離散傅里葉變換

第4章離散傅里葉變換(DFT)信號的z變換實現(xiàn)了離散信號和系統(tǒng)的復(fù)頻域分析，但是如何利用計算機技術(shù)實現(xiàn)信號分析和運算、并且隨著信號處理的發(fā)展、使計算機技術(shù)普及到各行各業(yè)，這是離散傅里葉變換(DFT)和快速傅里葉變換(FFT)需要解決的問題。離散傅里葉變換實現(xiàn)了頻域離散化，為計算機進行頻域分析提供了可能；快速傅里葉變換大幅度減少了離散傅里葉變換的計算工作量，為時域、頻域分析的計算機應(yīng)用打下理論基礎(chǔ)。雖然信號處理技術(shù)不依賴于計算機技術(shù)，但是應(yīng)用計算機技術(shù)實現(xiàn)信號處理的方法是歷史發(fā)展的必然選擇。本章主要講述離散傅里葉變換的原理和典型應(yīng)用。按照周期序列、卷積、周期序列的傅里葉級數(shù)(DFS)、周期序列的傅里葉變換、離散傅里葉變換(DFT)及其應(yīng)用的順序進行講述。本章是數(shù)字信號處理的重點內(nèi)容，其中的卷積技術(shù)和離散傅里葉變換(DFT)技術(shù)是信號處理的標(biāo)志性技術(shù)。4.1周期序列4.1.1周期離散信號的定義如果一個離散信號周而復(fù)始、無始無終，則該信號是離散周期信號。因為離散信號的特殊性，這里的周而復(fù)始也有其特殊性。準(zhǔn)確的表述是：如果一個離散信號x(n)，滿足關(guān)系式x(n)=x(n+mN)(4.1.1)其中：m取整數(shù)N是m=1時、滿足關(guān)系式的最小正整數(shù)(這時的N叫周期信號的周期)。則:x(n)是周期信號，記作~(n)。為了區(qū)別周期信號和非周期信號，我們規(guī)定：用~(n)表示周期信號，用x(n)表示非周期信號、或者表示周期信號的主值序列。對于周期信號~(n)來說，N是它的周期，ng[0,N-1]是它的主值區(qū)間。x(n)表示周期信號~(n)的主值序列、簡稱主值，ng[0,N-1]。周期信號~(n)和它的主值序列x(n)的關(guān)系：x(n)=~(n)Rn(n)(4.1.2)~(n)=ix(n+mN)(4.1.3)m=-s(4.1.4(4.1.4)x(n)=x((n))NiAn)—Hi"01234567ii4n)In而』標(biāo)』血，公式4.1.2說明，主值序列x(n)可以從周期信號~(n)的主值區(qū)間截取得到；公式4.1.3

-……血】3)|?"I[頃n+2)I二hnJlm卅山hii、(r)-……血】3)|?"I[頃n+2)I二hnJlm卅山hii、(r)|0|NIy(n)=x((n十[))/■…■…jnJl].一一十jid)?:A我們定義求余運算((n)):N如果n=mN+n；1其中m、n、n、N是正整數(shù)，并且0<n<N—1；貝0：((n))=n1，n'叫數(shù)n以N為基的余數(shù)。'例題4.1.1判斷x(n)=sin(3n)ne(—s,+3)是否是周期性序列。解：如果是周期性序列，必然存在最小正整數(shù)N,滿足關(guān)系式x(n)=x(n+mN)。x(n)=sin3n)x(n+N)=sin[3(n+N)]=sin(3n+3N)當(dāng)3N=mx2兀m取整數(shù)，N取正整數(shù)時，x(n)=x(n+mN)成立。因為找不到整數(shù)m、正整數(shù)N,使3N=mx2兀成立所以x(n)尹x(n+mN)所以x(n)=sin3n)是非周期信號。通過本例題，我們看到周期性離散信號的特殊性，這是和模擬信號不同的地方。例題4.1.2求((28))的值。8解：28=3X8+4((28))8=44.1.2周期序列的循環(huán)移位本小節(jié)，我們研究已知周期信號~(n)，求周期信號~(n+m)的波形的問題。周期信號~(n+m)的波形是周期信號~(n)的波形整體在時間軸上左移m點得到的。相對于主值區(qū)間ne[0,N—1]，~(n)的左m個波形點，在主值區(qū)間的左側(cè)、依次移出主值區(qū)間；同時，在主值區(qū)間的右側(cè)、被移出的部分、依次進入主值區(qū)間，形成周期信號~(n+m)的波形。見圖4.1.2所示。對于一般有限長離散信號x(n)，n>0，以N為周期，形成周期信號x((n))n;把它做m點的左移、記為x((n+m))n，再截取其主值區(qū)間的序列、叫做序列的循環(huán)移位，記為x((n+m))R(n)。x((n+m))尸n(n)的波形是x((n))nRn(n)的波形的左m個波形點向左移出主值區(qū)間，而移出主值區(qū)間的部分從主值圖4.1.2序列的循環(huán)移位區(qū)間的右側(cè)又進入主值區(qū)間形成的信號七(n)的圖形。y(n)=x((n+m))R(n)(4.1.5)

公式4.1.5稱為序列x(n)的循環(huán)左移。同理，我們可以得到序列x(n)的循環(huán)右移的結(jié)果j2(n)的圖形。y(n)=x((n-m))R(n)(4.1.6)4.1.3序列的卷積序列的卷積分成線卷積和圓卷積兩種。本節(jié)，我們分別討論這兩種卷積的定義、運算和它們之間的關(guān)系。線卷積線卷積的定義：設(shè)x(n)長度N，x(n)長度N，它們的卷積結(jié)果是y(n)；1122i當(dāng)x1當(dāng)x1(n)滿足0<n<N-1、m=-sx2(n)滿足0<n<N2-1時，(4.1.7)公式4.1.7可以寫成:N1^N2-2y(n)=x(n)*x(n)=乙x(m)x(n一m)(4.1.8)i1212m=0證明省略。下面結(jié)合例題說明線卷積的計算。例題4.1.3計算R(n)*R(n)。解：方法1：34換坐標(biāo)：R(n)—R(m)、R(n)—R(m)；反轉(zhuǎn)：R(m)—R(一m)；平移：R(一m)—R(n一m)相乘、相加：R(n)*R(n)=￡R(m)R(n一m)m=0{n+10<n<26~n3<n<50其它解：方法2：~''R4fc^^m^^\^(m^111Ux(m)x(n一m)m-0010011110221113311134011250011R(n)*R(n)=LR(m)R(n—m)m=0=S(n)+26(n-1)+36(n-2)+36(n-3)+26(n-4)+S(n-5)解法1是傳統(tǒng)解題方法，其特點是解題概念清楚；解法2是表格法，其特點是解題效率高，但是必須用解法1的方法判斷卷積結(jié)果的起點。圓卷積圓卷積的定義：設(shè)信號%(n)長度N,0<n<N-1;信號^(n)長度N2,0<n<N2-1;它們的圓卷積結(jié)果是y(n);取圓卷積長度L>max(N,N)；同時把信號%(n)和%(n)采用信號尾部補零TOC\o"1-5"\h\z的方法，分別把它們的長度擴充到L；12貝0y(n)=%(n)?%(n)=S%(m)%((n一m))R(m)(4.1.9)c1212LLm=0下面結(jié)合例題說明圓卷積的計算。例題4.1.4計算R(n)⑤R(n)。解：方法1：34取圓卷積長度L=4,把R3(n)的長度采用信號尾部補零的方法擴充到4；換坐標(biāo)：R(n)TR(m)、R(n)TR(m),;反轉(zhuǎn)：R(m)TR(一m);平移：R(一m)TR((n一m))R(m)相乘、相加：R(n)?R(n)=￡R(m)R((n一m))R(m)343444{m=030<n<30其它解：方法2：取圓卷積長度L=4^'^R^n^_m)4R^m)R^m^1110￡R(m)R((n一m))R4(m)m=040-11113111113211113311113R(n)*R(n)=R(m)R((n一m))R(m)=3R(n)m=0解：方法3：取圓卷積長度L=5R(n)*R(n)=￡R(m)R((n-m))R(m)=2R(n)+R(n-2)34345552、m—0^^R^n一m^R^^m^^^1)1110L-1￡R(m)R((n-m))R(m)m—05010112111012211103311113401112解：方法4：取圓卷積長度L=6^^((n^m)Rj(m^^^)^1110尤R(m)R((n—m))R(m)m=06010011111002211103311113401112500111R(n)*R(n)=^R(m)R((n—m))R(m)343466m=0=8(n)+28(n—1)+38(n—2)+38(n—3)+28(n—4)+8(n—5)解法1是傳統(tǒng)解題方法，其特點是解題概念清楚，但是復(fù)雜；解法2是表格法，其特點是解題效率高，在計算兩個周期信號的圓卷積時、優(yōu)點突出。通過例題，我們注意到：確定圓卷積長度L是計算的首要任務(wù)。L不同，計算結(jié)果不同。如果題目沒有明確要求圓卷積長度L，我們一般取L=max(N,N)。參與圓卷積的各個的信號長度、圓卷積結(jié)果的長度都是L。圓卷積的計算公式4.1.6要求對參加運算的一個運算量進行循環(huán)移位，然后截取其主值序列。當(dāng)圓卷積長度L>N+N：-1時，圓卷積計算結(jié)果和線卷積計算結(jié)果相等。這樣，可以用圓卷積計算線1卷積了。考慮到圓卷積可以用DFT和FFT的方法計算，圓卷積的重要性就不言而喻了。圓卷積和線卷積的關(guān)系：當(dāng)圓卷積長度L>N+N-1時，圓卷積計算結(jié)果和線卷積計算結(jié)果相等；否則，不相等。但是，需要注意各個參加卷積的信號的起始位置，并由此確定卷積結(jié)果的起始位置。一般情況下，我們遇到的大多是因果信號和系統(tǒng)，可以仿照本節(jié)例題處理。證明：當(dāng)圓卷積長度L>N+七-1時，圓卷積計算結(jié)果和線卷積計算結(jié)果相等。證明：12設(shè)信號%(n)長度N，0<n<N—1；信號%(n)長度N2，0<n<N2—1；它們的線卷積結(jié)果是七(n)，卷積結(jié)果長度N1+N2—1；N+N-2y(n)=%(n)*%(n)=】工％(m)%(n—m)l1212m=0圓卷積結(jié)果是y(n)；取圓卷積長度L>max(N,N)；同時把信號%(n)和c121%(n)采用信號尾部補零的方法，分別把它們的長度擴充到L；參考公式4.1.3和公式4.1.4~(n)=￡%(n+mN)m=—s~(n)=%((n))ny(n)=x(n)⑤x(n)=Sx(m)x((n-m))R(m)c1212LLm=0=S{x(m)Sx(n-m+kL)R(m)}，(k取整數(shù));m=0k=-sZ年1{乙x(m)x(n一m+kL)R(m)}k=-sm=0當(dāng)且僅當(dāng)L>N1+N2-1時ZN1+N'2—2/、，{乙x(m)x(n+kL-m)R(m)}“c12Lk=-sm=0k=-s七((n))占l(n)可見，線卷積按圓卷積的長度L、在時間坐標(biāo)軸上周期性延拓等于圓卷積，當(dāng)圓卷積長度L>N+N-1時，圓卷積計算結(jié)果和線卷積計算結(jié)果相等。否則，線卷積在時間坐標(biāo)軸上周期性延拓形成圓卷積時、相鄰波形混疊相加了，這時線卷積可見，和圓卷積的計算結(jié)果不相等。證畢。4.2周期序列的傅里葉級數(shù)4.2.1周期序列的傅里葉級數(shù)周期序列的傅里葉級數(shù)(DFS)的定義：設(shè)~(n)是周期為N的信號，則：X(k)=DFS[~(n)]=S-1~(n)e"j:&(4.2.1)n=0?-1N-1-j*kn.~(n)=IDFS[X(k)]=一乙X(k)eJNkn(4.2.2)Nn=0其中，公式4.2.1是周期信號~(n)的傅里葉級數(shù)的系數(shù)，公式4.2.2是周期信號~(n)的傅里葉級數(shù)表示式。周期序列的傅里葉級數(shù)(DFS)的物理意義：以N為周期的周期序列~(n)，可以分解成N個頻率的正弦信號之和，每個正弦信號TOC\o"1-5"\h\z的頻率④=叢k，0<k<N-1；k=0，正弦信號的頻率是w=0，振幅是—￡(0)，

kN0N..一一一21?這樣的信號叫~(n)的直流；k=1，正弦信號的頻率是w1=了，振幅是七X(1)，這樣的2兀1信號叫~(n)的基波。一般情況下，k=i，正弦信號的頻率是w=i，振幅是1X(i)，iNN這樣的信號叫~(n)的第i次諧波。我們現(xiàn)在證明公式4.2.1和公式4.2.2的正確性。證明：設(shè)周期是N的周期信號~(n)，它的主值區(qū)間是ng[0,N-1]；g貝0：~(n)可以表示成正弦函數(shù)ejNk的一個級數(shù)。

2Z把上式等號兩邊同時乘以e-jnmn，然后兩邊同時對n求和N-1.兇N-11X^.次軟Z~(n)e-JNmn=Z[(土ZaeJNkn)e-JNnm]Nkn=0n=0k=s=上Z[Z1aeU(k-m)n]Nk

k=-3n=0=1Z[aZ1eJ普k-m)n]Nkk=-3n=0+3=Z[a5(k一m)]kk=-3=amZ1?-J^mn=2Lx(n)enn=0(4.2.3)n=02兀2兀因為?(n)、ejNkn都是周期等于N的周期信號，所以它們的乘積?(n)e*kn也是周期等于N的周期信號。?'?(n)e-JNkn、ak是周期等于N的周期信號。n=0g同理，對方程式4.2.3的兩邊同時乘以eJNkm，然后兩邊同時對k求和Z1akZ1akek=02冗jkm=?"(Z1?(n)e-J2N戚)eJNk]k=0n=0N-1N-1=Z[x(n)Zn=0k=0N-1=NZ[x(n)5(n一m)]2w-eJn(m-n)k]n=0?、=Nx(m)1N1N-1

—Zajkmk?x(n)=jknakeN?N-1X(k)=Zx(n)?x(n)=jknakeN?N-1X(k)=Zx(n)e2k--jkn

N證畢。例題4.2.1設(shè)x(n)=R3(證畢。例題4.2.1設(shè)x(n)=R3(n)，把x(n)以Ng

jnkn=8為周期進行周期性延拓，求該周期信號的DFS。?n-1解：X(k)=乙x(n)en=01-e74k2^--￡e—j8外?-e-j8k(ej8k?-一jk-e8)3兀

sin(—k)8e4兀sin(—k)84.2.2周期序列的傅里葉變換因為周期信號不滿足絕對可和的條件，所以、嚴(yán)格地說、它的傅里葉變換不存在。但是，在引入單位沖激序列5(n)的前提下，絕對可和的條件就成為不必要的限制了。我們首先把周期信號~(n)取DFS，然后對其級數(shù)取傅里葉變換，就可以得到周期信號~(n)的傅葉變換表示式。'、n-1n-1~。2兀?.?x(n)=—2LX(k)enNk=0X(k)=S~(n)e-jnknn=0TOC\o"1-5"\h\z一1+??/IFT[5(①一少)]=—j5(①一少)ejwnd①-兀1+.兀_=j5(s-s)e扣0-d①-兀11=ejs0n=ej(s0+2兀r)n-s<r<+s\o"CurrentDocument"2兀2兀?1N-1-，-=SX(k)2航(s-k+2兀r)兀knFT[~(n)]=一FT[乙X(k)eJn]Nk=0=—S一1X(k)FT[ejNkn]Nk=01N-1-[e''nne-jsn]=—乙X(k)Nk=0n=-s=上切1救k)S[e-/(s-Nk)n]Nk=0n=-s-s<r<+s=上切14(k)S[e-j(s-Nk+2財)n]Nk=0n=-s

TOC\o"1-5"\h\z2兀斧?°2兀=￡X(k)8(①-k)=SX(k)2航(s-k+2兀r)[e''nne-jsn]-s<r<+s一2兀k?_2兀X(em)=FT[x(n)]=——￡X(k)8(①-——k)(4.2.4)NNk=-s■，??N-1_-^^.其中，X(k)=￡x(n)eJnn=02丸,公式4.2.4的物理意義是:周期信號?(n)的頻譜X(e加)是被取樣信號8(?-專k)在數(shù)字頻率軸⑦上離散的，各個離散頻率④=紅k的，各個頻點的幅度等于乳￡(k)的周NN期信號。也可以說：周期信號X(n)的頻譜X(e加)是其傅里葉級數(shù)的系數(shù)￡(k)加權(quán)叢N(振幅加權(quán))。4.3離散傅里葉變換的定義4.3.1DFT的定義設(shè)x(n)是一個長度為M的有限長序列，則定義x(n)的N點離散傅里葉變換為X(k)=DFT[x(n)]=￡x(n)W「n0<k<N-1(4.3.1)n=0X(k)的離散傅里葉逆變換為1N-1x(n)=IDFT[X(k)]=—￡X(k)W-kn0<n<N-1(4.3.2)Nnk=0g其中W=e~jN(4.3.3)N稱為DFT變換區(qū)間長度(NAM)。通常稱(4.3.1)式和(4.3.2)式為離散傅里葉變換對。結(jié)合公式4.2.1和4.2.2,我們發(fā)現(xiàn):信號x(n)的DFT變換對是它對應(yīng)的周期信號x((n))N的DFS變換對。物理意義、公式證明完全相同。1N-1N-1IDFT[X(1N-1N-1IDFT[X(k)]=一￡[￡Nk=0m=0N-11=￡x(m)N1N-1m=0￡^Wk(m-n)Nn

k=0所以，在變換區(qū)間上滿足下式：x(n)=IDFT[X(k)]x(m)Wmk]W-k￡Wk(m-n)NM為整數(shù)M為整數(shù)0WnWN-1可見，公式4.3.1和4.3.2式定義的離散傅里葉變換對是唯一的。通過周期序列的級數(shù)、周期序列的傅里葉變換和離散傅里葉變換的討論，我們發(fā)現(xiàn)：離散傅里葉變換的結(jié)果和其相應(yīng)的周期序列的級數(shù)的系數(shù)相等，和其相應(yīng)的周期序列的傅里2冗.葉變換的波形相似(僅對應(yīng)頻點的幅度差」倍)，這就是序列的頻域分析可以用序列的DFTN進行的理論根據(jù)。更為重要的是，序列的DFT便于借助于計算機進行，這為信號分析的計

算機應(yīng)用開辟了新的道路。例4.3.1x(n)=R4(n)求x(n)的8點和16點DFT則設(shè)變換區(qū)間N=16兀sin(—k)2—,k=0,1,求x(n)的8點和16點DFT則設(shè)變換區(qū)間N=16兀sin(—k)2—,k=0,1,???,7兀

sin(—k)8.一▽.V兀給X(k)=乙x(n)Wkn=乙e88N=0兀sin(一k)4—,k=0,1,???,15兀sin(k)0N=8系16圖4.3.1序列的傅里葉變換和小同點S4.3.2DFT的物理意義2^4傅里葉變換表示式n它們之間的關(guān)系:N-1X(ej①)=乙x(n)e-j①n=0X(k)=X(Z)|z=en*X(k)=X(eje)|2兀

e=k(4.3.4)(4.3.5)公式4.3.4說明：序列的離散傅里葉變換京序列的Z變換在單位圓上的N個等間隔采樣值。公式4.3.5說明：序列的離散傅里葉變換是序列的傅里葉變換在頻率主值區(qū)間[0,2兀]上的N個等間隔采樣值。序列的傅里葉變換和不同點數(shù)的DFT之間的采樣關(guān)系見圖4.3.1所示。4.4離散傅里葉變換的基本性質(zhì)因為可以直接借助于序列的DFT對序列進行傅里葉分析，我們有必要對序列的DFT的下列6個特殊性質(zhì)進行研究。4.4.1DFT的周期性對于任意給定的一個有限長序列X(n)、nE[0,M-1]，取其N(M<N)點的DFT:(m和M都是正整數(shù))knX(k+mN)=￥1knX(k+mN)=￥1+mN)-j(k+mN)-jkn-j2冗mnkn-jknn=0=X(k)(4.4.1)可見，對于任意給定的一個有限長序列x(n)、ne[0,M-1]，取其N(M<N)點的DFT，其結(jié)果是：把x(n)以N為周期進行沿拓，同時DFT[x(n)]=X(k)的周期是N。4.4.2DFT的線性設(shè)x.(n)、x(n)的長度分別是N.、N2，取N>{N,N2}點的DFT；(a、b是常數(shù)；)DFT[ax.(n)+bx(n)]=aDFT[x1(n)]+bDFT[x2(n)](4.4.2)證明：DFT[ax(n)+bx(n)]

N-1_.2兀^=2[ax(n)+bx(n)]e7nn1n=0=a2x(n)en=02兀-jnkn+b2x(n)]en=02兀-jknN=aDFT[七(n)]+bDFT[x2(n)]4.4.3DFT的時移和頻移X(n)循環(huán)左移m點，取其N點DFTDFT[x((n+m))]=w-kmDFT[x(n)](4.4.3)證明：DFT[x((n+m))Q=2"x((n+m))]e-j7&n=0N-1=2[x((n+m))}eJnnmeJnmNn=0

.2^,B1?*，=en〉[x((n+m))]e7nnmNn=0=w-kmDFT[x(n)]x(n)w-n的N點DFTDFT[x(n)wmn]=X((k+m))(4.4.4).一N-1-2兀.2兀,證明：DFT[x(n)wmn]=旗x(n)eJnmneJn"Nn=0N-1.2兀，.=2x(n)e'n=X((k+m))N4.4.4DFT4.4.4DFT和圓卷積n=0設(shè)信號x(n)長度N,0<n<N-1;信號(n)長度N2,0<n<N2-1；它們的2圓卷積結(jié)果是y(n);取圓卷積長度N>max(N,N)；同時把信號x(n)和x(n)采用信號尾部補零的方法，分別把它們的長度擴充到N；DFN的長度取N；2貝0DFT[x(n)⑤x(n)]=DFT[x(n)]xDFT[x(n)](4.4.5)1212DFT[x(n)xx(n)]=—DFT[x(n)]⑤DFT[x(n)](4.4.6)12N12證明：DFT[x(n)⑤x(n)]=DFT[2x(m)x((n—m))R(m)]1212NNm=0=2x(m)DFT[x((n一m))R(n)]m=0=2x(m)wkmDFT[x(n)]m=0DFT[x.(n)xx(n)]==DFT[x1(n)]xDFT[x2(n)]，xDFT[x.(n)xx(n)]=尸11乎=2[x(n)—2X(m)w-mnwkki]1n-0Nm-021N-1=—2[xNm-02N(m)22m-0x(n)w(k—m)n]11N-1-—2[X(m)X((k-m))R(m)]m-01-—DFT[x1(n)]⑤DFT[x2(n)]4.4.5DFT的共軛性設(shè)x*(n)是x(n)的復(fù)共軸序列，它們的長度都是N;DFT[x(n)]=X(k)0<k<N-1;則：DFT[x*(n)]=X*(N-k)(4.4.7)證明：DFT[x*(n)]=切x(n)*wkktNn=0*1=[乙x(n)w-kn]n=0=[切x(n)w(N-k)n]Nn=0=X*(N-k)4.4.6DFT的對稱性本節(jié)所講的對稱性是指序列x(n)、X(k)及其共軛序列關(guān)于N點的對稱性。2定義4.4.1:滿足關(guān)系式x(n)=x*(N—n)0<n<N-1；(4.4.8)的序列叫時域共軛對稱序列。定義4.4.2:滿足關(guān)系式x(n)=—x*(N—n)0<n<N-1；(4.4.9)的序列叫時域共軛反對稱序列。任何序列都可以分解為共軛對稱序列和共軛反對稱序列之和。x(n)=x(n)+x(n)(4.4.10)下面說明這種分解形式是唯一的。由公式4.4.10、4.4.8、4.4.9得x*(N—n)=x*(N—n)+x*(N—n)=x(n)—x(n)(4.4.11)由公式4.4.10:4.4.11得x(n)=—[x(n)+x*(N-n)](4.4.12)x(n)=[x(n)-x*(N-n)](4.4.13)同理可以定義頻域共軛對稱序列和共軛反對稱序列：X(k)=X*(N—k)0<k<N-1；(4.4.14)X(k)=—X*(N—k)0<k<N-1；(4.4.15)同理：X(k)=X(k)+X(k)(4.4.16)其中：X(n)=L[X(n)+X*(N-n)](4.4.17)X(n)=L[X(n)-X*(N-n)](4.4.18)本節(jié)所講的對稱性可以用下列關(guān)系式4.4.19表述：箭頭代表DFT變換對。()x(n)=x(n)+jx(n)=x(n)+x(n)0<n<N-1****X(k)=X(k)+X(k)=X(n)+jX(n)0<k<N-1(4.4.19)()公式4.4.19顯示，序列了(n)可以分解成實'數(shù)序列x(n)和虛數(shù)序列jx(n)之和；序列X(k)可以分解成實數(shù)序列X(k)和虛數(shù)序列jX(k)之和?！渲校簒(n)=—[x(n)+x*(n)](4.4.20)x,(n)=~-[x(n)-x*(n)](4.4.21)X(k)=-[X(k)+X*(k)](4.4.22)X(k)=—[X(k)-X*(k)](4.4.23)證明：(1)已知DFT[x(n)]=X(k),則有DFT[x(n)]=X(k)根據(jù)公式4.4.20?1DFT[x(n)]=2{DFT[x(n)]+DFT[x*(n)]}=L{X(k)+X*(N-k)}(見公式4.4.7)2=X(k)(見公式4.4.17)已知DFT[x(n)]'=X(k),則有DFT[jx(n)]=X(k)根據(jù)公式4.4.21°1DFT[jx(n)]=;{DFT[x(n)]-DFT[x*(n)]}=1{X(k)-X*(N-k)}(見公式4.4.7)2=X^(k)(見公式4.4.18)已知DFT[x(n)]=X(k),則有DFT[x(n)]=X(k)根據(jù)公式4.4.12'1DFT[x(n)]=;{DFT[x(n)]+DFT[x*(N-n)]}=\X(k)+X*(k)}(見公式4.4.7)2=X(k)(見公式4.4.22)已知DFT[x(n)]匚X(k),則有DFT[x(n)]=jX(k)根據(jù)公式4.4.13'1DFT[x(n)]=;{DFT[x(n)]-DFT[x*(N-n)]}=、X(k)-X*(k)}(見公式4.4.7)2=jX(k)(見公式4.4.23)證畢?！鶕?jù)序列和它的DFT的對稱性，我們在進行實際計算時可以減少運算量。例如，我們常見的序列是實數(shù)序列，把兩個實數(shù)序列、一個當(dāng)成實部、一個當(dāng)成虛部、組成一個復(fù)數(shù)序列，DFT以后，根據(jù)公式4.4.17和4.4.18進行共軛分解，可以分別得到它們的DFT結(jié)果?？傔\算量減少接近一半。針對常見的實數(shù)序列，根據(jù)DFT的對稱性，它的DFT也具有特點：設(shè)x(n)是實數(shù)序列、長度N；做其N點DFT，DFT[x(n)]=X(k):X(k)=X*(N-k)(見公式4.4.19)即：實數(shù)序列的DFT是共軛對稱序列。如果x(n)=x(N-n)，則：X(k)=X(N-k)即：實數(shù)偶對稱序列的DFT是實數(shù)偶對稱序列。如果x(n)=-x(N-n)，則：X(k)=-X(N-k)是純虛數(shù)序列。即：實數(shù)奇對稱序列的DFT是虛數(shù)奇對稱序列。4.5頻率域采樣本節(jié)主要討論下列2個問題：用序列x(n)的傅里葉變換X(ej。)的N點采樣值X(k)，能否恢復(fù)原序列x(n)。用序列x(n)的傅里葉變換X(em)的N點采樣值X(k)，表示序列x(n)的傅里葉變換X(ej。)和序列的Z變換X(z)。現(xiàn)在首先討論第一個問題。假設(shè)序列x(n)的長度M，其傅里葉變換X(e沁)=義x(n)e-j?nn=0在。e[0,2兀]上等間隔采樣n個點，得到X(k)(0<k<N-1)；以X(k)為主值、以N點為周期進行延拓，得到周期序列X(k)；?按照公式4.2.2IDFS[X(k)]=?n(n)?(n)=x((n))是以x(n)為主值、以N點為周期進行延拓，得到周期序列?？梢?，當(dāng)N>M時，x(n)=x(n)。由此，我們得到頻率采樣定理：如果序歹Ux(n)的長度是M，其對應(yīng)的X(k)的長度是M，只有當(dāng)頻域采樣點數(shù)N>M時，才能保留原信號的全部信息?，F(xiàn)在討論第二個問題。假設(shè)序列x(n)的長度M，N>M；N-1X(k)=￡x(n)wkki0<k<N—1；Nn=0X(ej。)=￡x(n)e-j。nn=0=2-1IDFT[X(k)]e-j。nn=0N-11n-1=乙[—乙X(k)w一kn]e一j。NNn=0k=01N-1N-1_?(N。一2株)=一乙[X(k)乙e如Nn]N

2nk1--J(④-1-eN1n-1sin(①N/2),.(w-2兀k)(n-d=——￡[X(k)-e-J2n]Nsin(①/2)k=0Wk)=1■N/2)-頂(枷2心)(N1(451)Nsin(④/2)N-1(4.5.2)X(e仲)=￡X(k)80,k)k=0(4.5.2)可見，信號x(n)的頻譜，可以用其DFT和內(nèi)插函數(shù)的組合得到。公式4.5.1稱為公式4.5.2的內(nèi)插函數(shù)。N-1同理：x(z)=￡x(k)Nz,k)(4.5.3)k=011—Z-N.—、。(④，k)=(4.5.4)N1一w-kz-1N公式4.5.4稱為公式4.5.3的內(nèi)插公式。用序列x(n)的傅里葉變換X(e")的N點采樣值X(k)，在采用適當(dāng)?shù)膬?nèi)插公式的情況下，可以表示序列x(n)的傅里葉變換X(e加)和序列的Z變換X(z)。4.6DFT的應(yīng)用DFT開辟了用數(shù)值計算的方法進行傅里葉分析的新領(lǐng)域。隨著FFT的出現(xiàn)，DFT技術(shù)廣泛地應(yīng)用于各行各業(yè)。本節(jié)就如下三個應(yīng)用課題進行分析，以便透射出DFT的廣泛應(yīng)用前景。用DFT計算卷積或相關(guān)；用DFT進行信號的頻譜分析；用DFT進行頻譜分析的誤差。4.6.1用DFT計算卷積通過4.1.3卷積計算的討論，我們知道：當(dāng)圓卷積的長度大于或等于線卷積的長度時，可以用圓卷積計算線卷積。通過對DFT性質(zhì)的討論，我們可以把時域的卷積變換成頻域的乘積；把頻域的卷積變換成時域的乘積。相關(guān)運算和卷積相仿，我們重點討論卷積。(4.6.1)x(n)⑤x(n)=IDFT(DFT[x(n)⑤x(n)])1212x1(n)x2(n)x.(n)?x(n)(4.6.1)x1(n)x2(n)x.(n)?x(n)圖4.6.2用DFT計算卷積示意圖x1(n)?卷積?x(n)?x(n)x2(n)圖4.6.1卷積計算示意圖

用DFT計算卷積的目的是借助于FFT運算，提高計算速度。對于兩個有限長的信號進行卷積，用上述方法計算是方便的。對于一個是有限長信號一個是無限長信號，我們用下面的方法進行計算(卷積的重疊相加法)。設(shè)序列h(n)長度為N，x(n)為無限長序列。將x(n)均勻分段，每段長度取M，則x(n)=￡x(n)kk=0x(n)=x(n)?R(n-kM)y(n)=h(n)*x(n)Yi=乙h(n)*x(n)k(4.6.2)k=0=乙七(n)k(4.6.2)nnnnn,x0(n),x1(n),J'"),MMMn因為h(n)長度為N，每個x(n)的長度為M(M>N)，所以h(n)和每個x(n)的線卷積長度都是M+N-1。h(n)*x(n)的前M個點的值是準(zhǔn)確的，第2個卷積h(n)*x/n)的M個點的值、其前部N-1個點的值和h(n)*x0(n)余下的N-1個點的值對應(yīng)相加、才是該部分卷積計算結(jié)果的M個點的準(zhǔn)確值。以此類推，其計算要點是，h(n)和x^(n)的線卷積長度是M+N-1，輸出k部分卷積結(jié)果的前M個點的值；其后N-1個點的值與h(n)和卜n)的線卷積的前Mnnnnn,x0(n),x1(n),J'"),MMMn這樣一邊計算、一邊輸出，提高了計算效率。其計算過程參考圖4.6.3。我們在這里分析卷積的計算方法，卷積可以用DFT進行計算。這樣可以進一步提高計算速度。4.6.2用DFT進行頻譜分析信號的頻譜分析就是信號的傅里葉分析。連續(xù)信號與系統(tǒng)的傅里葉分析不能直接用計算機進行，使其應(yīng)用受到限制；連續(xù)信號進行抽樣、量化形成數(shù)字信號，應(yīng)用DFT這種時域和頻域均離散化的變換的原理，使用DFT進行近似頻譜分析。下面，我們分別討論用DFT對模擬信號和數(shù)字信號進行分析。用DFT對模擬信號進行頻譜分析有限長的連續(xù)信號X(t),它的頻譜函數(shù)X(jQ)是無限長的連續(xù)函數(shù)。為了使用DFT進行計算，我們把x(t)以間隔T、進行時域等間隔抽樣，得到x(nT)=x(n)。再對x(n)進行DFT，得到x(n)的頻譜X(次)的N個等間隔抽樣值X(k)。在頻譜的抽樣點處X(次)和X(k)的值相等，x(n)和X(k)都是有限長的，這樣就決定了使用DFT進行頻譜分析是近似的。如何使得DFT近似的合理是我們重點關(guān)注的問題。設(shè)連續(xù)信號x(t)的持續(xù)時間是Tp，最高頻率是fc，傅里葉變換是3Xa(jf)=FT[Xa(t)]=jXa(t)e-j2財dt(4.6.3)-311對Xa(t)以采樣間隔T<——(即f尸->2fc)采樣，得X(nT)=X(n)。設(shè)共采樣Nc點，并對X(jf)作零階近似(t=nT，dt=T)得N-1Xa(jf)=TzXa(nt)e-j2兀抑(4.6.4)n=0顯然，Xa(jf)仍是f的連續(xù)函數(shù)。對X.(jf)在區(qū)間[0，fs]上等間隔采樣N點，采樣間隔為Fo^^Bfs、Tp、N、F滿足如下關(guān)系式：NT=*(4.6.5)NF=fs(4.6.6)fsZ2fc(4.6.7)TOC\o"1-5"\h\z11F<(——=)(468)TNT6,8pT<(工=孔)(4.6.9)NN圖4.6.4時域采樣和頻域采樣將f=kF代入乂0)中可得Xa(jf)的采樣N-1.2幾LX(jkF)=Tzx(nT)enn=0X(k)=X(jkf),x(n)=x(nT)X(k)=T21x(n)e「蒲*=T-DFT[x(n)]an=0(4.6.11)x(n)=Xa(nT)=F切Xa(k)e一1FN[Nn=02X。(k)2兀

jknN2兀一jNkn]1—IDFT[X(k)](4.6.12)公式4.6.11顯示，有限長連續(xù)信號經(jīng)過抽樣，形成數(shù)字信號，取其DFT、再乘以T,就可以得到其頻譜的抽樣值。如果時域抽樣滿足時域抽樣定理，信號頻譜沒有丟失，可以通過逆DFT的方法得到原抽樣信號。例如，理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)及其頻響函數(shù)Ha(if)如圖4.6.5(a)、(b)所示。sin(兀t)yt)=tJ工4(b)圖4.6.5…理想低通濾波器的時、頻特性及采樣現(xiàn)在用DFT來分析ha(t)的頻率響應(yīng)特性。由于ha(t)的持續(xù)時間為無窮長，所以要截取一段Tp，假設(shè)叮=8s，采樣間隔T=0.25s(即采樣速度fs=4Hz)，采樣點數(shù)N=Tp/T=32。心川4止石舊砰節(jié)=1加，f=0.125Hz。貝01U胡跖T.DFT[h(n)],0WkW31h(n)=ha(nT)R32(n).「二'一丁a〈(即譜分析范圍也，為了避免在DFT運算中發(fā)生頻率混疊現(xiàn)~f>2f(4.6.13).譜分辨率F=fs/N，如果保持采樣點數(shù)N不變，要提高譜的分辨率(F減小)，必須降低采樣速率，采樣速率的降低會引起譜分析范圍減少。如維持fs不變，為提高分辨率可以增T=—，只有增加對信號的觀察時間Tp，才能增加N。Tpfs圖4.6.5―理想低通濾波器的時、頻特性及采樣此時頻域采樣間隔其中在已知信號的最高頻率fCt...…一

象，要求采樣速率可滿足下式'。'，'板“、/加采樣點數(shù)N,因為NT=Tp和N可以按照下式進行選擇：2f

N>—Fs1Tp>—例4.6.1對實信號進行譜分析，一最小記錄時間TPmin，最大的采樣間隔Tmax，最少的采樣點數(shù)Nmin。如果fc不變，要求譜分辨率增加一倍，最少的采樣點數(shù)和最小的記錄時間是多少？解：11Tp>—=—=0.1s(4.6.14)(4.6.15)要求譜分辨率FW10Hz,信號最高頻率fc=2.5kHz,試確定Tmax1=2f一1—0.2x10-3s2x25002f2x2500N—c-—500minF10為使頻率分辨率提高一倍，F(xiàn)=5Hz，要求2x2500N=—1000min51T=-==0.2spmin5因此Tpmin=0.1s,因為要求fs32fc,所以.用DFT對序列進行譜分析我們已知道單位圓上的Z變換就是序列傅里葉變換，即X(e0)=X(z)z=e^對周期為N的周期序列~(n)，其頻譜函數(shù)為TOC\o"1-5"\h\z?2兀瑚?。2兀X(e*=FT[?(n)]=——XX(k)8(①-——k)NNk=-s?.?N-1?-，-X(k)=DFS[?(n)]=X?(n)eJn由DFT的隱含周期性可知，截取?(n)的主值序列x(n)=?(n)RN(n)，并進行N點DFT得到?X(k)=DFT[x(n)]=DFT[?(n)R(n)]=X(k)R(k)如果截取長度M等于?(n)的整數(shù)個周期，即M=mN，m為正整數(shù)，則x(n)=?(n)R(n)^-1_部,X(k)=DFT[x(n)]=X?(n)e-jmknn=0=X1~(n)e'mNkn(0<k<mM-1)n=0令n=n'+rN，r=0,1,...,m-1；n'=0,1,...,N-1，貝0m-1X(k)=Xr=0[X1.2兀nx(n)e[X1.2兀nx(n)e-jmNk一jrk]emn=0k.2^-X(—)e—jm次m因為km-1X(—)Xmr=02ffi-一j

emrkX'Q-jfremm因為km-1X(—)Xmr=02ffi-一j

emrkX'Q-jfremm,0,k/m=整數(shù)k/m尹整數(shù)如果~(n)的周期預(yù)先不知道，可先截取M進行DFT,即x(n)=~(n)R(n)MMX(k)=DFT[~(n)R(n)](0<k<M-1)(4.6.16)再將截取長度擴大一倍，截取x(n)=~(n)R(n)X(k)=DFT[~(n)R(n)](0<k<2M-1)(4.6.17)比較兩者的MDFT結(jié)果，當(dāng)誤差滿足要求時，兩者任選其一作為結(jié)果；當(dāng)誤差不能滿足要求時，繼續(xù)擴大長度，直到相鄰兩次計算結(jié)果滿足要求為止。4.6.3用DFT進行頻譜分析的誤差在實際工作中，我們用DFT(用FFT計算)對連續(xù)信號和數(shù)字信號進行譜分析。這種技術(shù)的要點是把信號在時域和頻域截斷、變成有限長信號;在時域和頻域進行抽樣和周期性延拓。這樣，不可避免地產(chǎn)生了誤差。本節(jié)，我們對這些誤差進行分析?；殳B現(xiàn)象通過本章前幾節(jié)的討論，我們看到DFT的本質(zhì)是周期信號的傅里葉級數(shù)的系數(shù)的主值。對此，我們從兩個方面進行說明。一方面：時域的周期性延拓對應(yīng)著頻域的離散化，頻域的離散化本質(zhì)上是對信號頻譜的頻域的采樣。對于時域有限長的信號x(n)，我們以它為主值拓展成周期信號~(n)，取這個周期信號~(n)的傅里葉級數(shù)的系數(shù)得到頻域的離散化的￡(k)，再取￡(k)的主值?、、“一,.._.........?、一?一X(k)=X(k)Rn(k)，這個X(k)是DFT[x(n)]。時域信號的周期性延拓不能有信號混疊現(xiàn)象，必須依靠信號頻譜的頻域的采樣間隔F<1、(T是信號在時域的持續(xù)時間)來保…一，一，、，、…一，，一一，衛(wèi)、……，、一，一證，即滿足頻域采樣定理。也就是說，在滿足頻域采樣定理的前提下，被恢復(fù)的信號沒有重疊。另一方面：時域的離散化對應(yīng)著頻域的周期性延拓，時域采樣結(jié)果是對信號頻譜在頻域的周期性延拓。從對于已知頻域的X(k)，我們以它為主值拓展成周期信號￡(k)，取這個周期信號￡(k)的傅里葉級數(shù)的系數(shù)得到時域的離散化的~(n)，再取~(n)的主值x(n)=~(n)Rn(n)，這個x(n)是IDFT[X(k)]。頻域信號的周期性延拓不能有信號混疊現(xiàn)象，必須依靠信號時域的采樣間隔f>2f、(fc是信號的最高頻率)來保證，即滿足時域采樣定理。也就是說，在滿足時域采樣定理的前提下，被采樣信號的頻譜在頻域沒有重疊?？梢姡谕瑫r滿足時域和頻域采樣定理的條件下，信號在時域和頻域都不會出現(xiàn)重疊。柵欄效應(yīng)DFT和IDFT的過程中對信號在時域和頻域的采樣，就是用時域的采樣點的值代表原時域信號；用頻域的采樣點的值代表原信號的頻譜。我們用采樣點的值代表信號的方法為信號處理帶來了方便，同時，為從采樣點的值中恢復(fù)出原信號帶來了誤差。這就是DFT的柵欄效應(yīng)。公式4.5.1，4.5.2,4.5.3,4.5.4向我們展示，從采樣信號中恢復(fù)原信號，必須有準(zhǔn)確的內(nèi)插公式。一般情況下，我們得不到準(zhǔn)確的內(nèi)插公式，只能用近似的內(nèi)插公式，通過增加采樣點數(shù)，減小恢復(fù)原信號的誤差。截斷效應(yīng)DFT和IDFT的過程中為了得到頻域離散信號、我們對時域信號進行周期性延拓；為了得到時域離散信號、我們對頻域信號進行周期性延拓。為了周期性延拓的需要，我們在時域、頻域分別對信號及其頻譜進行截斷處理。這就產(chǎn)生了信號的截斷效應(yīng)。

對于持續(xù)時間比較長的信號％(n)進行截斷，y(n)=%(n)R(n),R(n)叫矩形窗函數(shù)。根據(jù)傅里葉變換的頻域卷積定理有NN1Y(ej?)=FT[y(n)]=X(e沁)*R(ej?)其中1-j兀X(efi)R(ej3-0))d9其中X(e炒)=FT[%(n)]*-1sin(?N/2)R(」沁)=FT[R(n)]=e腫2—1=R(&)e押(。)可見，信號在時域被截斷，對應(yīng)著在頻域、它的頻譜和矩形窗函數(shù)的頻譜的卷積；反之，信號的頻譜被截斷，對應(yīng)著它的時域信號和矩形窗函數(shù)的卷積。這就是說截斷效應(yīng)的影響是改變了變換域中對應(yīng)信號的圖形。例如：在頻域幅度譜Rn(w)~3曲線如圖4.6.6所示，Rn(3)的圖形以2n為周期。圖中，13l<2n/N的部分稱為主瓣，其余部分稱為旁瓣。l=—s-k/4圖4.6.6窗函數(shù)的頻譜例如：x(n)=cos(30n),30=nl=—s-k/4X(e/?)=兀[8(①一"—2兀l)+8(①+"—2兀l)]44信號x(n)的頻譜如圖4.6.7(a)所示，信號x(n)被窗函數(shù)R,(n)截斷以后的頻譜如圖4.6.7(b)所示。()信號x(n)由于被截斷，其頻譜和原信號頻譜相比是有區(qū)別的。體現(xiàn)在兩個方面：頻率泄漏：表現(xiàn)在離散的譜線和窗函數(shù)Rn(n)的頻譜卷積結(jié)果、使得原有譜線被展寬。譜間干擾：表現(xiàn)在原信號的頻譜和窗函數(shù)R,(n)的頻譜卷積結(jié)果、使得原頻譜各個分量的結(jié)構(gòu)發(fā)生了變化，難于辨認(rèn)。N

信號在時域被截斷，在頻域表現(xiàn)為譜的分辨率降低。給信號分析帶來困難。減少截斷效應(yīng)的方法是增加窗函數(shù)的寬度N，以便于減小窗函數(shù)R(n)的頻譜的主瓣寬度。請注意，這樣只能減少截斷效應(yīng)的影響，不能徹底消除影響?！氨菊滦〗Y(jié)本章按照周期序列、卷積、周期序列的傅里葉級數(shù)(DFS)、周期序列的傅里葉變換、離散傅里葉變換(DFT)及其應(yīng)用的順序進行講述?，F(xiàn)將本章要點、難點小結(jié)如下：(！)周期序列：如果一個離散信號x(n)，滿足關(guān)系式x(n)=x(n+mN)其中：m取整數(shù)N是m=1時、滿足關(guān)系式的最小正整數(shù)(這時的N叫周期信號的周期)。則:x(n)是周期信號，記作~(n)。周期序列的循環(huán)移位：周期信號~(n+m)的波形是周期信號~(n)的波形整體在時間軸上左移m點得到的。相對于主值區(qū)間ne[0,N-1]，~(n)的左m個波形點，在主值區(qū)間的左側(cè)、依次移出主值區(qū)間；同時，在主值區(qū)間的右側(cè)、被移出的部分、依次進入主值區(qū)間，形成周期信號~(n+m)的波形。序列的線卷積：設(shè)x(n)長度N，x(n)長度N，它們的線卷積結(jié)果是y(n)；1122ly(n)=x(n)*x(n)=Zx(m)x(n-m)l1212.m=-s序列的圓卷積：設(shè)信號x(n)長度N，0<n<N-1；信號x(n)長度N，0<n<N-1；它們的圓卷積結(jié)果是y(n)；2取圓卷積長度L>max(N,N)；同時把信號x(n)和x(n)采用信號尾部補1212則y(n)=x(n)則y(n)=x(n)⑤x(n)=Zx(m)x((n一c12m))R(m)-1N-1-j2兀~(n)=IDFS[X(k)]=一乙X(k)eJNknNk=0X(k)=DFS[~(n)]=?'~(n)e"jnkn是周期序列的傅里葉級數(shù)。是周期序列的傅里葉級數(shù)的系數(shù)。周期序列的傅里葉級數(shù)(DFS)的物理意義：以N為周期的周期序列~(n)，可以分解成N個頻率的正弦信號之和，每個正丸弦信號的頻率④=k，0<k<N-1；k=0，正弦信號的頻率是w=0，振1