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文檔簡(jiǎn)介
2021-2021
學(xué)年河北省邢臺(tái)市巨鹿二中高三(上)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)一、選擇題:本題共
12
小題,每小題
5
分,共
60
分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(5分)已知集合
A={x|x<1},B={x|3x<1},則()A.A∩B={x|x<0}
B.A∪B=RC.A∪B={x|x>1}
D.A∩B=?2.(5分)如圖,正方形
ABCD
內(nèi)的圖形來自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是()14?B.812?D.4A.C.3.(5分)設(shè)有下面四個(gè)命題1p
:若復(fù)數(shù)
z
滿足
∈R,則
z∈R;1?p2:若復(fù)數(shù)
z
滿足
z2∈R,則
z∈R;p
:若復(fù)數(shù)
z
,z
滿足
z
z
∈R,則
z
=
?
;3121
212p4:若復(fù)數(shù)
z∈R,則z∈R.其中的真命題為()A.p
,pB.p
,pC.p
,pD.p
,p1314232412021-2021學(xué)年河北省邢臺(tái)市巨鹿二中高三(上)期中數(shù)14.(5分)記
S
為等差數(shù)列{a
}的前
n
項(xiàng)和.若
a
+a
=24,S
=48,則{a
}的公差為()nn456nA.1B.2C.4D.85.(5分)函數(shù)
f(x)在(﹣∞,+∞)單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).若
f(1)=﹣1,則滿足﹣1≤f(x﹣2)≤1的
x
的取值范圍是()A.[﹣2,2]B.[﹣1,1]C.[0,4]D.[1,3]16.(5分)(1
+
2)(1+x)6展開式中
x2的系數(shù)為()?A.15B.20C.30D.357.(5分)某多面體的三視圖如圖所示,其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的邊長(zhǎng)為
2,俯視圖為等腰直角三角形,該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形,這些梯形的面積之和為()試題A.10B.12C.14D.168.(5分)如圖程序框圖是為了求出滿足
3n﹣2n>1000的最小偶數(shù)
n,那么在和兩個(gè)空白框中,可以分別填入()24.(5分)記S為等差數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和.若22高A.A>1000和
n=n+1B.A>1000和
n=n+2C.A≤1000和
n=n+1D.A≤1000和
n=n+22?9.(5分)已知曲線
C
:y=cosx,C
:y=sin(2x
+3
),則下面結(jié)論正確的是()12?A.把
C
上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的
2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移
個(gè)單位長(zhǎng)度,16得到曲線
C2?B.把
C
上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的
2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移
個(gè)單位長(zhǎng)度,112得到曲線
C21?C.把
C
上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的
倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移
個(gè)單位長(zhǎng)度,得126到曲線
C21?D.把
C
上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的
倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移
個(gè)單位長(zhǎng)度,1212得到曲線
C210.(5分)已知
F
為拋物線
C:y2=4x
的焦點(diǎn),過
F
作兩條互相垂直的直線
l
,l
,直線
l
與
C
交于121A、B
兩點(diǎn),直線
l
與
C
交于
D、E
兩點(diǎn),則|AB|+|DE|的最小值為()2A.16B.14C.12D.1032高A.A>1000和n=n+1B.A>1000和311.(5分)設(shè)
x、y、z
為正數(shù),且
2x=3y=5z,則()A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z12.(5分)幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案:已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一項(xiàng)是
20,接下來的兩項(xiàng)是
20,21,再接下來的三項(xiàng)是
2
,
,
,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)
:
>100且該數(shù)列的前
N
項(xiàng)021
22NN和為
2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是()A.440B.330C.220D.110二、填空題:本題共
4
小題,每小題
5
分,共
20
分.→→→→→→13.(5分)已知向量a,b的夾角為
60°,|a|=2,|b|=1,則|a
+2b|=
.x
+
2y
≤
12?
+?
≥?
1?
?
?
≤
0{14.(5分)設(shè)
x,y
滿足約束條件,則
z=3x﹣2y
的最小值為
.?2
?215.(5分)已知雙曲線
C:?=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為
A,以
A
為圓心,b
為半徑作圓
A,圓?2
?2A
與雙曲線
C
的一條漸近線交于
M、N
兩點(diǎn).若∠MAN=60°,則
C
的離心率為
.16.(5分)如圖,圓形紙片的圓心為
O,半徑為
5cm,該紙片上的等邊三角形
ABC
的中心為
O.D、E、試卷F
為圓
O
上的點(diǎn),△DBC,△ECA,△FAB
分別是以
BC,CA,AB
為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以
BC,CA,AB
為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得
D、E、F
重合,得到三棱錐.當(dāng)△ABC
的邊長(zhǎng)變化時(shí),所得三棱錐體積(單位:cm
)的最大值為
3
.411.(5分)設(shè)x、y、z為正數(shù),且2x=3y=5z4三、解答題:共
70
分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第
17~21
題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第
22、23
題為選考題,考生根據(jù)要求作答.(一)必考題:共
60
分.2?17.(12分)△ABC
的內(nèi)角
A,B,C
的對(duì)邊分別為
a,b,c,已知△ABC
的面積為3????.(1)求
sinBsinC;(2)若
6cosBcosC=1,a=3,求△ABC
的周長(zhǎng).18.(12分)如圖,在四棱錐
P﹣ABCD
中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)證明:平面
PAB⊥平面
PAD;(2)若
PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角
A﹣PB﹣C
的余弦值.19.(12分)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取
16個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布
N(μ,σ
).2(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記
X
表示一天內(nèi)抽取的
16個(gè)零件中其尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù),求
P(X≥1)及
X
的數(shù)學(xué)期望;(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.(?。┰囌f明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;(ⅱ)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的
16個(gè)零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.045三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算510.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95111161616(∑經(jīng)計(jì)算得x
=∑??
=9.97,s
=∑(?
?
?)2
=???2
?
16?2)≈0.212,其中
x
為抽i16
?
=
116
?
=
116
?
=
1取的第
i
個(gè)零件的尺寸,i=1,2,…,16.用樣本平均數(shù)x作為
μ
的估計(jì)值μ,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差
s
作為σ的估計(jì)值σ,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查?剔除(?
?
3?,?
+3?)之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)
μ
和σ(精確到
0.01).附:若隨機(jī)變量
Z
服從正態(tài)分布
N(μ,σ
),則
(
﹣
σ<
<μ+3σ)=0.9974,0.9974162Pμ3Z≈0.9592,
0.008
≈
0.09.?2
?220.(12分)已知橢圓C:?23
3=1(?>?>0),四點(diǎn)P
(1,1),?
(0,1),?
(?
1,
),?
(1,
)中1
2
3
42
2+?2恰有三點(diǎn)在橢圓上.(1)求
C
的方程;(2)設(shè)直線
l
不經(jīng)過
P
點(diǎn)且與
C
相交于
A、B
兩點(diǎn),若直線
P
A
與
P
B
直線的斜率的和為﹣1,證222明:l
過定點(diǎn).21.(12分)已知函數(shù)
f(x)=ae2x+(a﹣2)ex﹣x.(1)討論
f(x)的單調(diào)性;(2)若
f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求
a
的取值范圍.(二)選考題:共
10
分.請(qǐng)考生在第
22、23
題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.[選修
4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10
分){x
=
3cosθ22.(10分)在直角坐標(biāo)系
xOy
中,曲線
C
的參數(shù)方程為{x
=
a
+
4t,(θ
為參數(shù)),直線
l
的參數(shù)方程?
=????為,(t
為參數(shù)).?
=1?
?(1)若
a=﹣1,求
C
與
l
的交點(diǎn)坐標(biāo);610.269.9110.1310.029.2210.04106(2)若
C
上的點(diǎn)到
l
距離的最大值為
17,求
a.[選修
4-5:不等式選講](10
分)23.已知函數(shù)
f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.(1)當(dāng)
a=1時(shí),求不等式
f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式
f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求
a
的取值范圍.7(2)若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為17,求a.[72021-2021
學(xué)年河北省邢臺(tái)市巨鹿二中高三(上)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)參考答案與試題解析一、選擇題:本題共
12
小題,每小題
5
分,共
60
分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(5分)(2021?新課標(biāo)Ⅰ)已知集合
A={x|x<1},B={x|3x<1},則()A.A∩B={x|x<0}
B.A∪B=R【考點(diǎn)】1E:交集及其運(yùn)算.C.A∪B={x|x>1}
D.A∩B=?【專題】11:計(jì)算題;37:集合思想;4O:定義法;5J:集合.【分析】先分別求出集合
A
和
B,再求出
A∩B
和
A∪B,由此能求出結(jié)果.【解答】解:∵集合
A={x|x<1},B={x|3x<1}={x|x<0},∴A∩B={x|x<0},故
A
正確,D
錯(cuò)誤;A∪B={x|x<1},故
B
和
C
都錯(cuò)誤.故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集和并集求法及應(yīng)用,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意交集、并集定義的合理運(yùn)用.2.(5分)(2021?新課標(biāo)Ⅰ)如圖,正方形
ABCD
內(nèi)的圖形來自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是()82021-2021學(xué)年河北省邢臺(tái)市巨鹿二中高三(上)期中數(shù)8214?B.812?D.4A.C.【考點(diǎn)】CF:幾何概型.【專題】35:轉(zhuǎn)化思想;4O:定義法;5I:概率與統(tǒng)計(jì).【分析】根據(jù)圖象的對(duì)稱性求出黑色圖形的面積,結(jié)合幾何概型的概率公式進(jìn)行求解即可.【解答】解:根據(jù)圖象的對(duì)稱性知,黑色部分為圓面積的一半,設(shè)圓的半徑為
1,則正方形的邊長(zhǎng)為2,?,則黑色部分的面積
S
=
2??2則對(duì)應(yīng)概率
P
=
=
,48故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查幾何概型的概率計(jì)算,根據(jù)對(duì)稱性求出黑色陰影部分的面積是解決本題的關(guān)鍵.3.(5分)(2021?新課標(biāo)Ⅰ)設(shè)有下面四個(gè)命題1p
:若復(fù)數(shù)
z
滿足
∈R,則
z∈R;1?p2:若復(fù)數(shù)
z
滿足
z2∈R,則
z∈R;p
:若復(fù)數(shù)
z
,z
滿足
z
z
∈R,則
z
=
?
;3121
212p4:若復(fù)數(shù)
z∈R,則z∈R.921?1?A.C.【考點(diǎn)】CF:幾何概型.【專題】35:轉(zhuǎn)化9其中的真命題為()A.p
,pB.p
,pC.p
,pD.p
,p2
4131423【考點(diǎn)】2K:命題的真假判斷與應(yīng)用;A1:虛數(shù)單位
i、復(fù)數(shù);A5:復(fù)數(shù)的運(yùn)算.【專題】2A:探究型;5L:簡(jiǎn)易邏輯;5N:數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的分類,有復(fù)數(shù)性質(zhì),逐一分析給定四個(gè)命題的真假,可得答案.1【解答】解:若復(fù)數(shù)
z
滿足
∈R,則
z∈R,故命題
p
為真命題;1?p
:復(fù)數(shù)
z=i
滿足
z2=﹣1∈R,則
z?R,故命題
p
為假命題;22p
:若復(fù)數(shù)
z
=i,z
=2i
滿足
z
z
∈R,但
z
≠
?
,故命題
p
為假命題;3121
2123p
:若復(fù)數(shù)
z∈R,則z
=z∈R,故命題
p
為真命題.44故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體,考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,復(fù)數(shù)的分類,復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),難度不大,屬于基礎(chǔ)題.4.(5分)(2021?新課標(biāo)Ⅰ)記
S
為等差數(shù)列{a
}的前
n
項(xiàng)和.若
a
+a
=24,S
=48,則{a
}的公差為nn456n()A.1B.2C.4D.8【考點(diǎn)】84:等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;85:等差數(shù)列的前
n項(xiàng)和.【專題】11:計(jì)算題;34:方程思想;4O:定義法;54:等差數(shù)列與等比數(shù)列.【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前
n
項(xiàng)和公式列出方程組,求出首項(xiàng)和公差,由此能求出{a
}的公n差.【解答】解:∵S
為等差數(shù)列{a
}的前
n
項(xiàng)和,a
+a
=24,S
=48,nn45610其中的真命題為()A.p,pB.p,pC.p,pD10a
+3?
+?
+4?
=2411∴{,6×56?
+?
=4812解得
a
=﹣2,d=4,1∴{a
}的公差為
4.n故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列公式的求法及應(yīng)用,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用.5.(5分)(2021?新課標(biāo)Ⅰ)函數(shù)
f(x)在(﹣∞,+∞)單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).若
f(1)=﹣1,則滿足﹣1≤f(x﹣2)≤1的
x
的取值范圍是()A.[﹣2,2]B.[﹣1,1]C.[0,4]D.[1,3]【考點(diǎn)】3P:抽象函數(shù)及其應(yīng)用.【專題】35:轉(zhuǎn)化思想;4R:轉(zhuǎn)化法;51:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.【分析】由已知中函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性,可將不等式﹣1≤f(x﹣2)≤1化為﹣1≤x﹣2≤1,解得答案.【解答】解:∵函數(shù)
f(x)為奇函數(shù).若
f(1)=﹣1,則
f(﹣1)=1,又∵函數(shù)
f(x)在(﹣∞,+∞)單調(diào)遞減,﹣1≤f(x﹣2)≤1,∴f(1)≤f(x﹣2)≤f(﹣1),∴﹣1≤x﹣2≤1,解得:x∈[1,3],故選:D.11a+3?+?+4?=2411∴{,6×511【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的奇偶性,難度中檔.16.(5分)(2021?新課標(biāo)Ⅰ)(1
+
2)(1+x)6展開式中
x2的系數(shù)為()?A.15B.20C.30D.35【考點(diǎn)】DA:二項(xiàng)式定理.【專題】35:轉(zhuǎn)化思想;4R:轉(zhuǎn)化法.【分析】直接利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求解即可.1【解答】解:(1
+
)(1+x)
展開式中:6?21若(1
+
)=(1+x﹣
)提供常數(shù)項(xiàng)
,則(211+x)
提供含有
的項(xiàng),可得展開式中
x2的系數(shù):6x2?21若(1
+
)提供
x﹣
項(xiàng),則(21+x)
提供含有
的項(xiàng),可得展開式中
x2的系數(shù):6x4?2由(1+x)
通項(xiàng)公式可得C6???.6可知
r=2時(shí),可得展開式中
x
的系數(shù)為C62
=15.2可知
r=4時(shí),可得展開式中
x
的系數(shù)為C64
=15.21(1
+
)(1+x)
展開式中
的系數(shù)為:15+15=306x2.?2故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的知識(shí)點(diǎn),通項(xiàng)公式的靈活運(yùn)用.屬于基礎(chǔ)題.7.(5分)(2021?新課標(biāo)Ⅰ)某多面體的三視圖如圖所示,其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的邊長(zhǎng)為
2,俯視圖為等腰直角三角形,該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形,這些梯形的面積之和為()12【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性,函122A.10B.12C.14D.16【考點(diǎn)】L!:由三視圖求面積、體積.【專題】11:計(jì)算題;31:數(shù)形結(jié)合;44:數(shù)形結(jié)合法;5Q:立體幾何.【分析】由三視圖可得直觀圖,由圖形可知該立體圖中只有兩個(gè)相同的梯形的面,根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算即可【解答】解:由三視圖可畫出直觀圖,該立體圖中只有兩個(gè)相同的梯形的面,1S
梯形=×2×(2+4)=6,2∴這些梯形的面積之和為
6×2=12,故選:B.試【點(diǎn)評(píng)】本題考查了體積計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.132A.10B.12C.14D.16【考點(diǎn)】L!:由三視圖求面1328.(5分)(2021秋?巨鹿縣校級(jí)期中)如圖程序框圖是為了求出滿足
3n﹣2n>1000的最小偶數(shù)
n,那么在和兩個(gè)空白框中,可以分別填入()高A.A>1000和
n=n+1C.A≤1000和
n=n+1【考點(diǎn)】EF:程序框圖.B.A>1000和
n=n+2D.A≤1000和
n=n+2【專題】38:對(duì)應(yīng)思想;48:分析法;5K:算法和程序框圖.【分析】通過要求
A>1000時(shí)輸出且框圖中在“否”時(shí)輸出確定“數(shù)的特征確定
n=n+2.”內(nèi)應(yīng)填內(nèi)容;再通過偶試【解答】解:因?yàn)橐?/p>
A>1000時(shí)輸出,且框圖中在“否”時(shí)輸出,所以“”內(nèi)不能輸入“A>1000”,只能是“A≤1000”,又要求
n
為偶數(shù),且
n
的初始值為
0,所以“”中
n
依次加
2可保證其為偶數(shù),所以
D
選項(xiàng)滿足要求.1428.(5分)(2021秋?巨鹿縣校級(jí)期中)如圖程序框圖14故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題.2?9.(5分)(2021?新課標(biāo)Ⅰ)已知曲線
C
:y=cosx,C
:y=sin(2x
+3
),則下面結(jié)論正確的是12()?A.把
C
上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的
2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移
個(gè)單位長(zhǎng)度,16得到曲線
C2?B.把
C
上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的
2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移
個(gè)單位長(zhǎng)度,112得到曲線
C21?C.把
C
上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的
倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移
個(gè)單位長(zhǎng)度,得126到曲線
C21?D.把
C
上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的
倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移
個(gè)單位長(zhǎng)度,1212得到曲線
C2【考點(diǎn)】HJ:函數(shù)
y=Asin(ωx+φ)的圖象變換.【專題】11:計(jì)算題;35:轉(zhuǎn)化思想;57:三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).【分析】利用三角函數(shù)的伸縮變換以及平移變換轉(zhuǎn)化求解即可.1【解答】解:把
C
上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的
倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)
y=cos2x
圖象,再把得12???2?3
)的到的曲線向左平移
個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)
y=cos2(x
+)=cos(2x
+
6)=sin(2x
+1212圖象,即曲線
C
,2故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象變換,誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.15故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題.21510.(5分)(2021?新課標(biāo)Ⅰ)已知
F
為拋物線
C:y2=4x
的焦點(diǎn),過
F
作兩條互相垂直的直線
l
,l
,12直線
l
與
C
交于
A、B
兩點(diǎn),直線
l
與
C
交于
D、E
兩點(diǎn),則|AB|+|DE|的最小值為()12A.16B.14C.12D.10【考點(diǎn)】K8:拋物線的性質(zhì).【專題】11:計(jì)算題;34:方程思想;4R:轉(zhuǎn)化法;5D:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.【分析】方法一:根據(jù)題意可判斷當(dāng)
A
與
D,B,E
關(guān)于
x
軸對(duì)稱,即直線
DE
的斜率為
1,|AB|+|DE|最小,根據(jù)弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可.?方法二:設(shè)直線
l
的傾斜角為
θ,則
l
的傾斜角為2
+θ,利用焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式分別表示出|AB|,12|DE|,整理求得答案【解答】解:如圖,l
⊥l
,直線
l
與
C
交于
A、B
兩點(diǎn),121直線
l
與
C
交于
D、E
兩點(diǎn),2要使|AB|+|DE|最小,則
A
與
D,B,E
關(guān)于
x
軸對(duì)稱,即直線
DE
的斜率為
1,又直線
l
過點(diǎn)(1,0),2則直線
l
的方程為
y=x﹣1,22聯(lián)立方程組{y=4?,則
y
﹣4y﹣
=
,402?
=?
?
1∴y
+y
=4,y
y
=﹣4,121
211+2×
32
=8,∴|DE|
=?|y
﹣y
|
=?212∴|AB|+|DE|的最小值為
2|DE|=16,1610.(5分)(2021?新課標(biāo)Ⅰ)已知F為拋物線C16?方法二:設(shè)直線
l
的傾斜角為
θ,則
l
的傾斜角為2
+θ,122?4根據(jù)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得|AB|
==???2?
???2?2?2?=4|DE|
==????2?
???2?2???
(
+?)244416∴|AB|+|DE|
=+==,???2?
???2?
???
????
?
???
2?222∵0<sin22θ≤
,1∴當(dāng)
θ=45°時(shí),|AB|+|DE|的最小,最小為
16,故選:A.練試卷
測(cè)【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及直線和拋物線的位置關(guān)系,弦長(zhǎng)公式,對(duì)于過焦點(diǎn)的弦,能熟練掌握相關(guān)的結(jié)論,解決問題事半功倍屬于中檔題.11.(5分)(2021?新課標(biāo)Ⅰ)設(shè)
x、y、z
為正數(shù),且
2x=3y=5z,則()17?方法二:設(shè)直線l的傾斜角為θ,則l的傾斜角為217A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z【考點(diǎn)】72:不等式比較大小.【專題】35:轉(zhuǎn)化思想;51:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;59:不等式的解法及應(yīng)用.????????3?????5【分析】x、y、z
為正數(shù),令
2
=
=
=
>
.lgk>
.可得x3y
5zk10x
=,y=,
=z.可得
3y??2?????????=
??
3,2x
=,5z
=
??
5.根據(jù)33=6
9>6
8=2,
2
=
32>101025=5
5.即可得出大小關(guān)3??
25系.??????
???
2?,z
=??3
??5
3?23另解:x、y、z
為正數(shù),令
2
=
=
=
>
.
>
.可得x3y
5zk1lgk0x
=,y=.=×??2??3
??9=>1,可得
2x>3y,同理可得
5z>2x.??2
??8【解答】解:x、y、z
為正數(shù),令
2
=
=
=
>
.lgk>
.x3y
5zk10?????2?????3?????5則
x
=,y
=,z
=.?????????∴3y
=
??
3,2x
=,5z
=
??
5.3??
25∵33=6
9>6
8=2,
2
=
32>10
5.25=510∴l(xiāng)g3
3>lg
2>lg5
5>0.∴3y<2x<5z.另解:x、y、z
為正數(shù),令
2
=
=
=
>
.lgk>
.x3y
5zk10?????2?????3?????5則
x
=,y
=,z
=.2?2??3
??9∴=×3=>1,可得
2x>3y,3???2
??818A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2x185?2?52??2
??25??52>1.可得
5z>2x.=×=??5綜上可得:5z>2x>3y.解法三:對(duì)
k
取特殊值,也可以比較出大小關(guān)系.故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、換底公式、不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.12.(5分)(2021?新課標(biāo)Ⅰ)幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案:已知數(shù)列
1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一項(xiàng)是
2
,接下來的0兩項(xiàng)是
2
,
,再接下來的三項(xiàng)是
,
,
,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)
:
>100且02120
21
22NN該數(shù)列的前
N
項(xiàng)和為
2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是()A.440B.330C.220D.110【考點(diǎn)】8E:數(shù)列的求和.【專題】35:轉(zhuǎn)化思想;4R:轉(zhuǎn)化法;54:等差數(shù)列與等比數(shù)列.?(?
+1)【分析】方法一:由數(shù)列的性質(zhì),求得數(shù)列{b
}的通項(xiàng)公式及前
n
項(xiàng)和,可知當(dāng)
N
為時(shí)n2(n∈N
),數(shù)列{a
}的前
N
項(xiàng)和為數(shù)列{b
}的前
n
項(xiàng)和,即為
2
﹣
﹣
,容易得到
>n+1n2N100時(shí),n≥+nn14,分別判斷,即可求得該款軟件的激活碼;方法二:由題意求得數(shù)列的每一項(xiàng),及前
n
項(xiàng)和
S
=2n+1﹣
﹣
,及項(xiàng)數(shù),由題意可知:2n2n+1為
2的n整數(shù)冪.只需將﹣2﹣n
消去即可,分別即可求得
N
的值.?【解答】解:設(shè)該數(shù)列為{a
},設(shè)
b
=?(?
?
1)?+?
+a?(?
+
1)
=2n+1﹣1,(n∈N),則∑+??
=nni
=
1+
122?(?
+
1)∑2i
=
1ai,195?5??2??25=×=??5綜上可得:5z>2x>3y19由題意可設(shè)數(shù)列{a
}的前
N
項(xiàng)和為
S
,數(shù)列{b
}的前
n
項(xiàng)和為
T
,則
T
=2
﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣
=11nNnnn2n+1﹣n﹣2,?(?
+1)可知當(dāng)
N
為n
2時(shí)(n∈N
),數(shù)列{a
}的前
N
項(xiàng)和為數(shù)列{b
}的前
n
項(xiàng)和,即為
2n+1﹣
﹣
,+
n
n2容易得到
N>100時(shí),n≥14,29×30A
項(xiàng),由=435,440=435+5,可知
S440=T
+b
=230﹣29﹣2+25﹣1=230,故
A
項(xiàng)符合題29
52意.25×262B
項(xiàng),仿上可知=325,可知
S330=T
+b
=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4,顯然不為
2的整數(shù)25
5冪,故
B
項(xiàng)不符合題意.20×21C
項(xiàng),仿上可知=210,可知
S220=T
+b
=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23,顯然不為
2的20
102整數(shù)冪,故
C
項(xiàng)不符合題意.14×15D
項(xiàng),仿上可知=105,可知
S110=T
+b
=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15,顯然不為
2的整數(shù)14
52冪,故
D
項(xiàng)不符合題意.故選
A.20,21
20,12220122?
?
1,
,
,?,,2,
,220,?方法二:由題意可知:
2
︸
,第二項(xiàng)第三項(xiàng)第?項(xiàng)第一項(xiàng)根據(jù)等比數(shù)列前
n
項(xiàng)和公式,求得每項(xiàng)和分別為:2
﹣
,
﹣
,
﹣
,…,
﹣
,112212312n1每項(xiàng)含有的項(xiàng)數(shù)為:1,2,3,…,n,(1+?)?總共的項(xiàng)數(shù)為
N=1+2+3+…+n
=,22(1?
2?)1?
2所有項(xiàng)數(shù)的和為
S
:2
﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣
=(21+22+23+…+2n)﹣n11=?
n=2n+1﹣2n﹣n,由題意可知:2n+1為
2的整數(shù)冪.只需將﹣
﹣
消去即可,2n20由題意可設(shè)數(shù)列{a}的前N項(xiàng)和為S,數(shù)列的20(1+1)×12則①1+2+(﹣2﹣n)=0,解得:n=1,總共有+2=3,不滿足
N>100,+3=18,不滿足
N>100,(1+5)×52②1+2+4+(﹣2﹣n)=0,解得:n=5,總共有(1+13)×13③1+2+4+8+(﹣2﹣n)=0,解得:n=13,總共有+4=95,不滿足
N>100,2(1+29)×292④1+2+4+8+16+(﹣2﹣n)=0,解得:n=29,總共有+5=440,滿足
N>100,∴該款軟件的激活碼
440.故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列的前
n
項(xiàng)和,考查計(jì)算能力,屬于難題.二、填空題:本題共
4
小題,每小題
5
分,共
20
分.→→→→→→13.(5分)(2021?新課標(biāo)Ⅰ)已知向量a,b的夾角為
60°,|a|=2,|b|=1,則|a
+2b|=
2
3
.【考點(diǎn)】9O:平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.【專題】31:數(shù)形結(jié)合;4O:定義法;5A:平面向量及應(yīng)用.【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積求出模長(zhǎng)即可.→→→→【解答】解:【解法一】向量a,b的夾角為
60°,且|a|=2,|b|=1,2→2→
→→2∴(?
+2?)
=
a
+4a?b
+4b=22+4×
×
×cos60°+4×12→→21=12,→→∴|a
+2b|=2
3.【解法二】根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示;21(1+1)×1則①1+2+(﹣2﹣n)=0,解得:n21→→→→→結(jié)合圖形OC
=OA
+OB
=
a
+2b;在△OAC
中,由余弦定理得→22|OC|
=
2
+2
?
2×2×2×???120°
=2
3,高考復(fù)→→即|a
+2b|=2
3.故答案為:2
3.練14.(5分)(2021?新課標(biāo)Ⅰ)設(shè)
x,y
滿足約束條件【考點(diǎn)】7C:簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用問題,解題時(shí)應(yīng)利用數(shù)量積求出模長(zhǎng),是基礎(chǔ)題.x
+
2y
≤
12?
+?
≥?
1?
?
?
≤
0{,則
z=3x﹣2y
的最小值為﹣5
.【專題】11:計(jì)算題;31:數(shù)形結(jié)合;35:轉(zhuǎn)化思想;5T:不等式.【分析】由約束條件作出可行域,由圖得到最優(yōu)解,求出最優(yōu)解的坐標(biāo),數(shù)形結(jié)合得答案.x
+
2y
≤
12?
+?
≥?
1?
?
?
≤
0{【解答】解:由
x,y
滿足約束條件作出可行域如圖,由圖可知,目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解為
A,{x
+
2y
=
12?
+?
=?
1聯(lián)立,解得
A(﹣1,1).22→→→→→結(jié)合圖形OC=OA+OB=a+2b22202∴z=3x﹣2y
的最小值為﹣3×1﹣2×1=﹣5.故答案為:﹣5.高考【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃,考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是中檔題.?2
?215.(5分)(2021?新課標(biāo)Ⅰ)已知雙曲線
C:?=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為
A,以
A
為圓心,b?2
?2為半徑作圓
A,圓
A
與雙曲線
C
的一條漸近線交于
M、N
兩點(diǎn).若∠MAN=60°,則
C
的離心率為2
33
.【考點(diǎn)】KC:雙曲線的性質(zhì).【專題】11:計(jì)算題;35:轉(zhuǎn)化思想;49:綜合法;5D:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.【分析】利用已知條件,轉(zhuǎn)化求解
A
到漸近線的距離,推出
a,c
的關(guān)系,然后求解雙曲線的離心率即可.?2
?2【解答】解:雙曲線
C:?=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為
A(a,0),?2
?2以
A
為圓心,b
為半徑做圓
A,圓
A
與雙曲線
C
的一條漸近線交于
M、N
兩點(diǎn).3若∠MAN=60°,可得
A
到漸近線
bx+ay=0的距離為:bcos30°
=
2
?,23202∴z=3x﹣2y的最小值為﹣3×1﹣2×1=﹣5.故23|??|3?32
3可得:=
2
?,即
=
,可得離心率為:e
=
3
.?2
+?2?22
3故答案為:
3.【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,點(diǎn)到直線的距離公式以及圓的方程的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.16.(5分)(2021?新課標(biāo)Ⅰ)如圖,圓形紙片的圓心為
O,半徑為
5cm,該紙片上的等邊三角形
ABC
的中心為
O.D、E、F
為圓
O
上的點(diǎn),△DBC,△ECA,△FAB
分別是以
BC,CA,AB
為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以
BC,CA,AB
為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得
D、E、F
重合,得到三棱錐.當(dāng)△ABC
的邊長(zhǎng)變化時(shí),所得三棱錐體積(單位:cm
)的最大值為
4
15cm3
.3【考點(diǎn)】LF:棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積.【專題】11:計(jì)算題;35:轉(zhuǎn)化思想;49:綜合法;5E:圓錐曲線中的最值與范圍問題.3【分析】法一:由題,連接
OD,交
BC
于點(diǎn)
G,由題意得
OD⊥BC,OG
=
6
BC,設(shè)
OG=x,則
BC1=
2
3x,
DG=
5﹣
x,
三
棱
錐
的
高
h
=
25?
10?,
求
出
S△
ABC=
3
3?2,
V
=?×?
=
3
?3
△
???525?
?
10?54410x5,x∈(
,
),
′(
)=100x3﹣50x4,
(
)≤
(
)=,令
f(x)=25x
﹣0fxfxf280,由2此能求出體積最大值.133322法二:設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為
x,則
OG
=
3×
2
?
=
6
?,F(xiàn)G=SG=5
-
6
?,SO=h
=
??
?
??
=33322
=(5
-
6
?)
?
(
?)5(5
-
3
?),由此能示出三棱錐的體積的最大值.624|??|3?323可得:=2?,即=,可得離心率為243【解答】解法一:由題意,連接
OD,交
BC
于點(diǎn)
G,由題意得
OD⊥BC,OG
=
6
BC,即
OG
的長(zhǎng)度與
BC
的長(zhǎng)度成正比,設(shè)
OG=x,則
BC=2
3x,DG=5﹣x,2222三棱錐的高
h
=
??
?
??
=
25
-
10x
+
?
?
?
=
25
-
10x,1×
23×(2
3?)2
=3
3
,?2S
△
???=21225?
10?
=
3
?
25?4
?
10?5,則
V
=
?×?
=
3?
×△
???35令
f(x)=25x
﹣10x5,x∈(
,
),
′(
)=100x3﹣50x440fx,2令
f′(x)≥0,即
x
﹣
≤
,解得
≤
,42x30x
2則
f(x)≤f(2)=80,3×
80=4
15cm
,∴體積最大值為4
15cm3.3∴V
≤故答案為:4
15cm
.3133解法二:如圖,設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為
x,則
OG
=
3×
2
?
=
6
?,3∴FG=SG=5
-
6
?,333?),32222SO=h
=
??
?
??
=
(5
-?)
?
(
?)
=
5(5
-661∴三棱錐的體積
V
=
??
?△
???31333153?5,=×
4×5(5?
3
?)
=
12
5?
?433?5,則b'(x)
=
20?3
?
5
3令
b(x)=5x
-4?4,33253【解答】解法一:由題意,連接OD,交BC于點(diǎn)G,由254?令
b′(x)=0,則
4x
-33=0,解得
x=4
3,75×48×
5?
4=4
15∴V???
=(cm
).312故答案為:4
15cm
.3高考復(fù)習(xí)練習(xí)【點(diǎn)評(píng)】本題考查三棱錐的體積的最大值的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系、函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.三、解答題:共
70
分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第
17~21
題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第
22、23
題為選考題,考生根據(jù)要求作答.(一)必考題:共
60
分.17.(12分)(2021?新課標(biāo)Ⅰ)△ABC
的內(nèi)角
A,B,C
的對(duì)邊分別為
a,b,c,已知△ABC
的面積為?2.3????264令b′(x)=0,則4x-33=0,解得x=426(1)求
sinBsinC;(2)若
6cosBcosC=1,a=3,求△ABC
的周長(zhǎng).【考點(diǎn)】HP:正弦定理;HR:余弦定理.【專題】11:計(jì)算題;33:函數(shù)思想;4R:轉(zhuǎn)化法;56:三角函數(shù)的求值;58:解三角形.【分析】(1)根據(jù)三角形面積公式和正弦定理可得答案,1?(2)根據(jù)兩角余弦公式可得
cosA
=
,即可求出
A
=
3,再根據(jù)正弦定理可得
bc=8,根據(jù)余弦定理2即可求出
b+c,問題得以解決.12?2【解答】解:(1)由三角形的面積公式可得
S△ABC=acsinB
=,3????∴3csinBsinA=2a,由正弦定理可得
3sinCsinBsinA=2sinA,∵sinA≠0,2∴sinBsinC
=;3(2)∵6cosBcosC=1,1∴cosBcosC
=,616231∴cosBcosC﹣sinBsinC
=?=?
,21∴cos(B+C)
=-,21∴cosA
=,2∵0<A<π,27(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=127?∴A
=
3,???3=2R
=
=2
3,∵==????
????
????32??????2∴sinBsinC
=?===
,2?
2?3
2
123(2)∴bc=8,∵a
=b2+c2﹣2bccosA2,∴b2+c2﹣bc=9,∴(b+c)
=9+3cb=9+24=332,33∴b+c
=∴周長(zhǎng)
a+b+c=3
+
33.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積公式和兩角和的余弦公式和誘導(dǎo)公式和正弦定理余弦定理,考查了學(xué)生的運(yùn)算能力,屬于中檔題.18.(12分)(2021?新課標(biāo)Ⅰ)如圖,在四棱錐
P﹣ABCD
中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)證明:平面
PAB⊥平面
PAD;試卷(2)若
PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角
A﹣PB﹣C
的余弦值.【考點(diǎn)】LY:平面與平面垂直;MJ:二面角的平面角及求法.【專題】15:綜合題;31:數(shù)形結(jié)合;41:向量法;5G:空間角.28?∴A=3,???3∵==????????????328【分析】(1)由已知可得
PA⊥AB,PD⊥CD,再由
AB∥CD,得
AB⊥PD,利用線面垂直的判定可得AB⊥平面
PAD,進(jìn)一步得到平面
PAB⊥平面
PAD;(2)由已知可得四邊形
ABCD
為平行四邊形,由(1)知
AB⊥平面
PAD,得到
AB⊥AD,則四邊形ABCD
為矩形,設(shè)
PA=AB=2a,則
AD
=
2
2?.取
AD
中點(diǎn)
O,BC
中點(diǎn)
E,連接
PO、OE,以
O
為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以
OA、OE、OP
所在直線為
x、y、z
軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面
PBC
的一個(gè)→法向量,再證明
PD⊥平面
PAB,得PD為平面
PAB
的一個(gè)法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得二面角
A﹣PB﹣C
的余弦值.【解答】(1)證明:∵∠BAP=∠CDP=90°,∴PA⊥AB,PD⊥CD,∵AB∥CD,∴AB⊥PD,又∵PA∩PD=P,且
PA?平面
PAD,PD?平面
PAD,∴AB⊥平面
PAD,又
AB?平面
PAB,∴平面
PAB⊥平面
PAD;(2)解:∵AB∥CD,AB=CD,∴四邊形
ABCD
為平行四邊形,由(1)知
AB⊥平面
PAD,∴AB⊥AD,則四邊形
ABCD
為矩形,在△APD
中,由
PA=PD,∠APD=90°,可得△PAD
為等腰直角三角形,設(shè)
PA=AB=2a,則
AD
=
2
2?.取
AD
中點(diǎn)
O,BC
中點(diǎn)
E,連接
PO、OE,以
O
為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以
OA、OE、OP
所在直線為
x、y、z
軸建立空間直角坐標(biāo)系,2?,0,0),B(
2?,2?,0),P(0,0,
2
),C(
-
2?,2?,0).?則:D(
-→→→PD
=(?
2?,0,
?2?),PB
=(
2?,2?,
?2?),BC
=(?
2
2?,0,0).→設(shè)平面
PBC
的一個(gè)法向量為n
=(?,?,?),29【分析】(1)由已知可得PA⊥AB,PD⊥CD,再由AB29→n→→{?
??
=02??
+2??
?
2??
=0,得{?
2
2??
=0→,取
y=1,得n
=(0,1,
2).由→?
?
??
=0∵AB⊥平面
PAD,AD?平面
PAD,∴AB⊥PD,又
PD⊥PA,PA∩AB=A,→→∴PD⊥平面
PAB,則PD為平面
PAB
的一個(gè)法向量,PD
=(?
2?,0,
?
2?).→→??
?
??
2?3=?
3.→→∴cos<??,?>
==→→2?
×
3|??||?|由圖可知,二面角
A﹣PB﹣C
為鈍角,3∴二面角
A﹣PB﹣C
的余弦值為
-
3.練【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面與平面垂直的判定,考查空間想象能力和思維能力,訓(xùn)練了利用空間向量求二面角的平面角,是中檔題.19.(12分)(2021?新課標(biāo)Ⅰ)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取
16個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布
N(μ,σ
).2(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記
X
表示一天內(nèi)抽取的
16個(gè)零件中其尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù),求
P(X≥1)及
X
的數(shù)學(xué)期望;30→→{???=02??+2???2??=030(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.(?。┰囌f明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;(ⅱ)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的
16個(gè)零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.229.929.9810.049.9510.269.9110.1310.0210.0410.05111161616(∑經(jīng)計(jì)算得x
=∑??
=9.97,s
=∑(?
?
?)2
=???2
?
16?2)≈0.212,其中
x
為抽i16
?
=
116
?
=
116
?
=
1取的第
i
個(gè)零件的尺寸,i=1,2,…,16.用樣本平均數(shù)x作為
μ
的估計(jì)值μ,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差
s
作為σ的估計(jì)值σ,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查?剔除(?
?
3?,?
+3?)之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)
μ
和σ(精確到
0.01).附:若隨機(jī)變量
Z
服從正態(tài)分布
N(μ,σ
),則
(
﹣
σ<
<μ+3σ)=0.9974,0.9974162Pμ3Z≈0.9592,
0.008
≈
0.09.【考點(diǎn)】CP:正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.【專題】11:計(jì)算題;35:轉(zhuǎn)化思想;4A:數(shù)學(xué)模型法;5I:概率與統(tǒng)計(jì).【分析】(1)通過
P(X=0)可求出
P(X≥1)=1﹣P(X=0)=0.0408,利用二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算可得結(jié)論;(2)(ⅰ)由(1)及知落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外為小概率事件可知該監(jiān)控生產(chǎn)過程方法合理;(ⅱ)通過樣本平均數(shù)x、樣本標(biāo)準(zhǔn)差
s
估計(jì)μ、σ可知(?
?
3?,?
+3?)=(9.334,10.606),進(jìn)而需剔除(?
?
3?,?
+3?)之外的數(shù)據(jù)
9.22,利用公式計(jì)算即得結(jié)論.【解答】解:(1)由題可知尺寸落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之內(nèi)的概率為
0.9974,31(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ31則落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的概率為
1﹣0.9974=0.0026,0(1﹣0.9974)0×0.997416≈0.9592,因?yàn)?/p>
P(X=0)
=
?×16所以
P(X≥1)=1﹣P(X=0)=0.0408,又因?yàn)?/p>
X~B(16,0.0026),所以
E(X)=16×0.0026=0.0416;(2)(?。┤绻a(chǎn)狀態(tài)正常,一個(gè)零件尺寸在(?
?
3?,?
+3?)之外的概率只有
0.0026,一天內(nèi)抽取的
16個(gè)零件中,出現(xiàn)尺寸在(?
?
3?,?
+3?)之外的零件的概率只有
0.0408,發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種狀況,就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查,可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.(ⅱ)由x
=9.97,s≈0.212,得
μ
的估計(jì)值為μ
=9.97,σ的估計(jì)值為σ
=0.212,由樣本數(shù)據(jù)可以看出一個(gè)零件的尺寸在(?
?
3?,?
+3?)之外,因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.剔除(?
?
3?,?
+3?)之外的數(shù)據(jù)
9.22,剩下的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1(16×9.97﹣9.22)=10.02,15因此
μ
的估計(jì)值為
10.02.16∑??2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134,i
=
1剔除(?
?
3?,?
+3?)之外的數(shù)據(jù)
9.22,剩下的數(shù)據(jù)的樣本方差為1(1591.134﹣9.22
﹣215×10.022)≈0.008,15因此σ的估計(jì)值為
0.008
≈
0.09.32則落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的概率為1﹣0.9974=32【點(diǎn)評(píng)】本題考查正態(tài)分布,考查二項(xiàng)分布,考查方差、標(biāo)準(zhǔn)差,考查概率的計(jì)算,考查運(yùn)算求解能力,注意解題方法的積累,屬于中檔題.?2
?220.(12分)(2021秋?陸川縣校級(jí)期末)已知橢圓C:?2
?2=1(?>?>0),四點(diǎn)P
(1,1),?
(0,1),1
2+33)中恰有三點(diǎn)在橢圓上.
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