精品解析：河北省2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期名優(yōu)校聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2019-2020學(xué)年度河北名優(yōu)校聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）注意事項(xiàng)：1.本試卷共4頁(yè)，三個(gè)大題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.本試卷上不要答題，請(qǐng)按答題紙上注意事項(xiàng)的要求直接把答案填寫(xiě)在答題紙上答在試卷上的答案無(wú)效.第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.己知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出.【詳解】由變形，得，解得或，∴或.又∵，∴.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.2.己知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的值點(diǎn)在第四象限，則（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)已知求出，再逐步求得解.【詳解】由題意可得解得.又∵，∴，∴，∴.故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.3.“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫(xiě)折扇的詩(shī)句，折扇出入懷袖，扇面書(shū)畫(huà)，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以又有“懷袖雅物”的別號(hào)，如圖是折扇的示意圖，為的中點(diǎn)，若在整個(gè)扇形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自扇面（扇環(huán)）部分的概率是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用扇形的面積計(jì)算公式即可得出.【詳解】設(shè)扇形的圓心角為，大扇形的半徑長(zhǎng)為，小扇形的半徑長(zhǎng)為，則，，.根據(jù)幾何概型，可得此點(diǎn)取自扇面（扇環(huán)）部分的概率為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積計(jì)算公式、幾何概率計(jì)算公式考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4.設(shè),,,則()A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用“分段法”比較出三者的大小關(guān)系.【詳解】，，，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)數(shù)式、指數(shù)式比較大小，屬于基礎(chǔ)題.5.若兩個(gè)非零向量，滿足，且，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)與的夾角為.由，可得，再將兩邊同時(shí)平方，將代入，變形可得的值，即可得答案.【詳解】設(shè)與的夾角為.∵，∴，∴.①∵，∴②由①②，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.6.函數(shù)在的圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和特殊值可判斷.【詳解】解：因?yàn)?，所以為奇函?shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除，又因?yàn)?，，，，故排除?故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)以及特殊值法靈活判斷，屬于基礎(chǔ)題.7.在如圖算法框圖中，若，程序運(yùn)行的結(jié)果為二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)的倍，那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于的判斷條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式（2+x）5展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求出x3的系數(shù)，模擬程序的運(yùn)行，可得判斷框內(nèi)的條件．【詳解】∵二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是,令，，，∴程序運(yùn)行的結(jié)果S為120，模擬程序的運(yùn)行，由題意可得k=6，S=1不滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，S=6，k=5不滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，S=30，k=4不滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，S=120，k=3此時(shí)，應(yīng)該滿足判斷框內(nèi)的條件，退出循環(huán)，輸出S的值為120．故判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于k的判斷條件是k＜4？故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用問(wèn)題，考查了程序框圖的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過(guò)程，以便得出正確的結(jié)論，屬于中檔題．8.為了解學(xué)生課外使用手機(jī)的情況，某學(xué)校收集了本校500名學(xué)生2019年12月課余使用手機(jī)的總時(shí)間（單位：小時(shí)）的情況.從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生，將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到如圖所示的頻率分布直方圖.已知這50名學(xué)生中，恰有3名女生課余使用手機(jī)的總時(shí)間在，現(xiàn)在從課余使用手機(jī)總時(shí)間在的樣本對(duì)應(yīng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取3名，則至少抽到2名女生的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】先求出課余使用手機(jī)總時(shí)間在的學(xué)生共有8名，再利用古典概型的概率求至少抽到2名女生的概率.【詳解】∵這50名學(xué)生中，恰有3名女生的課余使用手機(jī)總時(shí)間在，課余使用手機(jī)總時(shí)間在的學(xué)生共有（名），∴從課余使用手機(jī)總時(shí)間在的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，基本事件總數(shù)，至少抽到2名女生包含的基本事件個(gè)數(shù)，則至少抽到1名女生的概率為.故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率的計(jì)算，考查頻率分布直方圖的計(jì)算，考查組合的實(shí)際應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.9.在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和.若，且，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先證明數(shù)列是以為首項(xiàng)以為公差的等差數(shù)列，再求出的值，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)即可求出的值.【詳解】∵是等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，設(shè)公差為，∴，∴，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)以為公差的等差數(shù)列，則，解得.又∵，∴，∴.故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)和前項(xiàng)和的應(yīng)用，考查等差數(shù)列通項(xiàng)的基本量的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.10.己知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓：的左焦點(diǎn)，，分別橢圓在左、右頂點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且軸，過(guò)點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).若直線經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，.根據(jù)求出，再根據(jù)得到，化簡(jiǎn)即得橢圓的離心率.【詳解】如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，.∵軸，∴，∴，即，∴，∴.又∵，∴，即，∴，則.故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查橢圓的離心率的計(jì)算，考查平行線的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.11.己知正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為6，則該正三棱錐外接球的體積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)作平面于點(diǎn)，記球心為，三棱錐的外接球的半徑為，求出，，.解方程即得和該正三棱錐外接球的體積.【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作平面于點(diǎn)，記球心為.∵在正三棱錐中，底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為，∴，∴.∵球心到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，均等于該正三棱錐外接半徑長(zhǎng)，∴，.在中，，即，解得，∴該正三棱錐外接球的體積.故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查正三棱錐的幾何量的計(jì)算，考查幾何體外接球的體積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和空間想象計(jì)算能力.12.己知函數(shù)的定義域是，對(duì)任意的，有.當(dāng)時(shí)，.給出下列四個(gè)關(guān)于函數(shù)的命題：①函數(shù)是奇函數(shù)；②函數(shù)是周期函數(shù)；③函數(shù)的全部零點(diǎn)為，；④當(dāng)算時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且只有4個(gè)公共點(diǎn).其中，真命題的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由周期函數(shù)的定義得到②正確；，可以得到函數(shù)不是奇函數(shù)，故①錯(cuò)誤；，又是周期為2的函數(shù)，可得③正確；求出的根即可判斷④錯(cuò)誤，從而得解.【詳解】∵對(duì)任意的，有，∴對(duì)任意的，，∴是周期為2的函數(shù)，∴，又∵當(dāng)時(shí)，，∴，∴函數(shù)不是奇函數(shù)，故①錯(cuò)誤，②正確.當(dāng)時(shí)，，∴，又∵是周期為2的函數(shù)，∴函數(shù)的全部零點(diǎn)為，，故③正確.∵當(dāng)時(shí)，，令，解得（舍）或；當(dāng)時(shí)，，令，則，解得或（舍）；當(dāng)時(shí)，，令，則，解得或（舍），∴共有3個(gè)公共點(diǎn)，故④錯(cuò)誤.因此真命題的個(gè)數(shù)為2個(gè).故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若實(shí)數(shù)，滿足則的最大值為_(kāi)_______.【答案】10【解析】【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【詳解】根據(jù)題意畫(huà)出可行域，如圖所示：由圖可知目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值10.故答案為：10.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.14.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則______【答案】【解析】【分析】對(duì)題目所給等式進(jìn)行賦值，由此求得的表達(dá)式，判斷出數(shù)列是等比數(shù)列，由此求得的值.【詳解】解：，可得時(shí)，，時(shí)，，又，兩式相減可得，即，上式對(duì)也成立，可得數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，可得．【點(diǎn)睛】本小題主要考查已知求，考查等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，屬于中檔題.15.設(shè)函數(shù)，若為奇函數(shù)，則過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，構(gòu)造求出值.再另設(shè)切點(diǎn)，求出切線方程，將代入切線方程，即可求出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，切線方程可求.【詳解】∵函數(shù)為奇函數(shù)，∴，∴.解得，∴，∴.設(shè)切點(diǎn)為，則.設(shè)切線方程為.∵，∴.∵該直線過(guò)點(diǎn)，∴，解得，∴，，∴所求直線方程為，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.16.已知雙曲線：的右頂點(diǎn)為，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，且圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】如圖，不妨設(shè)圓與雙曲線的一條漸近線，交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于該漸近線于點(diǎn)，連接，先求出，，，再由題得到，求出，即得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由雙曲線的方程：，知，不妨設(shè)圓與雙曲線的一條漸近線，交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于該漸近線于點(diǎn)，連接，如圖.點(diǎn)到漸近線的距離.∵，∴.∵，∴，∴，∴.在中，，，，，即，，∴，∴，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的應(yīng)用，考查圓的幾何性質(zhì)，考查平面向量的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.三、解答題（共70分，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答）（一）必考題：共60分.17.己知在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）若，，求的大??；（2）若，且是鈍角，求面積的大小范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得，再利用余弦定理得，解方程即得的大??；（2）由題得，利用正弦定理得，再根據(jù)的范圍求出的范圍，即得解.【詳解】（1）在中，，由正弦定理得.∵，∴，∴，∴.又∵，∴.在中，由余弦定理得，即，解得（舍去），.∴.（2）由（1）知，∴.由正弦定理，得，∴.∵，為鈍角，∴，∴，∴，∴.即面積的大小范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面積范圍的求解，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.18.如圖，空間幾何體，△、△、△均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面平面，且平面平面，為中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）分別取，中點(diǎn)，，連接，，，，，通過(guò)面面平行的判定定理，證得面面，從而證得平面.（2）方法一（向量法）：以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量，計(jì)算二面角的余弦值.方法二（幾何法）：過(guò)點(diǎn)作垂線，垂足為，連接.由此作出二面角的平面角并證明，解直角三角形求得二面角的余弦值.【詳解】（1）分別取，中點(diǎn)，，連接，，，，由面面且交于，平面，有面由面面且交于，平面，有面所以,，所以，由有，，所以，,所以面面，所以（2）法1：以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸，以為軸，以為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系由面，所以面的法向量可取點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn)，,，設(shè)面的法向量，所以，取設(shè)二面角的平面角為，據(jù)判斷其為銳角.法2：過(guò)點(diǎn)作垂線，垂足為，連接.由（1）問(wèn)可知又因?yàn)?，所以平面，則有.所以為二面角的平面角.由題可知，所以,則所以，【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，包括向量法和幾何法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.19.某大型公司為了切實(shí)保障員工的健康安全，貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關(guān)要求，決定在全公司范圍內(nèi)舉行一次乙肝普查.為此需要抽驗(yàn)669人的血樣進(jìn)行化驗(yàn)，由于人數(shù)較多，檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.方案一：將每個(gè)人的血分別化驗(yàn)，這時(shí)需要驗(yàn)669次.方案二：按個(gè)人一組進(jìn)行隨機(jī)分組，把從每組個(gè)人抽來(lái)的血混合在一起進(jìn)行檢驗(yàn)，如果每個(gè)人的血均為陰性，則驗(yàn)出的結(jié)果呈陰性，這個(gè)人的血就只需檢驗(yàn)一次（這時(shí)認(rèn)為每個(gè)人的血化驗(yàn)次）；否則，若呈陽(yáng)性，則需對(duì)這個(gè)人的血樣再分別進(jìn)行一次化驗(yàn)，這時(shí)該組個(gè)人的血總共需要化驗(yàn)次.假設(shè)此次普查中每個(gè)人的血樣化驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為，且這些人之間的試驗(yàn)反應(yīng)相互獨(dú)立.（1）設(shè)方案二中，某組個(gè)人中每個(gè)人的血化驗(yàn)次數(shù)為，求的分布列.（2）設(shè)，試比較方案二中，分別取2，3，4時(shí)，各需化驗(yàn)的平均總次數(shù)；并指出在這三種分組情況下，相比方案一，化驗(yàn)次數(shù)最多可以平均減少多少次？（最后結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）【答案】（1）分布列見(jiàn)解析；（2），462次；，404次；，397次；272次【解析】【分析】（1）由題得，，分別求出對(duì)應(yīng)的概率即得的分布列；（2）先求出，再分別求出分別取2，3，4時(shí)，各需化驗(yàn)的平均總次數(shù)，即得相比方案一，化驗(yàn)次數(shù)最多可以平均減少的次數(shù).【詳解】（1）設(shè)每個(gè)人的血呈陰性反應(yīng)的概率為，則.所以個(gè)人的血混合后呈陰性反應(yīng)的概率為，呈陽(yáng)性反應(yīng)的概率為.依題意可知，，所以的分布列為：（2）方案二中，結(jié)合(1)知每個(gè)人的平均化驗(yàn)次數(shù)為，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)669人需要化驗(yàn)的總次數(shù)為462次；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)669人需要化驗(yàn)的總次數(shù)為404次；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)669人需要化驗(yàn)的總次數(shù)為397次.即時(shí)化驗(yàn)次數(shù)最多，時(shí)次數(shù)居中，時(shí)化驗(yàn)次數(shù)最少，而采用方案一則需化驗(yàn)669次.故在這三種分組情況下，相比方案一，當(dāng)時(shí)化驗(yàn)次數(shù)最多可以平均減少（次）【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)變量的分布列，考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率和對(duì)立事件的概率的計(jì)算，考查隨機(jī)變量的均值的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知拋物線的焦點(diǎn)為，軸上方的點(diǎn)在拋物線上，且，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)，與不重合），設(shè)直線，的斜率分別為，.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見(jiàn)解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)及拋物線定義可求p，從而得到方程；（Ⅱ）設(shè)出直線方程，與拋物線方程相聯(lián)立，寫(xiě)出韋達(dá)定理，結(jié)合可得關(guān)系，從而得到定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（Ⅰ）由拋物線的定義可以，,拋物線的方程為.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)重合，舍去.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為設(shè)，將直線與拋物線聯(lián)立得：又，即，，，將①代入得，即得或當(dāng)時(shí)，直線為，此時(shí)直線恒過(guò);當(dāng)時(shí)，直線為，此時(shí)直線恒過(guò)（舍去）所以直線恒過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義及直線和拋物線的綜合問(wèn)題，直線過(guò)定點(diǎn)一般是尋求之間的關(guān)系式.側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）極大值點(diǎn)，且是唯一極值點(diǎn)；（2）【解析】【分析】（1）將代入，求導(dǎo)得到在上單調(diào)遞減，則在上存在唯一零點(diǎn)，進(jìn)而可判斷出是的極大值點(diǎn)，且是唯一極值點(diǎn)；

（2）令，得到，則與的圖象在上有2個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可得到的取值范圍.【詳解】解：（1）由知.當(dāng)時(shí)，，，顯然在上單調(diào)遞減.又，，∴在上存在零點(diǎn)，且是唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴是的極大值點(diǎn)，且是唯一極值點(diǎn).（2）令，則.令，，則和的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，.令，則，所以在上單調(diào)遞減，而，故當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減.故.又，當(dāng)且時(shí)，且，結(jié)合圖象，可知若和的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，只需，所以的取值范圍為.【點(diǎn)睛