2023學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)選修同步導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 名師獲獎

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第三章3.4生活中的優(yōu)化問題舉例課前教材預(yù)案課堂深度拓展課末隨堂演練課后限時作業(yè)導(dǎo)數(shù)在實際生活中主要用于解決有關(guān)函數(shù)的最大值、最小值問題，體現(xiàn)在以下幾個方面：(1)與幾何有關(guān)的最值問題(求幾何圖形或幾何體的_______或_______的最值)．(2)與____________有關(guān)的最值問題．(3)與利潤及_________有關(guān)的最值問題．課前教材預(yù)案要點一導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用面積

體積

物理量

成本

要點二解決優(yōu)化問題的基本思路費用最省、用料最少問題是常見的優(yōu)化問題，解決此類問題需注意以下三個方面：(1)在求實際問題的最大(小)值時，一定要注意考慮實際問題的意義，不符合實際的值要舍去．課堂深度拓展考點一費用最省、用料最少問題(2)在實際問題中，有時會遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點使f′(x)＝0的情形．如果函數(shù)在這點有極大(小)值，那么即使不與端點值比較，也可以知道這就是最大(小)值．(3)在列函數(shù)關(guān)系式解決優(yōu)化問題的過程中，不僅要注意所列函數(shù)關(guān)系式要恰當(dāng)，還要注意自變量的實際意義，以此確定定義域．思維導(dǎo)引：根據(jù)自變量x和函數(shù)C(x)的實際意義以及題目條件可知C(0)＝8，由此可求出f(x)的表達(dá)式，進(jìn)而求f(x)的最小值．實際生活中利潤最大、效率最高、流量、流速最大等問題都需要利用導(dǎo)數(shù)求解相應(yīng)函數(shù)的最大值，此時根據(jù)f′(x)＝0求出極值點(注意根據(jù)實際意義舍棄不合適的極值點)，函數(shù)滿足左增右減，此時唯一的極大值就是所求函數(shù)的最大值．考點二利潤最大、效率最高問題【例題2】某商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件．如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值x(單位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品單價降低2元時，一星期多賣出24件．(1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？解析

(1)依題意設(shè)每星期多賣出的商品件數(shù)為kx2，若記商品在一個星期的獲利為f(x)元，則有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．由已知條件，得24＝k×22，于是有k＝6.所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21]．【變式2】(2018·湖北黃岡中學(xué)月考)甲方是一農(nóng)場，乙方是一工廠，由于乙方生產(chǎn)需占用甲方的資源，因此甲方有權(quán)向乙方索賠，由此來彌補(bǔ)經(jīng)濟(jì)損失并獲得一定凈收入．在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤x(單位：元)與年產(chǎn)量t(單位：噸)滿足函數(shù)關(guān)系式x＝2000.若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方s元(以下稱s為賠付價格)．(1)將乙方的實際年利潤w(單位：元)表示為年產(chǎn)量t(單位：噸)的函數(shù)，并求出乙方實際年利潤最大時的年產(chǎn)量；(2)甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟(jì)損失金額y(單位：元)與年產(chǎn)量t(單位：噸)的函數(shù)關(guān)系式為y＝0.002t2，在乙方按照獲得最大實際利潤的年產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng)向乙方要求的賠付價格s是多少？解決面積、容積最大(小)問題時，需根據(jù)平面圖形、幾何體的形狀，利用平面幾何、立體幾何的相關(guān)知識，將目標(biāo)變量表示為取好的自變量的函數(shù)，確定定義域，再利用導(dǎo)數(shù)的知識求目標(biāo)函數(shù)的最大值．考點三幾何中面積、容積的最值問題【例題3】請您設(shè)計一個帳篷．如圖所示，它的正視圖和側(cè)視圖都是由矩形和三角形構(gòu)成的圖形，俯視圖是正六邊形及其中心與頂點的連線構(gòu)成的圖形，試問，當(dāng)帳篷的頂點到底面中心的距離為多少時，帳篷的體積最大？并求出最大體積．思維導(dǎo)引：解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地還原直觀圖，由題中圖形知直觀圖是一個由六棱錐和六棱柱組成的組合體，于是根據(jù)要求利用體積公式建立目標(biāo)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解．【變式3】某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元(π為圓周率