2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(山東卷)

絕密★啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(山東卷)(本試卷共4頁,22小題,滿分150分,考試用時120分鐘)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},則A∪B=()A.{x|2<x≤3} B.{x|2≤x≤3} C.{x|1≤x<4} D.{x|1<x<4}2.2-i1+2i=A.1 B.-1 C.i D.-i3.6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者,每名同學(xué)只去1個場館,甲場館安排1名,乙場館安排2名,丙場館安排3名,則不同的安排方法共有()A.120種 B.90種 C.60種 D.30種4.日晷是中國古代用來測定時間的儀器,利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間.把地球看成一個球(球心記為O),地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角,點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個日晷,若晷面與赤道所在平面平行,點(diǎn)A處的緯度為北緯40°,則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成的角為()A.20° B.40°C.50° D.90°5.某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉,其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳,60%的學(xué)生喜歡足球,82%的學(xué)生喜歡游泳,則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是()A.62% B.56% C.46% D.42%6.基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù),世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段,可以用指數(shù)模型:I(t)=ert描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位:天)的變化規(guī)律,指數(shù)增長率r與R0,T近似滿足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28,T=6.據(jù)此,在新冠肺炎疫情初始階段,累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69)()A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天7.已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn),則AP·AB的取值范圍是(A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6)8.若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,且f(2)=0,則滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是()A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得3分.9.已知曲線C:mx2+ny2=1.()A.若m>n>0,則C是橢圓,其焦點(diǎn)在y軸上B.若m=n>0,則C是圓,其半徑為nC.若mn<0,則C是雙曲線,其漸近線方程為y=±-mD.若m=0,n>0,則C是兩條直線10.右圖是函數(shù)y=sin(ωx+φ)的部分圖像,則sin(ωx+φ)=()A.sinxB.sinπC.cos2D.cos511.已知a>0,b>0,且a+b=1,則()A.a2+b2≥12 B.2a-b>C.log2a+log2b≥-2 D.a12.信息熵是信息論中的一個重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為1,2,…,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),∑i=1npi=1,定義X的信息熵H(X)=-∑i=1npilog2A.若n=1,則H(X)=0B.若n=2,則H(X)隨著p1的增大而增大C.若pi=1n(i=1,2,…,n),則H(X)隨著nD.若n=2m,隨機(jī)變量Y所有可能的取值為1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),則H(X)≤H(Y)三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.斜率為3的直線過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),且與C交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=.

14.將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an},則{an}的前n項和為.

15.某中學(xué)開展勞動實習(xí),學(xué)生加工制作零件,零件的截面如圖所示.O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心,A是圓弧AB與直線AG的切點(diǎn),B是圓弧AB與直線BC的切點(diǎn),四邊形DEFG為矩形,BC⊥DG,垂足為C,tan∠ODC=35,BH∥DG,EF=12cm,DE=2cm,A到直線DE和EF的距離均為7cm,圓孔半徑為1cm,則圖中陰影部分的面積為cm2.16.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2,∠BAD=60°.以D1為球心,5為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為.

四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)在①ac=3,②csinA=3,③c=3b這三個條件中任選一個,補(bǔ)充在下面問題中,若問題中的三角形存在,求c的值;若問題中的三角形不存在,說明理由.問題:是否存在△ABC,它的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且sinA=3sinB,C=π6,注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.18.(12分)已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2+a4=20,a3=8.(1)求{an}的通項公式;(2)記bm為{an}在區(qū)間(0,m](m∈N*)中的項的個數(shù),求數(shù)列{bm}的前100項和S100.19.(12分)為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù),治理空氣污染,環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研,隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位:μg/m3),得下表:SO2PM2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710(1)估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO2濃度不超過150”的概率;(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的2×2列聯(lián)表:SO2PM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115](3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)?附:K2=n(P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

.20.(12分)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD⊥底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.(1)證明:l⊥平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q為l上的點(diǎn),求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.21.(12分)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)當(dāng)a=e時,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.22.(12分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=(1)求C的方程;(2)點(diǎn)M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足.證明:存在定點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值.2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(山東卷)查缺補(bǔ)漏表【試卷評析】1.C(數(shù)形結(jié)合)由數(shù)軸可知所以A∪B={x|1≤x<4},故選C.2.D2-i1+2i【解題技巧】復(fù)數(shù)除法的實質(zhì)是分母實數(shù)化,運(yùn)算后只需將i2換成-1即可,對于復(fù)數(shù)的運(yùn)算問題,要注意掌握運(yùn)算法則和有關(guān)概念.3.C甲場館安排1名有C61種方法,乙場館安排2名有C52種方法,丙場館安排3名有C34.B由題意知,如圖,圓O為赤道所在的大圓.圓O1是在點(diǎn)A處與赤道所在平面平行的晷面.O1C為晷針?biāo)诘闹本€.直線OA在圓O所在平面的射影為直線OB,點(diǎn)B在圓O上,則∠AOB=40°,∴∠COA=50°.又∠CAO=90°,∴∠OCA=40°.∴晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為40°,故選B.5.C設(shè)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生比例數(shù)為x.由維恩圖可知,82%-x+60%=96%,解得x=46%,故選C.6.B由R0=3.28,T=6,R0=1+rT得3.28=1+6r,∴r=2.286=0.38,∴e0.38t=2,即0.38t=ln2,0.38t≈∴t≈0.690.38【知識拓展】解決與實際問題有關(guān)的數(shù)學(xué)問題,特別需要注意的是提煉題意,并對數(shù)學(xué)知識加以應(yīng)用.7.A如圖,以AB所在的直線為x軸,AE所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,易知A(0,0),B(2,0),F(-1,3),C(3,3).設(shè)P(x,y),則AP=(x,y),AB=(2,0),∴AP·AB=2x+0×y=2∵-1<x<3,∴AP·AB的取值范圍為(-8.D不等式xf(x-1)≥0可化為x∵f(2)=0,∴f(-2)=0.∵f(x)是R上的奇函數(shù),∴f(0)=0.∵f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,∴f(x)在(0,+∞)上也單調(diào)遞減.∴x≥0,x-1≥0,x-1≤2或x∴滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是[-1,0]∪[1,3],故選D.9.ACD∵mx2+ny2=1,∴x21m∵m>n>0,∴1n>1m>0,∴∵m=n>0,∴x2+y2=1n,即C是圓,∴r=n由mx2+ny2=1,得x21m+y21n=1,∵mn<0,1m與1n異號,∴C是雙曲線,令mx2+ny2=當(dāng)m=0,n>0時,有ny2=1,得y2=1n,即y=±nn10.BC由題圖可知,T2=2π3∵2πω=π,∴ω∴y=sin(2x+φ).又∵過點(diǎn)2π3,0,∴sin2×2π3+φ=0,即4π∴y=sin2x+2π3=sinπ-2x+2π3=∵y=sinπ3-2x=sinπ2?π6+2x=cos∵cos5π6-2x=cosπ-2x+π6=-cos2x+π6,∴D錯誤,故選BC11.ABD∵a+b=1,∴(a+b)2=1=a2+b2+2ab≤2(a2+b2),∴a2+b2≥12∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+1=2a+b>b,∴a-b>-1,∴2a-b>2-1=12∵a+b=1≥2ab,∴ab≤14,log2a+log2b=log2ab≤log214∵a+b=1≥2ab,∴2ab≤1,(a+b)2=a+b+2ab≤2,∴a12.AC若n=1,則p1=1,H(X)=-p1log2p1=-log21=0,∴A正確;若n=2,令p1=13,p2=23或p1=23,p2=13,均有H(X)=-13log213+2H(X)=-∑i=1n1nlog21n=-1nlog21n+…+1nlog21nH(X)=-∑i=12mpilog2pi=-∑i=1m(pilog2pi+p2m+1-ilog2p2m+1-i),H(Y)=-∑i=1m((pi+p2m+1-i)log2因為(pi+p2m+1-i)log2(pi+p2m+1-i)=pilog2(pi+p2m+1-i)+p2m+1-ilog2(pi+p2m+1-i)>pilog2pi+p2m+1-ilog2p2m+1-i,所以H(X)>H(Y),故D錯誤.13.163如圖所示,直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,作AA',BB'垂直于準(zhǔn)線,交準(zhǔn)線于點(diǎn)A',B',由拋物線的定義知|AA'|=|AF|,|BB'|=|BF||AB|=|AF|+|BF|=|AA'|+|BB'|=x1+p2+x2+p2=x1+x2由y=3(x-1),y2=4x,得3x2-10∴|AB|=103+2=1614.3n2-2n數(shù)列{2n-1}的項均為奇數(shù),數(shù)列{3n-2}的所有奇數(shù)項均為奇數(shù),所有偶數(shù)項均為偶數(shù).并且顯然{3n-2}中的所有奇數(shù)均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}與{3n-2}的所有公共項就是{3n-2}的所有奇數(shù)項,這些項從小到大排列式的新數(shù)列{an}為以1為首項,以6為公差的等差數(shù)列.所以{an}的前n項和為Sn=n×1+n(n-1)2×6=315.52π+4作OM⊥CG交CG于點(diǎn)M,AP⊥OH交OH于點(diǎn)P,AQ⊥CG交CG于點(diǎn)Q,圖略設(shè)OM=3x,則DM=5x,∴OP=MQ=7-5x,∴AP=7-2-3x=5-3x,∴tan∠AOP=APOP又∵∠AOP=∠HAP,∴tan∠HAP=QGAQ=12-77-2=1=tan∠AOP∴∠AOP=π4,AP=2,∴OA=22∴S陰=S扇AOB+S△AOH-12×π×12=12×π-π4×(22)2+12×22×22?12π16.22π如圖所示,∵∠B1C1D1=∠B1A1D1=∠BAD=60°且B1C1=C1D1∴△B1C1D1為等邊三角形.∴B1D1=2.設(shè)點(diǎn)O1是B1C1的中點(diǎn),則O1D1=3,易證D1O1⊥平面BCC1B1,設(shè)P是球面與側(cè)面BCC1B1交線上任意一點(diǎn),連接O1P,則O1D1⊥O1P,∴D1P2=D1O12+O1P2,即5=3+O1P2,∴O1P=2.即P在以O(shè)1為圓心,以2取BB1,CC1的中點(diǎn)分別為E,F,則B1E=C1F=O1B1=O1C1=1,EF=2,∴O1E=O1F=2,O1E2+O1F2=EF2=4,∴∠EO1F=90°,∴交線EPF=14×22×π=17.解方案一:選條件①.由C=π6和余弦定理,得a由sinA=3sinB及正弦定理,得a=3b.于是3b2+b由①ac=3,解得a=3,b=c=1.因此,選條件①時,問題中的三角形存在,此時c=1.方案二:選條件②.由C=π6和余弦定理,得a由sinA=3sinB及正弦定理,得a=3b.于是3b由此可得b=c.所以B=C=π6由A+B+C=π,得A=π-π6由②csinA=3,即csin2π3所以c=b=23,a=6.因此,選條件②時,問題中的三角形存在,此時c=23.方案三:選條件③.由C=π6和余弦定理,得a由sinA=3sinB及正弦定理,得a=3b.于是3b2+b由③c=3b,與b=c矛盾.因此,選條件③時,問題中的三角形不存在.18.解(1)設(shè){an}的公比為q.由題設(shè)得a1q+a1q3=20,a1q2=8.解得q=12(舍去),q=2因為a1q2=8,所以a1=2.所以{an}的通項公式為an=2n.(2)由題設(shè)及(1)知b1=0,且當(dāng)2n≤m<2n+1時,bm=n.所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+…+(b32+b33+…+b63)+(b64+b65+…+b100)=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480.19.解(1)根據(jù)抽查數(shù)據(jù),該市100天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO2濃度不超過150的天數(shù)為32+18+6+8=64,因此,該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO2濃度不超過150的概率的估計值為64100=0.64(2)根據(jù)抽查數(shù)據(jù),可得2×2列聯(lián)表:SO2PM2.5[0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010(3)根據(jù)(2)的列聯(lián)表得K2的觀測值k=100×(64×10由于7.484>6.635,故有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān).20.解(1)因為PD⊥底面ABCD,所以PD⊥AD.又底面ABCD為正方形,所以AD⊥DC.所以AD⊥平面PDC.因為AD∥BC,AD不在平面PBC中,所以AD∥平面PBC,又因為AD?平面PAD,平面PAD∩平面PBC=l,所以l∥AD.所以l⊥平面PDC.(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC,DP的方向為x軸,y軸,z軸的正方向由PD=AD=1,得D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),則DC=(0,1,0),PB=(1,1,-1).由(1)可設(shè)Q(a,0,1),則DQ=(a,0,1).設(shè)n=(x,y,z)是平面QCD的法向量,則n可取n=(-1,0,a).所以cos<n,PB>=n·設(shè)PB與平面QCD所成角為θ,則sinθ=33因為331+2aa2+1≤63,當(dāng)且僅當(dāng)a=1時21.解f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=aex-1-1x(1)當(dāng)a=e時,f(x)=ex-lnx+1,f'(1)=e-1,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-(e+1)=(e-1)(x-1