知識講解 直線與雙曲線的位置關(guān)系

直線與雙曲線的位置關(guān)系【學(xué)習(xí)目標】能正熟練使用直接法、待定系數(shù)法、定義法求雙曲線的方程；能熟練運用幾何性質(zhì)（如范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線）解決相關(guān)問題；能夠把直線與雙曲線的位置關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為方程組解的問題，判斷位置關(guān)系及解決相關(guān)問題【要點梳理】要點一、雙曲線的定義及其標準方程雙曲線的定義在平面內(nèi)，到兩個定點F、F的距離之差的絕對值等于常數(shù)2。（a大于0且2a<FF）的動點P的1212軌跡叫作雙曲線.這兩個定點^、%叫雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫作雙曲線的焦距.雙曲線的標準方程：焦點在x軸上的雙曲線的標準方程擋-站=1（a>0,b>0）a2b2說明：焦點是F1（-c，0）、F2（c，0），其中C2=a2-b2焦點在y軸上的雙曲線的標準方程乏=1(a>0,b>0)a2b2說明：焦點是F1（0，-c）、F2（0，c），其中C2=a2-b2要點詮釋：求雙曲線的標準方程應(yīng)從“定形”、“定式”和“定值”三個方面去思考.“定形”是指對稱中心在原點，以坐標軸為對稱軸的情況下，焦點在哪條坐標軸上；“定式”根據(jù)“形”設(shè)雙曲線方程的具體形式；“定量”是指用定義法或待定系數(shù)法確定a,b的值.要點二、雙曲線的幾何性質(zhì)

標準方程專一圣=1(a>0,b>0)y^—擋=1(a>0,b>0)a2b2圖形/0X性質(zhì)隹點、g、，、、、”,0),F^(c,0)F(0,—c),”,c)焦距IFF1=2c(c=4a2+b2)IFFI=2c(c=Ja2+b2)范圍{xx<—a或x>a},yeR{yy<—a或y>a},xeR對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點對稱頂點(+a,0)(0,+a)軸實軸長=2a，虛軸長=2b離心率ce=—(e>1)a漸近線方程y=±bxay=±axb要點三、直線與雙曲線的位置關(guān)系直線與雙曲線的位置關(guān)系X2V2…,將直線的方程y=kx+m與雙曲線的方程一—，=1(a>0,b>0)聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于xa2b2或y的一元二次方程，其判別式為△.(b2一a2k2)x2一2a2mkx一a2m2一a2b2=0，一一-一-b右b2-a2k2=0,即k=+—，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；ab右b2一a2k2主0,即k主土一，aA>0=直線和雙曲線相交=直線和雙曲線相交，有兩個交點；^=0=直線和雙曲線相切=直線和雙曲線相切，有一個公共點；AV0=直線和雙曲線相離=直線和雙曲線相離，無公共點.直線與雙曲線的相文弦TOC\o"1-5"\h\z.X2V2設(shè)直線V=kx+m交雙曲線一-—=1(a>0,b>0)于點戶(x,v),P(x,v),兩點，則a2b2111222IPP1=\,'(x+x)2+(v-v)2121212=：(x+x)2[1+(V2)2]=\/1+k2Ix—xI\12氣—x212同理可得IPPI=「1+』IV—VI(k。0)需作以下變形:12\k212這里Ix—xI,Iv—VI,的求法通常使用韋達定理，1212需作以下變形:Ix—xI=\,'(x+x)2—4xx121212IV1IV1—AXV1+V2)2—4V1V2雙曲線的中點弦問題x2x2V2在雙曲線---b-=1（a>0,b>0）中，以P（x0,V0）為中點的弦所在直線的斜率k=b2x—；a2v

0涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來相互轉(zhuǎn)化，同時還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍解題的主要規(guī)律可以概括為“聯(lián)立方程求交點，韋達定理求弦長，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”.要點四、雙曲線的實際應(yīng)用與最值問題對于雙曲線的實際應(yīng)用問題，我們要抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，即建立數(shù)學(xué)模型，一般要先建立直角坐標系，然后利用雙曲線定義，構(gòu)建參數(shù)a,b,c之間的關(guān)系，得到雙曲線方程，利用方程求解利用定義轉(zhuǎn)化利用雙曲線的幾何性質(zhì)利用定義轉(zhuǎn)化利用雙曲線的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值（1）（2）（3）【典型例題】類型一：雙曲線的方程與性質(zhì)x2V2例1.設(shè)F1、F2是雙曲線--—b-=1l（a>0，b>0）的兩個焦點，點P在雙曲線上，若PF]-PF2=0，且PF^-|PF|=2ac，其中c=Ja2+b2，求雙曲線的離心率.―【解析】由雙曲線定義知，||PF1|—|PF2||=2a，?..|PF”+|PF|2—2|PF|?|PF|=4a2，1212■又|PF|2+|PF|2=4c2，...|PF|?|PF|=2b2，1212又P4-|pf|=2ac，...2ac=2b2，..b2=c2—a2..b2=c2—a2=ac，?.e2—e—1=0，.?e=1+?‘5即雙曲線的離心率為一-—^2【總結(jié)升華】根據(jù)雙曲線的定義，幾何性質(zhì)，找到幾何量的關(guān)系是解決這類問題的關(guān)鍵。舉一反三：【變式1】求下列雙曲線的標準方程.（i）與橢圓16+25=1共焦點，且過點（一2,50）的雙曲線;⑵與雙曲線16-號=1有公共焦點，且過點應(yīng),2）的雙曲線.x2y2【答案】（i）?..橢圓16+25=1的焦點為（0,±3），所求雙曲線方程設(shè)為又點（一2，E0）在雙曲線上，.?.四一一=1，解得32=5或32=18（舍去）.a29—a2y2y2.?.所求雙曲線方程為—4=1、x2y2（2）雙曲線16——^=1的焦點為（土2^5，0），x2y2?.?設(shè)所求雙曲線方程為：一—一=1，

a220—a2又點（3偵2，2）在雙曲線上，?..18——=1，解得a2=12或30（舍去），a220—a2x2y2.?.所求雙曲線方程為128=1【變式2】設(shè)雙曲線焦點在x軸上，兩條漸近線為y=±；x，則該雙曲線的離心率為（）A.5C笠C.一2B.5D.—4【答案】C類型二：直線與雙曲線的位置關(guān)系例2.已知雙曲線X2—y2=4，直線l:y=k（x—1），討論直線與雙曲線公共點個數(shù).【思路點撥】直線與曲線恰有一個交點，即由直線方程與曲線方程聯(lián)立的方程組只有一組解Iy=k（x-1）【解析】聯(lián)立方程組廠消去y,并依x聚項整理得:[X2-y2=4（1—k2）?x2+2k2x—k2—4=0⑴當1—k2=0即k=±1時，方程①可化為2x=5,x=5，方程組只有一組解，故直線與雙曲線只有一個2公共點（實質(zhì)上是直線與漸近線平行時的兩種情況，相交但不相切）.⑵當1—k2手0時，即k手±1，此時有△=4?（4—3k2）若4—3k2>0（k2手1），則ke則ke[手,-15-1,1)D.方程組有兩解，故直線與雙曲線有兩交點.2偵3

⑶若4—3k2=0（k2手1），則k=±，方程組有解，故直線與雙曲線有一個公共點（相切的情況）.3⑷若4⑷若4—3k2<0且k2手1則ke方程組無解，故直線與雙曲線無交點.綜上所述，當k=±1或k=±巨時，直線與雙曲線有一個公共點;3f當ke[，-f當ke[，-175-1,1)?1，號時，直線與雙曲線有兩個公共點;當ke-8,

[時，直線與雙曲線無公共點.【總結(jié)升華】本題通過方程組解的個數(shù)來判斷直線與雙曲線交點的個數(shù)，具體操作時，運用了重要的數(shù)學(xué)方法——分類討論，而且是“雙向討論”，既要討論首項系數(shù)1——k2是否為0，又要討論△的三種情況，為理清討論的思路，可畫“樹枝圖”如圖：舉一反三:A<03X24不等于0【變式1】過原點的直線l與雙曲線交于兩點，則直線l的斜率取值范圍是舉一反三:A<03X24不等于0【變式1】過原點的直線l與雙曲線交于兩點，則直線l的斜率取值范圍是A.C.B.D.27-8'-V2」)DT，+8<27]亍+827【答案】B【變式2】直線y=x+3與曲線一-x?|x|+-y2=1的交點個數(shù)是x9

A.0【答案】DB.1A.0【答案】DB.1C.2D.3例3.過點p37,5)與雙曲線X2—22—1有且只有一個公共點的直線有幾條，分別求出它們的方程。/乙?！舅悸伏c撥】x2y2顯然采用過p點的直線方程與雙曲線方程萬-—*=1聯(lián)立的方法，但要注意直線斜率不存在的情況要/匕。先判斷。__【解析】若直線的斜率不存在時，則x=、S，此時僅有一個交點(<7,0)，滿足條件；若直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為y—5—k(x一(7)則y=kx+5—k<7，三—(k十二：7)2—1，.?.25x2—7(kx+5—^■7)2—7x25，(25—7k2)x2—7x2kx(5—k$)+(5—k/7)2—7x25—0,5互當k=-^時，方程無解，不滿足條件；,5點…=當k=—^^~時，2x5\：7xx10—75方程有一解，滿足條件；當k2衛(wèi)?時，令A(yù)=[14k(5—k(7)]2—4(25—7k2)[(5—k/7)2—165]=0，化簡得：k無解，所以不滿足條件；5克-所以滿足條件的直線有兩條x=\：7和y—7—x+10o【總結(jié)升華】直線與雙曲線有一個公共點時可能相切也可能相交，注意直線的特殊位置和所過的特殊點.舉一反三：【變式】雙曲線土—」—1的右焦點到直線x-y-1=0的距離為W■，且2a2—3c.a2b22求此雙曲線的方程；設(shè)直線y=kx+m(m手0)與雙曲線交于不同兩點C、D，若點A坐標為(0，-b)，且|AC|=|AD|，求實數(shù)k取值范圍。x2【答案】(1)土—y2—13“、(<513<351,、(2)(-8,-—)D(--,-y)D(-^，+8)類型三：雙曲線的弦-y2-例4.(1)求直線y=x+1被雙曲線x2~=1截得的弦長；4y2(2)求過定點(0,1)的直線被雙曲線x2—5—1截得的弦中點軌跡方程.4

【思路點撥】題為直線與雙曲線的弦長問題，可以考慮弦長公式，結(jié)合韋達定理進行求解。題涉及到直線被雙曲線截得弦的中點問題，可采用點差法或中點坐標公式，運算會更為簡便X2產(chǎn)一1TOC\o"1-5"\h\zX2—1,,一、，八一一一_八解：由〈4得4x2-(x+1)2-4=0得3x2一2x-5=0(*)y=x+125?設(shè)萬程(*)的解為x,x，則有x+x=—,xx=一一得，12123123d=(2Ix一x1=■<21(x+x)2一4xx=^2^--<212*1212\933(2)方法一：若該直線的斜率不存在時與雙曲線無交點，則設(shè)直線的方程為y=kx+1，它被雙曲線截得的弦為AB對應(yīng)的中點為P(x,y)，'y=kx+1由Jy2得(4-k2)x2-2kx-5=0(*)x2-一=1〔4設(shè)方程(*)的解為氣,x2，則A=4k2+20(4-k2)>0,\16k2v80,IkIv寸5,TOC\o"1-5"\h\z2k5且x+x=,xx=,124-k2124-k2L,、kL,、14.x=一(x+x)=,y=一(y+y)=一(x+x)+1=,2124-k22122124-k2，kx=4-k24y=4-k2得4x2-y2+y=0(yv-4或y>0).方法二：設(shè)弦的兩個端點坐標為A(x,y),B(x,y)，弦中點為P(x,y)，則1122J4x「J4x「-y「=4[4x；-y22=4.y+y4(x-x)?.2=12x+xy-y1212得：4(x+x)(x-x)=(y+y)(y1-y)212122，即4x2-y2+y=0(圖象的一部分)【總結(jié)升華】(1)弦長公式IAB1=偵1+k2Ix-xI=：1+-11y-yI；12k212(2)注意上例中有關(guān)中點弦問題的兩種處理方法.舉一反三:x2【變式1】垂直于直線x+2y-3=0x2【變式1】垂直于直線x+2y-3=0的直線l被雙曲線矛2^)5【答案】y=2尤土10【變式2】雙曲線X2-y2=1的一弦中點為(2,1),則此弦所在的直線方程為()A.y=2x-1b.y=2x—2C.y=2x—3d.y=2x+3【答案】C類型四：雙曲線的綜合問題例5.已知點M(二2,0),N(2,0),動點P滿足條件|PM|—|PN|=2<2.記動點P的軌跡為W.(I)求W的方程；(II)若A,B是W上的不同兩點,0是坐標原點，求OA-OB的最小值.【思路點撥】(II)中，選好控制變量----直線的斜率k,建立目標OA-OB的函數(shù)是關(guān)鍵?！窘馕觥?I)根據(jù)雙曲線的定義可得一一一一-X2y2...—_._.W的方程為；-——~=1,(XNp2).(II)設(shè)A,B的坐標分別為(氣,y1),(x2,y2),當AB與x軸不垂直時,設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，與W的方程聯(lián)立，消去y得K—k2)X2—2kmx—m2—2=0,2kmm2+2所以故X]+X2=1廠，X]X2=—1所以O(shè)A-OB=xx+yy=xx+{kx+m)(kx+m)=(1+k2)xx+km(x+x)+m212、212121212I+k2)m2+2)2k2m22k2+2c4=++m2==2+.k2—11—k2k2—1k2—1又因為xx>0,所以k2—1>0,從而OA?OB>212當AB±x軸時，x=x,y=—y,從而OA-(OB=xx+yy=x2—y2=21212121211綜上，當AB±x軸時，OA-OB取得最小值2.【總結(jié)升華】雙曲線中的有關(guān)最值問