陜西省西北工業(yè)大學(xué)附中2022年高考全國統(tǒng)考預(yù)測密卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。22B0．53．4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。125601．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，正視圖、側(cè)視圖和俯視圖都是由一個(gè)邊長為a則這個(gè)幾何體的表面積是（ ）34a2B．6 a22C．6 a24D．64已知復(fù)數(shù)z滿足i(3z)1i，則z的虛部為（ ）A．

B．i

．1 ．1若函數(shù)f(x)x3ax23x9在x3時(shí)取得極值，則a（ ）A．24．已知向量A．-2

B．3 C．4 D．5 0,2，b2 3,x ，且a與b的夾角為，則 3B．2 C．1 D．-1x2若雙曲線C：m

y21的一條漸近線方程為3x2y0，則m（ ）4 9A． B．9 4

2 3C． D．3 2sin

1tan22已知2

2cos 1,

(, )，則 （ ）1tan12

21D．22某人用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)無理數(shù)eAx軸的垂線與曲線 yex相交于點(diǎn)B，過B作y軸的垂線與y軸相交于點(diǎn)C（如圖，然后向矩形OABC內(nèi)投入M粒豆子，并統(tǒng)計(jì)出這些豆子在曲線yex上方的有N粒NM ，則無理數(shù)e NMN

MMN

MN MD．N N由曲線yx3,y x圍成的封閉圖形的面積為（ ）5 1A． B．12 3

1 1C． D．4 2數(shù)學(xué)王子高斯函數(shù)xR，用xxy稱為高斯函數(shù)，例如：0.511，已知函數(shù)f(x)

x2

32x

（0x2，則函數(shù)yf(x)的值域?yàn)椋?）A．1,3

C．

22(i1)24復(fù)數(shù)z 的虛部為（ ）i1A．—1 B．—3 C．1 D．2在平行四邊形ABCD 中，AB3,AD2,AP1AB,AQ

1AD,若CPCQ12,則( )6

3 22 2C． D．4 3 2已知在BCabcf(x)

1x3 bx2

1a2c21

x存在極值，則13 2 41角B的取值范圍是（ ）A．0,

B． ,

C．,

D．,36 36

36 36二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在平面直角坐標(biāo)系 中，已知 ，若圓 上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)C，使△ABC的面積為5，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .14．驗(yàn)證碼就是將一串隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)字或符號，生成一幅圖片，圖片里加上一些干擾象素（防OCR，由用戶肉眼別其中的驗(yàn)證碼信息，輸入表單提交網(wǎng)站驗(yàn)證，驗(yàn)證成功后才能使用某項(xiàng)功很多網(wǎng)站利用驗(yàn)證碼技術(shù)來防止惡意登錄，以提升網(wǎng)絡(luò)安全在抗疫期間，某居民小區(qū)電子出入證的登錄驗(yàn)證碼由0，1，2，…，9中的五個(gè)數(shù)字隨機(jī)組成將中間數(shù)字最大，然后向兩邊對稱遞減的驗(yàn)證碼稱鐘型驗(yàn)證碼（例如：如14531254，已知某人收到了一鐘型驗(yàn)證碼”，則該驗(yàn)證碼的中間數(shù)字是7的概率為 .某高中共有1800人，其中高一、高二、高三年級的人數(shù)依次成等差數(shù)列，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取60人那么高二年級被抽取的人數(shù)．已知過點(diǎn)Oy3xA、BA在線段OBAyy9x的圖象于CBCxA的橫坐標(biāo)是三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分如圖在四棱錐PABCD中，BCCD，ADCD，PA3 2，ABC和PBC均為邊長為2 3的等邊三角形.求證：平面PBC平面ABCD ；求二面角CPBD的余弦值.18（12分）如圖，已知平面QBC與直線PA均垂直于RtABC所在平面，且PAABAC．求證：PA //平面QBC；若PQ平QBC，求CQ與平面PBC 所成角的正弦.19（12分）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，EF//AC，EF1，ABC600，CE平面ABCD，CE 3，CD2，G是DE的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面ACG//平面BEF；（ⅠⅠ）求直線AD與平面ABF 所成的角的正弦值.1 20（12分）已知函數(shù)f(x) m2

x21

lnx(mR).（1）若m1f(x0.f(x的極值；是否存在實(shí)數(shù)mfx1

在上恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請說明理由.21（12分）已知函數(shù)f(x)exlnx.a

x ex1（1）f(x在[1,2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最大值；（2）若0a1f(x2lna.a22（10分PABCDABCD是邊長為2PADPADABCDEFABPC的中點(diǎn).（1）求證：EF//平面PAD；（（文科）求三棱錐BEFC的體積；（理科）PECD的正切值.參考答案125601．C【解析】畫出直觀圖，由球的表面積公式求解即可【詳解】18個(gè)球而形成的，所以它的表面積為 a2 1 S3a23a2

a2848

6

a2.44故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及幾何體的表面積的計(jì)算，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.2．C【解析】z2i，即可得答案.【詳解】∵i(3z)1i，∴3z1i1i，iz2iz的虛部為1.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、虛部概念，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3．D【解析】對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在x3時(shí)取得極值，得到f30，即可求出結(jié)果.【詳解】fxx3ax23x9fx3x22ax3，fxx3ax23x9x時(shí)取得極值，f3276a30，解得a5.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的問題，屬于?？碱}型.4．B【解析】由題意cos3【詳解】由題意cos3

ab，代入解方程即可得解.ababab 2xab 2 x2121x212x0，且2xx212

，解得x2.【點(diǎn)睛】本題考查了利用向量的數(shù)量積求向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題.5．A【解析】根據(jù)雙曲線的漸近線列方程，解方程求得m的值.【詳解】m由題意知雙曲線的漸近線方程為y 1m故選：A

x03x2y0y3x，則1m2m

，解得m4.32 93【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線，屬于基礎(chǔ)題.6．B【解析】結(jié)合sin2cos21求得sin,cos.【詳解】sin2cos由

，以及(，解得sin3,cos4.sin2cos21 2 5 5sin1 2

21tan

cos

cos

sin

cos sin

12cos sin2 2 2 2

2 2 2 2 1tan2

sin2

cos2

cos sin cos sin

cos2

sin22 21 cos2

2 2 2 21sin

13 52.cos 45故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡求值，考查二倍角公式，屬于中檔題.7．D【解析】利用定積分計(jì)算出矩形OABC 中位于曲線yex上方區(qū)域的面積，進(jìn)而利用幾何概型的概率公式得出關(guān)于e的等式解出e的表達(dá)式即可.【詳解】yexx1

y

BC

ye，1 矩形OABCyex上方區(qū)域的面積為S0

eex

dx

exex

11，0矩形OABC的面積為1ee，N由幾何概型的概率公式得

1eM.D.【點(diǎn)睛】

M e N本題考查利用隨機(jī)模擬的思想估算e的值，考查了幾何概型概率公式的應(yīng)用，同時(shí)也考查了利用定積分計(jì)算平面區(qū)域的面積，考查計(jì)算能力，屬于中等題.8．A【解析】先計(jì)算出兩個(gè)圖像的交點(diǎn)分別為0,0,1,1，再利用定積分算兩個(gè)圖形圍成的面積.【詳解】

1

2 3 1 5

xx3

dx x2 x4 A.0【點(diǎn)睛】

3 0 4 0 12本題考察定積分的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.解題時(shí)注意積分區(qū)間和被積函數(shù)的選取.9．B【解析】fxfxyf(x)的值域.【詳解】

4x 12f(x

x2

32x

（0x2，所以y

32x4 2x1 242

32x4，令2xt（1t4，則1 1 3ft) t2t4（1t4，函數(shù)的對稱軸方程為t3，所以ft222f(x13yf(x)的值域?yàn)?2故選：B【點(diǎn)睛】

min

f(3) ，f(t)2

max

f(1) ，所以2.10．B【解析】對復(fù)數(shù)z進(jìn)行化簡計(jì)算，得到答案.【詳解】(i1)24 42i 2i1iz 1i1 1i 2所以z的虛部為3故選B項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算，虛部的概念，屬于簡單題.11．C【解析】由CPCBBPAD

ABCDDQAB

AD利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)先求得BAD ,3 2 3利用平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】如圖所示,平行四邊形ABCD 中, AB3,AD2,AP1AB,AQ1AD，3 2CPCBBPAD3

AB，CQCDDQAB2

AD,因?yàn)镃PCQ12,所以CPCQAD2ABAB1AD 3 2 2AB21AD24ABAD3 2 3212 42323 212 42323cosBAD1，BAD,2 3所以ADC3

2，故選C.3【點(diǎn)睛】.向量的運(yùn)算有兩種方法（１）形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）.12．C【解析】求出導(dǎo)函數(shù)f(x)，由f(x)0有不等的兩實(shí)根，即可得不等關(guān)系，然后由余弦定理可及余弦函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】1 1 1

1 f(x) x3 bx2 a2c2ac x，f(x)x2bx

a2c2ac.3 2 4 41 若f(x)存在極值，則b24 a2c2ac 0，a2c2b2ac4又cosB

a2c2b2

,cosB1

.又B0,,

B． 2ac 2 3故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值，考查余弦定理．掌握極值存在的條件是解題關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13（ ，）【解析】求出AB的長度，直線方程，結(jié)合△ABC的面積為5，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離進(jìn)行求解即可．【詳解】解：AB的斜率k ，|AB|5，設(shè)△ABC的高為h，則∵△ABC的面積為5，∴S |AB|h h＝5，即h＝2，直線AB的方程為y﹣a x，即4x﹣3y+3a＝0若圓x2+y2＝9上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)C，則圓心O到直線4x﹣3y+3a＝0的距離d ，則應(yīng)該滿足即 1，得|3a|＜5得 a ，故答案為（ ，）【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，求出直線方程和AB的長度，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離是解決本題的關(guān)鍵．514．36【解析】首先判斷出中間號碼的所有可能取值，由此求得基本事件的總數(shù)以及中間數(shù)字是7的事件數(shù)，根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式計(jì)算出所求概率.【詳解】根據(jù)鐘型驗(yàn)證碼”中間數(shù)字最大，然后向兩邊對稱遞減，所以中間的數(shù)字可能是4,5,6,7,8,9 .當(dāng)中間是4時(shí)，其它4個(gè)數(shù)字可以是0,1,2,3，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一，另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一，所以方法數(shù)有C2C

6種.4 2當(dāng)中間是5時(shí)，其它4個(gè)數(shù)字可以是0,1,2,3,4，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一，另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一，所以方法數(shù)有C2C

10330種.5 3當(dāng)中間是6時(shí)，其它4個(gè)數(shù)字可以是0,1,2,3,4,5（排法唯一（排法唯一，所以方法數(shù)有C2C

15690種.6 4當(dāng)中間是7時(shí)，其它4個(gè)數(shù)字可以是0,1,2,3,4,5,6，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一，另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一，所以方法數(shù)有C2C

2110210種.7 5當(dāng)中間是8時(shí)，其它4個(gè)數(shù)字可以是0,1,2,3,4,5,6,7 ，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一，另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一，所以方法數(shù)有C2C

2815420種.8 6當(dāng)中間是9時(shí)，其它4個(gè)數(shù)字可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8 ，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一，另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一，所以方法數(shù)有C2C

3621756種.9 775故答案為：36【點(diǎn)睛】

210 2105.63090210420756 1512 36本小題主要考查古典概型概率計(jì)算，考查分類加法計(jì)數(shù)原理、分類乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.15．20【解析】由三個(gè)年級人數(shù)成等差數(shù)列和總?cè)藬?shù)可求得高二年級共有600人，根據(jù)抽樣比可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)高一、高二、高三人數(shù)分別為abc，則ac且abc1800，b600，用分層抽樣的方法抽取60人，那么高二年級被抽取的人數(shù)為6020.【點(diǎn)睛】

60020人．1800本題考查分層抽樣問題的求解，涉及到等差數(shù)列的相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題.16．log23【解析】通過設(shè)出A點(diǎn)坐標(biāo)，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，通過BC∥x軸，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，于是再利用k k 可得答案.OA OB【詳解】

Aa,3a

，則C

a,9a

,BCxyC

y 9ay3x，Bx

2aBaA在線段OBk

3ak ，即 3a

9a，解得Balog2.3

OA OB

a 2a三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17(1)見證明；(2)

31313【解析】(1)取BC的中點(diǎn)O，連接OP,OA，要證平面PBC平面ABCD，轉(zhuǎn)證OP平面ABCD，即證OPOA，OPBC 即可以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A,OB,OP為x,y,z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面PBD與平面PBC的法向量，代入公式，即可得到結(jié).【詳解】BC的中點(diǎn)O，連接OPOA，因?yàn)锳BC,PBC均為邊長為2 3的等邊三角形所以AOBC，OPBC，且OAOP3因?yàn)锳P3 2，所以O(shè)P2OA2AP2，所以O(shè)POA，又因?yàn)镺ABCOOAABCDBCABCD，所以O(shè)PABCD.又因?yàn)镺PPBCPBCABCD.BCCD為等邊三角形，所以ACD6

，又因?yàn)锳DCD，所以CAD6

，ADC2，3在ADC中，由正弦定理，得： AC

CD

，所以CD2.sinADC sinCAD以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)AOBOPxyz軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，P，

B

D2, 3,0

BP0,

BD2, 設(shè)平面PBD的法向量為nx,y,z，n·BP0

3y3z0則 ，即 ，·BD0 2x2 3y0 令z1，則平面PBD的一個(gè)法向量為n3, 3,1依題意，平面PBC的一個(gè)法向量m所以cosn

313mn 13故二面角CPBD的余弦值為313.13【點(diǎn)睛】空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是（）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系（）3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量）將空（）.218（）（）3【解析】（Ⅰ）證明：過點(diǎn)Q作QDBC于點(diǎn)D，∵平面QBCABCQDPAABC∴QD∥PA,QD平面QBC∴PA∥平面QBC（Ⅱ）∵PQ平面QBCPQBPQC90PBPCPQPQPQB≌PQCBQCQDBCADADBCAD平面QBCPQADADQD∴四邊形PADQ是矩形設(shè)PAABAC2a，得：PQAD 2a，PD 6a又∵BCPA,BCPQ，∴BC平面PADQ，從而PBCPADQ，過Q作QHPDH，則QHPBCQCH是CQPBC所成角∴QH

a，CQBQ 6a2 2 2a62 3sinQCH

QH 1 2 362CQ 3 32 3622CQPBC所成角的正弦值為23考點(diǎn)：面面垂直的性質(zhì)定理；線面平行的判定定理；線面垂直的性質(zhì)定理；直線與平面所成的角．點(diǎn)評：本題主要考查了線面平行的證明和直線與平面所成的角，屬立體幾何中的?？碱}型，較難．本題也可以用向量法來做：用向量法解題的關(guān)鍵是；首先正確的建立空間直角坐標(biāo)系，正確求解平面的一個(gè)法向量．注意計(jì)算要仔細(xì)、認(rèn)真．≌1519．詳見解析；(Ⅱ) ．155【解析】m夾（Ⅰ）連接BD交AC于O，得OG//BE，所以O(shè)G//面BEF，又EF//AC，得AC//面BEF，即可利用面面平行的判定定理，證得結(jié)論；m夾（Ⅱ）OABF的一個(gè)法向量mAD和向量ADABF試題解析：BDACOBDBEFOG//面BEF；EF//AC，ACBEF外，AC//BEFACOGACGBEF平行，故面ACG∥面BEF； D0, 3,0 ，F(xiàn) 0,0, 3，AD1, 3,0 ，AB1, 3,0 ，AF1,0, 3

0, 3,0 ， b,c3,0a 設(shè)面ABF的法向量為ma,b,c，依題意有mAB，

，令a 3，b1，mAF

b,c1,0, 3 a 0 3 3 15c1，m

3,1,1，cosAD,m

，4 41 515直線AD與面ABF成的角的正弦值是 ．520（）（）（）1.【解析】m1f(xf(x)

0，即可證明結(jié)論；minf(xf(x0f(x0,f(x0的解，即可求出結(jié)論；令h(x)1 1 ,x(1,)可證h(x)0,x(1,)恒成立而f(1)0得0,f(x)在)x ex10m1,f(x在1,

1 上單調(diào)遞減，在f(x0f(xg(x，當(dāng)m1時(shí)，mm1 1 1F(x)【詳解】

m x21lnx 2 x ex1

F(1)0F(x在單調(diào)遞增時(shí)m.1 （1）m1，f(x)2

x2

lnx(x0)，fx)1

x

x21x(0,1)f(x0，x x當(dāng)x(1,)時(shí)，f(x)0，∴f(x) f(1)0，故f(x)0.min（2）x0fx1

mx

mx21，①當(dāng)m0fx)

x xmx210，x所以f(x)在(0,)上單調(diào)遞減，沒有極值；②當(dāng)m0fx)

mx210，得x 1 ，mxm當(dāng)x0,1 時(shí)，f(x)0；當(dāng)x 1 ,時(shí)，f(x)0，mm mm f(x在0,

1 1上單調(diào)遞減，在

,上單調(diào)遞增.nnm nnm f(xx

1mm

1

1lnm11m，無極大值. 2 2 2m m1 1 ex1x不妨令h(x) x ex1

，xex1設(shè)u(x)ex1xx(1,u(xex110在恒成立，u(x在)單調(diào)遞增，u(x)u(1)0，ex1x0在恒成立，所以，當(dāng)x(1,)時(shí)，h(x)0，由（2）知，當(dāng)m0,x1f(x在上單調(diào)遞減，f(xf(1)0恒成立；所以不等式f(x)1

1 在上恒成立，只能m0.x ex1當(dāng)0m1時(shí)，1

1，由（1）知f(x)在1,1 上單調(diào)遞減，mmmm

1 f(1)0，不滿足題意.m m 1 1 1當(dāng)m1時(shí)，設(shè)F(x) m x21lnx ，2 x ex11 1因?yàn)閙1,x1，所以mxxex11,0

ex1

1,1

ex1

0，F(xiàn)x)1

mx

1 1

1

x

11

x3x2x1，x x2

ex1

x x2 x2Fx

(x

x21

0，x2F(x在上單調(diào)遞增，F(xiàn)(1)0x(1,F(x0恒成立，f(xh(x0恒成立，m1fxm1.【點(diǎn)睛】

1 1x ex1

在上恒成立，本題考查導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)的單調(diào)性、極值最值、不等式證明，考查分類討論思想，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.21（）

1 （2）詳見解析2e2f(x)ex

1(x0)，ax在[1,2]f(xf(xex1 1

10恒成立，ax即xex恒成立，只需(xex) .a a max令t(x)xexx[1,2]，則t(xexxexx[1,2]，所以t(x)0.所以t(xxex在[1,2]上是增函數(shù)，所以(xex1 1

max

2e2，所以2e2，解得0a