整理奧賽金牌題典-高中物理-第六章電磁學(xué)方法

對(duì)應(yīng)圓心角為90，其電動(dòng)勢(shì)為，電阻為，于是兩點(diǎn)電壓，AB兩點(diǎn)電勢(shì)相等。其實(shí)這一閉合環(huán)上任意兩點(diǎn)都是等勢(shì)的。其意義是：電荷通過(guò)這兩點(diǎn)電勢(shì)能無(wú)變化，在電阻上發(fā)熱消耗的電能不多不少正好由渦旋電場(chǎng)力做同樣多的正功來(lái)補(bǔ)充，我們也就可以明白，為什么例A9中，≠，因?yàn)殡妱?dòng)勢(shì)分布均勻，每任意等長(zhǎng)的圓弧上渦旋電場(chǎng)力的功是一樣的，但電阻分布不均勻，電場(chǎng)力做的正功、電能的消耗就不均勻。所以點(diǎn)與點(diǎn)之間就不等勢(shì)了。（2）圓弧上的電動(dòng)勢(shì)，可以用這兩種方法計(jì)算。先假定弧對(duì)應(yīng)圓心角為，弧長(zhǎng)為，張開(kāi)扇形面積為，用弧度做單位。方法1：在圓弧上各點(diǎn)大小相等，方向?yàn)閳A弧切向逆時(shí)針?lè)较?，，非靜電力的方向跟自由電子定向移動(dòng)方向處處相同為順時(shí)針?lè)较颍鶕?jù)電動(dòng)勢(shì)定義，我們求單位電荷渦效電場(chǎng)力做的功為。自由電子向P端積聚。Q端是正極，P端是負(fù)極。方法2：為在上應(yīng)用法拉第電磁感應(yīng)定律，可以作輔助線人為地造一個(gè)封閉面積。由此求得電動(dòng)勢(shì)原則上并不是所求的的電動(dòng)勢(shì)，因?yàn)樗溯o助線上的貢獻(xiàn)。不過(guò)我們可以選擇對(duì)電動(dòng)勢(shì)不作貢獻(xiàn)的輔助線，比如連接兩條半徑OP和OQ，使OPNQO成為一個(gè)封閉扇形。由于渦旋電場(chǎng)電場(chǎng)線位于圓周切線方向。沿半徑放置的導(dǎo)體渦旋電場(chǎng)不對(duì)電荷做故，就不參與產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)。所以封閉扇形的電動(dòng)勢(shì)，大小等于的電動(dòng)勢(shì)：。（3）類似于方法1，理論上也可以求得直線導(dǎo)體PQ的電動(dòng)勢(shì)，因?yàn)橐幌盗幸設(shè)為圓心的同心圓的電場(chǎng)線與PQ相交，不同交點(diǎn)的大小并不一樣，實(shí)際上我們不可能用初等數(shù)學(xué)方法把跟l直接相乘來(lái)求電動(dòng)勢(shì)。用類似于上面的方法2，仍以半徑OP和OQ為輔助線構(gòu)成封閉三角形OPQ，其面積為根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律：。同理，因OP和OQ對(duì)電動(dòng)勢(shì)無(wú)貢獻(xiàn)。所以這一電動(dòng)勢(shì)雖然是封閉三角形回路求得的，其大小也就等于直線PQ上的電動(dòng)勢(shì)，Q端是正極，P端是負(fù)極。點(diǎn)評(píng)：以上的思路、方法恐怕不難接受，可是事情并沒(méi)完，新問(wèn)題又產(chǎn)生了。比較（2）和（3）兩條導(dǎo)體。它們有相同的端點(diǎn)，僅僅因形狀和長(zhǎng)短的差異，在同一變化的磁場(chǎng)中兩端點(diǎn)位于相同位置，兩段導(dǎo)體電動(dòng)勢(shì)不同，這說(shuō)明了什么？這正說(shuō)明了渦旋電場(chǎng)的一個(gè)重要性質(zhì)，即場(chǎng)力做功跟路徑有關(guān)。沿不同路徑移動(dòng)電荷，場(chǎng)力做功不同，這正是渦旋電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的根本差別，也是一種電場(chǎng)線不封閉有頭尾，另一種電產(chǎn)線封閉的主要原由。靜電場(chǎng)移動(dòng)電荷做功，跟重力移動(dòng)物體做功一樣，是跟路徑無(wú)關(guān)的，因而可以引入電勢(shì)能這一狀態(tài)函數(shù)，引入電勢(shì)和電勢(shì)差概念。渦旋電場(chǎng)移動(dòng)電荷既然跟路徑有關(guān)，就不存在電荷的電勢(shì)能，本題的（1）中說(shuō)環(huán)中任意兩點(diǎn)等勢(shì)，都是一此不甚科學(xué)不太嚴(yán)格的講法。在回路中非靜電力定向移動(dòng)電荷做的功，通過(guò)電荷與晶格的碰撞就直接轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，并沒(méi)有經(jīng)過(guò)靜電場(chǎng)力這一中介來(lái)做功，因而不應(yīng)有什么電勢(shì)升或降的問(wèn)題，在感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)這一場(chǎng)合借電勢(shì)概念，實(shí)在是沒(méi)有辦法的辦法。A7。（第十四屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽決賽題）圖6-19(甲)是由24個(gè)等值電阻連接而成的網(wǎng)格，圖6-19（乙）中電動(dòng)勢(shì)為ε=3.00V，內(nèi)阻r=2.00Ω的電源與一阻值為28.0Ω的電阻R及二極管D串聯(lián)后引出兩端P、Q，二極管的正向伏安曲線如圖6-19（丙）所示。圖6-19（1）若將P、Q兩端與圖6-19（甲）中電阻網(wǎng)格E、G兩點(diǎn)相接，測(cè)得二極管兩端間的電壓為0.86V。求：電阻網(wǎng)格E與A間的電壓UEA圖6-19（2）若將P、Q兩端與圖6-19（甲）中電阻網(wǎng)絡(luò)B、D兩點(diǎn)相接，求通過(guò)二極管D的電流ID和網(wǎng)格中E、G間的電壓UEG。分析：（1）對(duì)于電阻網(wǎng)格E、A之間的電壓，可利用網(wǎng)格對(duì)稱性求出等效電阻，再利用閉合電路的歐姆定律來(lái)求解。（2）電路中含有二極管，二極管是一種非線性元件，它兩端的電壓和通過(guò)它的電流的比值是變化的，題目給了這兩者的關(guān)系曲線；電路中含源支路的電壓與電流的關(guān)系是一斜率為負(fù)的直線方程。通過(guò)二極管的電流需要同時(shí)滿足以上的曲線方程和直線方程，所以需要在I-U圖上找出兩者的交點(diǎn)，就可以求出通過(guò)二極管的電流。解：（1）電阻網(wǎng)絡(luò)E、G兩點(diǎn)間電壓可表示為從圖中的二極管D的正向伏安曲線中可查得電壓對(duì)應(yīng)的電流I1為25.0mA，此電流就是流過(guò)電阻R及由E點(diǎn)流入電阻網(wǎng)格的電流，將數(shù)據(jù)代入上式得圖6-20圖6-20由對(duì)稱性可得H、A、C、F電勢(shì)相等，其等效電路如圖6-20所示（除兩只電阻為外，其余電阻均為，為原來(lái)每只電阻的阻值），易得而等效電阻求得。圖6-21（2）當(dāng)引線兩端P、Q與電阻網(wǎng)格B、D兩點(diǎn)相接時(shí)，等效電路仍如圖6-圖6-21通過(guò)二極管D的電流與二極管兩端電壓有關(guān)系代入數(shù)據(jù)得這是一條聯(lián)系UD與ID的方程，但是UD與ID又必須滿足二極管的伏安特性曲線，在圖6-21中描出上式所述直線，它與曲線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為通過(guò)二極管的電流ID，由圖6-21中讀出由對(duì)稱性，則。點(diǎn)評(píng)：本題與傳統(tǒng)的電路題不同的是電路中包含有二極管這種非線性元件，其伏安特性曲線沒(méi)有用解析式寫出，二極管兩端的電壓與電流的關(guān)系不服從歐姆定律，故解這類題一般都只能用圖解法來(lái)解題。B類題：（更換P。216—P。221：B4、B10、B11、B19、B22、B24、B25共7題）圖6-29B4．一塊無(wú)限大的導(dǎo)體板，左側(cè)接地，在右側(cè)離板d的A處放置一個(gè)負(fù)電荷-q（如圖6圖6-29（1）板上感應(yīng)電荷在導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)P產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)；（2）感應(yīng)電荷在導(dǎo)體外任意一點(diǎn)P′處產(chǎn)生的地強(qiáng)；（3）證明導(dǎo)體表面附近處的合場(chǎng)強(qiáng)垂直于導(dǎo)體表面；（4）求-q所受的庫(kù)侖力；（5）若切斷接地線后，將+Q放在導(dǎo)體板上，+Q將怎樣分布？B10．在點(diǎn)電荷q的電場(chǎng)中，放入一個(gè)半徑為R的接地導(dǎo)體球，從q到導(dǎo)體球球心O的距離為L(zhǎng)。求導(dǎo)體對(duì)q的作用力。B11．一個(gè)導(dǎo)電的細(xì)硬環(huán)放在不導(dǎo)電的水平面上，并且處于均勻磁場(chǎng)中。磁感線沿水平方向，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，環(huán)的質(zhì)量為m，半徑為R，問(wèn)通過(guò)環(huán)的電流必須多大，才能使環(huán)開(kāi)始上升？B19．一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的導(dǎo)線，電流為I，如果此導(dǎo)線繞成單匝線圈放在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，在什么條件下，這個(gè)線圈所受的磁力矩最大？最大磁矩是多少？圖6-47B22.如圖6-47所示，有一由勻質(zhì)線導(dǎo)線彎成的半徑為a的圓線圈和一內(nèi)接等邊三角形的電阻絲組成的電路（電路中各段的電阻值見(jiàn)圖）。在圓線圈平面內(nèi)有垂直紙面向里的均勻磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度B隨時(shí)間t均勻減小，其變化率的大小為一已知常量k。已知2r1=3r2。試求圖中A、B兩點(diǎn)的電勢(shì)差U圖6-47B24.圖6-49表示某個(gè)二極管的U-I特性曲線，將該二極管與電阻R=10Ω的負(fù)載串聯(lián)，再接到電動(dòng)勢(shì)ε=3V的電源上（內(nèi)電阻不計(jì)），二極管處于正向狀態(tài)，如圖6-50所示，問(wèn)：（1）通過(guò)負(fù)載的電流強(qiáng)度和效率各為多少？（2）若ε=1.5V時(shí)，通過(guò)負(fù)載的電流強(qiáng)度和效率又為多U/VI/mAU/VI/mA0302010123300200100圖6-49圖6圖6-50B25.電源端壓隨負(fù)載電源變化的圖象如圖6-51所示，求電源可能供給負(fù)載的最大功率，為使功率最大，負(fù)載的電阻應(yīng)是多少？圖6-51B類題解答或提示圖6-58圖6-58提示：（1）因?yàn)殪o電平衡后導(dǎo)體內(nèi)部合場(chǎng)強(qiáng)為零，所以感應(yīng)電荷在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)和-q在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向相反，即方向如圖6-58所示，r1是-q到P點(diǎn)的距離。（2）由于導(dǎo)體板接地，因此感應(yīng)電荷分布在導(dǎo)體的右邊。根據(jù)對(duì)稱原理，可知感應(yīng)電荷在導(dǎo)體外任意一點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)一定和圖6-59感應(yīng)電荷在對(duì)稱點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)鏡像對(duì)稱（如圖6-59所示），即。而，式中r2為-q到的距離，因此，方向如圖6-59所示。圖6-59圖6-60（3）根據(jù)（2）的討論將取在導(dǎo)體的外表面，此處的場(chǎng)強(qiáng)由和疊加而成（如圖6-60所示），不難看出，這兩個(gè)場(chǎng)強(qiáng)的合場(chǎng)強(qiáng)是垂直于導(dǎo)體表面的。圖6-60（4）在導(dǎo)體板內(nèi)取一點(diǎn)和-q所在點(diǎn)A對(duì)稱的點(diǎn)，的場(chǎng)強(qiáng)由和疊加而成零。由對(duì)稱可知，A處的和應(yīng)是大小圖6-61相等，方向相反的（如圖6-61所示），所以-q所受的電場(chǎng)力大小為圖6-61方向垂直板面向左。（5）因?yàn)楹驮趯?dǎo)體內(nèi)處處平衡，所以+Q只有均勻分布在導(dǎo)體兩側(cè)，才能保持導(dǎo)體內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)處處為零。從以上（2）、（3）、（4）的分析中可看出：導(dǎo)體外部的電場(chǎng)分布與等量異名電荷的電場(chǎng)分布完全相似，即感應(yīng)電荷的作用和在與A點(diǎn)對(duì)稱的位置上放一個(gè)+q的作用完全等效，這就是所謂的“電像法”。B10。答：，方向指向qO方向。提示：如圖6-69所示，根據(jù)對(duì)稱性，肯定在qO或其長(zhǎng)線上。設(shè)到O的距離是a，對(duì)導(dǎo)體球表面上任意一點(diǎn)A而言，它的電勢(shì)應(yīng)該由q和的電勢(shì)疊加而成，即設(shè)O為原點(diǎn)，Oq為x軸，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）。則有圖6圖6-69因?yàn)锳點(diǎn)位于球心在原點(diǎn)的球面上，x、y的一次項(xiàng)應(yīng)該是零，所以要求可解得“電像”和感應(yīng)電荷是完全等效的，這樣，就可以很容易用庫(kù)侖定律求得感應(yīng)電荷對(duì)q的作用力的大小為，方向指向qO方向。B11。答：。提示：討論當(dāng)環(huán)處于水平位置情況（如圖6-70，俯視），在環(huán)上相對(duì)環(huán)直徑AB對(duì)稱分布的點(diǎn)C和點(diǎn)D附近，取長(zhǎng)度均為的兩小元段，作用于第一個(gè)小元段上的安培力的方向垂直紙面向里，其大小為圖6-圖6-70式中是線段在直徑方向上的投影，作用于第二個(gè)小元段上的安培力的方向垂直紙面向外，其大小為這兩個(gè)力大小相等，方向相反，是一對(duì)力偶，它相對(duì)軸AB產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為式中是圖上畫有細(xì)斜線部分的面積。我們將整個(gè)環(huán)分成類似的一對(duì)對(duì)小元段，它們相對(duì)直徑AB對(duì)稱分布，于是，當(dāng)通過(guò)環(huán)的電流為I時(shí)，磁場(chǎng)作用在整個(gè)環(huán)上的合力矩為它使環(huán)繞水平軸AB轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)環(huán)將處于上升狀態(tài)時(shí)，有兩個(gè)機(jī)械力使環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)，重力mg，作用點(diǎn)在環(huán)中心，方向豎直向下；正向支持力N，作用點(diǎn)在環(huán)與平面的切點(diǎn)上，方向豎直向上，既然環(huán)仍然處于平衡，那么即這樣，兩個(gè)機(jī)械力構(gòu)成一對(duì)力偶，產(chǎn)生使環(huán)反向轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩根據(jù)環(huán)的平衡條件可知，本情況中所有力的合力矩，即機(jī)械力和磁場(chǎng)力的力矩之和應(yīng)該等于零由此得到所求的電流值為。B19。答：線圈繞成圓形，線圈平面與B平行時(shí)線圈所受的磁力矩最大；最大磁矩是。提示：先設(shè)任意形狀的線圈放在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B平行于線圈平面，如圖6-76所示，把載流線圈所圍面積分成許多塊與B平行的小狹條，每一狹條寬度圖6-76為h，考慮其中任一狹條，左右兩邊、圖6-76，式中θ、為線圈上兩小段弧長(zhǎng)、中的電流與B的夾角。因，故。、組成一對(duì)小力偶，力偶矩為（為第K狹條的面積），整個(gè)線圈所受力矩（S為線圈總面積）因此，當(dāng)周長(zhǎng)為一定時(shí)，要使S最大，必須把線圈繞成圓形?，F(xiàn)在再來(lái)討論線圈平面和B夾角這種普遍情況，這時(shí)上面討論中考慮的第K狹條所受的安培力未變，但力偶臂變?yōu)?，所以要使力偶矩最大，必須使，即（線圈平面與B平行），由，得即代入后得，B22。答：。提示：在各段電路上，感應(yīng)電流的大小和方向如圖6-79所示。電流的分布，已考慮到電路的對(duì)稱性，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律，對(duì)半徑為a的圓電路，可得圖6-79圖6-79對(duì)等邊三角形3個(gè)邊組成的電路，可得(2)對(duì)由弦AB和弧AB構(gòu)成的電路，可得(3)考慮到流進(jìn)B點(diǎn)的電流之和等于流出B點(diǎn)電流之和，有(4)由含源電路歐姆定律可得(5)由以上各式及題給出的可解得B24。答：（1）60mA、20%；（2）20mA、13%。提示：（1）二極管兩端的電壓與電流不遵循歐姆定律，因此要用圖像法解，設(shè)通過(guò)二極管的電流為I，與此對(duì)應(yīng)的二極管兩端電壓為U，則即當(dāng)為常數(shù)時(shí)，上式為一直線方程。當(dāng)I變化時(shí)，I與U一定在上述直線上變動(dòng)，但另一方U/VI/mA020101233002006010020圖6-81面又必須在二極管的伏安特性曲線上，當(dāng)取時(shí)，可在圖6U/VI/mA020101233002006010020圖6-81此時(shí)電源的效率為（2）若R不變，取，則可在圖上作出另一條平行于AB的直線，與伏安特性曲線交于，從圖上找出對(duì)應(yīng)電流，進(jìn)而求得對(duì)應(yīng)效率。B25答：最大功率為，負(fù)載電阻為。提示：可行的電源結(jié)構(gòu)可能是如圖6-82那樣