線性空間的定義課件

主要內(nèi)容引入第二節(jié)定義線性空間的簡單性質(zhì)線性空間的定義與簡單性質(zhì)主要內(nèi)容引入第二節(jié)定義線性空間的簡單性質(zhì)線性空間的定義與簡單一、引入線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一.這一節(jié)我們來介紹它的定義，并討論它的一些最簡單的性質(zhì).線性空間也是我們碰到的第一個抽象的概念,為了說明它的來源，在引入定義之前，先看幾個熟知的例子.一、引入線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一.這一節(jié)我們來介紹例1在解析幾何中，我們討論過三維空間中的向量.向量的基本屬性是可以按平行四邊形規(guī)律相加，也可以與實數(shù)作數(shù)量乘法.我們知道，不少幾何和力學(xué)對象的性質(zhì)是可以通過向量的這兩種運算來描述的.例1在解析幾何中，我們討論過三維空間中的向量.向量例2為了解線性方程組，我們討論過以n元有序數(shù)組(a1,a2,…,an

)作為元素的n

維向量空間.對于它們，也有加法和數(shù)量乘法，那就是(a1,a2,…,an

)+(b1,b2,…,bn

)=(a1+b1,a2+b2,…,an

+bn),k(a1,a2,…,an

)=(k

a1,k

a2,…,k

an

).例2為了解線性方程組，我們討論過以n元有序數(shù)組例3對于函數(shù)，也可以定義加法和函數(shù)與實數(shù)的數(shù)量乘法.譬如說，考慮全體定義在區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù).我們知道，連續(xù)函數(shù)的和是連續(xù)函數(shù)，連續(xù)函數(shù)與實數(shù)的數(shù)量乘積還是連續(xù)函數(shù).例3對于函數(shù)，也可以定義加法和函數(shù)與實數(shù)的數(shù)量乘法從這些例子中我們看到，所考慮的對象雖然完全不同，但是它們有一個共同點，那就是它們都有加法和數(shù)量乘法這兩種運算.當(dāng)然，隨著對象不同這兩種運算的定義也是不同的.為了抓住它們的共同點，把它們統(tǒng)一起來加以研究，我們引入線性空間的概念.當(dāng)我們引入抽象的線性空間的概念時，必須選定一個確定的數(shù)域作為基礎(chǔ).從這些例子中我們看到，所考慮的對象雖然完全不同，但是它們有一二、定義定義6

設(shè)V是一個非空集合,P是一個數(shù)域.在集合V的元素之間定義了一種代數(shù)運算，叫做加法；這就是說，給出了一個法則，對于V中任意兩個元素與，在V中都有唯一的一個元素

與它們對應(yīng)，稱為

與的和，記為=+.在數(shù)域P與集合V的元素之間還定義了一種運算,叫做數(shù)量乘法；這就是說，對于數(shù)域P中任一數(shù)k與V中任一元素，在V中都有唯一的一個二、定義定義6設(shè)V是一個非空集合,P是一元素

與它們對應(yīng)，稱為k與的數(shù)量乘積，記=k.如果加法與數(shù)量乘法滿足下述規(guī)則，那么V稱為數(shù)域P上的線性空間.加法滿足下面四條規(guī)則：1)

；2)()()；3)在V中有一個元素0，對于V中任一元素都有+0=(具有這個性質(zhì)的元素0稱為V的零元素)；元素與它們對應(yīng)，稱為k與的數(shù)量乘積，記4)對于V中每一個元素，都有V中的元素

，使得+=0(稱為的負元素).數(shù)量乘法滿足下面兩條規(guī)則：5)1=；6)

k(l)=(kl).數(shù)量乘法與加法滿足下面兩條規(guī)則：7)(k+l)=k+l;8)

k(+)=k

+k.4)對于V中每一個元素，都有V中的元素在以上規(guī)則中，k,l

等表示數(shù)域P

中的任意數(shù);,,等表示集合V中任意元素.由定義，幾何空間中全部向量組成的集合是一個實數(shù)域上的線性空間.分量屬于數(shù)域P的全體n元數(shù)組構(gòu)成數(shù)域P上的一個線性空間，這個線性空間我們用Pn來表示.下面再來舉幾個例子.在以上規(guī)則中，k,l等表示數(shù)域P中的任意數(shù);,例4數(shù)域P上一元多項式環(huán)P[x]，按通常的多項式加法和數(shù)與多項式的乘法，構(gòu)成一個數(shù)域P上的線性空間.如果只考慮其中次數(shù)小于n的多項式，再添上零多項式也構(gòu)成數(shù)域P上的一個線性空間，用P[x]n

表示.但是，數(shù)域P上的多項式集合{p(x)|p(x)=a0+a1x+…+anxn,an

0}對同樣的運算不構(gòu)成線性空間，因為兩個n次多項式的和可能不是n次多項式.例4數(shù)域P上一元多項式環(huán)P[x]，按通常例5元素屬于數(shù)域P的m

n矩陣，按矩陣的加法和矩陣與數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成數(shù)域P上的一個線性空間，用Pm

n

表示.例6全體實函數(shù)，按函數(shù)的加法和數(shù)與函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成一個實數(shù)域上的線性空間.例7數(shù)域P按照本身的加法與乘法，即構(gòu)成一個自身上的線性空間.例5元素屬于數(shù)域P的mn矩陣，按矩陣線性空間的元素也稱為向量.當(dāng)然，這里所謂向量比幾何中所謂向量的涵義要廣泛得多.線性空間有時也稱為向量空間.一般用小寫的希臘字母,,,…表示線性空間V中的元素，用小寫的拉丁字母a,b,c,…表示數(shù)域P中的數(shù).下面我們直接從定義來證明線性空間的一些簡單性質(zhì).線性空間的元素也稱為向量.當(dāng)然，這里所謂向量比幾何中所謂向量三、線性空間的簡單性質(zhì)1.零元素是唯一的.證明假設(shè)01，02是線性空間V中的兩個零元素.只要證明01=02即可.考慮和01+02由于01是零元素，所以01+02=02.又由于02也是零元素，所以01+02=02+01=01，于是01=01+02=02.證畢三、線性空間的簡單性質(zhì)1.零元素是唯一的.證明假設(shè)012.負元素是唯一的.這就是說，適合條件+=0的元素是被元素唯一決定的.假設(shè)有兩個負元素與

，+=0，+=0.那么=+0=+(+)=(+)+=0+=.證畢向量的負元素記為-.2.負元素是唯一的.這就是說，適合條件+=利用負元素，我們定義減法如下：-=+(-).3.0=0;k0=0;(-1)=-.證明+0=1+0=(1+0)=1=.0=0.+(-1)=1+(-1)=[1+(-1)]=0=0,所以(-1)=-.所以k0=0=0.所以k0=0.=k[+(-1)]=k+(-k)=[k+(-k)]證畢利用負元素，我們定義減法如下：-=+(4.如果k=0，那么k=0或者=0.證明假設(shè)k

0，于是一方面k-1(k)=k-10=0.而另一方面k-1(k)=(k-1k)=1=.于是=0.證畢4.如果k=0，那么k=0或者=0本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!本節(jié)內(nèi)主要內(nèi)容引入第二節(jié)定義線性空間的簡單性質(zhì)線性空間的定義與簡單性質(zhì)主要內(nèi)容引入第二節(jié)定義線性空間的簡單性質(zhì)線性空間的定義與簡單一、引入線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一.這一節(jié)我們來介紹它的定義，并討論它的一些最簡單的性質(zhì).線性空間也是我們碰到的第一個抽象的概念,為了說明它的來源，在引入定義之前，先看幾個熟知的例子.一、引入線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一.這一節(jié)我們來介紹例1在解析幾何中，我們討論過三維空間中的向量.向量的基本屬性是可以按平行四邊形規(guī)律相加，也可以與實數(shù)作數(shù)量乘法.我們知道，不少幾何和力學(xué)對象的性質(zhì)是可以通過向量的這兩種運算來描述的.例1在解析幾何中，我們討論過三維空間中的向量.向量例2為了解線性方程組，我們討論過以n元有序數(shù)組(a1,a2,…,an

)作為元素的n

維向量空間.對于它們，也有加法和數(shù)量乘法，那就是(a1,a2,…,an

)+(b1,b2,…,bn

)=(a1+b1,a2+b2,…,an

+bn),k(a1,a2,…,an

)=(k

a1,k

a2,…,k

an

).例2為了解線性方程組，我們討論過以n元有序數(shù)組例3對于函數(shù)，也可以定義加法和函數(shù)與實數(shù)的數(shù)量乘法.譬如說，考慮全體定義在區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù).我們知道，連續(xù)函數(shù)的和是連續(xù)函數(shù)，連續(xù)函數(shù)與實數(shù)的數(shù)量乘積還是連續(xù)函數(shù).例3對于函數(shù)，也可以定義加法和函數(shù)與實數(shù)的數(shù)量乘法從這些例子中我們看到，所考慮的對象雖然完全不同，但是它們有一個共同點，那就是它們都有加法和數(shù)量乘法這兩種運算.當(dāng)然，隨著對象不同這兩種運算的定義也是不同的.為了抓住它們的共同點，把它們統(tǒng)一起來加以研究，我們引入線性空間的概念.當(dāng)我們引入抽象的線性空間的概念時，必須選定一個確定的數(shù)域作為基礎(chǔ).從這些例子中我們看到，所考慮的對象雖然完全不同，但是它們有一二、定義定義6

設(shè)V是一個非空集合,P是一個數(shù)域.在集合V的元素之間定義了一種代數(shù)運算，叫做加法；這就是說，給出了一個法則，對于V中任意兩個元素與，在V中都有唯一的一個元素

與它們對應(yīng)，稱為

與的和，記為=+.在數(shù)域P與集合V的元素之間還定義了一種運算,叫做數(shù)量乘法；這就是說，對于數(shù)域P中任一數(shù)k與V中任一元素，在V中都有唯一的一個二、定義定義6設(shè)V是一個非空集合,P是一元素

與它們對應(yīng)，稱為k與的數(shù)量乘積，記=k.如果加法與數(shù)量乘法滿足下述規(guī)則，那么V稱為數(shù)域P上的線性空間.加法滿足下面四條規(guī)則：1)

；2)()()；3)在V中有一個元素0，對于V中任一元素都有+0=(具有這個性質(zhì)的元素0稱為V的零元素)；元素與它們對應(yīng)，稱為k與的數(shù)量乘積，記4)對于V中每一個元素，都有V中的元素

，使得+=0(稱為的負元素).數(shù)量乘法滿足下面兩條規(guī)則：5)1=；6)

k(l)=(kl).數(shù)量乘法與加法滿足下面兩條規(guī)則：7)(k+l)=k+l;8)

k(+)=k

+k.4)對于V中每一個元素，都有V中的元素在以上規(guī)則中，k,l

等表示數(shù)域P

中的任意數(shù);,,等表示集合V中任意元素.由定義，幾何空間中全部向量組成的集合是一個實數(shù)域上的線性空間.分量屬于數(shù)域P的全體n元數(shù)組構(gòu)成數(shù)域P上的一個線性空間，這個線性空間我們用Pn來表示.下面再來舉幾個例子.在以上規(guī)則中，k,l等表示數(shù)域P中的任意數(shù);,例4數(shù)域P上一元多項式環(huán)P[x]，按通常的多項式加法和數(shù)與多項式的乘法，構(gòu)成一個數(shù)域P上的線性空間.如果只考慮其中次數(shù)小于n的多項式，再添上零多項式也構(gòu)成數(shù)域P上的一個線性空間，用P[x]n

表示.但是，數(shù)域P上的多項式集合{p(x)|p(x)=a0+a1x+…+anxn,an

0}對同樣的運算不構(gòu)成線性空間，因為兩個n次多項式的和可能不是n次多項式.例4數(shù)域P上一元多項式環(huán)P[x]，按通常例5元素屬于數(shù)域P的m

n矩陣，按矩陣的加法和矩陣與數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成數(shù)域P上的一個線性空間，用Pm

n

表示.例6全體實函數(shù)，按函數(shù)的加法和數(shù)與函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成一個實數(shù)域上的線性空間.例7數(shù)域P按照本身的加法與乘法，即構(gòu)成一個自身上的線性空間.例5元素屬于數(shù)域P的mn矩陣，按矩陣線性空間的元素也稱為向量.當(dāng)然，這里所謂向量比幾何中所謂向量的涵義要廣泛得多.線性空間有時也稱為向量空間.一般用小寫的希臘字母,,,…表示線性空間V中的元素，用小寫的拉丁字母a,b,c,…表示數(shù)域P中的數(shù).下面我們直接從定義來證明線性空間的一些簡單性質(zhì).線性空間的元素也稱為向量.當(dāng)然，這里所謂向量比幾何中所謂向量三、線性空間的簡單性質(zhì)1.零元素是唯一的.證明假設(shè)01，02是線性空間V中的兩個零元素.只要證明01=02即可.考慮和01+02由于01是零元素，所以01+02=02.又由于02也是零元素，所以01+02=02+01=01，于是01=01+02=02.證畢三、線性空間的簡單性質(zhì)1.零元素是唯一的.證明假設(shè)012.負元素是唯一的.這就是說，適合條件+=0的元素是被元素唯一決定的.假設(shè)有兩個負元素與

，+=0，+=0.那么=+0=+(+)=(+)+=0+=.證畢向量的負元素記為-.2.負元素是唯一的.這就是說，適合條件+=利用負元素，我們定義減法如下：-=+(-).3.0=0;k0=0;(-1)=-.證明+0=1+0=(1+0)=1=.0=0.+(-1)=1+(-1)=[1+(-1)]=0=0,所以(-1)=-.所以k0=0=0.所以k0=0.=k[+(-1)]=k+(-k)=[k+(-k)]證畢利用負元素，我們定義減法如下：-=+(4.如果k=0