2021-2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第11章立體幾何初步單元測(cè)試【含答案】

第十一章單元測(cè)試時(shí)間：90分鐘150分一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．)1．如圖Rt△O′A′B′是一平面圖形的直觀圖，斜邊O′B′＝2，則這個(gè)平面圖形的面積是()A.eq\f(\r(2),2)B．1C.eq\r(2)D．2eq\r(2)2．在空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果EF，HG交于一點(diǎn)P，則()A．點(diǎn)P一定在直線BD上B．點(diǎn)P一定在直線AC上C．點(diǎn)P一定在直線AC或BD上D．點(diǎn)P既不在直線AC上，也不在直線BD上第1題圖第3題圖第5題圖3．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，VA1-BCD＝()A．60B．30C．20D．104．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則()A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC5．如圖，在正四面體D-ABC中，P∈平面DBA，則在平面DAB內(nèi)過(guò)點(diǎn)P與直線BC成60°角的直線共有()A．0條B．1條C．2條D．3條6．底面半徑為eq\r(3)，母線長(zhǎng)為2的圓錐的外接球O的表面積為()A．6πB．12πC．8πD．16π7題圖7．E，F(xiàn)，G分別是空間四邊形ABCD的棱BC，CD，DA的中點(diǎn)，則此四面體中與過(guò)E，F(xiàn)，G的截面平行的棱的條數(shù)是()A．0B．1C．2D．38．如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，M，N分別為AB，AC的中點(diǎn)，沿MN將△AMN折起，使得平面AMN與平面MNCB所成的二面角為30°，則四棱錐A-MNCB的體積為()A.eq\f(3,2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3)D．3二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．)9．下列命題正確的是()A．若一個(gè)平面內(nèi)兩條直線與另一個(gè)平面都平行，則這兩個(gè)平互平行B．若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平互垂直C．垂直于同一直線的兩條直線相互平行D．若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直10．如圖，在正四棱錐S-ABCD中，E，M，N分別是BC，CD，SC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論中恒成立的為()A．EP⊥ACB．EP∥BDC．EP∥平面SBDD．EP⊥平面SAC11．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點(diǎn)A∈α，A?l，若直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則()A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β12．如圖，矩形ABCD中，AB＝2AD，E為AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE(A1?平面ABCD)，若M為線段A1C的中點(diǎn)，則在△ADE翻折過(guò)程中，下列結(jié)論正確的是()A．VA-A1DE：VA1-BCDE＝1：3B．存在某個(gè)位置，使DE⊥A1CC．總有BM∥平面A1DED．線段BM的長(zhǎng)為定值三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．)13．一個(gè)直徑為32厘米的圓柱形水桶中放入一個(gè)鐵球，球全部沒(méi)入水中后，水面升高9厘米，則此球的半徑為_(kāi)_______厘米．14．已知四面體P-ABC中，PA＝PB＝4，PC＝2，AC＝2eq\r(5)，PB⊥平面PAC，則四面體P-ABC外接球的體積為_(kāi)_______．15．設(shè)α和β為不重合的兩個(gè)平面，給出下列①若α內(nèi)的兩條相交直線分別平行于β內(nèi)的兩條直線，則α平行于β；②若α外的一條直線l與α內(nèi)的一條直線平行，則l和α平行；③設(shè)α和β相交于直線l，若α內(nèi)有一條直線垂直于l，則α和β垂直．其中正確命題的序號(hào)是________．16．已知二面角α-l-β為60°，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在平面α，β內(nèi)，P到β的距離為eq\r(3)，Q到α的距離為2eq\r(3)，則P，Q兩點(diǎn)之間距離的最小值為_(kāi)_______．四、解答題(本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(10分)如圖所示，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積．18．(12分)如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)證明：直線BC∥平面PAD；(2)若△PCD面積為2eq\r(7)，求四棱錐P-ABCD的體積．19．(12分)如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是邊長(zhǎng)為eq\r(2)的正方形，AA1＝3，點(diǎn)E在棱B1B上運(yùn)動(dòng)．(1)證明：AC⊥D1E；(2)若三棱錐B1－A1D1E的體積為eq\f(2,3)，求異面直線AD，D1E所成的角．20．(12分)如圖，在三棱錐P-ABC中，E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點(diǎn)．(1)求證：EF∥平面PAB；(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°.求證：平面PEF⊥平面PBC.21．(12分)如圖，已知三棱柱ABC－A′B′C′的側(cè)棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)M，N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn)．(1)證明：MN∥平面AA′C′C；(2)設(shè)AB＝λAA′，當(dāng)λ為何值時(shí)，CN⊥平面A′MN？試證明你的結(jié)論．22．(12分)如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C是菱形，AC1與A1C交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．(1)求證：OE∥平面BCC1B1；(2)若AC1⊥A1B，求證：AC1⊥BC.

第十一章單元測(cè)試1．答案：D解析：∵Rt△O′A′B′是一平面圖形的直觀圖，斜邊O′B′＝2，∴Rt△O′A′B′的直角邊長(zhǎng)是eq\r(2)∴Rt△O′A′B′的面積是eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝1，∴原平面圖形的面積是1×2eq\r(2)＝2eq\r(2).故選D.2．答案：B解析：如圖，∵P∈HG，HG?平面ACD，∴P∈平面ACD.同理，P∈平面BAC.∵平面BAC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC.故選B.3．答案：D解析：VA1－BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×5×4＝10.4．答案：C解析：如圖，由題設(shè)知，A1B1⊥平面BCC1B1，從而A1B1⊥BC1，又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E?平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.5．答案：C解析：過(guò)點(diǎn)P分別作BD，AB的平行線，這兩條直線都符合題意．6．答案：D解析：由題意，圓錐軸截面的頂角為120°，設(shè)該圓錐的底面圓心為O′，球O的半徑為R，則O′O＝R－1，由勾股定理可得R2＝(R－1)2＋(eq\r(3))2，∴R＝2，∴球O的表面積為4πR2＝16π.故選D.7．答案：C解析：在△ACD中，∵G，F(xiàn)分別為AD與CD的中點(diǎn)，∴GF∥AC.而GF?平面EFG，AC?平面EFG，∴AC∥平面EFG.同理，BD∥平面EFG.故選C.8．答案：A解析：如圖，作出二面角A-MN-B的平面角∠AED，AO為△AED底邊ED上的高，也是四棱錐A-MNCB的高．由題意，得ED＝eq\r(3)，AO＝eq\f(\r(3),2)，S四邊形MNCB＝eq\f(1,2)×(2＋4)×eq\r(3)＝3eq\r(3).V＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×3eq\r(3)＝eq\f(3,2).9．答案：BD解析：當(dāng)兩個(gè)平交時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)的兩條平行于它們交線的直線就平行于另一個(gè)平面，故A不正確；由平面與平面垂直的判定定理知B正確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線可能平行、相交或異面，故C不正確；若兩個(gè)平面垂直，只有在一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線垂直的直線才與另一個(gè)平面垂直，故D正確．10．答案：AC解析：如圖所示，連接AC、BD相交于點(diǎn)O，連接EM，EN.由正四棱錐S-ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC.∵SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD.∵E，M，N分別是BC，CD，SC的中點(diǎn)，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN＝M，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP.選項(xiàng)A正確．由異面直線的定義可知：EP與BD是異面直線，不可能EP∥BD，因此選項(xiàng)B不正確；平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此選項(xiàng)C正確．EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，則EP∥EM，與EP∩EM＝E相矛盾，因此當(dāng)P與M不重合時(shí)，EP與平面SAC不垂直．即選項(xiàng)D不正確．11．答案：ABC解析：因?yàn)閙∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l，又AB∥l，所以AB∥m，故A正確；因?yàn)锳C⊥l，m∥l，所以AC⊥m，故B正確；因?yàn)锳∈α，AB∥l，l?α，所以B∈α，所以AB?β，l?β，所以AB∥β，故C正確；因?yàn)锳C⊥l，當(dāng)點(diǎn)C在α內(nèi)時(shí)，AC⊥β成立，當(dāng)點(diǎn)C不在α內(nèi)時(shí)，AC⊥β不成立，故D不正確．12．答案：ACD解析：設(shè)A1到平面EBCD的距離為h，D到AB的距離為h′，則VA-A1DE：VA1-BCDE＝eq\f(1,3)×S△ADE×h：eq\f(1,3)S梯形EBCD×h＝S△ADE：S梯形EBCD＝eq\f(1,2)×AE×h′：eq\f(CD＋BE,2)×h′＝1：3，A正確；A1C在平面ABCD中的射影為AC，AC與DE不垂直，∴DE與A1C不垂直，B錯(cuò)誤；取CD中點(diǎn)F，連接MF，BF，則MF綉eq\f(1,2)A1D，F(xiàn)B綉ED，由MF∥A1D與FB∥ED，可得平面MBF∥平面A1DE，∴總有BM∥平面A1DE，C正確；∴∠MFB＝∠A1DE，由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，故D正確．13．答案：12解析：設(shè)球的體積為V，半徑為R，圓柱水桶的半徑為r，上升的水高為h，V＝Sh＝πr2h＝eq\f(4,3)πR3，R＝eq\r(3,64×27)＝12(cm)．14．答案：36π解析：∵PA＝4，PC＝2，AC＝2eq\r(5)，∴在△PAC中，PA2＋PC2＝20＝AC2，可得AP⊥PC，又∵PB⊥平面PAC，PA，PC?平面PAC，∴PB⊥PA，PA⊥PC.以PA，PB，PC為長(zhǎng)、寬、高，作長(zhǎng)方體如圖所示，則該長(zhǎng)方體的外接球就是四面體P-ABC的外接球．∵長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(42＋42＋22)＝6，∴長(zhǎng)方體外接球的直徑2R＝6，得R＝3，因此，四面體P-ABC的外接球體積為V＝eq\f(4π,3)R3＝＝36π.15．答案：①②解析：由面面平行的判定可知①正確；由線面平行的判定可知②正確；顯然③錯(cuò)誤．16．答案：2eq\r(3)解析：如圖，分別作QA⊥α于點(diǎn)A，AC⊥l于點(diǎn)C，PB⊥β于點(diǎn)B，PD⊥l于點(diǎn)D，連接CQ，BD，則∠ACQ＝∠PDB＝60°，AQ＝2eq\r(3)，BP＝eq\r(3)，∴AC＝PD＝2.又∵PQ＝eq\r(AQ2＋AP2)＝eq\r(12＋AP2)≥2eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)AP＝0，即點(diǎn)A與點(diǎn)P重合時(shí)取最小值，此時(shí)，PQ⊥平面α.17．解析：四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是一個(gè)圓臺(tái)挖去一個(gè)圓錐所得的組合體，S表面＝S圓臺(tái)底面＋S圓臺(tái)側(cè)面＋S圓錐側(cè)面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2eq\r(2)＝(4eq\r(2)＋60)π.V＝V圓臺(tái)－V圓錐＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋r1r2＋req\o\al(2,2))h－eq\f(1,3)πreq\o\al(2,2)h′＝eq\f(1,3)π(25＋10＋4)×4－eq\f(1,3)π×4×2＝eq\f(148,3)π.18．解析：(1)證明：∵底面ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝90°，∴BC∥AD，又AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD.(2)取AD的中點(diǎn)M，連接PM，CM，由AB＝BC＝eq\f(1,2)AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四邊形ABCM為正方形，則CM⊥AD.因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PM?平面PAD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.因?yàn)镃M?底面ABCD，所以PM⊥CM.設(shè)BC＝x，則CM＝x，CD＝eq\r(2)x，PM＝eq\r(3)x，PC＝PD＝2x.取CD的中點(diǎn)N，連接PN，則PN⊥CD，所以PN＝eq\f(\r(14),2)x.因?yàn)椤鱌CD的面積為2eq\r(7)，所以eq\f(1,2)×eq\r(2)x×eq\f(\r(14),2)x＝2eq\r(7)，解得x＝－2(舍去)，x＝2.于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2eq\r(3).所以四棱錐P-ABCD的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(2(2＋4),2)×2eq\r(3)＝4eq\r(3).19．解析：(1)證明：如圖所示：連接BD，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵四棱柱ABCD－A1B1C1D1是直棱柱，∴B1B⊥平面ABCD.∵AC?平面ABCD，∴B1B⊥AC.∵BD∩B1B＝B，BD，B1B?平面B1BDD1，∴AC⊥平面B1BDD1.∵D1E?平面B1BDD1，∴AC⊥D1E.(2)∵VB1－A1D1E＝VE－A1B1D1，EB1⊥平面A1B1C1D1，∴VE－A1B1D1＝eq\f(1,3)S△A1B1D1·EB1.∵S△A1B1D1＝eq\f(1,2)A1B1·A1D1＝1，∴VE－A1B1D1＝eq\f(1,3)EB1＝eq\f(2,3).∴EB1＝2.∵AD∥A1D1，∴∠A1D1E為異面直線AD，D1E所成的角或其補(bǔ)角．在Rt△EB1D1中，求得ED1＝2eq\r(2).∵D1A1⊥平面A1ABB1，A1E?平面A1ABB1，∴D1A1⊥A1E.在Rt△EA1D1中，得cos∠A1D1E＝eq\f(\r(2),2\r(2）＝eq\f(1,2)，∴∠A1D1E＝60°.∴異面直線AD，D1E所成的角為60°.20．證明：(1)∵E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點(diǎn)，∴EF∥AB.又EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB.(2)∵PA＝PC，E為AC的中點(diǎn)，∴PE⊥AC.又∵平面PAC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.又∵F為BC的中點(diǎn)，∴EF∥AB.∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.∵EF∩PE＝E，EF，PE?平面PEF，∴BC⊥平面PEF.又∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEF.21．解析：(1)證明：如圖，設(shè)A′B′的中點(diǎn)為E，連接EM，EN，∵點(diǎn)M，N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn)，∴NE∥A′C′，ME∥AA′，又∵A′C′?