江蘇省東臺市第四聯盟2022-2023學年九年級上學期第一次質量檢測數學試題（含答案）

第21頁/共21頁江蘇省東臺市第四聯盟2022-2023學年九年級上學期第一次質量檢測數學試卷一、選擇題（每題3分，計24分）1.下列方程中，屬于一元二次方程是（）A.x2＋3y＝1 B.x2＋3x＝1 C.ax2＋bx＋c＝2 D.【答案】B【解析】【分析】根據一元二次方程的定義判斷即可．只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程．【詳解】解：A、是二元二次方程，故本選項不合題意；B、是一元二次方程，故本選項符合題意；C、當a0時，是一元二次方程，故本選項不合題意；D、是分式方程，故本選項不合題意；故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵．2.如圖，在⊙O中，圓心角∠AOB＝48°，則圓周角∠ACB的度數是（）A.48° B.24° C.36° D.96°【答案】B【解析】【分析】根據“同弧所對的圓周角等于圓心角的一半”直接求解．【詳解】解：∵∠AOB＝48°，∴∠ACB＝＝24°，故選：B．【點睛】本題考查圓周角定理，明確“同弧所對的圓周角等于圓心角的一半”是解題的關鍵．3.已知的半徑為3，，則點A和的位置關系是（）A.點A在圓上 B.點A在圓外 C.點A在圓內 D.不確定【答案】B【解析】【分析】根據點與圓的位置關系的判定方法進行判斷，OA小于半徑則在圓內，OA等于半徑則在圓上，OA大于半徑則在圓外．【詳解】解：∵⊙O的半徑為3，，即A與點O的距離大于圓的半徑，所以點A與⊙O外．故選：B．【點睛】本題考查了點與圓的位置關系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．4.關于的一元二次方程根的情況，下列說法正確的是（）A.有兩個不相等的實數根 B.有兩個相等的實數根C.沒有實數根 D.無法確定【答案】A【解析】【分析】先計算出，然后根據判別式的意義判斷方程根的情況．【詳解】解：根據題意得：，所以有兩個不相等的實數根．故選A．【點睛】本題考查一元二次方程判別式與根的個數的關系．熟練掌握判別式大于0，一元二次方程有兩個不相等的實數根；判別式等于0，一元二次方程有兩個相等的實數根；判別式小于0，一元二次方程沒有實數根，是解題的關鍵．5.如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝6，P是弦AB上的一個動點（不與A、B重合），下列符合條件的OP的值可以是（）A.3.1 B.4.2 C.5.3 D.6.4【答案】B【解析】【分析】取AB的中點O，分別連接OC、OB，由垂徑定理及勾股定理可求得OC的長，根據垂線段小于斜線段，則OP的值介于OC與OB之間，由此可求得結果．【詳解】如圖，取AB的中點O，分別連接OC、OB，則OC⊥AB，且在Rt△OBC中，OB=5，由勾股定理得：點P線段BC上，則，即由對稱性，當點P在線段AC上時，∴當點P在弦AB上時，∵∴選項B符合題意故選：B【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理，垂線段小于斜線段等知識，垂線段小于斜線段是問題的關鍵．6已知的半徑是一元二次方程的一個根，圓心O到直線l的距離，則直線l與的位置關系是（）A.相交 B.相切 C.相離 D.平行【答案】A【解析】【分析】先求方程的根，可得r的值，由直線與圓的位置關系的判斷方法可求解．【詳解】解：∵，∴，，∵的半徑是一元二次方程的一個根，∴，∵，∴，∴直線l與的位置關系是相交，故選：A．【點睛】本題考查的解一元二次方程以及直線與圓的位置關系，通過比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關系完成判定直線與圓的位置關系是解題的關鍵．7.2020年3月，新冠肺炎疫情在中國已經得到有效控制，但在全球卻持續(xù)蔓延，此肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒未進行有效隔離，經過兩輪傳染后共有256人患新冠肺炎，設每輪傳染中平均每個人傳染了x人，則根據題意可列出方程（）A.x（1＋x）＝256 B.x＋（1＋x）2＝256C.x＋x（1＋x）＝256 D.1＋x＋x（1＋x）＝256【答案】D【解析】【分析】分別計算出每輪的人數，然后求和即可得出方程．【詳解】解：第一輪傳染x個人，一輪后的人數為（1+x）人；第二輪的人數為x(1+x)，兩輪的總人數為：1+x+x(1+x)=256，故選：D．【點睛】本題主要考查一元二次方程的應用，理解題意，列出相應方程是解題關鍵．8.如圖，是的直徑，若，則長等于（）A.4 B.5 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據圓周角定理得出，，求出，根據含度角的直角三角形的性質求出，再根據勾股定理求出即可．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了圓周角定理和直角三角形的性質，熟練應用圓周角定理是解此題的關鍵．二、填空題（每題3分，計24分）9.已知是一元二次方程的兩根，則=_____．【答案】4【解析】【分析】直接根據兩根之和的公式可得答案．【詳解】解：∵是一元二次方程的兩根，∴．故答案為：4．【點睛】本題主要考查根與系數的關系，是一元二次方程的兩根時，．10直角三角形的兩邊長分別為5和12，則此三角形的外接圓半徑是_____．【答案】或6【解析】【分析】分為兩種情況，①當斜邊是12時，②當兩直角邊是5和12時，求出即可．【詳解】解：分為兩種情況：①當斜邊是12時，直角三角形的外接圓的半徑是；②當兩直角邊是5和12時，由勾股定理得：斜邊為，直角三角形的外接圓的半徑是；故答案為：或6．【點睛】本題考查了直角三角形的性質，勾股定理，三角形的外接圓的應用，注意：直角三角形的外接圓的半徑等于斜邊的一半．11.如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，∠BCD＝120°，則∠BOD的大小是_______．【答案】120°【解析】【分析】根據圓內接四邊形的對角互補，得∠A=180°-∠BCD=60°，再根據一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，得∠BOD=2∠A=120°.【詳解】∵∠BCD＝120°，∴∠A=180°-∠BCD=60°，∴∠BOD=2∠A=120°.故答案為120°.【點睛】本題考查圓周角定理，圓內接四邊形的性質.12.已知x=m是一元二次方程x2?x?1=0的一個根，則代數式m2?m+2021的值為____________．【答案】2022【解析】【分析】將x=m代入原方程即可求m2-m的值，然后整體代入代數式求解即可．【詳解】解：將x=m代入方程x2-x-1=0，得m2-m-1=0，即m2-m=1，∴m2?m+2021=1+2021=2022，故答案為：2022．【點睛】本題考查了一元二次方程的解的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解，解題時應注意把m2-m當成一個整體，利用了整體的思想．13.如圖，切于點，延長線交于點，連接，若，則的度數為_____．【答案】##25度【解析】【分析】連接，先根據切線的性質求出，再根據，∠AOB＝∠C+∠OBC即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接．∵是的切線，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查切線的性質，等腰三角形的性質，直角三角形兩銳角互余，三角形外角的性質等知識。解題的關鍵是添加輔助線構造直角三角形．14.關于的方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】利用根的判別式的意義得到，然后解不等式即可．【詳解】解：根據題意，得，解得，即k的取值范圍為．故答案為：．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．15.如圖，的半徑為1，是的一條弦，且，則弦AB所對的圓周角的度數為_____．【答案】或【解析】【分析】連接，，判定是等邊三角形，再根據圓周角定理可得，根據圓內接四邊形的性質，即可得到答案．【詳解】解：如圖：連接，，在優(yōu)弧AB上取一點C，在劣弧AB上取一點D，，的半徑為1，，是等邊三角形，，∴，，∴弦所對的圓周角的度數為或．故答案為：或．【點睛】本題考查的是圓周角定理，圓內接四邊形的性質，等邊三角形的判定和性質，掌握同弧所對的圓周角是圓心角的一半是解題的關鍵．16.如圖，正方形ABCD的邊長是4，F點是BC邊的中點，以CH為直徑作⊙O，連接HF交⊙O于E點，則線段DE的最小值為_____．【答案】##【解析】【分析】連接，取的中點，連接，根據圓周角的性質可知，點在正方形內以為直徑的上，可推出，由勾股定理可得，再結合三角形三邊關系得出當且僅當三點共線時，線段取得最小值．【詳解】解：連接，∵是的直徑，∴，∴，∴點在以為直徑的上，連接，∵正方形的邊長是點是邊的中點，∴，∵是的中點，∴∴在中，，∵，∴當且僅當三點共線時，∴線段的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查圓周角定理，正方形的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是判斷出點E的運動軌跡．三、簡答題（本大題11題，17-21題每題8分，22-26題每題10分，27題12分）17.解下列方程：（1）；（2）．（配方法）【答案】（1），（2），【解析】【分析】(1)利用解一元二次方程-因式分解法，進行計算即可解答；(2)利用解一元二次方程-配方法，進行計算即可解答．【小問1詳解】解：，，或，解得，；【小問2詳解】解：，，，，，或，解得，．【點睛】本題考查了解一元二次方程-配方法，因式分解法，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．18.如圖，在中，，，求的度數．【答案】50°【解析】【分析】利用得到，再根據平行線的性質得到，然后根據圓周角定理得到∠BOC的度數．【詳解】解：∵，∴．∵，∴，∴．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了平行線的性質．19.關于x的方程3x2+mx﹣8=0有一個根是，求另一個根及m的值．【答案】另一個根是﹣4，m的值為10．【解析】【詳解】試題分析：已知x=是方程的一個根，把它代入方程即可求出m的值，再由根與系數的關系來求方程的另一根即可．試題解析：設方程的另一根為t．依題意得：3×（）2+m﹣8=0，解得m=10．又t=﹣，所以t=﹣4．綜上所述，另一個根是﹣4，m的值為10．考點：根與系數的關系．20.如圖，用尺規(guī)作出△ABC的外接圓⊙O，保留作圖痕跡，不寫作法．【答案】見解析.【解析】【分析】分別作AB和BC的垂直平分線，它們相交于點O，連結OB，然后以點O為圓心，OB為半徑作圓即可．【詳解】如圖，⊙O為所作．【點睛】本題考查了作圖﹣復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了三角形外心．21.如圖,在⊙O中，弧AC=BC，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E．求證：AD＝BE．【答案】證明見解析【解析】【分析】連接OC．只要證明△COD≌△COE，推出OD=OE即可解決問題；【詳解】解：連接OC，∵，∴∠AOC=∠BOC．∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，∴∠CDO=∠CEO=90°在△COD與△COE中，∵，∴△COD≌△COE(AAS)，∴OD=OE，∵AO=BO，∴AD=BE．【點睛】本題考查是圓心角、弧、弦的關系，全等三角形的性質和判定．熟知在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等是解答此題的關鍵．22.關于x的一元二次方程x2-4x+n=0有兩個不相等的實數根．（1）求n的取值范圍；（2）寫出一個滿足條件的n的值，并求此時方程的根．【答案】（1）n＜4；（2）n=0，x1=0，x2=4【解析】【分析】（1）先根據方程有兩個不相等的實數根得出Δ=（-4）2-4?n＞0，解之可得；（2）在以上所求m的范圍內取一值，如n=0，再解方程即可得．【小問1詳解】解：∵，，，∴Δ=（-4）2-4?n＞0，解得n＜4；【小問2詳解】由（1）知，n＜4，則n=0符合題意．當n=0時，x2-4x=0．整理，得x（x-4）=0．解得x1=0，x2=4（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查根的判別式，解題的關鍵是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與Δ=b2-4ac有如下關系：①當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；②當Δ=0時，方程有兩個相等的實數根；③當Δ＜0時，方程無實數根．23.已知的直徑，是的弦．（1）如圖1，若，垂足為M，，求的長；（2）如圖2，若平分，求的長．【答案】（1）8（2）【解析】【分析】（1）連接，如圖1，先計算出，再根據出徑定理得到，接著利用勾股定理計算出，從而得到的長；（2）連接，由圓周角定理得出，由角平分線的定義得出，根據勾股定理可求出答案．【小問1詳解】解：連接OC，如圖1，∵，，∴，∵，∴，在中，，∴；【小問2詳解】如圖2，連接，∵是的直徑，∴，∵平分，∴，∴，∴，設，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ恚?4.某品牌服裝平均每天可以售出件，每件盈利元．受新冠肺炎疫情影響，商場決定采取適當的降價措施，增加盈利．經市場調查發(fā)現：每件服裝每降價1元，平均每天就可以多售出件，如果需要盈利元，那么每件降價多少元？【答案】每件降價元或元【解析】【分析】設每件降價元，則每件盈利元，平均每天可售出件，利用總利潤＝每件盈利×平均每天的銷售量，即可得出關于的一元二次方程，解之即可得出結論．【詳解】解：設每件降價元，則每件盈利元，依題意得：，整理得：，解得：，．答：每件降價元或元．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．25.如圖，在中，是的平分線，是上一點，以為半徑的經過點．（1）求證：是切線；（2）若求的長．【答案】（1）見解析（2）6【解析】【分析】（1）要證是的切線，只要連接，再證即可．（2）過點作，根據角平分線的性質可知，由勾股定理得到的長，再通過證明，根據相似三角形的性質得出的長．【小問1詳解】連接；∵是的平分線，．，．．．∵．．∵是的半徑，∴是的切線．【小問2詳解】過點作，∵是的平分線，．∴,在中，，由勾股定理得：，∵，∴．∴．∴．∴．【點睛】本題考查了切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．同時考查了角平分線的性質，勾股定理得到的長，及相似三角形的性質．26.如果關于的一元二次方程有兩個實數根，且其中一個根比另一個根大1，一元二次方程的兩個根是，，則方程是“鄰根方程”（1）通過計算，判斷方程是否是“鄰根方程”；（2）已知關于的二次方程（m是常數）是“鄰根方程”，求的值【答案】（1）是，理由見解析（2）8或6【解析】【分析】（1）根據解一元二次方程的方法求出已知方程的兩個根，再計算兩根的差是否為1，從而確定方程是否為“鄰根方程”；（2）先解方程求得其根，再根據新定義列出關于的方程，注意有兩種情況．【小問1詳解】解：解方程得：或，∵，∴是“鄰根方程”；【小問2詳解】由方程解得：或，由于關于x的二次方程（m是常數）是“鄰根方程”，則或，解得或6．【點睛】本題考查一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的解法以及正確理解“鄰根方程”的定義，本題屬于中等題型．27.問題情境：如圖1，P是外的一點，直線