2022屆高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)總復(fù)習(xí)提升之專題突破詳解專題33均值不等式【含答案】

專題33均值不等式一．學(xué)習(xí)目標(biāo)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】會應(yīng)用不等式的基礎(chǔ)知識通過不等式建模，分析求解與不等式相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題；會運(yùn)用不等式的工具性探究函數(shù)與方程問題；會通過構(gòu)造函數(shù)解決不等式的綜合問題，從而提升思維能力．二．知識點(diǎn)【知識要點(diǎn)】1.不等式建模應(yīng)用問題實(shí)際問題中所涉及的變量之間、變量與常量之間存在不等關(guān)系，適合應(yīng)用不等式知識建模求解；有時問題可能是函數(shù)建模后轉(zhuǎn)化化歸為不等式解模，此類應(yīng)用問題的求解思路仍然是：理解問題?假設(shè)建模?求解模型?檢驗(yàn)評價，而關(guān)鍵和切入點(diǎn)是理解問題情境，建立數(shù)學(xué)模型.2.不等式綜合應(yīng)用類型類型1：求函數(shù)的定義域、值域、最值及單調(diào)性判定問題.類型2：討論方程根的存在性、根的分布及根的個數(shù)等問題.類型3：探究直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系，參變量取值范圍，最值問題等.類型4：探究數(shù)列的遞增(遞減)性，前n項(xiàng)和的最值等問題.3．基本不等式(1)a2＋b2≥2ab；變式：eq\f(a2＋b2,2)≥ab；當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立；(2)如果a≥0，b≥0，則eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)；變式：ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2）)eq\s\up12(2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立，其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．4．(1)若a>0，b>0，且a＋b＝P(定值)，則由ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2）)eq\s\up12(2)＝eq\f(P2,4)可知，當(dāng)a＝b時，ab有最大值eq\f(P2,4)；(2)若a>0，b>0且ab＝S(定值)，則由a＋b≥2eq\r(ab)＝2eq\r(S)可知，當(dāng)a＝b時，a＋b有最小值2eq\r(S).三．題型方法規(guī)律總結(jié)1.不等式應(yīng)用大致可分為兩類：一類是建立不等式求參數(shù)的取值范圍或解決一些實(shí)際應(yīng)用問題；另一類是建立函數(shù)關(guān)系，利用均值不等式求最值等問題.不等式的綜合題主要是不等式與函數(shù)、解析幾何、數(shù)列、三角等相結(jié)合，解決這些問題的關(guān)鍵是找出綜合題中各部分知識之間的轉(zhuǎn)化化歸，注意靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法.2.建立不等式的主要途徑有：利用問題的幾何意義；利用判別式；利用函數(shù)的有界性；利用函數(shù)的單調(diào)性；利用均值不等式.3.不等式的實(shí)際應(yīng)用，題源豐富，綜合性強(qiáng)，是高考應(yīng)用題命題的重點(diǎn)內(nèi)容之一.不等式應(yīng)用題大都是以函數(shù)的面目出現(xiàn)，以最優(yōu)化的形式展現(xiàn).在解題過程中涉及均值不等式，常常與集合問題，方程(組)解的討論，函數(shù)定義域、值域的確定，函數(shù)單調(diào)性的研究，三角、數(shù)列、立體幾何中的最值問題，解析幾何中的直線與圓錐曲線位置關(guān)系的討論等有著密切的關(guān)系.4.解答不等式的實(shí)際應(yīng)用問題，一般可分為四個步驟：(1)閱讀理解材料.應(yīng)用題所用語言多為“文字語言、符號語言、圖形語言”并用，而且文字?jǐn)⑹銎^長，閱讀理解材料要達(dá)到的目的是將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型.這就要求解題者領(lǐng)悟問題的實(shí)際背景，確定問題中量與量之間的關(guān)系，初步形成用怎樣的模型能夠解決問題的思路，明確解題的方法.(2)建模：建立數(shù)學(xué)模型，即根據(jù)題意找出常量與變量的不等關(guān)系.(3)求解：利用不等式的有關(guān)知識解題，即將數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號或圖形符號.(4)回驗(yàn)：回到實(shí)際問題，作出合理的結(jié)論.四．高考題型及命題陷阱1.均值不等式配常數(shù)例1．若圓關(guān)于直線對稱，則的最小值為（）A.1B.5C.D.4D練習(xí)1．已知，則的最小值為（）A.3B.2C.4D.1A，當(dāng)時等號成立，即的最小值為，故選A.【易錯點(diǎn)防范】本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗(yàn)證等號能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時等號能否同時成立）.2．已知點(diǎn)在圓和圓的公共弦上，則的最小值為（）．A.B.C.D.D【方法總結(jié)】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.3．在下列函數(shù)中，最小值為的是（）A.B.C.D.D選項(xiàng)可以是負(fù)數(shù).選項(xiàng)，等號成立時時，在定義域內(nèi)無法滿足.選項(xiàng)，等號成立時，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無法滿足.由基本不等式知選項(xiàng)正確.2.“1”的變通例2.已知正數(shù)x、y滿足，則的最小值是.8試題分析：由（當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立）.練習(xí)1.已知，，且，則的最小值為__________．2.若，，則的最小值為__________．【方法總結(jié)】：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.3．已知，，則的最大值為__________．∵又∵∴∴令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號∴的最大值為故答案為【易錯點(diǎn)分析】：本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗(yàn)證等號能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時等號能否同時成立.3.恒成立問題例3.已知不等式對一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.D不等式化為：2（x﹣1）+＞﹣m﹣2，∵x＞1，∴2（x﹣1）+≥2×=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時取等號．∵不等式對一切x∈（1，+∞）恒成立，∴﹣m﹣2＜4，解得m＞﹣6，故選：D．【方法總結(jié)】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤練習(xí)1.若對任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.C【方法總結(jié)】：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤2.對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．所以點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.4.不等式與其它知識的綜合、例4.在中，，，的交點(diǎn)為，過作動直線分別交線段于兩點(diǎn)，若，，（），則的最小值為（）A.B.C.D.D由A,M,D三點(diǎn)共線可知，存在實(shí)數(shù)t，使得,同理由C,M,B三點(diǎn)共線，存在實(shí)數(shù)m，使得,所以有，解得，所以,設(shè)，所以，所以，即，所以的最小值為，選D.【方法總結(jié)】：本題主要考查平面向量在幾何中的應(yīng)用，三點(diǎn)共線的充要條件，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題。練習(xí)1.在中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段（不含端點(diǎn)）上，且滿足，若不等式對恒成立，則的最小值為（）A.-4B.-2C.2D.4B【方法總結(jié)】本題考查了向量共線定理、平面向量基本定理、“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．在解決多元的范圍或最值問題時，常用的解決方法有：多元化一元，線性規(guī)劃的應(yīng)用，均值不等式的應(yīng)用等。2．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)分別作兩條直線，，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若與的斜率的平方和為1，則的最小值為（）A.16B.20C.24D.32C易知直線，的斜率存在，且不為零，設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程，得，，同理直線與拋物線的交點(diǎn)滿足，由拋物線定義可知，又（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），的最小值為，故選C.3.設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當(dāng)取得最大值時，的最大值為________．1由x2－3xy＋4y2－z＝0，得z＝x2－3xy＋4y2，∴＝＝≤＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時取等號．此時z＝2y2，∴＝＝－()2＋＝－(－1)2＋1≤1.故14.．在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則的最小值為______．4因?yàn)榈缺葦?shù)列各項(xiàng)都為正數(shù)，所以，，故答案為.5.均值不等式的實(shí)際應(yīng)用例5．十九大指出中國的電動汽車革命早已展開，通過以新能源汽車替代汽/柴油車，中國正在大力實(shí)施一項(xiàng)將重塑全球汽車行業(yè)的計(jì)劃.年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場分析，全年需投入固定成本萬元，每生產(chǎn)（百輛），需另投入成本萬元，且.由市場調(diào)研知，每輛車售價萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.（1）求出2018年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤=銷售額-成本）（2）2018年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.（1）；（2）當(dāng)時，即年生產(chǎn)百輛時，該企業(yè)獲得利潤最大，且最大利潤為萬元.解析：（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，；∴.（2）當(dāng)時，，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，；∴當(dāng)時，即年生產(chǎn)百輛時，該企業(yè)獲得利潤最大，且最大利潤為萬元.練習(xí)1．一種設(shè)備的單價為元，設(shè)備維修和消耗費(fèi)用第一年為元，以后每年增加元（是常數(shù)）.用表示設(shè)備使用的年數(shù)，記設(shè)備年平均費(fèi)用為，即(設(shè)備單價設(shè)備維修和消耗費(fèi)用）設(shè)備使用的年數(shù).（Ⅰ）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）當(dāng)，時，求這種設(shè)備的最佳更新年限.（Ⅰ）;（Ⅱ）15年試題分析：(Ⅰ)由題意可知設(shè)備維修和消耗費(fèi)用構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得(Ⅱ)由題意結(jié)合均值不等式的結(jié)論有，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，年平均消耗費(fèi)用取得最小值，即設(shè)備的最佳更新年限是15年.試題解析：（Ⅰ）由題意，設(shè)備維修和消耗費(fèi)用構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，因此年維修消耗費(fèi)用為于是（Ⅱ）∵，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，年平均消耗費(fèi)用取得最小值所以設(shè)備的最佳更新年限是15年【方法規(guī)律】：(1)利用基本不等式解決實(shí)際問題時，應(yīng)先仔細(xì)閱讀題目信息，理解題意，明確其中的數(shù)量關(guān)系，并引入變量，依題意列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，然后用基本不等式求解．(2)在求所列函數(shù)的最值時，若用基本不等式時，等號取不到，可利用函數(shù)單調(diào)性求解．2．2017年，在國家創(chuàng)新驅(qū)動戰(zhàn)略下，北斗系統(tǒng)作為一項(xiàng)國家高科技工程，一個開放型的創(chuàng)新平臺，1400多個北斗基站遍布全國，上萬臺套設(shè)備組成星地“一張網(wǎng)”，國內(nèi)定位精度全部達(dá)到亞米級，部分地區(qū)達(dá)到分米級，最高精度甚至可以達(dá)到厘米或毫米級。最近北斗三號工程耗資9萬元建成一小型設(shè)備，已知這臺設(shè)備從啟用的第一天起連續(xù)使用，第天的維修保養(yǎng)費(fèi)為元，使用它直至“報(bào)廢最合算”（所謂“報(bào)廢最合算”是指使用這臺儀器的平均每天耗資最少）為止，一共使用了多少天，平均每天耗資多少錢？使用600天，平均每天耗資。3．設(shè)某單位用2160萬元購得一塊空地，計(jì)劃在該空地上建造一棟至少10層，每層2000平方米的樓房．經(jīng)測算，如果將樓房建為層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為(單位：元)．(1)寫出樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用關(guān)于建造層數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；(2)該樓房應(yīng)建造多少層時，可使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少？最少值是多少？(注：平均綜合費(fèi)用＝平均建筑費(fèi)用＋平均購地費(fèi)用，平均購地費(fèi)用＝)（1）y＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*)；（2）該樓房建造15層時，可使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，最少值為2000元.試題分析：（1）由已知得，樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為每平方米的平均建筑費(fèi)用為560+48x與平均地皮費(fèi)用的和，由已知中某單位用2160萬元購得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟x層，每層2000平方米的樓房，我們易得樓房平均綜合費(fèi)用y關(guān)于建造層數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式；（2）由（1）中的樓房平均綜合費(fèi)用y關(guān)于建造層數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式，要求樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最小值，利用基本不等式，求最小值．試題解析：(1)依題意得y＝(560＋48x)＋＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*)．(2)∵x>0，∴48x＋≥2＝1440，當(dāng)且僅當(dāng)48x＝，即x＝15時取到“＝”，此時，平均綜合費(fèi)用的最小值為560＋1440＝2000(元)．∴當(dāng)該樓房建造15層時，可使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，最少值為2000元．【解題方法總結(jié)】：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過析題→建?！饽！€原四個過程，在建模時要注意實(shí)際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實(shí)際問題實(shí)際考慮．將實(shí)際的最大（?。┗瘑栴}，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（?。┦亲顑?yōu)化問題中，最常見的思路之一．4．服裝廠擬在2017年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）萬件與年促銷費(fèi)用（）萬元滿足.已知年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為萬元，每生產(chǎn)萬件該產(chǎn)品需要投入萬元.廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費(fèi)用）.（1）將2017年該產(chǎn)品的利潤萬元表示為年促銷費(fèi)用萬元的函數(shù)；（2）該服裝廠2017年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時，利潤最大？（1）（）；（2）見解析試題分析：（1）由題意知：每件產(chǎn)品的銷售價格為，即可表示出利潤關(guān)于促銷費(fèi)用的函數(shù)關(guān)系式.（2）由（1）中的函數(shù)關(guān)系式，利用基本不等式求最值，即可得出2017年促銷費(fèi)用多少時，利潤最大.試題解析：當(dāng)時，當(dāng)時，有最大值；當(dāng)時，易證關(guān)于為增函數(shù)，所以時，有最大值；答：當(dāng)時，該服裝廠2017年的促銷費(fèi)用投入萬元時，利潤最大；當(dāng)時，該服裝廠2017年的促銷費(fèi)用投入萬元時，利潤最大.5．運(yùn)貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制50≤x≤100（單位：千米/時）．假設(shè)汽油的價格是每升2元，而汽車每小時耗油升，司機(jī)的工資是每小時14元．（1）求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式；（2）當(dāng)x為何值時，這次行車的總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用的值．(1)，x∈[50，100];(2)詳見解析.試題分析：（1）由題意，總費(fèi)用包含汽油價格和司機(jī)工資，所以可以寫出表達(dá)式，x∈[50，100]；（2）為對勾函數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立，解得。試題解析：（1）設(shè)所用時間為，則，x∈[50，100]．所以這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式是，x∈[50，100]．（或，x∈[50，100]．（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故當(dāng)千米/時，這次行車的總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用的值為元．6．已知關(guān)于x不等式x2﹣2mx+m+2<0（m∈R）的解集為M．（1）當(dāng)M為空集時，求m的取值范圍；（2）在（1）的條件下，求的最大值；（3）當(dāng)M不為空集，且M[1，4]時，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．(1)實(shí)數(shù)m的取值范圍為（﹣1，2）;(2)的最小值為;(3)a的取值范圍為.試題分析：（1）為空集時，由此求出的取值范圍；

(2)由（1）知，則函數(shù)化為,利用基本不等式可求出其最大值（3）設(shè)，討論M為空集和M不為空集時，利用判別式，結(jié)合圖象求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．試題解析：（1）∵M(jìn)為空集，∴△=4m2﹣4（m+2）＜0，即m2﹣m﹣2＜0∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為（﹣1，2）.（2）由（1）知m∈（﹣1，2），則m+1>0，∴f(m)=即f(m)=當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.所以（3）令f（x）=x2﹣2ax+a+2=（x﹣a）2﹣a2+a+2，當(dāng)M不為空集時，由M?[1，4]，得．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為7．若函數(shù)f(x)＝tx2－(22t＋60)x＋144t(x＞0)．(1)要使f(x)≥0恒成立，求t的最小值；(2)令f(x)＝0，求使t＞20成立的x的取值范圍．（1）30；（2）(9，16).試題分析：（1）)因?yàn)閤2－22x＋144＞0，所以要使不等式f(x)≥0恒成立，即tx2－(22t＋60)x＋144t≥0(x＞0)恒成立，等價于t≥(x＞0)恒成立，求函數(shù)最值即可；（2）由f(x)＝0，得t=，即可解＞20即可.試題解析：(1)因?yàn)閤2－22x＋144＞0，所以要使不等式f(x)≥0恒成立，即tx2－(22t＋60)x＋144t≥0(x＞0)恒成立，等價于t≥(x＞0)恒成立，由＝≤＝30(x＞0)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝12時，等號成立，所以當(dāng)t≥30時，不等式tx2－(22t＋60)x＋144t≥0恒成立，t的最小值為30.(2)由t＞20，得＞20，整理得x2－25x＋144＜0，即(x－16)(x－9)＜0，解得9＜x＜16，所以使t＞20成立的x的取值范圍為(9，16).6.函數(shù)與不等式例6.若不等式對任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.B練習(xí)1．已知函數(shù)f（x）=ln，若f（）+f（）+…+f（）=503（a+b），則a2+b2的最小值為（）A.6B.8C.9D.12B由題意可得，所以f（）+f（）+…+f（）=2012=503（a+b），所以，由均值不等式，得，等號成立條件為.選B.2．若函數(shù)，若對任意不同的實(shí)數(shù)、、，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．【方法總結(jié)】本題主要考查函數(shù)的最大值和最小值，考查對于新概念或定義的理解.解題的突破口在于“對任意不同的實(shí)數(shù)、、，不等式恒成立”既然是恒成立，也就是左邊相加要比右面的最大值還要大，合起來就是要最小值的兩倍，比最大值還要大.根據(jù)這個分析利用分類討論，結(jié)合基本不等式來求.3.已知函數(shù)，則的最小值為__________．3∵，∴，故．∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．∴的最小值為3.答案：4．已知為正實(shí)數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值為__________．9的導(dǎo)數(shù)為，由切線的方程得切線的斜率為，可得，所以切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，切點(diǎn)為，代入，得為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，的最小值為，故答案為.【易錯點(diǎn)防范】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最小）；三相等是，最后一定要驗(yàn)證等號能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時等號能否同時成立）.5.設(shè)函數(shù)對任意不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍是__________．對任意，不等式恒成立，則等價為恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即的最小值是，由，則，由得，此時函數(shù)為增函數(shù)，由得，此時函數(shù)為減函數(shù)，即當(dāng)時，取得極大值同時也是最大值，則的最大值為，則由，得，即，則，故答案為.6.已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)若對任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（1）f(x)在(－∞，－)上單調(diào)遞減，在(－，)上單調(diào)遞增，在(，＋∞)上單調(diào)遞減；（2）實(shí)數(shù)m的取值范圍為[1，＋∞).(Ⅱ)令，，由已知可得，即，下面只要考慮的情況即可．g′(x)＝(2－x2)ex－1－m，令h(x)＝(2－x2)ex－1－m，則h′(x)＝－(x2＋2x－2)ex－1，因?yàn)閤≥1，所以x2＋2x－2>0，所以h′(x)<0，所以h(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，即g′(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，則g′(x)≤g′(1)＝1－m.①當(dāng)1－m≤0，即m≥1時，此時g′(x)≤0，所以g(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以g(x)≤g(1)＝0，滿足條件；②當(dāng)1－m>0，即－1≤m<1時，此時g′(1)>0，g′(2)＝－2e－m<0，所以存在x0∈(1，2)，使得g′(x0)＝0，則當(dāng)1<x<x0時，g′(x)>0；當(dāng)x>x0時，g′(x)<0，所以g(x)在[1，x0]上單調(diào)遞增，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈[1，x0]時，g(x)≥g(1)＝0，此時不滿足條件．綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為．7．已知函數(shù).（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)時，設(shè)斜率為的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，求證：.(Ⅰ)見解析；（Ⅱ）見解析.試題分析：⑴推導(dǎo)，討論時，時這兩種情況，即可求得的單調(diào)性；解析：（Ⅰ）當(dāng)時，在上是增函數(shù)；當(dāng)時，由，得（取正根），在區(qū)間內(nèi)，是增函數(shù)；在區(qū)間內(nèi)，是減函數(shù)．綜上，當(dāng)時，的增區(qū)間為，沒有減區(qū)間；當(dāng)時，的減區(qū)間是，增區(qū)間是．（Ⅱ）當(dāng)時，，設(shè)，∵，∴∴設(shè)設(shè)，則∴當(dāng)時，恒成立，∴當(dāng)時，為增函數(shù)，∴∴當(dāng)時，恒成立，∴當(dāng)時，為增函數(shù)，∴當(dāng)時，∴【方法總結(jié)】：本題考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間及證明不等式成立，在證明不等式的時候需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將斜率表示為兩點(diǎn)的坐標(biāo)形式，然后化簡構(gòu)造，這一步驟很關(guān)鍵，將二元轉(zhuǎn)化為一元，然后利用導(dǎo)數(shù)解答，即可證明8．已知函數(shù).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：x>1時，.（1）；（2）見解析試題解析：（1）依題意知函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，故，所以函?shù)的單調(diào)增區(qū)間為.（2）證明：設(shè)∴g′(x)＝2x2－x－，∵當(dāng)x>1時，g′(x)＝>0，∴g(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，∴g(x)>g(1)＝>0，∴當(dāng)x>1時，x2＋lnx<x3.9．已知函數(shù)，，且曲線在處的切線方程為.（1）求，的值；（2）求函數(shù)在上的最小值；（3）證明：當(dāng)時，.(1)(2)（3）見解析試題分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算，，求出a，b的值即可；（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，得到f（x）在[0，1]遞增，從而求出f（x）的最大值；（3）只需證明x＞0時，，因?yàn)椋仪€在處的切線方程為，故可猜測：當(dāng)且時，的圖象恒在切線的上方．試題解析：（1）由題設(shè)得，∴，解得，．（2）由（1）知，，令函數(shù)，∴，當(dāng)時，，遞減；當(dāng)時，，遞增；∴，即∴當(dāng)時，，且僅當(dāng)時，故在上單調(diào)遞增，∴；（3）由題要證：當(dāng)時，，即證：，因?yàn)椋仪€在處的切線方程為，故可猜測：當(dāng)且時，的圖象恒在切線的上方．下面證明：當(dāng)時，，證明：設(shè)，，則，令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，又，，，所以，存在，使得，當(dāng)時，；當(dāng)，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．故．由（2）知，，故，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．所以，．即．所以，，即成立，當(dāng)時等號成立.故：當(dāng)時，，12分方法二：要證，等價于，又，可轉(zhuǎn)化為證明令，，，因此當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；有最大值，即恒成立，即當(dāng)時，10．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求，的值；（2）當(dāng)時，恒成立，求