大一上學期微積分課件

第三節(jié)高階導數(shù)引例，函數(shù)二階導數(shù)三階導數(shù)一般地，函數(shù)的導數(shù)仍是的函數(shù)，稱的導數(shù)為函數(shù)的二階導數(shù)記作：或即1第三節(jié)高階導數(shù)引例，函數(shù)二階導數(shù)三階導數(shù)一般地，函數(shù)二階導數(shù)的導數(shù)，叫做三階導數(shù)，記作：或三階導數(shù)的導數(shù)，叫做四階導數(shù)，記作：或階導數(shù)的導數(shù)，叫做階導數(shù)，記作：或函數(shù)有階導數(shù)，也說函數(shù)為階可導。二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)。2二階導數(shù)的導數(shù)，叫做三階導數(shù)，記作：或三階導數(shù)的導數(shù)，叫做四例1.求解3例1.求解3例2.求解特別地,4例2.求解特別地,4例3.求解5例3.求解5求例4.解即類似6求例4.解即類似6求

例5.解即7求例5.解即7法則若函數(shù)都在處階可導,則上式稱為萊布尼茨(Leibniz)公式其中,8法則若函數(shù)都在處階可導,則上式稱為萊布尼茨(Leibniz)求例5.解設則由萊布尼茨公式得,9求例5.解設則由萊布尼茨公式得,9例6.

求解.方程兩邊對x求導上式兩邊再對x求導（隱函數(shù)的高階導數(shù)）10例6.求解.方程兩邊對x求導上式兩邊再對x求導例7.若存在,求解11例7.若存在,求解11第四節(jié)函數(shù)的微分微分的定義微分的幾何意義基本初等函數(shù)的微分公式與微分法則微分在近似計算中的應用12第四節(jié)函數(shù)的微分微分的定義12一、微分的定義引例.一塊正方形金屬薄片受溫度的影響,其邊長由變到問此薄片的面積改變了多少?面積的改變量：當很小時,可以忽略不記,因此,微分13一、微分的定義引例.一塊正方形金屬薄片受溫度的影響,其邊長定義設函數(shù)在點某鄰域內(nèi)有定義,給改變量仍在該鄰域內(nèi),若函數(shù)相應的改變量可表示為其中A是與無關的常數(shù),是比高階的無窮小.則稱函數(shù)在點處可微,并稱的線性主部為函數(shù)在點處的微分,即記作14定義設函數(shù)在點某鄰域內(nèi)有定義,給改變量仍在該鄰域內(nèi),若函數(shù)相問題1).函數(shù)應具備什么條件,其改變量才可表示為的形式?2).式中的A

究竟等于什么?定理函數(shù)在點處可微的充分必要條件是函數(shù)在點處可導.證(必要性)設函數(shù)在點處可微,則有(A與無關),所以函數(shù)在點處可導.且且15問題1).函數(shù)應具備什么條件,其改變量才可表示為的形式?2)(充分性)設函數(shù)在點處可導,即與無關,是較高階的無窮小.所以函數(shù)在點處可微.由定理可知,若在點處可微,則在的條件下,或且16(充分性)設函數(shù)在點處可導,即與無關,是較高階的無窮小.所以函數(shù)在任意點處的微分,稱為函數(shù)的微分,記作,或即則“微商”例1.求函數(shù)當時的微分.解由17函數(shù)在任意點處的微分,稱為函數(shù)的微分,記作,或即則“微商”二、微分的幾何意義xy0PQTN函數(shù)在點處的微分,是曲線在該點處的切線上點的縱坐標相應的改變量.18二、微分的幾何意義xy0PQTN函數(shù)在點處的微分,是曲線在該三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運算法則根據(jù)可得基本初等函數(shù)的微分公式：19三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運算法則根據(jù)可得基本初等函數(shù)2020微分法則：設都可微，則復合函數(shù)的微分法則：設而所以說明：無論u是自變量，還是中間變量都具有上述微分形式，這一性質稱為微分形式的不變性.21微分法則：設都可微，則復合函數(shù)的微分法則：設而所以說明：無例1.求另解解利用微分法則求函數(shù)的微分，方法有二：利用法則及微分形式的不變性利用微分定義22例1.求另解解利用微分法則求函數(shù)的微分，方法有二：利用法則及例2.求解利用微分法則另解23例2.求解利用微分法則另解23例3.求解利用微分法則另解24例3.求解利用微分法則另解24例4.求解另解利用微分形式的不變性,令再解25例4.求解另解利用微分形式的不變性,令再解25例5.求解另解26例5.求解另解26例6.求解另解27例6.求解另解27例7.解28例7.解28例8求另解.解練習:兩邊同時求微分（隱函數(shù)的微分）29例8求另解.解練習:兩邊同時求微分（隱函數(shù)的微分）29(2)(1)四、微分在近似計算中的應用由微分定義知,當時,因此,當很小時,有近似公式:即(3)在(3)式中令當很小時,(4)30(2)(1)四、微分在近似計算中的應用由微分定義知,當時,因例1.有一批半徑為1cm的球,為了提高球面的光潔度,要鍍上一層銅,厚度定為0.01cm,估計一下每只球需用銅多少克?(銅的密度是解只須求出鍍層的體積.它等于兩個球體體積之差.鍍每只球需用的銅約為:31例1.有一批半徑為1cm的球,為了提高球面的例2.計算的近似值.解:設則由32例2.計算的近似值.解:設則由32類似可證,當很小時,有近似公式:用弧度作單位)用弧度作單位)33類似可證,當很小時,有近似公式:用弧度作單位)用弧度作單位)第五節(jié)邊際分析與彈性分析定義一、導數(shù)的經(jīng)濟學意義---邊際函數(shù)設函數(shù)可導，導函數(shù)稱為邊際函數(shù)。稱為在x=x0點的邊際函數(shù)值。1、邊際成本：成本函數(shù)C(x)

的導函數(shù)2、邊際收益：收益函數(shù)R(x)

的導函數(shù)3、邊際利潤：利潤函數(shù)L(x)

的導函數(shù)34第五節(jié)邊際分析與彈性分析定義一、導數(shù)的經(jīng)濟學意義---1、邊際成本：成本函數(shù)C(x)

的導函數(shù)2、邊際收益：收益函數(shù)R(x)

的導函數(shù)3、邊際利潤：利潤函數(shù)L(x)

的導函數(shù)上述三類邊際函數(shù)的經(jīng)濟學意義？當產(chǎn)量為x0時，產(chǎn)量每增加1個單位，成本增加單位.

當產(chǎn)量為x0時，產(chǎn)量每增加1個單位，收益增加單位.

當產(chǎn)量為x0時，產(chǎn)量每增加1個單位，利潤增加單位.

當x=x0時，自變量x每增加1個單位，會引起因變量y近似增加單位.

351、邊際成本：成本函數(shù)C(x)的導函數(shù)2、邊際收益：收益1、平均成本：2、平均收益：3、平均利潤：表示產(chǎn)量從0到為x0時的平均成本表示產(chǎn)量從0到為x0時的平均收益表示產(chǎn)量從0到為x0時的平均利潤361、平均成本：2、平均收益：3、平均利潤：表示產(chǎn)量從0到為x例1：已知某產(chǎn)品的銷價為P(x)=200,總成本函數(shù)（1）總利潤函數(shù)L(x)（2）邊際利潤（3）產(chǎn)量為1000，3000單位時的邊際利潤，并解釋經(jīng)濟意義.解：（1）37例1：已知某產(chǎn)品的銷價為P(x)=200,總成本函數(shù)定義二、函數(shù)的彈性設函數(shù)可導，則稱說明：為f(x)的彈性函數(shù)。記為：2、彈性與量綱無關1、彈性的含義函數(shù)在點的相對改變量自變量在點的相對改變量當自變量在點產(chǎn)生1%的改變時,會引起函數(shù)產(chǎn)生改變.38定義二、函數(shù)的彈性設函數(shù)1、需求（價格）彈性：2、供給（價格）彈性：需求函數(shù)供給函數(shù)經(jīng)濟學上主要彈性有：3......391、需求（價格）彈性：2、供給（價格）彈性：需求函數(shù)供給函數(shù)解：（1）例2：已知需求函數(shù)（1）需求價格彈性函數(shù)（2）在x=2單位處的彈性，并說明其經(jīng)濟學意義。（2）

經(jīng)濟學意義：當價格在x=2單位處，價格再上漲1%時，需求量從f(2)=22單位處減少了%，負號說明改變的方向相反。40解：（1）例2：已知需求函數(shù)（1）需求價格彈性函數(shù)（2）解：（1）例3：已知需求函數(shù)（1）需求價格彈性函數(shù);當P=4時的彈性,并說明經(jīng)濟學意義;（2）收益價格彈性函數(shù)，并且當P=4，6時,若價格上張1%,其總收益是增加還是減少?它將變化百分之幾?(2)求收益R對價格P的彈性當價格P=4處再上漲1%時，需求量從Q(4)處減少了%.價格P=4，再上漲1%,收益增加0.36%價格P=6，再上漲1%,收益減少1.4%41解：（1）例3：已知需求函數(shù)（1）需求價格彈性函數(shù);當P=53頁9.設函數(shù)討論函數(shù)在處連續(xù)性和可導性.解.得從而函數(shù)在處連續(xù)但不可導.4253頁9.設函數(shù)討論函數(shù)在處連續(xù)性和可導性.解.得從而函數(shù)例1.設函數(shù)當取何值時,在處連續(xù)且可導.解.由所以,當時,函數(shù)在處連續(xù)且可導.43例1.設函數(shù)當取何值時,在處連續(xù)且可導.解.由所以,當時,60頁8.設求解：先計算極限61頁9（3）.設解兩邊取對數(shù)，得兩邊對求導,得4460頁8.設求解：先計算極限61頁9（3）.設解兩64頁4.若解先求4564頁4.若解先求4564頁6.

求解.方程兩邊對x求導（1）式兩邊再對x求導4664頁6.求解.方程兩邊對x求導（1）式兩邊再對x第三節(jié)高階導數(shù)引例，函數(shù)二階導數(shù)三階導數(shù)一般地，函數(shù)的導數(shù)仍是的函數(shù)，稱的導數(shù)為函數(shù)的二階導數(shù)記作：或即47第三節(jié)高階導數(shù)引例，函數(shù)二階導數(shù)三階導數(shù)一般地，函數(shù)二階導數(shù)的導數(shù)，叫做三階導數(shù)，記作：或三階導數(shù)的導數(shù)，叫做四階導數(shù)，記作：或階導數(shù)的導數(shù)，叫做階導數(shù)，記作：或函數(shù)有階導數(shù)，也說函數(shù)為階可導。二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)。48二階導數(shù)的導數(shù)，叫做三階導數(shù)，記作：或三階導數(shù)的導數(shù)，叫做四例1.求解49例1.求解3例2.求解特別地,50例2.求解特別地,4例3.求解51例3.求解5求例4.解即類似52求例4.解即類似6求

例5.解即53求例5.解即7法則若函數(shù)都在處階可導,則上式稱為萊布尼茨(Leibniz)公式其中,54法則若函數(shù)都在處階可導,則上式稱為萊布尼茨(Leibniz)求例5.解設則由萊布尼茨公式得,55求例5.解設則由萊布尼茨公式得,9例6.

求解.方程兩邊對x求導上式兩邊再對x求導（隱函數(shù)的高階導數(shù)）56例6.求解.方程兩邊對x求導上式兩邊再對x求導例7.若存在,求解57例7.若存在,求解11第四節(jié)函數(shù)的微分微分的定義微分的幾何意義基本初等函數(shù)的微分公式與微分法則微分在近似計算中的應用58第四節(jié)函數(shù)的微分微分的定義12一、微分的定義引例.一塊正方形金屬薄片受溫度的影響,其邊長由變到問此薄片的面積改變了多少?面積的改變量：當很小時,可以忽略不記,因此,微分59一、微分的定義引例.一塊正方形金屬薄片受溫度的影響,其邊長定義設函數(shù)在點某鄰域內(nèi)有定義,給改變量仍在該鄰域內(nèi),若函數(shù)相應的改變量可表示為其中A是與無關的常數(shù),是比高階的無窮小.則稱函數(shù)在點處可微,并稱的線性主部為函數(shù)在點處的微分,即記作60定義設函數(shù)在點某鄰域內(nèi)有定義,給改變量仍在該鄰域內(nèi),若函數(shù)相問題1).函數(shù)應具備什么條件,其改變量才可表示為的形式?2).式中的A

究竟等于什么?定理函數(shù)在點處可微的充分必要條件是函數(shù)在點處可導.證(必要性)設函數(shù)在點處可微,則有(A與無關),所以函數(shù)在點處可導.且且61問題1).函數(shù)應具備什么條件,其改變量才可表示為的形式?2)(充分性)設函數(shù)在點處可導,即與無關,是較高階的無窮小.所以函數(shù)在點處可微.由定理可知,若在點處可微,則在的條件下,或且62(充分性)設函數(shù)在點處可導,即與無關,是較高階的無窮小.所以函數(shù)在任意點處的微分,稱為函數(shù)的微分,記作,或即則“微商”例1.求函數(shù)當時的微分.解由63函數(shù)在任意點處的微分,稱為函數(shù)的微分,記作,或即則“微商”二、微分的幾何意義xy0PQTN函數(shù)在點處的微分,是曲線在該點處的切線上點的縱坐標相應的改變量.64二、微分的幾何意義xy0PQTN函數(shù)在點處的微分,是曲線在該三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運算法則根據(jù)可得基本初等函數(shù)的微分公式：65三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運算法則根據(jù)可得基本初等函數(shù)6620微分法則：設都可微，則復合函數(shù)的微分法則：設而所以說明：無論u是自變量，還是中間變量都具有上述微分形式，這一性質稱為微分形式的不變性.67微分法則：設都可微，則復合函數(shù)的微分法則：設而所以說明：無例1.求另解解利用微分法則求函數(shù)的微分，方法有二：利用法則及微分形式的不變性利用微分定義68例1.求另解解利用微分法則求函數(shù)的微分，方法有二：利用法則及例2.求解利用微分法則另解69例2.求解利用微分法則另解23例3.求解利用微分法則另解70例3.求解利用微分法則另解24例4.求解另解利用微分形式的不變性,令再解71例4.求解另解利用微分形式的不變性,令再解25例5.求解另解72例5.求解另解26例6.求解另解73例6.求解另解27例7.解74例7.解28例8求另解.解練習:兩邊同時求微分（隱函數(shù)的微分）75例8求另解.解練習:兩邊同時求微分（隱函數(shù)的微分）29(2)(1)四、微分在近似計算中的應用由微分定義知,當時,因此,當很小時,有近似公式:即(3)在(3)式中令當很小時,(4)76(2)(1)四、微分在近似計算中的應用由微分定義知,當時,因例1.有一批半徑為1cm的球,為了提高球面的光潔度,要鍍上一層銅,厚度定為0.01cm,估計一下每只球需用銅多少克?(銅的密度是解只須求出鍍層的體積.它等于兩個球體體積之差.鍍每只球需用的銅約為:77例1.有一批半徑為1cm的球,為了提高球面的例2.計算的近似值.解:設則由78例2.計算的近似值.解:設則由32類似可證,當很小時,有近似公式:用弧度作單位)用弧度作單位)79類似可證,當很小時,有近似公式:用弧度作單位)用弧度作單位)第五節(jié)邊際分析與彈性分析定義一、導數(shù)的經(jīng)濟學意義---邊際函數(shù)設函數(shù)可導，導函數(shù)稱為邊際函數(shù)。稱為在x=x0點的邊際函數(shù)值。1、邊際成本：成本函數(shù)C(x)

的導函數(shù)2、邊際收益：收益函數(shù)R(x)

的導函數(shù)3、邊際利潤：利潤函數(shù)L(x)

的導函數(shù)80第五節(jié)邊際分析與彈性分析定義一、導數(shù)的經(jīng)濟學意義---1、邊際成本：成本函數(shù)C(x)

的導函數(shù)2、邊際收益：收益函數(shù)R(x)

的導函數(shù)3、邊際利潤：利潤函數(shù)L(x)

的導函數(shù)上述三類邊際函數(shù)的經(jīng)濟學意義？當產(chǎn)量為x0時，產(chǎn)量每增加1個單位，成本增加單位.

當產(chǎn)量為x0時，產(chǎn)量每增加1個單位，收益增加單位.

當產(chǎn)量為x0時，產(chǎn)量每增加1個單位，利潤增加單位.

當x=x0時，自變量x每增加1個單位，會引起因變量y近似增加單位.

811、邊際成本：成本函數(shù)C(x)的導函數(shù)2、邊際收益：收益1、平均成本：2、平均收益：3、平均利潤：表示產(chǎn)量從0到為x0時的平均成本表示產(chǎn)量從0到為x0時的平均收益表示產(chǎn)量從0到為x0時的平均利潤821、平均成本：2、平均收益：3、平均利潤：表示產(chǎn)量從0到為x例1：已知某產(chǎn)品的銷價為P(x)=200,總成本函數(shù)（1）總利潤函數(shù)L(x)（2）邊際利潤（3）產(chǎn)量為1000，3000單位時的邊際利潤，并解釋經(jīng)濟意義.解：（1）83例1：已知某產(chǎn)品的銷價為P(x)=200,總成本函數(shù)定義二、函數(shù)的彈性設函數(shù)可導，則稱說明：為f(x)的彈性函數(shù)。記為：2、彈性與量綱無關1、彈性的含義函數(shù)在點的相對改變量自變量在點的相對改變量當自變量在點產(chǎn)生1%的改變時,會引起函數(shù)產(chǎn)生改變.84定義二、函數(shù)的彈性設函數(shù)1、需求（價格）彈性：2、供給（價格）彈性