大學(xué)論文經(jīng)濟管理中數(shù)學(xué)模型案例分析

III第一章緒論 11.2數(shù)學(xué)模型的含義 11.2數(shù)學(xué)經(jīng)濟模型及其重要性 11.3經(jīng)濟管理中數(shù)學(xué)建模的步驟 1第二章經(jīng)濟管理中數(shù)學(xué)模型的案例分析 32.1飛機起飛的排隊模型 3（一）問題的提出 3（二）模型的建構(gòu) 3（三）費用矩陣C的生成 4（四）模型的求解和應(yīng)用 52.2大型購物超市購物者付款排隊系統(tǒng)優(yōu)化模型 6（一）問題的提出 6（二）模型的建構(gòu) 6（三）模型的求解與應(yīng)用 8第三章結(jié)論 10致謝 11參考文獻 12原創(chuàng)性聲明 13論文使用授權(quán)聲明 14PAGEPAGE2第一章緒論數(shù)學(xué)模型的含義數(shù)學(xué)模型是在面對實際問題的時候應(yīng)用相關(guān)數(shù)學(xué)思想對其進行的一種高度概括和表述。為了某個研究目的，它通常要對現(xiàn)實世界的某個特定的對象提出必要的條件和假設(shè)，所得到的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是運用合適的數(shù)學(xué)方法和手段以及數(shù)學(xué)關(guān)系式、圖表、圖形等數(shù)學(xué)術(shù)語。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的形式多種多樣，它可以是一個算法語言，也可以是某個數(shù)學(xué)圖表，或者是幾種結(jié)構(gòu)的混合。數(shù)學(xué)建模是把現(xiàn)實世界當(dāng)中的具體問題簡化并抽象為數(shù)學(xué)模型，其內(nèi)容主要包括提出問題、模型建構(gòu)、模型驗證、模型改進、模型應(yīng)用等幾個方面。1.2數(shù)學(xué)經(jīng)濟模型及其重要性概率型和確定型是數(shù)學(xué)經(jīng)濟模型按變量的性質(zhì)分成的兩類。由于數(shù)學(xué)分支很多，分支之間相互交叉滲透，又派生出更多分支，所以一個經(jīng)濟問題的給定有時能用多種數(shù)學(xué)方法去對它進行描述和解釋。具體建立什么類型的模型，不僅跟問題本身有關(guān)，而且根據(jù)解決問題的人的思路而定。

我們并不能用數(shù)學(xué)直接處理經(jīng)濟領(lǐng)域的客觀情況。因此為了能夠用數(shù)學(xué)解決經(jīng)濟領(lǐng)域中的問題，就必須建立數(shù)學(xué)模型。換句話說，數(shù)學(xué)經(jīng)濟建模就是為了經(jīng)濟目的，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的刻劃。而經(jīng)濟發(fā)展速度與數(shù)學(xué)經(jīng)濟建模的密切關(guān)系在現(xiàn)代發(fā)展史上得到了證實。1.3經(jīng)濟管理中數(shù)學(xué)建模的步驟（一）提出問題要使數(shù)學(xué)模型的建立能夠反應(yīng)經(jīng)濟管理現(xiàn)象，了解實際經(jīng)濟管理問題時必須的，隨后明確問題所在背景，理清對象的具體特征，科學(xué)的進行調(diào)查分析，獲取有關(guān)數(shù)據(jù)的內(nèi)容。另外，還要確切地了解建立模型的目的，這樣才能形成比較合理的問題，才能進行有效建模。（二）模型建構(gòu)通過研究的問題分析各種對象之間的相互聯(lián)系，如層次關(guān)系、因果關(guān)系等，各個變量之間通過運用數(shù)學(xué)語言構(gòu)建數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，也就得到了對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。太復(fù)雜的模型不利于分析各個對象之間的關(guān)系，因此，剛開始建立模型時，一般不宜太復(fù)雜，采用循序漸進的方式是比較理想的方式，逐步推進，由易到難，不斷完善所構(gòu)建的模型。（三）模型驗證與改進反復(fù)推敲成了模型出現(xiàn)之后必然要經(jīng)歷的過程，首先要分析模型是否可以說明變量之間存在的真正關(guān)系，是否真正反映現(xiàn)實當(dāng)中的問題。還要考慮模型解的合理性和存在性，有沒有更簡便的求解過程，以及有無自相矛盾之處等。此外將模型的解代入到現(xiàn)實問題中加以驗證，看能否解決現(xiàn)實問題，這點非常重要，也是非常重要的環(huán)節(jié)。不斷驗證、檢驗、完善是模型所必須經(jīng)歷的。要重視建模過程中出現(xiàn)的問題，針對出現(xiàn)的問題加以分析，檢查與判斷建模時的假設(shè)和前提是否跟得到結(jié)果相同。（四）模型的應(yīng)用一個數(shù)學(xué)模型要在現(xiàn)實當(dāng)時應(yīng)用，需要經(jīng)過多次檢驗，符合實際問題。預(yù)測可能出現(xiàn)的各種結(jié)果以及預(yù)測現(xiàn)象的發(fā)展趨勢是通過研究各種現(xiàn)象之間的關(guān)系。繼續(xù)擴大應(yīng)用與利用好的結(jié)果；對于不利結(jié)果，需要提前做好準(zhǔn)備，做到未雨綢繆，進行控制和干預(yù)，使利益損失最小化。PAGEPAGE13第二章經(jīng)濟管理中數(shù)學(xué)模型案例分析2.1飛機起飛的排隊模型1．問題的提出機場在分配飛機跑道的時候通常都采用“先到先服務(wù)”的原則，即駕駛員在飛機準(zhǔn)備好離開登機口時電告地面控制中心，進而加入等候跑道的隊伍當(dāng)中。各飛機的起飛時間的先后次序，控制臺的安排是根據(jù)通知的先后次序。在這其中我們要考慮的問題是怎樣利用數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)來綜合考慮骯空公司和乘客的利益并且將飛機起飛的次序合理安排妥當(dāng)。2．模型的構(gòu)建假設(shè)共有架飛機要求起飛，對所有這些飛機進行編號，記為控制中心可以從在線數(shù)據(jù)庫中快速得到每架飛機的如下信息：（1）預(yù)定離開登機口的時間；（2）實際離開登機口的時間；（3）機上乘客人數(shù)；（4）預(yù)定在下一站轉(zhuǎn)機的人數(shù)和轉(zhuǎn)機的時間；（5）到達下一站的預(yù)定時間。我們先做一些必要的簡化假設(shè)。（1）假設(shè)機場所有需要起飛的飛機使用的都是同一條跑道，并且任何一架飛機在起飛的時候都是將整條跑道完全占有，并且占用跑道的時間每架飛機都是相同的。在這基礎(chǔ)上，我們可以就可以把整個時間分割成離散的等長度的小時間段，記為△，每個小時間段的時間都超過一架飛機完成起飛操作的時間。（2）第架飛機在第個時間段起飛時，與前面的飛機起飛過程是相互獨立的，即所需費用只與時間位置和該飛機有關(guān)。（3）是第架飛機按時到達目的地所需起飛的最晚時限，若飛機在時限之后才起飛，全程飛行過程中的速度只能按照最大安全速度進行飛行，且所有需要轉(zhuǎn)機的乘客都無法趕上下班飛機。假設(shè)給每位乘客的賠償費是相同的，記為。為了描述飛機與起飛時間段的關(guān)系，引入決策變量，表示第架飛機是否被指定在第個時間段起飛：記為第架飛機在第個時間段起飛時所需要的一切費用，從而構(gòu)物費用矩陣C：因此，對某一種飛機安排，其總費用為為了讓總費用z達到最小，目的就是要求。顯然每架飛機都將占用某一個時間段，因此而每個時間段也恰好能容納一架飛機起飛，即于是問題化為如下的0－1規(guī)劃模型：求，滿足（2.1.1）3．費用矩陣C的生成上述0－1規(guī)劃模型中的費用系數(shù)通常與飛機的型號、運行費用、運輸區(qū)劃客情況及乘客的滿意程度有關(guān)。為便于計算，我們不考慮運行的基本費用，只考慮由于起飛的延誤從而引起飛機的額外費用。這一費用包括因為晚點而使飛機以加快或最快速度飛行代替最經(jīng)濟的速度帶來的燃料損失（稱為燃料附加費），因耽誤乘客轉(zhuǎn)機而產(chǎn)生的賠償費（稱為乘客誤機費），以及乘客因飛機誤點而產(chǎn)生的不愉快情緒轉(zhuǎn)化為航空公司的間接損失（稱為乘客的不滿意度）。（1）燃料附加費由于晚點，飛機必須以加快或最快速度飛行，故燃料的消耗隨晚點的時間長短而變化。然而即使晚點，一旦超過了最大時限，飛機也只能以最大的安全速度飛行，此時燃料的消耗是恒定的。因此可設(shè)第架飛機的燃料附加費為式子當(dāng)中的為飛機的晚點時間，為第架飛機每晚點單位時間由于加速引起的油耗增加的價格。（2）乘客誤機費記為第架飛機上需轉(zhuǎn)機的人數(shù)，當(dāng)飛機晚點超過時限時，這些乘客都將趕不上下班飛機。由假設(shè)（3），航空公司給每位乘客賠償費用，故乘客誤機費為其中為Heaviside函數(shù)（單位階躍函數(shù)）（2.1.2）（3）乘客的不滿意度顯然，飛機晚點時間越長，乘客越不滿意。如果僅晚點幾分鐘，顧客也許不會感到不滿意；但如果晚點時間延長，乘客不滿意程度將會呈非線性地增長，這里我們用指數(shù)函數(shù)來描述乘客對飛機晚點的不滿意度（2.1.3）其中表示第架飛機上的乘客數(shù)，表示乘客等待時不滿意程度上升快慢的因子，表示將不滿意度轉(zhuǎn)化為相應(yīng)費用的比例系數(shù)。如果飛機晚點超過最大時限，需轉(zhuǎn)機的乘客將耽誤下班飛機，這部分乘客會變得焦躁不安并且非常憤怒，這部分乘客的不滿意度可表示為（2.1.4）其中仍表示第架飛機上要轉(zhuǎn)機的乘客數(shù)，為由（2.1.2）式定義的Heaviside函數(shù)，b表示將不滿意度轉(zhuǎn)化為相應(yīng)費用的比例系數(shù)。（4）總費用系數(shù)綜合以上三個部分的費用，最終得到費用系數(shù)其中為飛機的晚點時間，它與飛機及其起飛時間段有關(guān)。4．模型的求解和應(yīng)用0-1規(guī)劃模型（2.1.1）是一個指派模型，可以用匈牙利算法進行計算，也可使用數(shù)學(xué)軟件或?qū)ｉT的優(yōu)化軟件包進行計算，如LINDO。作為一個例子，假設(shè)早晨6:00，有三架飛機同時要求起飛，設(shè)它們的型號相同，且相同的飛行距離，預(yù)定到達終點的時間均為7:20。三架飛機的乘客人數(shù)分別為350，100，400，每一架飛機上都有100名乘客要求轉(zhuǎn)機。設(shè)起飛時間段的長度為。為了簡化計算，不妨將參數(shù)和均取為1，由此得到費用矩陣于是最優(yōu)解為即三架飛機按3,1,2的次序起飛，最低費用，這與常識相符，由于其他條伯設(shè)定都一樣，故最優(yōu)的次序是讓乘客多的飛機先起飛。當(dāng)?shù)谌茱w機剛起飛，第四架飛機要求緊急起飛。此時第四架飛機已經(jīng)晚點18分鐘，若它想在7:06按時到達終點，就必須在1分鐘內(nèi)起飛，第四架飛機上有200名乘客，其中150人要求轉(zhuǎn)機，計算結(jié)果見表2-3-1。由表2-3-1可知，最優(yōu)起飛順序為4,1,2，最低費用。這表明晚點時間很長的飛機應(yīng)優(yōu)先起飛，否則航空公司就需要支付高額的誤機費了。表2-3-1各飛機的數(shù)據(jù)信息及計算結(jié)果飛機乘客數(shù)轉(zhuǎn)機數(shù)晚點費用矩陣C最優(yōu)解13501001min5.898911.896617.994901021001001min1.69733.42285.1771001420015018min70.2718374.8257379.4581002.2碼頭卸貨效率分析的隨機模擬模型1．問題的提出有一個小型卸貨專用碼頭，只有一個停舶位，某些特定的貨物（如礦產(chǎn)，石油等）由船舶運送并在此碼頭卸貨。假設(shè)相鄰兩艘船到達的時間間隔在15~145分鐘之間變化，根據(jù)船的大小、類型，每艘船的卸貨時間也不同，時間在45~90分鐘的范圍內(nèi)波動變化?，F(xiàn)在需分析碼頭的卸貨效率，即想辦法計算每艘船停留在該港口的平均時間和最長時間；每艘船等待卸貨的時間等。2．模型的構(gòu)建為計算的方便，假設(shè)前一艘船離開碼頭的時間就是在卸貨結(jié)束的時候，此時后一艘船馬上可以進行卸貨。引進如下記號：——第艘船的到達時間；——第－1艘船與第艘船到達之間的時間間隔；——第艘船的卸貨時間；——第艘船的離開時間；——第艘船的等待時間；——第艘船停留在港口的時間；——卸完第(－1）艘船到開始卸第艘船之間的設(shè)備閑置時間；——船只最長等待時間；——船只平均停留時間；——船只最長停留時間；——船只平均等待時間；——設(shè)備閑置總時間；——設(shè)備閑置百分比。為了對碼頭的效率進行分析，我們從一般開始考慮，即假設(shè)共有條船到達該碼頭進行卸貨的情形，從原則上說，越大效率越高。由于每條船到達碼頭的時間與卸貨的時間都是無法確定的。因此，我們要用隨機模擬的方法來建立數(shù)學(xué)模型，而這種方法又被稱為蒙特卡羅（MonteCarlo）模擬。首先，我們?nèi)藶榈倪M行假設(shè)，假設(shè)兩船到達之間的時間間隔是一個隨機變量，服從15~145分鐘之間的均勻分布；各船卸貨時間服從45~90分鐘間均勻分布的隨機變量。接下來，我們用發(fā)生均勻分布的隨機數(shù)的方法，分別產(chǎn)生個[15，145]和[45，90]之間的隨機數(shù)和來模擬艘船兩兩之間到達的時間間隔以及各艘船的卸貨時間。設(shè)初始時刻為0，利用船舶到達的時間間隔，我們可以計算出各船的到達時間擁有這些數(shù)據(jù)之后，各艘船在碼頭等待卸貨的時間就可以計算出來，同樣的，兩艘船之間卸貨設(shè)備的閑置時間以及離開的時間我們也都可以計算出來。由于第一艘船到港就馬上卸貨，卸完貨便離港，因此可以得到而在該船到達之前設(shè)備閑置，即 之后的各艘船到達碼頭的時候，若前一艘船已經(jīng)離開，則可以馬上進行卸貨，否則就要進行等待，等待時間是本船到達時間與上一艘船的離港時間之差的絕對值，從而可以得到第艘船的等待時間為或由此可得如果第艘船需等待卸貨，設(shè)備將被認定為不是閑置，但如果第艘船的到達時間比第-1艘船的離開時間來得更晚，那么這期間的這段時間差將被認定為設(shè)備的閑置時間，即或用下式可以計算船只停留在船舶的時間船只在船港的最大停留時間和平均停留時間以及最大和平均等待時間同樣能夠計算設(shè)備閑置總時間和閑置時間，其百分比如表2-2-1，2-2-2，2-2-3。由于和都是隨機產(chǎn)生的，進行重復(fù)計算時結(jié)果難免會有差異，所以如果僅用一次計算的結(jié)果作為分析的依據(jù)顯然是靠不住的。較好的做法是對該模擬進行多次重復(fù)模擬，把得到各項數(shù)據(jù)進行平均計算，將得到的各項平均值作為分析的依據(jù)。3．模型的求解與應(yīng)用各種計算機高級語言和數(shù)學(xué)軟件都有產(chǎn)生隨機數(shù)的子程序或命令語句，隨機模擬是不難用一個簡單的程序?qū)崿F(xiàn)的。這里以為例，列出6次模擬的結(jié)果，如表2-2-1所示，表格當(dāng)中的時間均以分鐘為單位。表2-2-1船在港口的平均停留時間1068510111611294船在港口的最長停留時間287180233280234264船的平均等待時間392035504427船的最長等待時間213118172203167184設(shè)備閑置時間的百分比0.180.170.150.20.140.21為了提高碼頭的卸貨能力，進行設(shè)備的改善以及勞力的增加，從而使卸貨時間由原來45~90分鐘減少至35~75分鐘之間，而兩艘船到達的間隔仍保持為15~145分鐘，模擬的結(jié)果如表2-2-2所示。表2-2-2船在港口的平均停留時間746264676773船在港口的最長停留時間161116167178173190船的平均等待時間19610121216船的最長等待時間10258102110104131設(shè)備閑置時間的百分比0.250.330.320.30.310.27由表2-2-2可知，每艘船的卸貨時間縮短了15-20分鐘，等待時間有了很明顯的減少，但設(shè)備閑置時間卻增加了，百分比增加了一倍。為了提高利用效率，可以接納的卸貨船只變得更多，從而將兩艘船到達的時間間隔縮短為10-120分鐘。在裝載時間不變的情況下（即裝載時間35~75分鐘）再次進行6次模擬，模擬得到的結(jié)果如下表2-2-3所示。表格中顯示此時船的等待時間增加，設(shè)備閑置時間減少。表2-2-3船在港口的平均停留時間114799688126115船在港口的最長停留時間248224205171371223船的平均等待時間572441357161船的最長等待時間175152155122309173設(shè)備閑置時間的百分比0.150.190.120.140.170.06第五章結(jié)論隨著數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，現(xiàn)代經(jīng)濟管理中越來越看重數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用，經(jīng)濟管理的數(shù)學(xué)化已經(jīng)逐步發(fā)展成為一種趨勢，數(shù)學(xué)已經(jīng)演變成為經(jīng)濟管理的重要支柱，并發(fā)揮越來越重要的地位和作用，隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)理論和應(yīng)用技術(shù)更佳深化，數(shù)學(xué)在經(jīng)濟管理中應(yīng)用的廣度和深度都會得到極大程度的提升。現(xiàn)如今，經(jīng)濟學(xué)中的許多數(shù)學(xué)模型都不能直接應(yīng)用于研究中國經(jīng)濟，不過可以對現(xiàn)有經(jīng)濟數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型進行修正，使之適合于研究經(jīng)濟。在此背景下，我們必須對未來數(shù)學(xué)在經(jīng)濟領(lǐng)域的應(yīng)用實踐進行思考和展望，即對應(yīng)的，提升數(shù)學(xué)建模思想，就需要加強對當(dāng)前我國數(shù)學(xué)教育的改革。這是社會主義市場經(jīng)濟發(fā)展的必然需求，也是現(xiàn)代經(jīng)濟管理發(fā)展的時代要求。近代數(shù)學(xué)與各個領(lǐng)域結(jié)合產(chǎn)生的巨大成就再一次證實了，數(shù)學(xué)建模的重要性，就經(jīng)濟管理領(lǐng)域，我國教育改革中，應(yīng)該首先樹立數(shù)學(xué)應(yīng)用的理念和思想，其次要在相關(guān)經(jīng)濟管理專業(yè)設(shè)立數(shù)學(xué)應(yīng)用方向，，進行專業(yè)細化，培育復(fù)合化人才，才能滿足市場發(fā)展需求。致謝時間飛逝，一晃四年大學(xué)時光即將逝去?；叵脒@四年大學(xué)時間，有苦有甜有笑有淚。但不管怎么說，這四年的時間讓我感到很充實也很高興。在論文結(jié)束之前，我要感謝我的母校給了我這次寶貴的學(xué)習(xí)