北京市海淀區(qū)2015屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)(理)試題解析版資料

PAGE第19頁共19頁海淀區(qū)高三年級第一學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)（理科）2015.1本試卷共4頁，150分。考試時長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．拋物線的焦點坐標(biāo)是（）A．B．C．D．答案：C解析：由知故焦點為2．如圖所示，在復(fù)平面內(nèi)，點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則復(fù)數(shù)（）A．B．C．D．答案：D解析：由題可知3．當(dāng)向量，時，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A．B．C．D．答案：B解析：4．已知直線，.若，則實數(shù)的值是（）A．B．或C．或D．答案：C解析：因為兩直線垂直，故有解得5．設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為.則區(qū)域上的點到坐標(biāo)原點的距離的最小值是（）A．B．C．D．答案：B解析：畫出可行域：易知所求最小值為6．某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐四個面的面積中最大的是（）A．B．C．D．答案：A解析：由題畫出直觀圖由題可知：故故選A7．某堆雪在融化過程中，其體積（單位：）與融化時間（單位：）近似滿足函數(shù)關(guān)系：（為常數(shù)），其圖象如圖所示.記此堆雪從融化開始到結(jié)束的平均融化速度為.那么瞬時融化速度等于的時刻是圖中的（）A．B．C．D．答案：C解析：平均融化速度為反映的是圖像與坐標(biāo)軸交點連線的斜率：觀察可知在處瞬時速度（即切線斜率）與平均速度一致。8．已知點在曲線上，過原點，且與軸的另一個交點為.若線段,和曲線上分別存在點、點和點，使得四邊形（點順時針排列）是正方形，則稱點為曲線的“完美點”.那么下列結(jié)論中正確的是（）A．曲線上不存在“完美點”B．曲線上只存在一個“完美點”，其橫坐標(biāo)大于1C．曲線上只存在一個“完美點”，其橫坐標(biāo)大于且小于1D．曲線上存在兩個“完美點”，其橫坐標(biāo)均大于答案：B解析：解法一：定性分析：設(shè)這樣的完美點存在，則記，易知AB=解得以A為圓心，以為半徑作圓，交y軸于點B（B在A上方）以B為圓心，以為半徑作圓交于點C（C在B上方）以點ABC構(gòu)造正方形ABCD則原問題轉(zhuǎn)化為：若存在完美點A等價于點D位于曲線P上?，F(xiàn)探究點D的位置變化情況：當(dāng)A坐標(biāo)為（1，1）時，易作圖如下：可得點D（1，2）位于拋物線上方。隨著點A在曲線P上移動，可知線段AB長度持續(xù)變大，直線AB傾斜角持續(xù)變小，線段AD長度持續(xù)變大，直線AD傾斜角持續(xù)變小即：則可知：必存在唯一的“完美點”A使得D恰好位于曲線P上，故選B解法二：定量分析：設(shè)記（）則有的方程是因為ABCD為正方形，故，以A為圓心，過點B的圓的方程為令得，即點，則必然滿足得可知若存在完美點，必有橫坐標(biāo)大于1，選項C錯誤；直線BC的方程為：，與方程聯(lián)立，整理得可得點C的坐標(biāo)為正方形ABCD中由ABC三點坐標(biāo)可得D的坐標(biāo)為因為D在曲線P上，故有解得∴化簡得：設(shè)函數(shù)記，，故關(guān)于的函數(shù)為增函數(shù)又因為可知必有一個大于1的零點。綜上可判斷曲線上只存在一個“完美點”，其橫坐標(biāo)大于1二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。9．在的展開式中，常數(shù)項是15.（用數(shù)字作答）答案：15解析：令得常數(shù)項為15（10）在極坐標(biāo)系中，直線被圓截得的弦長為______．答案：解析：將直線與圓化簡為直角坐標(biāo)方程，分別是聯(lián)立解得故弦長為（11）若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則3.答案：3解析：因為雙曲線漸近線為由題可知（12）如圖所示，是的切線，，，那么.答案：解析：在三角形ABC中，得故又因為為弦切角，故∴（13）在等比數(shù)列中，若，，則公比；當(dāng)4時，的前項積最大.答案：；4解析：在等比數(shù)列中∴其通項公式為因為數(shù)列各項均負(fù)，要想使的前項積最大，只需考慮偶數(shù)項積最大即可。根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)∴前四項的乘積最大。（14）如圖所示，在正方體中，點是邊的中點.動點在直線（除兩點）上運動的過程中，平面可能經(jīng)過的該正方體的頂點是.（寫出滿足條件的所有頂點）答案：解析：原問題可轉(zhuǎn)化為正方體頂點與點D、點E所構(gòu)成的平面與體對角線存在交點的問題。故有：平面ABCD即面ADE、BDE、CDE交體對角線于點B，不滿足要求；平面、交體對角線于一點（非端點）滿足要求；平面與對角線于點D，不滿足要求；平面與體對角線無交點，不滿足要求；∴平面DEP可以經(jīng)過的頂點是三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。（15）（本小題滿分13分）函數(shù)的部分圖象如圖所示.（Ⅰ）寫出及圖中的值；（Ⅱ）設(shè)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.答案：（Ⅰ）的值是.的值是.（Ⅱ）取得最大值,取得最小值解析：解：（Ⅰ）的值是.………………2分的值是.………………5分（Ⅱ）由題意可得：.………………7分所以………………8分.………………10分因為，所以.所以當(dāng)，即時，取得最大值；當(dāng)，即時，取得最小值.………………13分（16）（本小題滿分13分）某中學(xué)在高二年級開設(shè)大學(xué)先修課程《線性代數(shù)》，共有50名同學(xué)選修，其中男同學(xué)30名，女同學(xué)20名.為了對這門課程的教學(xué)效果進行評估，學(xué)校按性別采用分層抽樣的方法抽取5人進行考核.（Ⅰ）求抽取的5人中男、女同學(xué)的人數(shù)；（Ⅱ）考核的第一輪是答辯，順序由已抽取的甲、乙等5位同學(xué)按抽簽方式?jīng)Q定.設(shè)甲、乙兩位同學(xué)間隔的人數(shù)為，的分布列為求數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）考核的第二輪是筆試：5位同學(xué)的筆試成績分別為115，122，105，111，109；結(jié)合第一輪的答辯情況，他們的考核成績分別為125，132，115，121，119.這5位同學(xué)筆試成績與考核成績的方差分別記為，，試比較與的大小.（只需寫出結(jié)論）答案：（Ⅰ）男同學(xué)的人數(shù)為3，女同學(xué)的人數(shù)為2（Ⅱ）1（Ⅲ）.解析：（Ⅰ）抽取的5人中男同學(xué)的人數(shù)為，女同學(xué)的人數(shù)為.………………4分（Ⅱ）由題意可得：.………………6分因為，所以.………………8分所以.………………10分（Ⅲ）.………………13分（17）（本小題滿分14分）如圖所示，在三棱柱中，為正方形，為菱形，，平面平面.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）設(shè)點分別是的中點，試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并說明理由；（Ⅲ）求二面角的余弦值.答案：（Ⅰ）略（Ⅱ）（Ⅲ）∥平面（Ⅲ）解析：（Ⅰ）連接.在正方形中，.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.………………1分因為平面，所以.………………2分在菱形中，.因為平面，平面，，所以平面.………………4分因為平面，所以.………………5分（Ⅱ）∥平面，理由如下：………………6分取的中點，連接.因為是的中點，所以∥，且.因為是的中點，所以.在正方形中，∥，.所以∥，且.所以四邊形為平行四邊形.所以∥.………………8分因為平面，平面，所以∥平面.………………9分（Ⅲ）在平面內(nèi)過點作.由（Ⅰ）可知：平面.以點為坐標(biāo)原點，分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則.在菱形中，，所以，.設(shè)平面的一個法向量為.因為即所以即.………………11分由（Ⅰ）可知：是平面的一個法向量.………………12分所以.所以二面角的余弦值為.………………14分（18）（本小題滿分13分）已知橢圓，點，分別是橢圓的左焦點、左頂點，過點的直線（不與軸重合）交于兩點.（Ⅰ）求的離心率及短軸長；（Ⅱ）是否存在直線，使得點在以線段為直徑的圓上，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.答案：（Ⅰ）離心率為短軸長為（Ⅱ）不存在直線，使得點在以為直徑的圓上解析：（Ⅰ）由得：.所以橢圓的短軸長為.………………2分因為，所以，即的離心率為.………………4分（Ⅱ）由題意知：，設(shè)，則.7分因為………………9分，…………11分所以.所以點不在以為直徑的圓上，即：不存在直線，使得點在以為直徑的圓上.………………13分另解：由題意可設(shè)直線的方程為，.由可得：.所以，.………………7分所以.………………9分因為，所以.………………11分所以.所以點不在以為直徑的圓上，即：不存在直線，使得點在以為直徑的圓上.………………13分（19）（本小題滿分13分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（Ⅱ）求集合中元素的個數(shù)；（Ⅲ）當(dāng)時，問函數(shù)有多少個極值點？（只需寫出結(jié)論）答案：（Ⅰ）是偶函數(shù).（Ⅱ）當(dāng)時，集合中元素的個數(shù)為0；當(dāng)時，集合中元素的個數(shù)為1；當(dāng)時，集合中元素的個數(shù)為2.（Ⅲ）3解析：（Ⅰ）函數(shù)是偶函數(shù)，證明如下：………………1分對于，則.………………2分因為，所以是偶函數(shù).………………4分（Ⅱ）當(dāng)時，因為，恒成立，所以集合中元素的個數(shù)為0.………………5分當(dāng)時，令，由，得.所以集合中元素的個數(shù)為1.………………6分當(dāng)時，因為，所以函數(shù)是上的增函數(shù).………………8分因為，所以在上只有一個零點.由是偶函數(shù)可知，集合中元素的個數(shù)為2.………………10分綜上所述，當(dāng)時，集合中元素的個數(shù)為0；當(dāng)時，集合中元素的個數(shù)為1；當(dāng)時，集合中元素的個數(shù)為2.（Ⅲ）函數(shù)有3個極值點.………………13分（20）（本小題滿分14分）已知集合，集合且滿足：與恰有一個成立.對于定義（）.（Ⅰ）若，，求的值及的最大值；（Ⅱ）從中任意刪去兩個數(shù)，記剩下的個數(shù)的和為.求證：；（Ⅲ）對于滿足（）的每一個集合，集合中是否都存在三個不同的元素，使得恒成立，并說明理由.答案：（Ⅰ），取得最大值.（Ⅱ）略（Ⅲ）對于滿足（）的每一個集合，集合中都存在三個不同的元素，使得恒成立解析：（Ⅰ）因為，所以，，，故.………………1分

因為，所以.所以.所以當(dāng)時，取得最大值.………………3分（Ⅱ）由的定義可知：.所以.………………6分設(shè)刪去的兩個數(shù)為，則.由題