B+C=0時(shí)，tanA+tanB一tan(A+B)=-tanA?tanB?tan(A+B)【證明】tanA+tanB+tanC=tanA+tanB-tan(A+B)=tanA?tanB?[-tan(A+B)]即tanA+tanB一tan(A+B)=-tanA?tanB?tan(A+B)。TOC\o"1-5"\h\z【推論3】在AABC中，tan+tan+\=tan?tan\。22+C22*Ctan—tan—22【證明】A+B+【證明】A+B+C=兀nA+B二蘭_￡,(CAB【c兀）-—=tan—tan—tan-—2丿22<2_2丿AB:.tan+tanAB:.tan+tan+tan222222222AB5C)ABC)ntan—+tantan——=-tan—tan—tan——22122丿22122丿AB1AB1ntan+tan-=-tan?tan?22十C22十Ctan—tan—22【推論4】在AABC中,tan^tan色+tan@tan￡+tan^tan￡=1。222222【證明】由推論4可知，tan+tan-=-tan?tan?，兩邊同時(shí)乘以tan得TOC\o"1-5"\h\z22+C22十C'2tan—tan—22ACBCAB?ABBCAC.tantan+tantan-1=-tan?tan，整理得tantan+tantan+tantan=1。222222222222【例1】tan(—-0)+tan(—+0)+73tan(殳一0)tan(—+0)=6666【解析】法:令a=0,P=+0，由公式tana+tanP=tan(a+卩山-tanatan卩]可知，66=731-tan(0)tan(0)66tan(—-0)+tan(—+0)=tan(—-0)+(—+0)II1-tan(=731-tan(0)tan(0)66=\：3-\：3tan(—-0)tan(—+0)，66.原式=73--、：3tan(一—0)tan(+0)+■<3tan(——0)tan(+0)=y3。6666法二：正切恒等式原式=tan(—-0)+tan(—+0)-tan120°tan(—-0)tan(—+0)6666=tan(—-0)+tan(—+0)-tan120°+tan(—-0)+tan(—+0)=J3。6666【例2】tan70°-tan10?！獃3tan70°tan10°=.【解析】法一：由公式tana-tan卩=tan(a-—卩］可知，tan70°-tan10°=tan(70°-10°)(1+tan70°tan10°)=<3(1+tan70°tan10°)=*3+P3tan70°tan10°tan70°-tan10°-tan70°tan10°=\3+"3tan70°tan10°—\：3tan70°tan10°=甘3。法二：利用正切恒等式：tan70°-tan10°-丫3tan70°tan10°=tan70°+tan(-10°)+\'3tan70°tan(-10°)=tan70°+tan(-10°)-tan120°tan70°tan(-10°)=tan70°+tan(-10°)-［tanl20°+tan70°+tan(-10°)］=—tan120°=—春3。【例3】tan36°+tan84°—、：3tan36°tan84°=()C-逼3Ba3【解析】13tan36°tan84°=tan60°tan36°tan84°=tan60°+tan36°+tan84°,tan36°+tan84°-*3tan36°tan84°=tan36°+tan84°-(tan60°+tan36°+tan84°)=_、；3?！纠?】tan10°+tan50°-tan60°tan10°tan50°［解析】訕0°+曲0。-皿=tan10°+tan50°+tan(-6°°).tan(-6°°)=tan(-60°)=-、3。tan10°tan50°tan(-60°)tanlO°tan5O°【例5】在AABC中，若tanAtanB=tanA+tanB+1,則cosC=()A.—2B.邁C.-丄222D-2兀［解析】tanAtanB=tanA+tanB+1otanAtanBtanC=tanA+tanB+tanCntanC=1,C=—4，???cosC=2故選BO2【例6】在AABC中，tanA+tanB+tanC=3*3,tan2B=tanAtanC，則B=【解析】tanA+tanB+tanC=3.3=tanAtanBtanC，丫tan2B=tanAtanC,:.tan3B=3*3,tanB=\:3，則B=60°?！纠?】在AABC中，若tanA:tanB:tanC=1:2:3，則A=【解析】設(shè)tanA=k,tanB=2k,tanC=3k(k〉0)，由正切恒等式k+2k+3k=6k3，解得k=1,.A=—。4【例8】在銳角AABC中，tanA=t+1,tanB=t-1，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()A.(\2,+8)B.(1,+8)C.(l八2)D.(-1,1)tanA+tanB2t2t1—tanAtanB1—(t+1)(t—1)2—12【解析】法一：tanC=-tan(A+B)=2ttanA〉0?.?AABC是銳角三角形，.{tanB〉0,tanC〉0t+1〉0t-1〉0，解得t〉口，故選A。亠〉0〔2-12法二：正切恒等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，即t+1+1-1+tanC=(t+1)(t-1)tanC，即2t+2t+tanC=(t2-1)tanC，整理得tanC=^~t2^2tanA>0，丁AABC是銳角三角形，.”tanB>0，即tanC>0t+1〉0t-1>0,丄>012-2解得t>、遼解得t>、遼，故選A。【例9】已知AABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若c=，tanA+tanB=^'3tanAtanB，則AABC的面積的取值范圍是（）c.^,”3］2A.g3,+8)B.(0八3]D.(0,Tabo=4Tabo=4，?a=4sinA,b=4sinB，?.S二^3ab=4V?sinAsinB，sinAsinBsinCAABC4v31爲(wèi)1sinAsinB=sinAsin(60°-A)=sinA(cosA一一sinA)=sinAcosA一一sin2A^2^2^2^2=^sin2A+’cos2A-1=扁(2A+30°)-1,t0°<A<60°,4241110<-sin(2A+30°)-—<-，244c2=a2+b2一2abcosCn12=a2+b2+ab>3ab,解得0<abW4,?.0<ab<3，故選Bo4[解析]tanA+tanB=、.3—専3tanAtanB,?tanA+tanB-q3=-J3tanAtanB，易知C=120°。S=-absinC=AABC2法一：正弦定理：ab2運(yùn).“11-cos2A運(yùn)1=sin2A——x422441?30°<2A+30°<150°，?-<sin(2A+30°)<1,:.0<4、3sinAsinB<P3，故選B。法二：余弦定理【例10】\；3tanl2°+tan60°tan18°+tan12°tan18°=()D.3AD.33_【解析】<3tan12°+tan60°tan18°+tan12°tan18°=tan60°tan12°+tan60°tan18°+tan12°tan18°,60°+18°+12°=90°，由推論4可知，tan60°tan12°+tan60°tan18°+tanl2°tanl8°=1，故選C?！纠?1】(1+tan12°)(1-tan147°)=【解析】(1+tan12°)(1-tan147°)=(1+tan12°)h+tan(-147°)]=(1+tan12°)(1+tan33°)=2。【例12】已知a,卩為銳角，且滿足（tana-1）（tan卩一1）=2，則a+卩二［解析］（tana-l）（tan卩一1）=2，?tana+tan卩+1=tanatan卩，即TOC\o"1-5"\h\z兀兀兀?tana+tan卩+tan=tanatan卩tan，由正切恒等式可知，a+p+=k兀，又a,卩為銳角，444ABAB【例13】在AABC中，C=60°,tan+tan=1，則tan-tan=2222

【解析】ttan+tan+、22+【解析】ttan+tan+、22+Ctan—2AB-1ABtan+tan+=tan?tan?AB-1=tan-tan-2-122tan30°22tan30°ABAB<3—13..1--、：3=-?tan?tan■解得tan?tan==1—一。2222<33C，tan2,-tan△+tan色—、3=tan△?tan色(一、3)2222【例14】在AABC中，已知三內(nèi)角滿足2B=A+C，則tan+tan+x/3tantan=2222【解析】T2B=A+C,.B=60°，丁tan+tan：+12AC-1c=tan—?tanAC-1c=tan—?tan—2十B22十Btan—tan—22-tan￡+tan￡—■<3=tan￡?tan￡(—*：3)解得2222tan+tan+=tan-tan?22tan30。22tan30。AC□口AC:.tan+tan=73--3tan?tan,2222v'3tantan=耳3。

22tan+tan+\3tantanv'3tantan=耳3。

22222222ABC【解析】法一：tanC=tan兀-(A+B)22+即4AB1-tantan22=ABtan+tan22【解析】法一：tanC=tan兀-(A+B)22+即4AB1-tantan22=ABtan+tan22ABtantan,22ABjAB,小ABtan+tan=1,/.tan+tan=1>2,tantan,222?小小，[AB[.?.—<1-tantan<1。22法二：正切恒等式AB-1Atan+tan+=tan?tan22*C2tan—2AB

tan+tan.AB,22、c1tan?tan<(22)2=2224B-1,1，A1-—Ctan2TCtan2，設(shè)1Ctan12解得0<Atantan<—2—B=—tan?tan?221

__C

tan2<0■>1,tan2143C=t't>1，1-'>-4''解得1<'<3'即4<tanI<1oTOC\o"1-5"\h\z【例16】在銳角AABC中，若sinA=3sinBsinC，則tanA?tanB?tanC的最小值是.【解析】sinA=sin(B+C)=3sinBsinC,sinBcosC+sinCcosB=3sinBsinC，即tanB+tanC=3tanBtanC，又tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC=tanA+3tanBtanC>2.3tanAtanBtanC，解得tanA?tanB?tanC>12。【例17】在銳角AABC中，若tanA，tanB，tanC依次成等差數(shù)列，則tanA?tanC=?！窘馕觥坑深}可知，2tanB=tanA+tanC,tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,/.3tanB=tanAtanBtanC,/.tanA?tanC=3。【例18】在AABC中，角A，B滿足tan(A+B)=3tanA，則tanB取到最大值時(shí)角C=.【解析】Ttan(A+B)=3tanA,.?.—tanC=3tanA，即tanC=-3tanA,(A,C中一定有一個(gè)角為鈍角，即B一定是銳角))?/tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，

tan121+tanB+tanC=—-tanBtan2C，丁—tanC+tanB=—-tanBtan2C,3333門1廠、廠2廠2tanC23tanC.2--32tanC2=——x31+1tan2C33+tan2.2--32tanC2=——x31+1tan2C33+tan2C33——x—3+tanCtanC323=x<3'3——+(—tanC)-tanCv3v—32運(yùn)=3'此時(shí)tanC=—、：3，即C=120°oc，【例19】在銳角AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,bc，；tanB；tanB的最大值為.+

tanAtanC【解析】tb=牛sinC,2b=asinC，即2sinB=sinAsinC,/.2sin(A+C)=sinAsin