立幾截面問題的十大熱門題型

39/39立幾截面問題的十大熱門題型【題型一】做截面的基本功：補(bǔ)全截面方法【典例分析】在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2,AD=3,點E、F分別是AB、AA1的中點，點E、F、C1平面，直線A1D1平面=P，則直線BP與直線CD1所成角的余弦值是答案：B解析：如圖，計算可得余弦值是【提分秘籍】基本規(guī)律截面訓(xùn)練基礎(chǔ)：模型：如下圖E、F是幾等分點，不影響作圖?？梢韵饶J(rèn)為中點，等學(xué)生完全理解了，再改成任意等分點方法：兩點成線相交法或者平行法特征：1、三點中，有兩點連線在表面上。本題如下圖是EF（這類型的關(guān)鍵）；2、“第三點”是在外棱上，如C1，注意：此時合格C1點特殊，在于它是幾何體頂點，實際上無論它在何處，只要在棱上就可以。方法一：相交法，做法如圖方法二：平行線法。做法如圖【變式演練】1.如圖，在正方體中，M、N、P分別是棱、、BC的中點，則經(jīng)過M、N、P的平面與正方體相交形成的截面是一個（）A．三角形B．平面四邊形C．平面五邊形 D．平面六邊形【答案】D【分析】分別取、、的中點，連接、、、、、、、、、，先證明四點共面，再證明平面，平面可得答案.【詳解】如圖，分別取、、的中點，連接、、、、、、、、、，且M、N、P分別是棱、、BC的中點，所以、，且，所以，即四點共面，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為，得，且平面，平面，所以平面，得平面，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為，得，又平面，平面，所以平面，得平面，所以六點共面，平面六邊形即為經(jīng)過M、N、P與正方體相交形成的截面，故選：D.2.如圖，在正方體中，E是棱的中點，則過三點A、D1、E的截面過（）A．AB中點 B．BC中點C．CD中點 D．BB1中點【答案】B【分析】根據(jù)截面特點結(jié)合正方形結(jié)構(gòu)性質(zhì)求解.【詳解】取的中點，連接，，如圖，則，所以在截面上,故選：B3.如圖正方體，棱長為1，P為中點，Q為線段上的動點，過A?P?Q的平面截該正方體所得的截面記為.若，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．當(dāng)時，為四邊形 B．當(dāng)時，為等腰梯形C．當(dāng)時，為六邊形 D．當(dāng)時，的面積為【答案】C【分析】根據(jù)題意，依次討論各選項，作出相應(yīng)的截面，再判斷即可.【詳解】解：當(dāng)時，如下圖1，是四邊形，故A正確；當(dāng)時，如下圖2，為等腰梯形，B正確：當(dāng)時，如下圖3，是五邊形，C錯誤；當(dāng)時，Q與重合，取的中點F，連接，如下圖4，由正方體的性質(zhì)易得，且，截面為為菱形，其面積為，D正確.故選：C【題型二】截面形狀的判斷【典例分析】一個三棱錐的各棱長均相等，其內(nèi)部有一個內(nèi)切球，即球與三棱錐的各面均相切（球在三棱錐的內(nèi)部，且球與三棱錐的各面只有一個交點），過一條側(cè)棱和對邊的中點作三棱錐的截面，所得截面圖形是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，該三棱錐為正四面體，內(nèi)切球與各面相切于各個面的中心，即可判斷出選項B正確．【詳解】如圖所示：因為三棱錐的各棱長均相等，所以該三棱錐為正四面體，內(nèi)切球與各面相切于各個面的中心，即可知過一條側(cè)棱和對邊的中點作三棱錐的截面，所得截面圖形是．故選：B．【提分秘籍】基本規(guī)律公眾號《品數(shù)學(xué)》一些容易出錯誤的地方1.截面與幾何體表面相交，交線不會超過幾何體表面?zhèn)€數(shù)。2.不會與同一個表面有兩條交線。3.與一對平行表面相交，交線平行（不一定等長）4.截面截內(nèi)切球或者外接球時，區(qū)分與面相切和與棱相切之間的關(guān)系【變式演練】1.如圖，正四棱錐的高為12，，，分別為，的中點，過點，，的截面交于點，截面將四棱錐分成上下兩個部分，規(guī)定為主視圖方向，則幾何體的俯視圖為（）A．B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)主視圖所給方向即可知俯視圖中底面正方形，計算可知點投影位置，即可得出答案.【詳解】研究平面DPB，設(shè)AC與BD的交點為O，BM與EF交點為N,為的中點，為的中點，，，又因為,過點作，設(shè)，，，又，，,,為4個格，為8個格，故選：C2.用一個平面去截正方體，所得截面不可能是（）A．直角三角形 B．直角梯形 C．正五邊形 D．正六邊形【答案】ABC【分析】根據(jù)正方體的幾何特征，我們可分別畫出用一個平面去截正方體得到的幾何體的圖形，然后逐一與四個答案中的圖形進(jìn)行比照，即可判斷選項．【詳解】當(dāng)截面為三角形時，可能出現(xiàn)正三角形，但不可能出現(xiàn)直角三角形；截面為四邊形時，可能出現(xiàn)矩形，平行四邊形，等腰梯形，但不可能出現(xiàn)直角梯形；當(dāng)截面為五邊形時，不可能出現(xiàn)正五邊形；截面為六邊形時，可能出現(xiàn)正六邊形，故選：ABC．3.在正方體中，M為AB中點，N為BC中點，P為線段上一動點（不含C）過M、N、P與正方體的截面記為，則下面三個判斷，其中正確判斷的序號有______．①當(dāng)P為中點時，截面為六邊形；②當(dāng)時，截面為五邊形；③當(dāng)截面為四邊形時，它一定是等腰梯形；【答案】①③.【分析】①延長交于，交于，延長交于，取的中點，連接交于，連接，結(jié)合圖形即可判斷；②延長交于，交于，連接交于，連接交于，此時截面為五邊形，求出即可判斷；③當(dāng)截面為四邊形時，點與點重合，判斷四邊形的形狀即可.【詳解】解：如圖①，延長交于，交于，延長交于，取的中點，連接交于，連接，因為M為AB中點，N為BC中點，所以，同理，又因，所以，同理，所以共面，此時六邊形為截面，所以截面為六邊形；故①正確；如圖②，延長交于，交于，連接交于，連接交于，此時截面為五邊形因為，所以，所以，即，所以當(dāng)時，截面為五邊形；故②錯誤；當(dāng)截面為四邊形時，點與點重合，如圖，由①得，，所以四邊形即為截面，設(shè)正方體的棱長為1，則，，所以，所以四邊形是等腰梯形；故③正確.故答案為：①③.【題型三】平行關(guān)系確定截面【典例分析】在三棱錐中，，截面與，都平行，則截面的周長等于（）A． B． C． D．無法確定【答案】A【分析】由線面平行的性質(zhì)定理確定截面的形狀，再利用三角形相似的性質(zhì)求截面的周長.【詳解】設(shè)，因為平面，平面平面，平面，所以，同理可得，，，故四邊形為平行四邊形，所以，.因為，所以，，所以四邊形的周長為.故選：A.【提分秘籍】基本規(guī)律平行關(guān)系確定的截面作圖，一般情況下，利用線線、線面、面面特別是線面的平行性質(zhì)定理推導(dǎo)。公眾號《品數(shù)學(xué)》【變式演練】1.在正方體中，與平行，且過正方體三個頂點的截面是___________和___________.【答案】平面平面【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，得出與平行，且過正方體三個頂點的截面是平面，平面．【詳解】解：在正方體中，與平行，且過正方體三個頂點的截面是平面，平面．，，四邊形是平行四邊形；，又平面，平面，平面；同理平面．故答案為：平面，平面．2.若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐與平面α平行的棱有（）A．0條 B．1條C．2條 D．4條【答案】C【分析】由平行四邊形的性質(zhì)有兩對邊平行且相等，再應(yīng)用線面平行的判定可確定線面平行，由線面平行的性質(zhì)、判定即可知有幾條棱與平面α平行.【詳解】如下圖示，若平面α即為面為平行四邊形，即且，且，又面，面，則面，而面，面面，∴，由線面平行判定易知：平面α；同理可得，易得平面α.∴該三棱錐與平面α平行的棱有、，共2條.故選：C3.如圖是一個以A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得的幾何體，截面為ABC．已知AA1=4，BB1=2，CC1=3.在邊AB上是否存在一點O，使得OC∥平面A1B1C1.【答案】存在【分析】取AB的中點O，連接OC，可證明，即四邊形ODC1C是平行四邊形，所以O(shè)C∥C1D，由線線平行證明線面平行，即得證【詳解】存在，取AB的中點O，連接OC，作OD∥AA1交A1B1于點D，連接C1D，則OD∥BB1∥CC1.因為O是AB的中點，所以O(shè)D=(AA1+BB1)=3=CC1，則四邊形ODC1C是平行四邊形，所以O(shè)C∥C1D.又C1D?平面C1B1A1，且OC平面C1B1A1，所以O(shè)C∥平面A1B1C1.即在邊AB上存在一點O，使得OC∥平面A1B1C1.【題型四】垂直關(guān)系確定的截面【典例分析】已知正三棱柱(底面為正三角形的直棱柱)的體積為，，是的中點，點是線段上的動點，過且與垂直的截面與交于點，則三棱錐的體積的最小值為A． B． C．2 D．【答案】A【分析】由正三棱柱的體積為，，可求得，由于，所以要使三棱錐的體積最小，則三棱錐的體積最大，設(shè)的中點為，作出截面如圖所示，可得點在以為直徑的圓上，從而可求出點到底面距離的最大值，進(jìn)而可求得三棱錐的體積的最小值【詳解】如圖所示，因為正三棱柱的體積為，，所以，即，因為，所以要使三棱錐的體積最小，則三棱錐的體積最大，設(shè)的中點為，作出截面如圖所示，因為，所以，所以點在以為直徑的圓上，所以點到底面距離的最大值為，所以三棱錐的體積的最小值為.故選：A.【提分秘籍】基本規(guī)律垂直關(guān)系確定的截面，利用線面垂直定理，轉(zhuǎn)化到表面尋找線線垂直。公眾號《品數(shù)學(xué)》【變式演練】1.如圖，為正方體，任作平面與對角線垂直，使得與正方體的每個面都有公共點，記這樣得到的截面多邊形的面積為，周長為，則（）A．為定值，不為定值B．不為定值，為定值C．與均為定值D．與均不為定值【答案】B【分析】將正方體切去兩個正三棱錐與后，得到一個以平行平面與為上、下底面的幾何體，的每個側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形的每一條邊分別與的底面上的一條邊平行，將的側(cè)面沿棱剪開，展開在一個平面上，得到一個平行四邊形，考查的位置，確定【詳解】解：將正方體切去兩個正三棱錐與后，得到一個以平行平面與為上、下底面的幾何體，的每個側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形的每一條邊分別與的底面上的一條邊平行，將的側(cè)面沿棱剪開，展開在一個平面上，得到一個平行四邊形，如圖所示而多邊形的周界展開后便成為一條與平行的線段（如圖中），顯然，，所以為定值，當(dāng)位于中點時，多邊形為正六邊形，而當(dāng)稱到時，為正三角形，則當(dāng)周長這定值的正六邊形與正三角形面積分別為，所以不是定值，故選：B2.正方體，的棱長為4，已知平面α，，則關(guān)于α?β截此正方體所得截面的判斷正確的是（）A．α截得的截面形狀可能為正三角形 B．與截面α所成角的余弦值為C．α截得的截面形狀可能為正六邊形 D．β截得的截面形狀可能為正方形【答案】ABC【分析】首先根據(jù)已知條件確定截面，然后根據(jù)選項依次判斷正誤即可.【詳解】如圖因為正方體∴，，又∵∴平面又∵平面∴同理：又∵∴平面∴平面可以是平面，又因為∴為等邊三角形，故A正確取的中點并依次連接易知，因為平面，平面∴平面同理：平面又因為且平面，平面∴平面平面∴平面可以是平面∵∴六邊形是正六邊形，故C正確以平面是平面為例計算：設(shè)A到平面的距離為等體積法求距離∵，∴又因為，∴則與平面所成角的正弦值為∴余弦值等于，故B正確對于D選項：由于直線，在正方體上任取點但異于，與可構(gòu)成平面，但是截面的形狀都不是正方形，故D錯誤故選：ABC3.已知正方體的棱長為2，M為的中點，平面過點且與垂直，則（）A． B．平面C．平面平面 D．平面截正方體所得的截面面積為【答案】ABD【分析】分析出面，可判斷選項A；取AD的中點，由平面幾何知識可知，，從而判斷出面，即平面截正方體所得的截面為梯形，從而可判斷剩余的三個選項.【詳解】連接，則，又因為，,所以面，又因為面，所以，故選項A正確；取AD的中點，的中點，連接，，，，,在正方形中，由平面幾何知識可知，，又因為，，所以面，所以,又因為，所以，又因為,所以面，即平面截正方體所得的截面為梯形，所以顯然平面，選項B正確；平面與平面不平行，選項C錯誤；在梯形中，，，,所以梯形的高為，所以梯形的面積為，即平面截正方體所得的截面面積為，故選項D正確.故選：ABD.【題型五】求截面周長【典例分析】如圖，在正方體中，，為棱的中點，為棱的四等分點（靠近點），過點作該正方體的截面，則該截面的周長是___________.【答案】【分析】首先根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理作出過點的正方體的截面，從而求截面的周長.【詳解】如圖，取的中點，取上靠近點的三等分點，連接，易證，則五邊形為所求截面.因為，所以，則，故該截面的周長是.故答案為：.【提分秘籍】基本規(guī)律1.截面周長，可以利用多面體展開圖求。公眾號《品數(shù)學(xué)》2.截面周長，可以在各個表面各自解三角形求解?！咀兪窖菥殹?.正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱長均為2，點E，F(xiàn)分別為棱BB1，A1C1的中點，若過點A，E，F(xiàn)作一截面，則截面的周長為（）A．2+2 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意先作出截面，進(jìn)而算出截面各邊的長度，最后得到答案.【詳解】如圖，在正三棱柱中，延長AF與CC1的延長線交于M，連接EM交B1C1于P，連接FP，則四邊形AEPF為所求截面.過E作EN平行于BC交CC1于N，則N為線段CC1的中點，由相似于可得MC1=2，由相似于可得：，在中，，則，在中，，則，在中，，則，在中，，由余弦定理：，則，所以截面周長為：.故選：B.2.已知在棱長為6的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是棱C1D1，B1C1的中點，過A，E，F(xiàn)三點作該正方體的截面，則截面的周長為________．【答案】【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)作出截面圖形，進(jìn)而算出周長.【詳解】如圖，延長EF，A1B1，相交于點M，連接AM，交BB1于點H，延長FE，A1D1，相交于點N，連接AN，交DD1于點G，連接FH，EG，可得截面為五邊形AHFEG.因為ABCD-A1B1C1D1是棱長為6的正方體，且E，F(xiàn)分別是棱C1D1，B1C1的中點，由中位線定理易得：EF＝，由勾股定理易得：AG＝AH＝，EG＝FH＝，截面的周長為AH＋HF＋EF＋EG＋AG＝＋.故答案為：＋.3.已知直三棱柱的側(cè)棱長為，，.過、的中點、作平面與平面垂直，則所得截面周長為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】確定平面與各棱的交點位置，計算出截面各邊邊長，由此可得出所得截面周長.【詳解】如下圖所示，取的中點，連接，取的，連接，取的中點，連接、，，為的中點，則，平面，平面，，，平面，、分別為、的中點，則且，平面，平面，所以，平面平面，所以，平面即為平面，設(shè)平面交于點，在直棱柱中，且，所以，四邊形為平行四邊形，且，、分別為、的中點，且，所以，四邊形為平行四邊形，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，設(shè)平面平面，平面，所以，，，，所以，四邊形為平行四邊形，可得，所以，為的中點，延長交于點，，所以，，，又，所以，，，為的中點，因為平面平面，平面平面，平面平面，，，，，，為的中點，，，則，為的中點，，則，同理，因為直棱柱的棱長為，為的中點，，由勾股定理可得，同理可得，且，平面，平面，平面，，、分別為、的中點，則，，由勾股定理可得，同理.因此，截面的周長為.故選：C.【題型六】求截面面積【典例分析】已知正四棱柱中，，，則該四棱柱被過點，C，E的平面截得的截面面積為______.【答案】【分析】在上取點，使得，連接，則四邊形是平行四邊形，由勾股定理可得，再結(jié)合余弦定理與面積公式即可求解【詳解】由題意，正四棱柱中，，，可得，在上取點，使得，連接，則有，所以四邊形是平行四邊形，由勾股定理可得，所以,所以，所以四邊形是平行四邊形的面積為，故答案為：【提分秘籍】基本規(guī)律求截面面積：1.判斷界面是否規(guī)則圖形2.求截面各邊長度3.規(guī)則圖形，可以用對應(yīng)面積公式求4.不規(guī)則圖形，可以分割為三角形等圖形求。5.難點：動態(tài)面積最值，可參考本專題10【變式演練】1.正方體的棱長為2，E是棱的中點，則平面截該正方體所得的截面面積為（）A．5 B． C． D．【答案】D【分析】作出示意圖，設(shè)為的中點，連接，易得平面截該正方體所得的截面為，再計算其面積.【詳解】如圖所示，設(shè)為的中點，連接，設(shè)為的中點，連接，由且，得是平行四邊形，則且，又且，得且，則共面，故平面截該正方體所得的截面為.又正方體的棱長為2，，，，，故的面積為.故選：D.2.在棱長為的正方體中，為的中點，則過、、三點的平面截正方體所得的截面面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】取中點，連接、、、、，證明出，故四點、、、共面，所以過、、三點的平面截正方體所得的截面為等腰梯形，根據(jù)已知，即可求解.【詳解】取中點，連接、、、、，因為且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，、分別為、的中點，所以，且，所以，，故、、、四點共面，所以過、、三點的平面截正方體所得的截面為等腰梯形，其中，，，過點、在平面內(nèi)分別作的垂線，垂足點分別為、，

因為，，，所以，，故，在平面內(nèi)，因為，，，所以，四邊形為矩形，則，所以，，所以，梯形的高，梯形的面積.故選：B.3.已知正方體的棱長為2，點在線段上，且，平面經(jīng)過點，則正方體被平面截得的截面為___________，其面積為___________.【答案】四邊形【分析】第一空，先畫出所在平面，由平面平面得出，，四點共面，即為所求截面；第二空由已知條件可求出，再求出的面積，再乘以2可得截面的面積.【詳解】如圖所示：確定一個平面，因為平面平面，所以，同理，所以四邊形是平行四邊形.即正方體被平面截的截面.因為，所以，即所以由余弦定理得：，所以，所以.故答案為：四邊形?！绢}型七】球截面【典例分析】正三棱錐中，，點在棱上，且，已知點都在球的表面上，過點作球的截面，則截球所得截面面積的最小值為___________.【答案】【分析】通過補(bǔ)體把正三棱錐補(bǔ)成正方體，則正方體的體對角線為外接球直徑；求出，當(dāng)平面時，平面截球O的截面面積最小，此時截面為圓面，從而可計算截面的半徑，從而推導(dǎo)出截面的面積.【詳解】，，，，同理，故可把正三棱錐補(bǔ)成正方體（如圖所示），其外接球即為球，直徑為正方體的體對角線，故，設(shè)的中點為，連接，則且.所以，當(dāng)平面時，平面截球O的截面面積最小，此時截面為圓面【提分秘籍】基本規(guī)律計算球截面1.確定球心和半徑2.尋找做出并計算截面與球心的距離3.要充分利用“球心做弦的垂直垂足是弦的中點”這個性質(zhì)4.強(qiáng)調(diào)弦的中點，不一定是幾何體線段的中點?！咀兪窖菥殹?.已知三棱錐的所有棱長均相等，四個頂點在球的球面上，平面經(jīng)過棱，，的中點，若平面截三棱錐和球所得的截面面積分別為，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面截三棱錐所得三角形為正三角，即可求出三角形面積及外接圓面積，即可求解.【詳解】設(shè)平面截三棱錐所得正三角邊長為a，截面圓的半徑為r，則，由正弦定理可得，，，故選：B2.某四棱錐的底面為正方形，頂點在底面的射影為正方形中心，該四棱錐所有頂點都在半徑為的球上，當(dāng)該四棱錐的體積最大時，底面正方形所在平面截球的截面面積是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出圖形，可知四棱錐為正四棱錐，由勾股定理可得出，分析得出，可設(shè)，，其中，可得出，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出取最大值時對應(yīng)的的值，求出的值，可得出的長，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示，可知四棱錐為正四棱錐，設(shè)，則球心在直線上，設(shè)，，則，由勾股定理可得，即，當(dāng)四棱錐的體積最大時，則點在線段上，則，可設(shè)，，其中，，令，，則.當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，此時，，則，因此，當(dāng)該四棱錐的體積最大時，底面正方形所在平面截球的截面面積是.故選：C.3.已知球O是正三棱錐A-BCD（底面是正三角形，頂點在底面的射影為底面中心）的外接球，BC=3，AB=，點E在線段BD上，且BD=3BE．過點E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，O1是A在底面的射影，求出底面外接圓的半徑和幾何體外接球的半徑，利用余弦定理求出O1E=1，當(dāng)截面垂直于OE時，截面面積最小，求出截面圓的半徑即得解.【詳解】解：如圖，O1是A在底面的射影，由正弦定理得，△BCD的外接圓半徑；由勾股定理得棱錐的高AO1；設(shè)球O的半徑為R，則，解得，所以O(shè)O1=1；在△BO1E中，由余弦定理得所以O(shè)1E=1；所以在△OEO1中，OE=；當(dāng)截面垂直于OE時，截面面積最小，此時半徑為，截面面積為.故選：A【題型八】截面分體積【典例分析】已知正四棱柱中、的交點為，AC、BD的交點為，連接，點為的中點.過點且與直線AB平行的平面截這個正四棱柱所得截面面積的最小值和最大值分別為1和，則正四棱柱的體積為______________.【答案】3【分析】當(dāng)截面平行于平面時，截面面積最小；當(dāng)截面為平面時，截面面積最大，根據(jù)題設(shè)條件列出方程，然后求出正四棱柱的底面邊長和高，即可求出四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的體積．【詳解】設(shè)正四棱柱的底面邊長為a，高為h，由題知當(dāng)截面平行于平面時，截面面積最小；當(dāng)截面為平面時，截面面積最大，因為過點且與直線AB平行的平面截這個正四棱柱所得截面面積的最小值和最大值分別為1和，所以，解得，于是正四棱柱的體積為.故答案為：3.【提分秘籍】基本規(guī)律對于截面截開幾何體，一般情況下，可能會出現(xiàn)不規(guī)則幾何體，所以求體積，需要采取“切割法”來求【變式演練】1.正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，的中點，則正方體被截面分成兩部分的體積之比為___________.【答案】17：7或7：17【分析】如圖，正方體被截面所截的一部分為棱臺，求出棱臺的體積，然后用正方體的體積減去棱臺的體積可得另一部分的體積，從而可求得結(jié)果【詳解】設(shè)正方體的棱長為2，則正方體的體積為8，因為E，F(xiàn)分別是棱，的中點，所以棱臺的體積為，所以另一部分的體積為，所以正方體被截面分成兩部分的體積之比為17：7或7：17，故答案為：17：7或7：172.如圖所示，在長方體中，用截面截下一個棱錐則棱錐的體積與剩余部分的體積之比為（）A．1：5 B．1：4 C．1：3 D．1：2【答案】A【分析】由長方體的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積公式、長方體的體積公式求及剩余部分的體積，進(jìn)而求其比例即可.【詳解】由圖知：，，而，∴剩余部分的體積為，∴棱錐的體積與剩余部分的體積之比為1：5.故選：A3.三棱錐中，E、F、G、H分別是棱DA、DB、BC、AC的中點，截面EFGH將三棱錐分成兩個幾何體：、，其體積分別為、，則（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4【答案】A【分析】如圖，連接，設(shè)的面積為，到平面的距離為，故可計算幾何體的體積為，從而可得兩個幾何體的體積之比.【詳解】如圖，連接，設(shè)的面積為，到平面的距離為，則，而，又，故幾何體的體積為，而三棱錐的體積為，故幾何體的體積與棱錐的體積之比為，故兩個幾何體、的體積之比為1:1.故選：A.【題型九】不規(guī)則截面（曲線形截面）【典例分析】如圖，一個底面半徑為R的圓柱被與其底面所成角為的平面所截，截面是一個橢圓，當(dāng)為時，這個橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)幾何關(guān)系用圓柱的地面半徑表示橢圓的長軸和短軸，再計算橢圓的離心率即可.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸為a，短半軸為b，半焦距為c根據(jù)題意可知，

所以橢圓的離心率，選項A正確。故選：A.【提分秘籍】基本規(guī)律不規(guī)則截面，會產(chǎn)生截面圖像為圓錐曲線，可參考專題8-1立幾中的軌跡專題【變式演練】1.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來研究曲線，如圖①，用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當(dāng)圓錐與截面所成的角不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線和雙曲線.圖②，在底面半徑和高均為的圓錐中，、是底面圓的兩條互相垂直的直徑，是母線的中點，是線段的中點，已知過與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點的圓錐曲線的一部分，則該曲線為____________，是該曲線上的兩點且，若經(jīng)過點，則__________.【答案】拋物線【分析】根據(jù)圓錐曲線的定義直接判斷即可，再根據(jù)拋物線通徑的性質(zhì)直接得出答案即可.【詳解】由已知底面半徑和高均為，得，又為中點，，且，所以平面，根據(jù)圓錐曲線的定義可知截面與圓錐母線平行時，曲線為拋物線，又為中點，故，，又底面，故，由，，故平面，，又，故為拋物線的通徑，.2.如圖，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面相切.橢圓截面與兩球相切于橢圓的兩個焦點，.過橢圓上一點作圓錐的母線，分別與兩個球相切于點.由球和圓的幾何性質(zhì)可知，，.已知兩球半徑分為別和，橢圓的離心率為，則兩球的球心距離為_______________.【答案】【分析】設(shè)兩球的球心距離為，通過圓錐的軸截面進(jìn)行分析，根據(jù)兩球半徑可求得；利用三角形相似可求得，進(jìn)而得到；利用橢圓離心率可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】作出圓錐的軸截面如圖所示，圓錐面與兩球相切于兩點，則，，過作，垂足為，連接，，設(shè)與交于點，設(shè)兩球的球心距離為，在中，，，；，，，，解得：，，；由已知條件，知：，即軸截面中，又，，解得：，即兩球的球心距離為.故答案為：.3.如圖①，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓．許多人從純幾何的角度出發(fā)對這個問題進(jìn)行過研究，其中比利時數(shù)學(xué)家Germinaldandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性．在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面，截面相切，兩個球分別與截面相切于E，F(xiàn)，在截口曲線上任取一點A，過A作圓錐的母線，分別與兩個球相切于C，B，由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC．由B，C的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離BC是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以E，F(xiàn)為焦點的橢圓．如圖②，一個半徑為2的球放在桌面上，桌面上方有一個點光源P，則球在桌面上的投影是橢圓．已知是橢圓的長軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的離心率為__________．【答案】【分析】利用球與圓錐相切，得出截面，在平面圖形中求解，以及圓錐曲線的來源來理解切點為橢圓的一個焦點，求出，得出離心率.【詳解】切于,切于E，，球半徑為2，所以，，，中，，，故,,根據(jù)橢圓在圓錐中截面與二球相切的切點為橢圓的焦點知：球O與相切的切點為橢圓的一個焦點，且，,c=4，橢圓的離心率為.故答案為：【題型十】截面最值【典例分析】已知長方體中，，點在線段上，，平面過線段的中點以及點，若平面截長方體所得截面為平行四邊形，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)線段的中點為M，平面與交于點G，連接GE，由已知得四邊