自動控制原理電子教案

..第一章自動控制原理的基本概念主要內(nèi)容：自動控制的基本知識開環(huán)控制與閉環(huán)控制自動控制系統(tǒng)的分類及組成自動控制理論的發(fā)展§1.1引言控制觀念生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)踐中，要求設(shè)備或裝置或生產(chǎn)過程按照人們所期望的規(guī)律運(yùn)行或工作。同時，干擾使實(shí)際工作狀態(tài)偏離所期望的狀態(tài)。例如：衛(wèi)星運(yùn)行軌道，導(dǎo)彈飛行軌道，加熱爐出口溫度，電機(jī)轉(zhuǎn)速等控制控制：為了滿足預(yù)期要求所進(jìn)行的操作或調(diào)整的過程?？刂迫蝿?wù)可由人工控制和自動控制來完成?！?.2自動控制的基本知識1.2.1自動控制問題的提出一個簡單的水箱液面，因生產(chǎn)和生活需要，希望液面高度h維持恒定。當(dāng)水的流入量與流出量平衡時，水箱的液面高度維持在預(yù)定的高度上。當(dāng)水的流出量增大或流入量減小，平衡則被破壞，液面的高度不能自然地維持恒定。所謂控制就是強(qiáng)制性地改變某些物理量(如上例中的進(jìn)水量)，而使另外某些特定的物理量（如液面高度h）維持在某種特定的標(biāo)準(zhǔn)上。人工控制的例子。這種人為地強(qiáng)制性地改變進(jìn)水量，而使液面高度維持恒定的過程，即是人工控制過程。1.2.2自動控制的定義及基本職能元件1.自動控制的定義自動控制就是在沒有人直接參與的情況下，利用控制器使被控對象(或過程)的某些物理量(或狀態(tài))自動地按預(yù)先給定的規(guī)律去運(yùn)行。當(dāng)出水與進(jìn)水的平衡被破壞時，水箱水位下降(或上升)，出現(xiàn)偏差。這偏差由浮子檢測出來，自動控制器在偏差的作用下，控制閥門開大(或關(guān)小)，對偏差進(jìn)行修正，從而保持液面高度不變。2.自動控制的基本職能元件自動控制的實(shí)現(xiàn),實(shí)際上是由自動控制裝置來代替人的基本功能，從而實(shí)現(xiàn)自動控制的。畫出以上人工控制與動控制的功能方框圖進(jìn)行對照。比較兩圖可以看出，自動控制實(shí)現(xiàn)人工控制的功能，存在必不可少的三種代替人的職能的基本元件：測量元件與變送器（代替眼睛）自動控制器（代替大腦）執(zhí)行元件（代替肌肉、手）這些基本元件與被控對象相連接，一起構(gòu)成一個自動控制系統(tǒng)。下圖是典型控制系統(tǒng)方框圖。1.2.3自動控制中的一些術(shù)語及方框圖1.常用術(shù)語控制對象控制器系統(tǒng)系統(tǒng)輸出操作量參考輸入擾動特性2.系統(tǒng)方框圖將系統(tǒng)中各個部分都用一個方框來表示，并注上文字或代號，根據(jù)各方框之間的信息傳遞關(guān)系，用有向線段把它們依次連接起來，并標(biāo)明相應(yīng)的信息?！?.3自動控制系統(tǒng)的基本控制方式控制方式：開環(huán)控制和閉環(huán)控制1.3.1開環(huán)控制定義:控制量與被控量之間只有順向作用而沒有反向聯(lián)系。開環(huán)控制系統(tǒng)的典型方框圖如圖所示。例如：交通指揮紅綠燈，自動洗衣機(jī)，自動售貨機(jī)1.按給定控制下圖是一個直流電動機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)。工作原理：以上的控制過程，用方框圖簡單直觀地表示出來。2.按擾動控制圖示是一個按擾動控制的直流電動機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)?？刂七^程可用方框圖表示成如圖示的形式。把負(fù)載變化視為外部擾動輸入，對輸出轉(zhuǎn)速產(chǎn)生的影響及控制補(bǔ)償作用，分別沿箭頭的方向從輸入端傳送到輸出端，作用的路徑也是單向的，不閉合的。有時我們稱按擾動控制為順饋控制。開環(huán)控制的特點(diǎn)：結(jié)構(gòu)簡單、調(diào)整方便、成本低。給定一個輸入，有相應(yīng)的一個輸出。作用信號是單方向傳遞的，形成開環(huán)。輸出不影響輸入。若系統(tǒng)有外界擾動時，系統(tǒng)輸出量不可能有準(zhǔn)確的數(shù)值，即開環(huán)控制精度不高，或抗干擾能力差1.3.2閉環(huán)控制定義：凡是系統(tǒng)輸出信號對控制作用有直接影響的系統(tǒng)，都叫做閉環(huán)控制系統(tǒng)。常用術(shù)語：反饋控制系統(tǒng)閉合閉環(huán)控制系統(tǒng)反饋控制原理：被控變量作為反饋信號，與希望值比較得到偏差輸入；根據(jù)輸入偏差大小，調(diào)整控制信號；控制信號通過執(zhí)行器的操作消除偏差，實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)。反饋：輸出量經(jīng)測量后的信號回送到輸入端。反饋連接方式有負(fù)反饋和正反饋。負(fù)反饋：反饋信號的極性與輸入信號相反，使被控對象的輸出趨向希望值。直流電動機(jī)轉(zhuǎn)速閉環(huán)控制的例子。閉環(huán)控制的特點(diǎn)：由負(fù)反饋構(gòu)成閉環(huán)，利用偏差信號進(jìn)行控制；抗干擾能力強(qiáng)，精度高；存在穩(wěn)定性問題。系統(tǒng)元件參數(shù)配合不當(dāng)，容易產(chǎn)生振蕩，使系統(tǒng)不能正常工作；自動控制理論主要研究閉環(huán)系統(tǒng)。閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型方框圖如圖所示。一、開環(huán)與閉環(huán)控制系統(tǒng)的比較二、復(fù)合控制方法常見的方式有以下兩種：1.附加給定輸入補(bǔ)償2.附加擾動輸入補(bǔ)償§1-4自動控制系統(tǒng)的分類基本組成1.4.1按給定信號的特征劃分1.恒值控制系統(tǒng)：系統(tǒng)任務(wù)：c(t)=r(t)r(t)常數(shù)分析設(shè)計重點(diǎn):研究干擾對被控對象的影響,克服擾動液位控制系統(tǒng)，直流電動機(jī)調(diào)速系統(tǒng)等等。2.隨動控制系統(tǒng)：系統(tǒng)任務(wù)：c(t)=r(t)r(t)隨機(jī)變化分析設(shè)計重點(diǎn):系統(tǒng)跟蹤的快速性，準(zhǔn)確性跟蹤衛(wèi)星的雷達(dá)天線系統(tǒng)3.程序控制系統(tǒng)：系統(tǒng)任務(wù)：c(t)=r(t)r(t)按預(yù)先規(guī)定時間函數(shù)變化分析設(shè)計重點(diǎn):輸出按一定的規(guī)律變化機(jī)械加工中的程序控制機(jī)床等等。1.4.2按系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述劃分1.線性系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng)各元件輸入輸出特性是線性特性，系統(tǒng)的狀態(tài)和性能可以用線性微分（或差分）方程來描述時，則稱這種系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。2.非線性系統(tǒng)系統(tǒng)中只要存在一個非線性特性的元件，系統(tǒng)就由非線性方程來描述，這種系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。1.4.3按信號傳遞的連續(xù)性劃分1.連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)的特點(diǎn)是系統(tǒng)中各元件的輸入信號和輸出信號都是時間的連續(xù)函數(shù)。這類系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)是用微分方程來描述的。連續(xù)系統(tǒng)中各元件傳輸?shù)男畔⒃诠こ躺戏Q為模擬量，其輸入輸出一般用r(t)和c(t)表示。2.離散系統(tǒng)控制系統(tǒng)中只要有一處的信號是脈沖序列或數(shù)碼時，該系統(tǒng)即為離散系統(tǒng)。這種系統(tǒng)的狀態(tài)和性能一般用差分方程來描述。1.4.4按系統(tǒng)的輸入與輸出信號的數(shù)量劃分1.單變量系統(tǒng)（SISO）2.多變量系統(tǒng)（MIMO）1.4.5自動控制系統(tǒng)的基本組成在形形色色的自動控制系統(tǒng)中，反饋控制是最基本的控制方式之一。一個典型的反饋控制系統(tǒng)總是由控制對象和各種結(jié)構(gòu)不同的職能元件組成的。除控制對象外，其他各部分可統(tǒng)稱為控制裝置。每一部分各司其職，共同完成控制任務(wù)。下面給出這些職能元件的種類和各自的職能。給定元件：其職能是給出與期望的輸出相對應(yīng)的系統(tǒng)輸入量，是一類產(chǎn)生系統(tǒng)控制指令的裝置。測量元件：其職能是檢測被控量，如果測出的物理量屬于非電量，大多情況下要把它轉(zhuǎn)換成電量，以便利用電的手段加以處理。比較元件：其職能是把測量元件檢測到的實(shí)際輸出值與給定元件給出的輸入值進(jìn)行比較，求出它們之間的偏差。放大元件：其職能是將過于微弱的偏差信號加以放大，以足夠的功率來推動執(zhí)行機(jī)構(gòu)或被控對象。執(zhí)行元件：其職能是直接推動被控對象，使其被控量發(fā)生變化。校正元件：為改善或提高系統(tǒng)的性能，在系統(tǒng)基本結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上附加參數(shù)可靈活調(diào)整的元件。工程上稱為調(diào)節(jié)器。常用串聯(lián)或反饋的方式連接在系統(tǒng)中?！?.5對控制系統(tǒng)的要求和分析設(shè)計1.5.1對系統(tǒng)的要求各類控制系統(tǒng)為達(dá)到理想的控制目的，必須具備以下兩個方面的性能(基本要求)：1.使系統(tǒng)的輸出快速準(zhǔn)確地按輸入信號要求的期望輸出值變化。2.使系統(tǒng)的輸出盡量不受任何擾動的影響。對自控系統(tǒng)性能的要求一般可歸納為三大性能指標(biāo)：(1)穩(wěn)定性：要求系統(tǒng)絕對穩(wěn)定且有一定的穩(wěn)定裕量。(2)瞬態(tài)質(zhì)量：要求系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)過程具有一定的快速性和變化的平穩(wěn)性。(3)穩(wěn)態(tài)誤差：要求系統(tǒng)最終的響應(yīng)準(zhǔn)確度，限制在工程允許的范圍之內(nèi)，是系統(tǒng)控制精度的恒量。1.5.2控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計1.系統(tǒng)分析系統(tǒng)給定，在規(guī)定的工作條件下，對它進(jìn)行分析研究，其中包括穩(wěn)態(tài)性能和動態(tài)性能分析，看是否滿足要求，以及分析某個參數(shù)變化時對上述性能指標(biāo)的影響，決定如何合理地選取等。2.系統(tǒng)的設(shè)計系統(tǒng)設(shè)計的目的，是要尋找一個能夠?qū)崿F(xiàn)所要求性能的自動控制系統(tǒng)。因此，在系統(tǒng)應(yīng)完成的任務(wù)和應(yīng)具備的性能已知的條件下，根據(jù)被控對象的特點(diǎn)，構(gòu)造出適合的控制器是設(shè)計的主要任務(wù)。應(yīng)進(jìn)行的步驟如下：（1）熟悉對系統(tǒng)性能的要求。（2）根據(jù)要求的性能指標(biāo)綜合確定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。（3）若控制對象是已知的，根據(jù)確定的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型和已知部分的數(shù)學(xué)模型，求得控制器的數(shù)模和控制規(guī)律。（4）按綜合確定的數(shù)模進(jìn)行系統(tǒng)分析，驗(yàn)證它在各種信號作用下是否滿足要求。若不滿足,及時修正。（5）樣機(jī)設(shè)計制造和試驗(yàn)，驗(yàn)證設(shè)計結(jié)果?！?-6自動控制理論的發(fā)展概況三個時期：早期的自動控制工作經(jīng)典控制理論現(xiàn)代控制理論作業(yè)：1.21.3學(xué)習(xí)指導(dǎo)與小結(jié)通過示例介紹了控制系統(tǒng)的基本概念1.反饋控制原理2.控制系統(tǒng)的基本組成3.控制系統(tǒng)的基本類型給出控制系統(tǒng)的基本要求1.穩(wěn)2.準(zhǔn)3.快第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型主要內(nèi)容：數(shù)學(xué)模型的概念、建模原則線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖信號流圖及梅遜公式§2-1引言什么是數(shù)學(xué)模型？所謂的數(shù)學(xué)模型，是描述系統(tǒng)內(nèi)部各物理量(或變量)之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。2.1.1數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)1.相似性2.簡化性和準(zhǔn)確性3.動態(tài)模型4.靜態(tài)模型靜態(tài)模型和動態(tài)模型一、靜態(tài)模型1.不含時間變量t的代數(shù)方程2.平衡狀態(tài)下各變量間對應(yīng)關(guān)系3.變化量不隨時間而變化二、動態(tài)模型1.表達(dá)式是含時間變量t的微分方程2.描述了系統(tǒng)的非平衡過程3.變量隨時間而變化4.靜態(tài)模型包含在靜態(tài)模型中2.1.2數(shù)學(xué)模型的類型1.微分方程2.傳遞函數(shù)3.狀態(tài)空間表達(dá)式2.1.3數(shù)學(xué)模型的建模原則數(shù)學(xué)模型的建立方法：1.分析法(微分方程和代數(shù)方程)2.實(shí)驗(yàn)法數(shù)學(xué)模型的建模原則：1.建模之前,要全面了解系統(tǒng)的自然特征和運(yùn)動機(jī)理,明確研究目的和準(zhǔn)確性要求,選擇合適的分析方法。2.按照所選分析法，確定相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型的形式。3.根據(jù)允許的誤差范圍，進(jìn)行準(zhǔn)確性考慮然后建立盡量簡化的、合理的數(shù)學(xué)模型?！?.2系統(tǒng)微分方程的建立2.2.1列寫微分方程式的一般步驟1.分析系統(tǒng)運(yùn)動的因果關(guān)系，確定系統(tǒng)的輸入量、輸出量及內(nèi)部中間變量，搞清各變量之間的關(guān)系。2.做出合乎實(shí)際的假設(shè)，以便忽略一些次要因素，使問題簡化。3.根據(jù)支配系統(tǒng)動態(tài)特性的基本定律，列出各部分的原始方程式。4.列寫各中間變量與其他變量的因果式。5.聯(lián)立上述方程，消去中間變量。6.將方程式化成標(biāo)準(zhǔn)形。2.2.2機(jī)械系統(tǒng)舉例例2-1彈簧-質(zhì)量-阻尼器串聯(lián)系統(tǒng)。試列出以外力F(t)為輸入量，以質(zhì)量的位移y(t)為輸出量的運(yùn)動方程式。解：遵照列寫微分方程的一般步驟有：1.確定輸入量為F(t),輸出量為y(t)，作用于質(zhì)量m的力還有彈性阻力Fk(t)和粘滯阻力Ff(t)，均作為中間變量。2.設(shè)系統(tǒng)按線性集中參數(shù)考慮，且無外力作用時，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。3.按牛頓第二定律列寫原始方程，即4.寫中間變量與輸出量的關(guān)系式5.將以上輔助方程式代入原始方程,消去中間變量,得6.整理方程得標(biāo)準(zhǔn)形令Tm2=m/k，Tf=f/k，則方程化為2.2.3電路系統(tǒng)舉例例2-2電阻－電感－電容串聯(lián)系統(tǒng)。R-L-C串聯(lián)電路，試列出以ur(t)為輸入量，uc(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程式。L-R-C網(wǎng)絡(luò)──2階線性定常微分方程2.2.4實(shí)際物理系統(tǒng)線性微分方程的一般特征觀察實(shí)際物理系統(tǒng)的運(yùn)動方程，若用線性定常特性來描述，則方程一般具有以下形式：式中，c(t)是系統(tǒng)的輸出變量，r(t)是系統(tǒng)的輸入變量。列寫微分方程式時，一般按以下幾點(diǎn)來寫：1.輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)寫在方程左端，輸入量寫在右端；2.左端的階次比右端的高。這是因?yàn)閷?shí)際物理系統(tǒng)均有慣性或儲能元件；3.方程式兩端的各項(xiàng)的量綱應(yīng)一致。利用這點(diǎn)，可以檢查微分方程式的正確與否。4.方程的系數(shù)均為實(shí)常數(shù)，是由物理系統(tǒng)自身參數(shù)決定的?！?.3非線性數(shù)學(xué)模型線性化3.2.1線性化意義和常用方法為什么要線性化？1.實(shí)際對象總存在一定的非線性2.線性系統(tǒng)具有較完整的理論線性化條件1.實(shí)際工作情況在某平衡點(diǎn)附近(靜態(tài)工作點(diǎn))2.變量變化是小范圍的3.函數(shù)值與各階導(dǎo)數(shù)連續(xù),至少在運(yùn)行范圍內(nèi)如此。滿足上述條件，則工作點(diǎn)附近小范圍內(nèi)各變量關(guān)系近似線性線性化方法1.泰勒級數(shù)展開2.取線性部分線性化定義：是指將非線性函數(shù)在工作點(diǎn)附近展開成泰勒級數(shù)，忽略掉高階無窮小量及余項(xiàng)，得到近似的線性化方程，來替代原來的非線性函數(shù)。假如元件的輸出與輸入之間關(guān)系x2=f(x1)的曲線如圖，元件的工作點(diǎn)為(x10，x20)。將非線性函數(shù)x2=f(x1)在工作點(diǎn)(x10，x20)附近展開成泰勒級數(shù)：當(dāng)(x1－x10)為微小增量時，可略去二階以上各項(xiàng)，寫成：其中為工作點(diǎn)(x10，x20)處的斜率，即此時以工作點(diǎn)處的切線代替曲線，得到變量在工作點(diǎn)的增量方程，經(jīng)上述處理后，輸出與輸入之間就成為線性關(guān)系。例已知某裝置的輸入輸出特性如下，求小擾動線性化方程。解：在工作點(diǎn)(x0,y0)處展開泰勒級數(shù)取一次近似，且令既有§2-4線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一.復(fù)習(xí)拉氏變換及其性質(zhì)1.定義記X(s)=L[x(t)]2.進(jìn)行拉氏變換的條件(1)t<0，x(t)=0；當(dāng)t30，x(t)是分段連續(xù)；(2)當(dāng)t充分大后滿足不等式|x(t)|￡Mect,M,c是常數(shù)。3.性質(zhì)和定理(1)線性性質(zhì)L[ax1(t)+bx2(t)]=aX1(s)+bX2(s)(2)微分定理若，則：…(3)積分定律若x-1(0)=x-2(0)=…=0，x(t)各重積分在t=0的值為0時，…(4)終值定理若x(t)及其一階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，limx(t)存在，并且sX(s)除原點(diǎn)為單極點(diǎn)外，在jω軸上及其右半平面內(nèi)應(yīng)沒有其它極點(diǎn)，則函數(shù)x(t)的終值為：(5)初值定理如果x(t)及其一階導(dǎo)數(shù)是可拉氏變換的，并且存在，則(6)延遲定理L[x(t-t)×1(t-t)]=et-sX(s)L[e-atx(t)]=X(s+a)(7)尺度變換(8)卷積定理4.舉例例2-3求單位階躍函數(shù)x(t)=1(t)的拉氏變換。解：例2-4求單位斜坡函數(shù)x(t)=t的拉氏變換。解：例2-5求正弦函數(shù)x(t)=sinωt的拉氏變換。解：例2-6求函數(shù)x(t)的拉氏變換。解：x(t)=x1(t)+x2(t)=A×1(t)-A×1(t-t0)例2-7求eat的拉氏變換。解:例2-8求e-0.2t的拉氏變換。解：例2-9求x(0)，x(￥)。解：二.復(fù)習(xí)拉氏反變換1.定義由象函數(shù)X(s)求原函數(shù)x(t)2.求拉氏反變換的方法①根據(jù)定義，用留數(shù)定理計算上式的積分值②查表法③部分分式法一般，象函數(shù)X(s)是復(fù)變量s的有理代數(shù)公式，即通常m<n，a1,…,an；b0,…,bm均為實(shí)數(shù)。首先將X(s)的分母因式分解，則有式中s1,…,sn是A(s)=0的根，稱為X(s)的極點(diǎn)。分兩種情況討論：(1)A(s)=0無重根。式中ci是待定常數(shù)，稱為X(s)在極點(diǎn)si處的留數(shù)。(2)A(s)=0有重根。設(shè)有r個重根s1，則j=0,1,…,r-1i=r+1,…,n3.舉例例2-10，求原函數(shù)x(t)。解：s2+4s+3=(s+3)(s+1)例2-11求的原函數(shù)x(t)。解：s2+2s+2=(s+1)2+1=(s+1+j)(s+1-j)例2-12求的原函數(shù)x(t)。2.4.1.線性常系數(shù)微分方程的求解用拉氏變換求解微分方程的一般步驟：1.對微分方程兩邊進(jìn)行拉氏變換。2.求解代數(shù)方程，得到微分方程在s域的解。3.求s域解的拉氏反變換，即得微分方程的解。例2-13求解方程：初始條件：y(0)=-1,y￠(0)=2解：兩邊取拉氏變換s2Y(s)-sy(0)-y￠(0)+3sY(s)-3y(0)+2Y(s)=5/sy(t)=5/2-5e-t+3/2e-2t例2-14圖2-5所示的RC電路，當(dāng)開關(guān)K突然接通后，試求出電容電壓uc(t)的變化規(guī)律。解：設(shè)輸入量為ur(t)，輸出量為uc(t)。寫出電路運(yùn)動方程電容初始電壓為uc(0)，對方程兩端取拉氏變換當(dāng)輸入為階躍電壓ur(t)=u01(t)時，得式中右端第一項(xiàng)是由輸入電壓ur(t)決定的分量，是當(dāng)電容初始狀態(tài)uc(0)=0時的響應(yīng)，故稱零狀態(tài)響應(yīng)；第二項(xiàng)是由電容初始電壓uc(0)決定的分量，是當(dāng)輸入電壓ur(t)=0時的響應(yīng)，故稱零輸入響應(yīng)。根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，將初始電壓uc(0)視為一個輸入作用，則可在復(fù)數(shù)域內(nèi)分別研究RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)及零輸入響應(yīng)。若令uc(0)=0，則有當(dāng)輸入電壓ur(t)給定時，其拉氏變換Ur(s)亦是確定的。于是，輸出電壓便完全由1/(RCs+1)所確定。這時，上式也可寫成上式表明，輸出電壓Uc(s)與輸入電壓Ur(s)之比，是s的一個有理分式函數(shù)，它只與電路的結(jié)構(gòu)形式及其參數(shù)有關(guān)，故可以作為在復(fù)數(shù)域內(nèi)描述RC電路輸入----輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，稱為傳遞函數(shù)，記作G(s)。Uc(s)=G(s)Ur(s)2.4.2傳遞函數(shù)的定義定義：在線性（或線性化）定常系統(tǒng)中，初始條件為零時，系統(tǒng)輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比，稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程式為式中，r(t)是輸入量，c(t)是輸出量。在零初始條件下，對上式兩端進(jìn)行拉氏變換得(a0sn+a1sn-1+?+an-1s+an)C(s)=(b0sm+b1sm-1+?+bm-1s+bm)R(s)求出傳遞函數(shù)為傳遞函數(shù)的實(shí)際意義零初始條件有兩方面的含義：一是輸入在t=0以后才作用于系統(tǒng)，即輸入及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0的值為零；二是系統(tǒng)在輸入作用前是相對靜止的，即輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0的值為零。傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，因而它不能反映在非零初始條件下系統(tǒng)的運(yùn)動情況。（零狀態(tài)解）對于非零初始條件的響應(yīng)，可用疊加原理進(jìn)行處理?！?-5典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)有6種，分述如下：1.比例環(huán)節(jié)運(yùn)動方程式c(t)=K×r(t)傳遞函數(shù)G(s)=K單位階躍響應(yīng)C(s)=G(s)R(s)=K/sc(t)=K×1(t)可見，當(dāng)輸入量r(t)=1(t)時，輸出量c(t)成比例變化。2.慣性環(huán)節(jié)微分方程式：傳遞函數(shù)：式中，T是慣性環(huán)節(jié)時間常數(shù)。慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)有一個負(fù)實(shí)極點(diǎn)p=-1/T，無零點(diǎn)。單位階躍響應(yīng):階躍響應(yīng)曲線是按指數(shù)上升的曲線。3.積分環(huán)節(jié)微分方程式：傳遞函數(shù)：單位階躍響應(yīng)：當(dāng)輸入階躍函數(shù)時，該環(huán)節(jié)的輸出隨時間直線增長，增長速度由1/T決定。當(dāng)輸入突然除去，積分停止，輸出維持不變，故有記憶功能。4.微分環(huán)節(jié)微分方程式為：傳遞函數(shù)為：G(s)=Ts單位階躍響應(yīng)：c(t)=Td(t)由于階躍信號在時刻t=0有一躍變，其他時刻均不變化，所以微分環(huán)節(jié)對階躍輸入的響應(yīng)只在t=0時刻產(chǎn)生一個響應(yīng)脈沖。5.振蕩環(huán)節(jié)微分方程式為：傳遞函數(shù)為：或式中，T>0，0<z<1，wn=1/T，T稱為振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，z為阻尼比，wn為無阻尼振蕩頻率。振蕩環(huán)節(jié)有一對位于s左半平面的共軛極點(diǎn)：單位階躍響應(yīng)：式中，β=cos－1z。響應(yīng)曲線是按指數(shù)衰減振蕩的，故稱振蕩環(huán)節(jié)。6.延遲環(huán)節(jié)微分方程式為：c(t)=r(t-t)傳遞函數(shù)為：G(s)=et-s單位階躍響應(yīng)：c(t)=1(tt-)§2-6系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2.6.1結(jié)構(gòu)圖的定義及基本組成1.結(jié)構(gòu)圖的定義定義:由具有一定函數(shù)關(guān)系的環(huán)節(jié)組成的，并標(biāo)明信號流向的系統(tǒng)的方框圖，稱為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。例如討論過的直流電動機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)，用方框圖來描述其結(jié)構(gòu)和作用原理，見圖。把各元件的傳遞函數(shù)代入方框中去，并標(biāo)明兩端對應(yīng)的變量，就得到了系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。2.結(jié)構(gòu)圖的基本組成畫圖的4種基本元素如下：信號傳遞線是帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，傳遞線上標(biāo)明被傳遞的信號。分支點(diǎn)表示信號引出或測量的位置，從同一位置引出的信號在數(shù)值和性質(zhì)方面完全相同。相加點(diǎn)對兩個以上的信號進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，“+”號表示相加，可省略不寫，“-”號表示相減。方框表示對信號進(jìn)行的數(shù)學(xué)運(yùn)算。方框中寫入元部件的傳遞函數(shù)。2.6.2結(jié)構(gòu)圖的繪制步驟(1)列寫每個元件的原始方程，要考慮相互間負(fù)載效應(yīng)。(2)設(shè)初始條件為零,對這些方程進(jìn)行拉氏變換，并將每個變換后的方程,分別以一個方框的形式將因果關(guān)系表示出來，而且這些方框中的傳遞函數(shù)都應(yīng)具有典型環(huán)節(jié)的形式。(3)將這些方框單元按信號流向連接起來，就組成完整的結(jié)構(gòu)圖。例2-15畫出下圖所示RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。解：(1)列寫各元件的原始方程式(2)取拉氏變換，在零初始條件下，表示成方框形式(3)將這些方框依次連接起來得圖。2.6.3結(jié)構(gòu)圖的基本連接形式1.三種基本連接形式(1)串聯(lián)。相互間無負(fù)載效應(yīng)的環(huán)節(jié)相串聯(lián)，即前一個環(huán)節(jié)的輸出是后一個環(huán)節(jié)的輸入，依次按順序連接。由圖可知：U(s)=G1(s)R(s)C(s)=G2(s)U(s)消去變量U(s)得C(s)=G1(s)G2(s)R(s)=G(s)R(s)故環(huán)節(jié)串聯(lián)后等效的傳遞函數(shù)等于各串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。(2)并聯(lián)。并聯(lián)各環(huán)節(jié)有相同的輸入量，而輸出量等于各環(huán)節(jié)輸出量之代數(shù)和。由圖有C1(s)=G1(s)R(s)C2(s)=G2(s)R(s)C(s)=C1(s)±C2(s)消去G1(s)和G2(s)，得C(s)=[G1(s)±G2(s)]R(s)故環(huán)節(jié)并聯(lián)后等效的傳遞函數(shù)等于各并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。(3)反饋連接。連接形式是兩個方框反向并接，如圖所示。相加點(diǎn)處做加法時為正反饋，做減法時為負(fù)反饋。由圖有C(s)=G(s)E(s)B(s)=H(s)C(s)E(s)=R(s)±B(s)消去B(s)和E(s)，得C(s)=G(s)[R(s)±H(s)C(s)]上式稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)，是反饋連接的等效傳遞函數(shù)。G(s):前向通道傳遞函數(shù)H(s):反饋通道傳遞函數(shù)H(s)=1單位反饋系統(tǒng)G(s)H(s):開環(huán)傳遞函數(shù)2.閉環(huán)系統(tǒng)的常用傳遞函數(shù)考察帶有擾動作用下的閉環(huán)系統(tǒng)如圖所示。它代表了常見的閉環(huán)控制系統(tǒng)的一般形式。(1)控制輸入下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令N(s)=0有(2)擾動輸入下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令R(s)=0有至此，可以給出求單回路閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般公式為式中負(fù)反饋時取“+”號，正反饋時取“－”號。(3)兩個輸入量同時作用于系統(tǒng)的響應(yīng)(4)控制輸入下的誤差傳遞函數(shù)(D(s)=0)(5)擾動輸入下的誤差傳遞函數(shù)(R(s)=0)(6)兩個輸入量同時作用于系統(tǒng)時的誤差2.6.4結(jié)構(gòu)圖的等效變換變換的原則：變換前后應(yīng)保持信號等效。1.分支點(diǎn)后移2.分支點(diǎn)前移3.比較點(diǎn)后移4.比較點(diǎn)前移5.比較點(diǎn)互換或合并2.6.5結(jié)構(gòu)圖的簡化對于復(fù)雜系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖一般都有相互交叉的回環(huán)，當(dāng)需要確定系統(tǒng)的傳函時，就要根據(jù)結(jié)構(gòu)圖的等效變換先解除回環(huán)的交叉，然后按方框的連接形式等效，依次化簡。例2-16用結(jié)構(gòu)圖化簡的方法求下圖所示系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解：方法1方法2例2-17用結(jié)構(gòu)圖化簡的方法求下圖所示系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解：§2-7信號流圖及梅遜公式2.7.1信號流圖的基本概念1.定義：信號流圖是表示一組聯(lián)立線性代數(shù)方程的圖。先看最簡單的例子。有一線性系統(tǒng)，它由下述方程式描述：x2=a12x1式中，為輸入信號(變量)；x2為輸出信號(變量)；a12為兩信號之間的傳輸(增益)。即輸出變量等于輸入變量乘上傳輸值。若從因果關(guān)系上來看，x1為“因”，x2為“果”。這種因果關(guān)系，可用下圖表示。下面通過一個例子，說明信號流圖是如何構(gòu)成的。設(shè)有一系統(tǒng)，它由下列方程組描述：x2=a12x1+a32x3x3=a23x2+a43x4x4=a24x2+a34x3+a44x4x5=a25x2+a45x42.信號流圖的基本元素(1)節(jié)點(diǎn)：用來表示變量，用符號“O”表示，并在近旁標(biāo)出所代表的變量。(2)支路：連接兩節(jié)點(diǎn)的定向線段，用符號“??”表示。支路具有兩個特征：有向性限定了信號傳遞方向。支路方向就是信號傳遞的方向，用箭頭表示。有權(quán)性限定了輸入與輸出兩個變量之間的關(guān)系。支路的權(quán)用它近旁標(biāo)出的傳輸值表示。3.信號流圖的幾個術(shù)語輸入節(jié)點(diǎn)(源節(jié)點(diǎn))只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，它代表系統(tǒng)的輸入變量。如圖中x1。輸出節(jié)點(diǎn)(匯節(jié)點(diǎn)、阱節(jié)點(diǎn))只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)，它代表系統(tǒng)的輸出變量。如圖中x4?；旌瞎?jié)點(diǎn)既有輸入支路，又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，如圖中x2、x3。通道從某一節(jié)點(diǎn)開始，沿著支路的箭頭方向連續(xù)經(jīng)過一些支路而終止在另一節(jié)點(diǎn)的路徑。用經(jīng)過的支路傳輸?shù)某朔e來表示。開通道如果通道從某一節(jié)點(diǎn)開始，終止在另一節(jié)點(diǎn)上，而且通道中的每個節(jié)點(diǎn)只經(jīng)過一次。如a12a23閉通道(回環(huán))如果通道的終點(diǎn)就是起點(diǎn)的開通道。如a23a32，a33(自回環(huán))前向通道從源節(jié)點(diǎn)到匯節(jié)點(diǎn)的開通道。不接觸回路回路之間沒有公共的節(jié)點(diǎn)和支路。4.信號流圖的基本性質(zhì)(1)信號流圖只能代表線性代數(shù)方程組。(2)節(jié)點(diǎn)標(biāo)志系統(tǒng)的變量，表示所有流向該節(jié)點(diǎn)的信號之和；而從該節(jié)點(diǎn)流向各支路的信號，均用該節(jié)點(diǎn)變量表示。(3)信號在支路上沿箭頭單向傳遞，后一節(jié)點(diǎn)變量依賴于前一節(jié)點(diǎn)變量，即只有“前因后果”的因果關(guān)系。(4)支路相當(dāng)于乘法器，信號流經(jīng)支路時，被乘以支路增益而變換為另一信號。(5)對于給定的系統(tǒng)，信號流圖不唯一。2.7.2信號流圖的繪制方法1.直接法例2-18RLC電路如圖2-28所示，試畫出信號流圖解：(1)列寫原始方程(2)取拉氏變換，考慮初始條件：i(0+)，uc(0+)(3)整理成因果關(guān)系(4)畫出信號流圖如圖所示。2.翻譯法例2-19畫出下圖所示系統(tǒng)的信號流圖。解：按照翻譯法可直接作出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖所對應(yīng)的信號流圖。2.7.3梅遜增益公式1.梅遜增益公式輸入輸出節(jié)點(diǎn)間總傳輸?shù)囊话闶綖槭街蠵—總傳輸(增益)；n—從源節(jié)點(diǎn)至匯節(jié)點(diǎn)前向通道總數(shù)；Pk—第K條前向通路的傳輸；D—信號流圖的特征式；Dk—余因子式(把第K條前向通道除去后的特征式。)例2-20求圖所示系統(tǒng)的信號流圖輸入x0至輸出x8的總傳輸G。解：信號流圖的組成：4個單回環(huán)，一條前向通道D=1-(bi+dj+fk+bcdefgm)+(bidj+bifk+djfk)-bidjfkP1=abcdefghD1=1-0=1例2-21已知系統(tǒng)的信號流圖如下，求輸入x1至輸出x2和x3的傳輸。解：單回路：ac，abd，gi，ghj，aegh兩兩互不接觸回路：ac與gi，ghj;abd與gi，ghjx1到x2的傳輸：P1=2abD1=1-(gi+ghj)P2=3gfabD2=1x1到x3的傳輸：P1=3D1=1-(ac+abd)P2=2aeD2=1例2-22試求信號流圖中的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。解：單回路：-G1，-G2，-G3，-G1G兩兩互不接觸回路:-G1和-G2，-G1和-G3，-G2和-G3，-G1G2和-G3三個互不接觸回路:-G1，-G2和-G3前向通道：P1=G1G2G3KDP2=G2G3KD2=1+GP3=G3KD3=1+G2P4=G2(-1)G3KD4=1學(xué)習(xí)指導(dǎo)與小結(jié)1.基本要求通過本章學(xué)習(xí)，應(yīng)該達(dá)到(1)正確理解數(shù)學(xué)模型的概念。(2)了解動態(tài)微分方程建立的一般方法。(3)掌握運(yùn)用拉氏變換法解微分方程的方法，并理解解的結(jié)構(gòu)、零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)等概念。(4)正確理解傳遞函數(shù)的定義、性質(zhì)和意義。(5)正確理解系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)、前向通道傳遞函數(shù)，并對重要傳遞函數(shù)如：控制輸入下閉環(huán)傳遞函數(shù)、擾動輸入下閉環(huán)傳遞函數(shù)、誤差傳遞函數(shù)、典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)，能夠熟練掌握。(6)掌握系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的定義和組成方法，熟練掌握等效變換代數(shù)法則，簡化結(jié)構(gòu)圖，并能用梅遜公式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。2.內(nèi)容提要本章介紹了數(shù)學(xué)模型的建立方法。線性定常系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的形式，介紹了兩種解析式（微分方程和傳遞函數(shù)）和兩種圖解法（結(jié)構(gòu)圖和信號流圖），對于每一種形式的基本概念、基本建立方法及運(yùn)算，用以下提要方式表示出來。(1)微分方程式基本概念：物理、化學(xué)及專業(yè)上的基本定律中間變量的作用簡化性與準(zhǔn)確性要求基本方法1.直接列寫法：原始方程組線性化消中間變量化標(biāo)準(zhǔn)形2轉(zhuǎn)換法：由傳遞函數(shù)?微分方程式由結(jié)構(gòu)圖?傳遞函數(shù)?微分方程由信號流圖?傳遞函數(shù)?微分方程(2)傳遞函數(shù)基本概念1．定義：線性定常系統(tǒng)零初始條件一對確定的輸入輸出2典型環(huán)節(jié)：傳遞函數(shù)零極點(diǎn)分布圖單位階躍響應(yīng)特性基本方法1．定義法由微分方程?傳遞函數(shù)2．圖解法：由結(jié)構(gòu)圖?化簡?傳遞函數(shù)由信號流圖?梅遜公式?傳遞函數(shù)(3)結(jié)構(gòu)圖基本概念數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)的圖形表示可用代數(shù)法則進(jìn)行等效變換結(jié)構(gòu)圖基本元素（方框、相加點(diǎn)、分支點(diǎn)、支路）基本方法由原始方程組畫結(jié)構(gòu)圖用代數(shù)法則簡化結(jié)構(gòu)圖由梅遜公式直接求傳遞函數(shù)第三章線性系統(tǒng)的時域分析法主要內(nèi)容：典型信號及其性能指標(biāo)一節(jié)系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性誤差分析§3.1典型輸入信號和時域指標(biāo)分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的首要工作是確定系統(tǒng)的數(shù)模，一旦獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，就可以采用幾種不同的方法去分析系統(tǒng)的性能。線性系統(tǒng)：時序分析法，根軌跡法，頻域法非線性系統(tǒng)：描述函數(shù)法，相平面法采樣系統(tǒng)：z變換法多輸入多輸出系統(tǒng)：狀態(tài)空間法對線性系統(tǒng)，時域分析法的要點(diǎn)是：(1)建立數(shù)模（微分方程式，傳遞函數(shù)）(2)選擇合適的輸入函數(shù)（典型信號）。取決于系統(tǒng)常見工作狀態(tài)，同時，在所有的可能的輸入信號中，選取最不利的信號作為系統(tǒng)的典型輸入信號。(3)求出系統(tǒng)輸出隨時間變化的關(guān)系C(s)=G(s)R(s)c(t)=L?1[C(s)](4)根據(jù)時間響應(yīng)確定系統(tǒng)的性能，包括穩(wěn)定性快速性和準(zhǔn)確性等方面指標(biāo)，看這些指標(biāo)是否符合生產(chǎn)工藝的要求。目前，常用的典型外作用有以下幾種：(1)單位階躍函數(shù),其數(shù)學(xué)表達(dá)式為(2)單位斜坡函數(shù),其數(shù)學(xué)表達(dá)式為(3)單位脈沖函數(shù),其數(shù)學(xué)表達(dá)式為(4)單位勻加速函數(shù)其數(shù)學(xué)表達(dá)式為(5)正弦函數(shù)其數(shù)學(xué)表達(dá)式為f(t)=Asinωt任何一個實(shí)際控制系統(tǒng)的時間響應(yīng)，都由過渡過程和穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成:(1)過渡過程：系統(tǒng)從剛加入輸入信號后，到系統(tǒng)輸出量達(dá)到穩(wěn)態(tài)值前的響應(yīng)過程，稱為過渡過程或動態(tài)過程。(2)穩(wěn)態(tài)過程：時間t趨于無窮大時的響應(yīng)過程，穩(wěn)態(tài)過程表征輸出量最復(fù)現(xiàn)輸入量的程度，用穩(wěn)態(tài)性能描述。衰減發(fā)散等幅振蕩§3.2一階系統(tǒng)的時域分析凡是可用一階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。T＝RC，時間常數(shù)。其典型結(jié)構(gòu)圖及傳遞函數(shù)為：3.2.1單位階躍響應(yīng)當(dāng)輸入信號r(t)=1(t)時，系統(tǒng)的響應(yīng)c(t)稱作其單位階躍響應(yīng)。響應(yīng)曲線在[0,￥）的時間區(qū)間中始終不會超過其穩(wěn)態(tài)值，把這樣的響應(yīng)稱為非周期響應(yīng)。一階系統(tǒng)響應(yīng)具備兩個重要的特點(diǎn)：①可以用時間常數(shù)T去度量系統(tǒng)輸出量的數(shù)值。②響應(yīng)曲線的初始斜率等于1/T。一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)調(diào)整時間ts定義：︱c(ts)-1︱=D(D取5%或2%)3.2.2單位斜坡響應(yīng)[r(t)=t]穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是一個與輸入斜坡函數(shù)斜率相同但在時間上遲后了一個時間常數(shù)T的斜坡函數(shù)。表明過渡過程結(jié)束后，其穩(wěn)態(tài)輸出與單位斜坡輸入之間，在位置上仍有誤差，一般叫做跟蹤誤差。比較階躍響應(yīng)曲線和斜坡響應(yīng)曲線：在階躍響應(yīng)中，輸出量與輸入量之間的位置誤差隨時間而減小，最終趨于0，而在初始狀態(tài)下，位置誤差最大，響應(yīng)曲線的斜率也最大；在斜坡響應(yīng)中，輸出量與輸入量之間的位置誤差隨時間而增大，最終趨于常值T，在初始狀態(tài)下，位置誤差和響應(yīng)曲線的斜率均等于0。3.2.3單位脈沖響應(yīng)[R(s它恰是系統(tǒng)的閉環(huán)傳函，這時輸出稱為脈沖響應(yīng)函數(shù)，以h(t)標(biāo)志。求系統(tǒng)閉環(huán)傳函提供了實(shí)驗(yàn)方法，以單位脈沖輸入信號作用于系統(tǒng)，測定出系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，可以得到閉環(huán)傳函。對應(yīng)線性定常系統(tǒng)的重要性質(zhì)1.當(dāng)系統(tǒng)輸入信號為原來輸入信號的導(dǎo)數(shù)時，這時系統(tǒng)的輸出則為原來輸出的導(dǎo)數(shù)。2.在零初始條件下，當(dāng)系統(tǒng)輸入信號為原來輸入信號時間的積分時，系統(tǒng)的輸出則為原來輸出對時間的積分，積分常數(shù)由零初始條件決定?！?.3二階系統(tǒng)的時域分析3.3.11.二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型標(biāo)準(zhǔn)化二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為二階系統(tǒng)有兩個結(jié)構(gòu)參數(shù)z(阻尼比)和wn(無阻尼振蕩頻率)。二階系統(tǒng)的性能分析和描述，都是用這兩個參數(shù)表示的。例如RLC電路對于不同的二階系統(tǒng)，阻尼比和無阻尼振蕩頻率的含義是不同的。2.二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程，即s2+2zwns+wn2=0其兩個特征根為：上述二階系統(tǒng)的特征根表達(dá)式中，隨著阻尼比z的不同取值，特征根有不同類型的值，或者說在s平面上有不同的分布規(guī)律。分述如下：(1)z>1時，特征根為一對不等值的負(fù)實(shí)根，位于s平面的負(fù)實(shí)軸上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為過阻尼的。(2)z=1時，特征根為一對等值的負(fù)實(shí)根，位于s平面的負(fù)實(shí)軸上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為臨界阻尼的。(3)0<z<1時，特征根為一對具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，位于s平面的左半平面上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為欠阻尼的。(4)z=0時，特征根為一對幅值相等的虛根，位于s平面的虛軸上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為無阻尼的等幅振蕩過程。(5)z<0時，特征根位于s平面的右半平面，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為幅值隨時間增加而發(fā)散。阻尼比取不同值時，二階系統(tǒng)根的分布3.單位階躍響應(yīng)由式，其輸出的拉氏變換為式中s1，s2是系統(tǒng)的兩個閉環(huán)特征根。對上式兩端取拉氏反變換，可以求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)表達(dá)式。阻尼比在不同的范圍內(nèi)取值時，二階系統(tǒng)的特征根在s平面上的位置不同，二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)對應(yīng)有不同的運(yùn)動規(guī)律。下面分別加以討論。(1)欠阻尼情況欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由兩部分組成：穩(wěn)態(tài)分量為1，表明系統(tǒng)在1(t)作用下不存在穩(wěn)態(tài)位置誤差；瞬態(tài)響應(yīng)是阻尼正弦項(xiàng)，其振蕩頻率為阻尼振蕩頻率，而其幅值則按指數(shù)曲線衰減，兩者均由參數(shù)z和wn決定。無阻尼情況c(t)=1-coswnt(t>0)(2)臨界阻尼情況s1,2=-wn此時響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)值為1的非周期上升過程，其變化率t=0，變化率為0；t>0變化率為正，c(t)單調(diào)上升；t→∞，變化率趨于0。整個過程不出現(xiàn)振蕩。(3)過阻尼情況響應(yīng)特性包含兩個單調(diào)衰減的指數(shù)項(xiàng)，且它們的代數(shù)和不會超過1，因而響應(yīng)是非振蕩的。（不同于一階系統(tǒng)）3.3.2欠阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)用tr,tp,sp,ts四個性能指標(biāo)來衡量瞬態(tài)響應(yīng)的好壞。(1)上升時間tr：從零上升至第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的時間，是系統(tǒng)響應(yīng)速度的一種度量。tr越小,響應(yīng)越快。(2)峰值時間tp：響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值，到達(dá)第一個峰值所需的時間。(3)超調(diào)量sp：響應(yīng)曲線偏離階躍曲線最大值，用百分比表示。sp只是z的函數(shù)，其大小與自然頻率wn無關(guān)。z=0.2sp=52.7%z=0.4sp=25.4%z=0.6sp=9.5%z=0.707sp=4.3%zˉ?sp-(4)調(diào)節(jié)時間ts：響應(yīng)曲線衰減到與穩(wěn)態(tài)值之差不超過5%所需要的時間。|c(t)-c(￥)|￡D′c(￥)(t3ts)工程上，當(dāng)0.1<z<0.9時，通常用下列二式近似計算調(diào)節(jié)時間?！?5%△=2%例3-1單位負(fù)反饋隨動系統(tǒng)如圖所示(1)確定系統(tǒng)特征參數(shù)與實(shí)際參數(shù)的關(guān)系。(2)若K=16(rad/s)、T=0.25(s)，試計算系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)。解:(1)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為與典型二階系統(tǒng)比較可得：K/T=wn21/T=2zwn(2)K=16，T=0.25時(D=0.05)例3-2已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，試求系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。解：由系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線，直接求出超調(diào)量和峰值時間。sp=30%tp=0.1求解上述二式，得到z=0.357，wn=33.6(rad/s)。于是二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為3.3.51.誤差的比例－微分控制具有誤差比例－微分控制的二階系統(tǒng)如圖所示系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為式中zd為系統(tǒng)的有效阻尼比。上式表明，比例－微分控制的二階系統(tǒng)不改變系統(tǒng)的自然頻率，但是可以增大系統(tǒng)的有效阻尼比以抑制振蕩。此時，相當(dāng)于為系統(tǒng)增加了一個閉環(huán)零點(diǎn)。若令Z=1/Td，上式可以表示為比例－微分控制的二階系統(tǒng)有時稱為有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)。與沒有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)相比，超調(diào)量會增大一些。c1(t)有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)。c(t)沒有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)。2.輸出量的速度反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：式中為系統(tǒng)的有效阻尼比。顯然，輸出量的速度反饋控制也可以在不改變系統(tǒng)的自然頻率基礎(chǔ)上，增大系統(tǒng)的有效阻尼比，減小超調(diào)量。與比例微分控制不同的是，輸出量的速度反饋控制沒有附加零點(diǎn)的影響，兩者對系統(tǒng)動態(tài)性能的改善程度是不同的。3.兩種控制方案的比較都為系統(tǒng)提供了一個參數(shù)選擇的自由度，兼顧了系統(tǒng)響應(yīng)的快速性和平穩(wěn)性。但是，二者改善系統(tǒng)性能的機(jī)理及其應(yīng)用場合是不同的。簡述如下：(1)微分控制的附加阻尼作用產(chǎn)生于系統(tǒng)輸入端誤差信號的變化率，而速度反饋控制的附加阻尼作用來源于系統(tǒng)輸出量的變化率。微分控制為系統(tǒng)提供了一個實(shí)零點(diǎn)，可以縮短系統(tǒng)的初始響應(yīng)時間，但在相同阻尼程度下，將比速度反饋控制產(chǎn)生更大的階躍響應(yīng)超調(diào)量。(2)比例控制位于系統(tǒng)的輸入端，微分作用對輸入噪聲有明顯的放大作用。當(dāng)輸入端噪聲嚴(yán)重時，不宜選用比例－微分控制。同時，由于微分器的輸入信號是低能量的誤差信號，要求比例－微分控制具有足夠的放大作用，為了不明顯惡化信噪比，需選用高質(zhì)量的前置放大器。輸出速度反饋控制，是從高能量的輸出端向低能量的輸入端傳遞信號，無需增設(shè)放大器，并對輸入端噪聲有濾波作用，適合于任何輸出可測的控制場合?！?.4高階系統(tǒng)的時域分析3.4.1控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)如圖所示。其閉環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)，H(s)一般是復(fù)變量s的多項(xiàng)式之比，故上式可記為根據(jù)能量的有限性，分子多項(xiàng)式的階次m不高于分母多項(xiàng)式的階次n。對上式進(jìn)行因式分解，可以表示為式中0<zk<1。即系統(tǒng)有q個實(shí)極點(diǎn)和r對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。取拉氏變換，并設(shè)全部初始條件為零，得到系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的時間表達(dá)式：式中；bk=arccoszk；Ak、Bk是與C(s)在對應(yīng)閉環(huán)極點(diǎn)上的留數(shù)有關(guān)的常數(shù)。上式表明，如果系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)時間響應(yīng)的各暫態(tài)分量都將隨時間的增長而趨近于零，這時稱高階系統(tǒng)是穩(wěn)定的。3.4.21)高階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)各分量的衰減快慢由-pi，-zkwn決定，也即閉環(huán)極點(diǎn)負(fù)實(shí)部的絕對值越大，相應(yīng)的分量衰減越快。2)各分量所對應(yīng)的系數(shù)由系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布決定。當(dāng)某一極點(diǎn)越靠近零點(diǎn)，而遠(yuǎn)離其他極點(diǎn)和原點(diǎn)，則相應(yīng)系數(shù)越小，該瞬態(tài)分量的影響就越?。划?dāng)某一極點(diǎn)遠(yuǎn)離零點(diǎn)，越靠近其他極點(diǎn)和原點(diǎn)，則相應(yīng)系數(shù)越大，該瞬態(tài)分量的影響就越大；一個零點(diǎn)和一個極點(diǎn)距離非常近，把這一對零極點(diǎn)稱為偶極子。3)系統(tǒng)的零極點(diǎn)共同決定了系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)曲線的形狀。根據(jù)上述，把系數(shù)很小的分量，遠(yuǎn)離虛軸衰減很快的分量常常忽略，高階系統(tǒng)就可用低階系統(tǒng)來近似估計。4)對系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)起主導(dǎo)作用的極點(diǎn)，稱為主導(dǎo)極點(diǎn)。應(yīng)用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念，可以把一些高階系統(tǒng)近似為一階或二階系統(tǒng)，以實(shí)現(xiàn)對高階系統(tǒng)動態(tài)性能的近似評估。一般情況，高階系統(tǒng)具有振蕩性，所以主導(dǎo)極點(diǎn)常常是一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。找到了一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，高階系統(tǒng)的動態(tài)性能就可以應(yīng)用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)來近似估計。例3-3已知閉環(huán)傳遞函數(shù)為，試求階躍響應(yīng)。解：c(t)=1-1.1e-t+0.11e-10t≈1-1.1e-t主導(dǎo)極點(diǎn)是s=-1，這時系統(tǒng)傳遞函數(shù)近似為例3-4已知閉環(huán)傳遞函數(shù)為，試求階躍響應(yīng)。解：c(t)=1-0.22e-t-0.78e-10t（1）零點(diǎn)不影響系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)分量的個數(shù)，也不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性；（2）零點(diǎn)改變了系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的形狀；（3）過渡過程要快。零點(diǎn)起微分加快作用。零極點(diǎn)分布對系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的影響:1）極點(diǎn)決定系統(tǒng)固有運(yùn)動屬性。2）零點(diǎn)決定運(yùn)動模態(tài)的比重。3）若閉環(huán)零、極點(diǎn)離虛軸較遠(yuǎn)，則對系統(tǒng)的動態(tài)性能影響不大。反之，則影響較大。4）增加閉環(huán)零點(diǎn)，將會提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度。閉環(huán)零點(diǎn)越靠近虛軸，這種作用將會越顯著。5）增加閉環(huán)極點(diǎn)，將會延緩系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)，也即響應(yīng)速度變慢。且離虛軸愈近，其作用愈顯著?！?.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.5.1如果系統(tǒng)受到有界擾動，不論擾動引起的初始偏差有多大，當(dāng)擾動取消后，系統(tǒng)都能以足夠的準(zhǔn)確度恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)，則這種系統(tǒng)稱為大范圍穩(wěn)定的系統(tǒng)；如果系統(tǒng)受到有界擾動，只有當(dāng)擾動引起的初始偏差小于某一范圍時，系統(tǒng)才能在取消擾動后恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)，否則就不能恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)，則稱為小范圍穩(wěn)定的系統(tǒng)。對于穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，它必然在大范圍內(nèi)和小范圍內(nèi)都能穩(wěn)定，只有非線性系統(tǒng)才可能有小范圍穩(wěn)定而大范圍不穩(wěn)定的情況。線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義如下：若線性控制系統(tǒng)在初始擾動d(t)的影響下，其過渡過程隨著時間的推移逐漸衰減并趨向于零，則稱系統(tǒng)為穩(wěn)定。反之，則為不穩(wěn)定。線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)自身固有特性，而與輸入信號無關(guān)。根據(jù)定義輸入d(t)，其輸出為脈沖過渡函數(shù)g(t)。如果當(dāng)t→∞時，g(t)收斂到原來的平衡點(diǎn)，即有那么，線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。不失一般性，設(shè)n階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根都具有負(fù)實(shí)部，或者說，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均位于s左半平面（不包括虛軸）。根據(jù)穩(wěn)定的充要條件決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須知道系統(tǒng)特征根的全部符號。如果能解出全部根，則立即可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。然而對于高階系統(tǒng)，求根的工作量很大，常常希望使用一種直接判斷根是否全在s左半平面的代替方法，下面就介紹勞斯代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)。3.5.2首先給出系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件：設(shè)線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為式中，a0>0,si（i=1,2,?,n）是系統(tǒng)的n個閉環(huán)極點(diǎn)。根據(jù)代數(shù)方程的基本理論，下列關(guān)系式成立：從上式可以導(dǎo)出，系統(tǒng)特征根都具有負(fù)實(shí)部的必要條件為：aiaj>0(i,j=1,2,?,n)即閉環(huán)特征方程各項(xiàng)同號且不缺項(xiàng)。如果特征方程不滿足上式的條件，系統(tǒng)必然非漸近穩(wěn)定。但滿足上式，還不能確定一定是穩(wěn)定的，因?yàn)樯鲜絻H是必要條件。下面給現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。1.勞斯判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：該方程式的全部系數(shù)為正，且由該方程式作出的勞斯表中第一列全部元素都要是正的；勞斯表中第一列元素符號改變的次數(shù)，等于相應(yīng)特征方程式位于右半s平面上根的個數(shù)。勞斯表見PPT。表中:(1)最左一列元素按s的冪次排列，由高到低，只起標(biāo)識作用，不參與計算。(2)第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。(3)從第三行起各元素,是根據(jù)前二行的元素計算得到。2.勞斯判據(jù)的應(yīng)用(1)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性例3-5設(shè)有下列特征方程D(s)=s4+2s3+3s2+4s+5=0試用勞斯判據(jù)判別該特征方程的正實(shí)部根的數(shù)目。解：勞斯表（見PPT）第一列元素符號改變了2次，∴系統(tǒng)不穩(wěn)定，且s右半平面有2個根。例3-6系統(tǒng)的特征方程為D(s)=s3-3s+2=0試用勞斯判據(jù)確定正實(shí)數(shù)根的個數(shù)。解：系統(tǒng)的勞斯表為（見PPT）第一種特殊情況：勞斯表中某行的第一列元素為零，而其余各項(xiàng)不為零，或不全為零。對此情況，可作如下處理：①用一個很小的正數(shù)ε來代替第一列為零的項(xiàng)，從而使勞斯表繼續(xù)下去。②可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中a可為任意正數(shù)，再對新的特征方程應(yīng)用勞斯判據(jù)?！擀拧?+時，b1<0，勞斯表中第一列元素符號改變了兩次∴系統(tǒng)有兩個正根，不穩(wěn)定。（s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程為：D1(s)=D(s)(s+3)=s4+3s3-3s2-7s+6=0例3-7設(shè)某線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為D(s)=s4+s3-3s2-s+2=0試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解:該系統(tǒng)的勞斯表如下（見PPT）第二種特殊情況：勞斯表中某行元素全為零。此時，特