高考江蘇卷數(shù)學(xué)試題及答案

2021年高考江蘇卷數(shù)學(xué)試題及答案數(shù)學(xué)Ⅰ試題一、填空題：本大題共14小題，每題5分，共70分。請把答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上.1．設(shè)集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，那么實(shí)數(shù)a=______________2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(2-3i)=6+4i〔其中i為虛數(shù)單位〕，那么z的模為____________3．盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，假設(shè)從中隨機(jī)地摸出兩只球，兩只球顏色不同的概率是___4．某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽取了100根棉花纖維的長度〔棉花纖維的長度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)〕，所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間[5,40]中，其頻率分布直方圖如下圖，那么其抽樣的100根中，有____根在棉花纖維的長度小于20mm。5．設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex+ae-x),x∈R，是偶函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a=_____________6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線上一點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3，那么M到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是_________7.右圖是一個(gè)算法的流程圖，那么輸出S的值是____________開始開始S←1n←1S←S+2nS≥33n←n+1否輸出S結(jié)束是8.函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak+bk為正整數(shù)，a1=16，那么a1+a3+a5=________9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為1，那么實(shí)數(shù)c的取值范圍是___________10.定義在區(qū)間上的函數(shù)y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)P作PP1⊥x軸于點(diǎn)P1,直線PP1與y=sinx的圖像交于點(diǎn)P2,那么線段P1P2的長為_________11.函數(shù),那么滿足不等式的x的范圍是_____12.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足3≤≤8，4≤≤9，那么的最大值是________13.在銳角三角形ABC，A、B、C的對邊分別為a、b、c，，那么__14.將邊長為1的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S=,那么S的最小值是___________解答題15.〔14分〕在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長設(shè)實(shí)數(shù)t滿足()·=0，求t的值16.〔14分〕如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=900求證：PC⊥BC求點(diǎn)A到平面PBC的距離17.〔14分〕某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位m〕，如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β該小組已經(jīng)測得一組α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,請據(jù)此算出H的值該小組分析假設(shè)干測得的數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d〔單位m〕，使α與β之差較大，可以提高測量精確度，假設(shè)電視塔實(shí)際高度為125m，問d為多少時(shí)，α-β最大18.〔16分〕在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，橢圓的左右頂點(diǎn)為A,B，右焦點(diǎn)為F，設(shè)過點(diǎn)T〔〕的直線TA,TB與橢圓分別交于點(diǎn)M，，其中m>0,①設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡②設(shè)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)③設(shè),求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)〔其坐標(biāo)與m無關(guān)〕19．〔16分〕設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.①求數(shù)列的通項(xiàng)公式〔用表示〕②設(shè)為實(shí)數(shù)，對滿足的任意正整數(shù)，不等式都成立。求證：的最大值為20.〔16分〕設(shè)使定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為.如果存在實(shí)數(shù)和函數(shù)，其中對任意的都有>0，使得，那么稱函數(shù)具有性質(zhì).(1)設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)①求證：函數(shù)具有性質(zhì)②求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(2)函數(shù)具有性質(zhì)，給定，，且，假設(shè)||<||,求的取值范圍【理科附加題】21.〔從以下四個(gè)題中任選兩個(gè)作答，每題10分〕幾何證明選講AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊙O的切線交AB延長線于C，假設(shè)DA=DC，求證AB=2BC矩陣與變換在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),設(shè)k≠0，k∈R，M=,N=,點(diǎn)A、B、C在矩陣MN對應(yīng)的變換下得到點(diǎn)A1,B1,C1,△A1B1C1的面積是△ABC面積的2倍，求實(shí)數(shù)k的值參數(shù)方程與極坐標(biāo)在極坐標(biāo)系中，圓ρ=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求實(shí)數(shù)a的值不等式證明選講實(shí)數(shù)a,b≥0，求證：22.〔10分〕某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)甲產(chǎn)品一等品80%，二等品20%；生產(chǎn)乙產(chǎn)品，一等品90%，二等品10%。生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品，如果是一等品可獲利4萬元，假設(shè)是二等品那么要虧損1萬元；生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品，如果是一等品可獲利6萬元，假設(shè)是二等品那么要虧損2萬元。設(shè)生產(chǎn)各種產(chǎn)品相互獨(dú)立記x〔單位：萬元〕為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤，求x的分布列求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率23.〔10分〕△ABC的三邊長為有理數(shù)(1)求證cosA是有理數(shù);(2)對任意正整數(shù)n，求證cosnA也是有理數(shù).一、填空題：本大題共14小題，每題5分，共70分。請把答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上.1、設(shè)集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，那么實(shí)數(shù)a=________.[解析]考查集合的運(yùn)算推理。3B,a+2=3,a=1.2、設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(2-3i)=6+4i〔其中i為虛數(shù)單位〕，那么z的模為_________.[解析]考查復(fù)數(shù)運(yùn)算、模的性質(zhì)。z(2-3i)=2(3+2i),2-3i與3+2i的模相等，z的模為2。3、盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，假設(shè)從中隨機(jī)地摸出兩只球，兩只球顏色不同的概率是___.[解析]考查古典概型知識(shí)。4、某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽取了100根棉花纖維的長度〔棉花纖維的長度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)〕，所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間[5,40]中，其頻率分布直方圖如下圖，那么其抽樣的100根中，有____根在棉花纖維的長度小于20mm。[解析]考查頻率分布直方圖的知識(shí)。100×〔0.001+0.001+0.004〕×5=305、設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a=__[解析]考查函數(shù)的奇偶性的知識(shí)。g(x)=ex+ae-x為奇函數(shù)，由g(0)=0，得a=－1。6、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線上一點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3，那么M到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是__________[解析]考查雙曲線的定義。，為點(diǎn)M到右準(zhǔn)線的距離，=2，MF=4。7、右圖是一個(gè)算法的流程圖，那么輸出S的值是____________開始S←1n←開始S←1n←1S←S+2nS≥33n←n+1否輸出S結(jié)束是8、函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak+1,k為正整數(shù)，a1=16，那么a1+a3+a5=________[解析]考查函數(shù)的切線方程、數(shù)列的通項(xiàng)。 在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線方程為：當(dāng)時(shí)，解得，所以。9、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為1，那么實(shí)數(shù)c的取值范圍是___________[解析]考查圓與直線的位置關(guān)系。圓半徑為2，圓心〔0，0〕到直線12x-5y+c=0的距離小于1，，的取值范圍是〔-13，13〕。10、定義在區(qū)間上的函數(shù)y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)P作PP1⊥x軸于點(diǎn)P1，直線PP1與y=sinx的圖像交于點(diǎn)P2,那么線段P1P2的長為____________。[解析]考查三角函數(shù)的圖象、數(shù)形結(jié)合思想。線段P1P2的長即為sinx的值，且其中的x滿足6cosx=5tanx，解得sinx=。線段P1P2的長為11、函數(shù),那么滿足不等式的x的范圍是_____。[解析]考查分段函數(shù)的單調(diào)性。12、設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足3≤≤8，4≤≤9，那么的最大值是。[解析]考查不等式的根本性質(zhì)，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。，，，的最大值是27。13、在銳角三角形ABC，A、B、C的對邊分別為a、b、c，，那么=____。[解析]考查三角形中的正、余弦定理三角函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。一題多解。〔方法一〕考慮條件和所求結(jié)論對于角A、B和邊a、b具有輪換性。當(dāng)A=B或a=b時(shí)滿足題意，此時(shí)有：，，，，=4?！卜椒ǘ?，由正弦定理，得：上式=14、將邊長為1的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記,那么S的最小值是_______。[解析]考查函數(shù)中的建模應(yīng)用，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。一題多解。設(shè)剪成的小正三角形的邊長為，那么：〔方法一〕利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值。，，當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增；故當(dāng)時(shí)，S的最小值是。〔方法二〕利用函數(shù)的方法求最小值。令，那么：故當(dāng)時(shí)，S的最小值是。-----------------------------------------------------------一、填空題1．1解析：此題考查集合的根本運(yùn)算。當(dāng)，，，當(dāng)，方程無解。2．2解析：此題考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的根本運(yùn)算?！?．解析：此題考查了概率中的古典概型根底知識(shí)4．30解析：此題考查了統(tǒng)計(jì)的根底知識(shí)由頻率分布直方圖可得小于20mm的頻率為：，棉花纖維的長度小于20mm的數(shù)量為5．解析：此題考查函數(shù)的根本性質(zhì)奇偶性∵，∴函數(shù)為偶函數(shù)，∴，，，∵對定義域內(nèi)任意上式均成立，∴6．4解析：此題考查雙曲線的定義及根本性質(zhì)統(tǒng)一定義，∵M(jìn)到雙曲線右準(zhǔn)線的距離為，∴，∴MF=47．63解析：此題考查等比數(shù)列求和、算法的根底知識(shí)1123458．21解析：此題考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義、直線方程及等比數(shù)列的定義與性質(zhì)?！撸嗲芯€方程為，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴數(shù)列是以a1=16為首項(xiàng)，公比，∴解析：此題直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓相切時(shí)，，∴，圓心到直線為1時(shí)，，∴，符合條件時(shí)C的取值范圍為10．解析：此題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、方程與方程組的知識(shí)∵1，∴，解得或，即111．解析：此題考查了函數(shù)圖象、單調(diào)性等根底知識(shí)作出函數(shù)的圖象如圖，那么滿足，解得12．27解析：此題考查了不等式性質(zhì)∵∴3≤≤8，∴，，，13．4解析：此題考查了三角恒等變換、正弦定理與余弦定理的根底知識(shí)?！撸郃BCDEABCDEF14．解析：此題考查了用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題，函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用能力。設(shè)DE，由ED∥BC，ΔABC為正三角形，AD=DE=AE=，BD=EC=過D作DF⊥BC，DF=，梯形的周長為，梯形的面積為，S==，，∴源頭學(xué)子://wxckt特級教師王新敞wxckt@126二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分，請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明或演算步驟.15、〔此題總分值14分〕在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；設(shè)實(shí)數(shù)t滿足()·=0，求t的值。[解析]此題考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間距離公式、向量的數(shù)量積等?！?〕設(shè)該平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)為D，兩條對角線的交點(diǎn)為E，那么:E為B、C的中點(diǎn)，E〔0，1〕又E〔0，1〕為A、D的中點(diǎn)，所以D〔1，4〕兩條對角線的長分別為BC=、AD=；〔2〕由題意知：，16、〔此題總分值14分〕如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=900。求證：PC⊥BC；求點(diǎn)A到平面PBC的距離。[解析]此題主要考查直線與平面的垂直關(guān)系，考查空間想象能力、推理論證能力?？偡种?4分?！?〕證明：因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以PD⊥BC，又∠BCD=900，CD⊥BC，所以BC⊥平面PCD，故PC⊥BC。〔2〕〔方法一〕分別取AB、PC的中點(diǎn)E、F，連DE、DF，那么：易證DE∥CB，DE∥平面PBC，點(diǎn)D、E到平面PBC的距離相等。又點(diǎn)A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍。由〔1〕知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，因?yàn)镻D=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。易知DF=，故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于?！卜椒ǘ丑w積法：，，，故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于。源頭學(xué)子://wxckt特級教師王新敞wxckt@12617、〔此題總分值14分〕某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位m〕，如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。該小組已經(jīng)測得一組α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,請據(jù)此算出H的值；該小組分析假設(shè)干測得的數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d〔單位m〕，使α與β之差較大，可以提高測量精確度，假設(shè)電視塔實(shí)際高度為125m，問d為多少時(shí)，α-β最大。[解析]此題主要考查解三角形的知識(shí)、兩角差的正切及不等式的應(yīng)用。〔1〕，同理：，。AD—AB=DB，，解得：?！?〕，，〔當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號〕故當(dāng)時(shí)，最大，α-β最大。18、〔此題總分值16分〕在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，橢圓的左右頂點(diǎn)為A、B，右頂點(diǎn)為F，設(shè)過點(diǎn)T〔〕的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、，其中m>0,①設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡；②設(shè)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；③設(shè),求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)?！财渥鴺?biāo)與m無關(guān)〕。[解析]此題主要考查求曲線的方程方法、直線方程、解方程組等?？疾檫\(yùn)算能力。①設(shè)P〔x，y〕，那么：F〔2，0〕、B〔3，0〕、A〔-3，0〕。。點(diǎn)P的軌跡為直線。②將分別代入橢圓方程，得：M〔2，〕、N〔，〕直線MTA方程為：，直線NTB方程為：。聯(lián)立，解得：，所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為。③點(diǎn)T的坐標(biāo)為直線MTA方程為：，直線NTB方程為：。分別與橢圓聯(lián)立方程組，解得：、直線MN方程為：令，解得：。直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)〔1，0〕。源頭學(xué)子://wxckt特級教師王新敞wxckt@12619、〔此題總分值16分〕設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。①求數(shù)列的通項(xiàng)公式〔用表示〕；②設(shè)為實(shí)數(shù)，對滿足的任意正整數(shù)，不等式都成立。求證：的最大值為。[解析]此題主要考查等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)、恒成立問題。①由題意知：，，化簡，得：，當(dāng)時(shí)，，適合情形。故所求②，恒成立。又，，的最大值為。20、〔此題總分值16分〕設(shè)使定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為。如果存在實(shí)數(shù)和函數(shù)，其中對任意的都有>0，使得，那么稱函數(shù)具有性質(zhì)。(1)設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)。①求證：函數(shù)具有性質(zhì)；②求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。(2)函數(shù)具有性質(zhì)，給定設(shè)為實(shí)數(shù)。，，且，假設(shè)||<||，求的取值范圍。[解析]此題主要考查新定義函數(shù)的概念、函數(shù)的單調(diào)性。分類討論思想。①∵時(shí)，恒成立，∴函數(shù)具有性質(zhì)；②設(shè)，與的符號相同。當(dāng)時(shí)，，，故此時(shí)在區(qū)間上遞增；當(dāng)時(shí)，對于，有，所以此時(shí)在區(qū)間上遞增；當(dāng)時(shí)，圖像開口向上，對稱軸，而，對于，總有，，故此時(shí)在區(qū)間上遞增；當(dāng)時(shí)，圖像開口向上，對稱軸，方程的兩根為：，而當(dāng)時(shí)，，，故此時(shí)在區(qū)間上遞減；同理得：在區(qū)間上遞增。(2)由題意，得：又對任意的都有>0，所以對任意的都有，在上遞增。又。當(dāng)時(shí)，，且，綜合以上討論，得：所求的取值范圍是〔0，1〕。(ii)〔方法一〕設(shè)，與的符號相同。當(dāng)時(shí)，，，故此時(shí)在區(qū)間上遞增；當(dāng)時(shí)，對于，有，所以此時(shí)在區(qū)間上遞增；當(dāng)時(shí)，圖像開口向上，對稱軸，而，對于，總有，，故此時(shí)在區(qū)間上遞增；〔方法二〕當(dāng)時(shí)，對于，所以，故此時(shí)在區(qū)間上遞增；當(dāng)時(shí)，圖像開口向上，對稱軸，方程的兩根為：，而當(dāng)時(shí)，，，故此時(shí)在區(qū)間上遞減；同理得：在區(qū)間上遞增。綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上遞增；當(dāng)時(shí)，在上遞減；在上遞增。(2)〔方法一〕由題意，得：又對任意的都有>0，所以對任意的都有，在上遞增。又。當(dāng)時(shí)，，且，綜合以上討論，得：所求的取值范圍是〔0，1〕。〔方法二〕由題設(shè)知，的導(dǎo)函數(shù)，其中函數(shù)對于任意的都成立。所以，當(dāng)時(shí)，，從而在區(qū)間上單調(diào)遞增。①當(dāng)時(shí)，有，，得，同理可得，所以由的單調(diào)性知、，從而有||<||，符合題設(shè)。②當(dāng)時(shí)，，，于是由及的單調(diào)性知，所以||≥||，與題設(shè)不符。③當(dāng)時(shí)，同理可得，進(jìn)而得||≥||，與題設(shè)不符。因此綜合①、②、③得所求的的取值范圍是〔0，1〕。數(shù)學(xué)Ⅱ〔附加題〕21.[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做兩題，每題10分，共計(jì)20分。請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。幾何證明選講AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊙O的切線交AB延長線于C，假設(shè)DA=DC，求證：AB=2BC。[解析]此題主要考查平面幾何的推理證明。證明：連OD，那么：OD⊥DC，又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，所以∠DCO=300，∠DOC=600，所以O(shè)C=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。矩陣與變換在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),設(shè)k≠0，k∈R，M=,N=,點(diǎn)A、B、C在矩陣MN對應(yīng)的變換下得到點(diǎn)A1、B1、C1，△A1B1C1的面積是△ABC面積的2倍，求實(shí)數(shù)k的值。[解析]此題主要考查矩陣的乘法運(yùn)算及變換。參數(shù)方程與極坐標(biāo)在極坐標(biāo)系中，圓ρ=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求實(shí)數(shù)a的值。[解析]此題主要考查參數(shù)方程和普通方程的根本知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化問題的能力?？偡种?0分。解：，圓ρ=2cosθ的普通方程為：，直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程為：，又圓與直線相切，所以解得：，或。不等式證明選講實(shí)數(shù)a、b≥0，求證：。[解析]此題主要考查比擬法證明不等式的常見方法，考查代數(shù)式的變形能力。總分值10分。證明：因?yàn)閷?shí)數(shù)a、b≥0，所以上式≥0。即有。22.〔此題總分值10分〕某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)甲產(chǎn)品一等品80%，二等品20%；生產(chǎn)乙產(chǎn)品，一等品90%，二等品10%。生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品，如果是一等品可獲利4萬元，假設(shè)是二等品那么要虧損1萬元；生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品，如果是一等品可獲利6萬元，假設(shè)是二等品那么要虧損2萬元。設(shè)生產(chǎn)各種產(chǎn)品相互獨(dú)立。記x〔單位：萬元〕為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤，求x的分布列；求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率。[解析]此題主要考查概率的根本知識(shí)，考查探究能力?？偡种?0分。解：〔1〕x的分布列為：x1052-3P0.720.180.080.02〔2〕生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品，如果是一等品可獲利4萬元，依題意，至少需要生產(chǎn)3件一等品。所求概率為答：生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率為0.8192。23.〔此題總分值10分〕△ABC的三邊長為有理數(shù)。求證cosA是有理數(shù)；對任意正整數(shù)n，求證cosnA也是有理數(shù)。[解析]此題主要考查推理證明能力?？偡种?0分。證明：設(shè)三邊長分別為，，∵是有理數(shù)，是有理數(shù)，分母為正有理數(shù)，又有理數(shù)集對于除法的具有封閉性，∴必為有理數(shù)，∴cosA是有理數(shù)?！?〕①當(dāng)時(shí)，顯然cosA是有理數(shù)；當(dāng)時(shí)，∵，因?yàn)閏osA是有理數(shù)，∴也是有理數(shù)；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即coskA、均是有理數(shù)。當(dāng)時(shí)，，，，解得：∵cosA，，均是有理數(shù)，∴是有理數(shù)，∴是有理數(shù)。即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立。綜上所述，對于任意正整數(shù)