空間向量法解決立體幾何問題課件

利用空間向量解決立體幾何問題數(shù)學(xué)專題二1利用空間向量解決立體幾何問題數(shù)學(xué)專題二1二、立體幾何問題的類型及解法1、判斷直線、平面間的位置關(guān)系；

(1)直線與直線的位置關(guān)系;(2)直線與平面的位置關(guān)系;(3)平面與平面的位置關(guān)系;2、求解空間中的角度；

3、求解空間中的距離。1、直線的方向向量；2、平面的法向量。一、引入兩個(gè)重要空間向量2二、立體幾何問題的類型及解法1、判斷直線、平面間的位置關(guān)系；一.引入兩個(gè)重要的空間向量

1.直線的方向向量把直線上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方向向量是zxyAB3一.引入兩個(gè)重要的空間向量1.直線的方向向量2.平面的法向量如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面α,稱這個(gè)向量垂直于平面α,記作n⊥α,這時(shí)向量n叫做平面α的法向量.

αn42.平面的法向量如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面3.在空間直角坐標(biāo)系中,如何求平面法向量的坐標(biāo)呢?

如圖,設(shè)a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α內(nèi)的兩個(gè)不共線的非零向量,由直線與平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,則n⊥α.換句話說,若n·a=0且n·b=0,則n⊥α.abnα53.在空間直角坐標(biāo)系中,如何求平面法向量的坐標(biāo)呢?abn(1)求平面的法向量的坐標(biāo)的一般步驟:第一步(設(shè)):設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n=(x,y,z).第二步(列):根據(jù)n·a=0且n·b=0可列出方程組第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y.第四步(取):取z為任意一個(gè)正數(shù)(當(dāng)然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐標(biāo).6(1)求平面的法向量的坐標(biāo)的一般步驟:第一步(設(shè)):設(shè)出平面例1在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy7例1在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面A解：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,設(shè)平面OA1D1的法向量的法向量為n=(x,y,z),那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)得平面OA1D1的法向量的坐標(biāo)n=(2,0,1).取z=1解得:得:由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）8解：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,得平面OA1D1(2)求平面的法向量的坐標(biāo)的特殊方法:第一步:寫出平面內(nèi)兩個(gè)不平行的向量

a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),第二步:那么平面法向量為9(2)求平面的法向量的坐標(biāo)的特殊方法:第一步:寫出平面內(nèi)兩個(gè)二.立體幾何問題的類型及解法1.判定直線、平面間的位置關(guān)系(1)直線與直線的位置關(guān)系不重合的兩條直線a,b的方向向量分別為a,b.①若a∥b,即a=λb,則a∥b.②若a⊥b,即a·b=0,則a⊥babab10二.立體幾何問題的類型及解法1.判定直線、平面間的位置關(guān)系a例2已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求證:CC1⊥BDA1B1C1D1CBAD11例2已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是證明：設(shè)a,b,c,依題意有|a|=|b|，于是a–b∵=c(a–b)=c·a–c·b=|c|·|a|cosθ–|c|·|b|cosθ=0∴CC1⊥BD

12證明：設(shè)a,b,(2)直線與平面的位置關(guān)系直線L的方向向量為a,平面α的法向量為n,且Lα.①若a∥n,即a

=λn,則L⊥α②若a⊥n,即a·n=0,則a∥α.naααnaLL13(2)直線與平面的位置關(guān)系naααnaLL13例3棱長(zhǎng)都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分別是AC,CC1的中點(diǎn),求證:(1)A1E⊥平面DBC1;(2)AB1∥平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy14例3棱長(zhǎng)都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,A1C1B1解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.則A(-1,0,0),B(0,,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,,2),C1(1,0,2).設(shè)平面DBC1的法向量為n=(x,y,z),則解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(1)=-n,從而A1E⊥平面DBC1(2),而

n=-2+0+2=0∴AB1

∥平面DBC115解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標(biāo)系D-(3)平面與平面的位置關(guān)系平面α的法向量為n1,平面β的法向量為n2

①若n1∥n2,即n1=λn2,則α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2=0,則α⊥ββαβαn2n1n1n216(3)平面與平面的位置關(guān)系βαβαn2n1n1n216例4正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn),求證:平面AED⊥平面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D117例4正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1證明:以A為原點(diǎn)建立如圖所示的的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,∴平面AED⊥平面A1FD∵n1·n2=-2+0+2=0同理可得平面A1FD的法向量為n2=(2,0,1)取z=2得n1=(-1,0,2)解得：設(shè)平面AED的法向量為n1=(x,y,z)得于是，設(shè)：正方體的棱長(zhǎng)為2,那么E(2,0,1),A1(0,0,2),F(1,2,0),D(0,2,0),18證明:以A為原點(diǎn)建立如圖所示的的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,1.什么是傳統(tǒng)機(jī)械按鍵設(shè)計(jì)？傳統(tǒng)的機(jī)械按鍵設(shè)計(jì)是需要手動(dòng)按壓按鍵觸動(dòng)PCBA上的開關(guān)按鍵來實(shí)現(xiàn)功能的一種設(shè)計(jì)方式。傳統(tǒng)機(jī)械按鍵設(shè)計(jì)要點(diǎn)：1.合理的選擇按鍵的類型，盡量選擇平頭類的按鍵，以防按鍵下陷。2.開關(guān)按鍵和塑膠按鍵設(shè)計(jì)間隙建議留0.05~0.1mm，以防按鍵死鍵。3.要考慮成型工藝，合理計(jì)算累積公差，以防按鍵手感不良。傳統(tǒng)機(jī)械按鍵結(jié)構(gòu)層圖：按鍵開關(guān)鍵PCBA1.什么是傳統(tǒng)機(jī)械按鍵設(shè)計(jì)？傳統(tǒng)的機(jī)械按鍵設(shè)計(jì)是需要手動(dòng)按壓2.求空間中的角(1)兩異面直線的夾角利用向量法求兩異面直線所成的夾角,不用再把這兩條異面直線平移,求出兩條異面直線的方向向量,則兩方向向量的夾角與兩直線的夾角相等或互補(bǔ),我們僅取銳角或直角就行了.202.求空間中的角(1)兩異面直線的夾角20例5如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點(diǎn),則對(duì)角線DB1與CM所成角的余弦值為_____.BC

AMxzyB1C1D1A1CD21例5如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點(diǎn)解:以A為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,那么M(1,0,0),C(2,2,0),B1(2,0,2),D(0,2,0),∴cosθ=|cosα|設(shè)DB1與CM所成角為θ,與所成角為α,于是：22解:以A為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,設(shè)正(2)直線與與平面所成的角若n是平面α的法向量,a是直線L的方向向量,設(shè)L與α所成的角θ,n與a所成的角α

則θ=α-或θ=-α

于是,因此θθnααnaa23(2)直線與與平面所成的角θθnααnaa23例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a,高為，求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角。zxyC1A1B1ACBO24例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a,高為解:建立如圖示的直角坐標(biāo)系,則A(,0,0),B(0,,0)A1(,0,).C(-,0,)設(shè)面ABB1A1的法向量為n=(x,y,z)得由，解得，取y=,得n=(3,,0)，設(shè)與n夾角為α而∴故：AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角大小為30°.25解:建立如圖示的直角坐標(biāo)系,則25（3）二面角設(shè)n1

、n2分別是二面角兩個(gè)半平面α、β的法向量，由幾何知識(shí)可知，二面角α-L-β的大小與法向量n1、n2夾角相等（選取法向量豎坐標(biāo)z同號(hào)時(shí)相等）或互補(bǔ)（選取法向量豎坐標(biāo)z異號(hào)時(shí)互補(bǔ)），于是求二面角的大小可轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)平面法向量的夾角，這樣可避免了二面角的平面角的作圖麻煩.n1n2αβn1n226（3）二面角n1n2αβn1n226例7在四棱錐S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，側(cè)棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.zxyABCDS27例7在四棱錐S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，側(cè)棱解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.設(shè)平面SCD的法向量n1=(x,y,z),則由

得

n1=(1,1,2).而面SAD的法向量n2

=(1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小θ滿足

∴二面角A-SD-C的大小為.28解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則B（1，03.求解空間中的距離(1)異面直線間的距離兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段,只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計(jì)算.如圖,設(shè)兩條異面直線a、b的公垂線的方向向量為n,

這時(shí)分別在a、b上任取A、B兩點(diǎn),則向量在n上的正射影長(zhǎng)就是兩條異面直線a、b的距離.∴

即兩異面直線間的距離等于兩異面直線上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與公垂線的方向向量模的比值.nabAB293.求解空間中的距離(1)異面直線間的距離nabAB29例8在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,求異面直線AC1與BD間的距離.zxyABCDD1C1B1A130zxyABCDD1C1B1A130解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),設(shè)異面直線AC1與BD的公垂線的方向向量n=(x,y,z),則由,得

n=(-1,-1,2).∵,∴異面直線AC1與BD間的距離31解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,,則(2)點(diǎn)到平面的距離A為平面α外一點(diǎn)(如圖),n為平面α的法向量,過A作平面α的斜線AB及垂線AH.

==.于是，點(diǎn)到平面的距離等于平面內(nèi)外兩點(diǎn)的向量和平面的法向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與平面的法向量模的比值.nABHαθ32(2)點(diǎn)到平面的距離nABHαθ32例9在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,AC=BC=1,∠ACB=90°,求B1到面A1BC的距離.zxyCC1A1B1AB33例9在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=解:以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,則C(0,0,0),A1(1,0,),B(0,1,0),B1(0,1,).設(shè)面A1BC的法向量n=(x,y,z),由得

n=(-,0,1).

∵,∴或∵,∴或∵,∴可見,選擇平面內(nèi)外兩點(diǎn)的向量時(shí),與平面內(nèi)的點(diǎn)選擇無關(guān).34解:以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,則會(huì)求了點(diǎn)到平面的距離,直線到平面、平面到平面間的距離都可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離來求.例10四棱錐P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,側(cè)棱PA⊥底面AC且PA=4,E是PA的中點(diǎn),求PC與平面PED間的距離.xzyPBEADCF35會(huì)求了點(diǎn)到平面的距離,直線到平面、平面到平面間的距離都可轉(zhuǎn)化解:以A為原點(diǎn)、AB為x軸、△ACD中CD邊上的高AF為y軸、AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則F為CD的中點(diǎn),于是A(0,0,0),B(4,0,0),F(0,2,0),C(2,2,0),D(-2,2,0),P(0,0,4),E(0,0,2).設(shè)面BED的法向量n=(x,y,z),由得

n=(1,,2).∵∴n·2+6-8=0，故PC∥面BED,∴PC到面BED的距離就是P到面BED的距離,∵∴.36解:以A為原點(diǎn)、AB為x軸、△ACD中CD邊上的高AF為y軸空間向量理論引入立體幾何中，通常涉及到夾角、平行、垂直、距離等問題，其方法是不必添加繁雜的輔助線，只要建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量運(yùn)算解決立體幾何問題。這樣使問題坐標(biāo)化、符號(hào)化、數(shù)量化，從而將推理問題完全轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，降低了思維難度，這正是在立體幾何中引進(jìn)空間向量的獨(dú)到之處。37空間向量理論引入立體幾何中，通常涉及到夾角、平行、垂直、距離利用空間向量解決立體幾何問題數(shù)學(xué)專題二38利用空間向量解決立體幾何問題數(shù)學(xué)專題二1二、立體幾何問題的類型及解法1、判斷直線、平面間的位置關(guān)系；

(1)直線與直線的位置關(guān)系;(2)直線與平面的位置關(guān)系;(3)平面與平面的位置關(guān)系;2、求解空間中的角度；

3、求解空間中的距離。1、直線的方向向量；2、平面的法向量。一、引入兩個(gè)重要空間向量39二、立體幾何問題的類型及解法1、判斷直線、平面間的位置關(guān)系；一.引入兩個(gè)重要的空間向量

1.直線的方向向量把直線上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方向向量是zxyAB40一.引入兩個(gè)重要的空間向量1.直線的方向向量2.平面的法向量如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面α,稱這個(gè)向量垂直于平面α,記作n⊥α,這時(shí)向量n叫做平面α的法向量.

αn412.平面的法向量如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面3.在空間直角坐標(biāo)系中,如何求平面法向量的坐標(biāo)呢?

如圖,設(shè)a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α內(nèi)的兩個(gè)不共線的非零向量,由直線與平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,則n⊥α.換句話說,若n·a=0且n·b=0,則n⊥α.abnα423.在空間直角坐標(biāo)系中,如何求平面法向量的坐標(biāo)呢?abn(1)求平面的法向量的坐標(biāo)的一般步驟:第一步(設(shè)):設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n=(x,y,z).第二步(列):根據(jù)n·a=0且n·b=0可列出方程組第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y.第四步(取):取z為任意一個(gè)正數(shù)(當(dāng)然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐標(biāo).43(1)求平面的法向量的坐標(biāo)的一般步驟:第一步(設(shè)):設(shè)出平面例1在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy44例1在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面A解：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,設(shè)平面OA1D1的法向量的法向量為n=(x,y,z),那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)得平面OA1D1的法向量的坐標(biāo)n=(2,0,1).取z=1解得:得:由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）45解：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,得平面OA1D1(2)求平面的法向量的坐標(biāo)的特殊方法:第一步:寫出平面內(nèi)兩個(gè)不平行的向量

a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),第二步:那么平面法向量為46(2)求平面的法向量的坐標(biāo)的特殊方法:第一步:寫出平面內(nèi)兩個(gè)二.立體幾何問題的類型及解法1.判定直線、平面間的位置關(guān)系(1)直線與直線的位置關(guān)系不重合的兩條直線a,b的方向向量分別為a,b.①若a∥b,即a=λb,則a∥b.②若a⊥b,即a·b=0,則a⊥babab47二.立體幾何問題的類型及解法1.判定直線、平面間的位置關(guān)系a例2已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求證:CC1⊥BDA1B1C1D1CBAD48例2已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是證明：設(shè)a,b,c,依題意有|a|=|b|，于是a–b∵=c(a–b)=c·a–c·b=|c|·|a|cosθ–|c|·|b|cosθ=0∴CC1⊥BD

49證明：設(shè)a,b,(2)直線與平面的位置關(guān)系直線L的方向向量為a,平面α的法向量為n,且Lα.①若a∥n,即a

=λn,則L⊥α②若a⊥n,即a·n=0,則a∥α.naααnaLL50(2)直線與平面的位置關(guān)系naααnaLL13例3棱長(zhǎng)都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分別是AC,CC1的中點(diǎn),求證:(1)A1E⊥平面DBC1;(2)AB1∥平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy51例3棱長(zhǎng)都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,A1C1B1解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.則A(-1,0,0),B(0,,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,,2),C1(1,0,2).設(shè)平面DBC1的法向量為n=(x,y,z),則解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(1)=-n,從而A1E⊥平面DBC1(2),而

n=-2+0+2=0∴AB1

∥平面DBC152解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標(biāo)系D-(3)平面與平面的位置關(guān)系平面α的法向量為n1,平面β的法向量為n2

①若n1∥n2,即n1=λn2,則α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2=0,則α⊥ββαβαn2n1n1n253(3)平面與平面的位置關(guān)系βαβαn2n1n1n216例4正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn),求證:平面AED⊥平面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D154例4正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1證明:以A為原點(diǎn)建立如圖所示的的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,∴平面AED⊥平面A1FD∵n1·n2=-2+0+2=0同理可得平面A1FD的法向量為n2=(2,0,1)取z=2得n1=(-1,0,2)解得：設(shè)平面AED的法向量為n1=(x,y,z)得于是，設(shè)：正方體的棱長(zhǎng)為2,那么E(2,0,1),A1(0,0,2),F(1,2,0),D(0,2,0),55證明:以A為原點(diǎn)建立如圖所示的的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,1.什么是傳統(tǒng)機(jī)械按鍵設(shè)計(jì)？傳統(tǒng)的機(jī)械按鍵設(shè)計(jì)是需要手動(dòng)按壓按鍵觸動(dòng)PCBA上的開關(guān)按鍵來實(shí)現(xiàn)功能的一種設(shè)計(jì)方式。傳統(tǒng)機(jī)械按鍵設(shè)計(jì)要點(diǎn)：1.合理的選擇按鍵的類型，盡量選擇平頭類的按鍵，以防按鍵下陷。2.開關(guān)按鍵和塑膠按鍵設(shè)計(jì)間隙建議留0.05~0.1mm，以防按鍵死鍵。3.要考慮成型工藝，合理計(jì)算累積公差，以防按鍵手感不良。傳統(tǒng)機(jī)械按鍵結(jié)構(gòu)層圖：按鍵開關(guān)鍵PCBA1.什么是傳統(tǒng)機(jī)械按鍵設(shè)計(jì)？傳統(tǒng)的機(jī)械按鍵設(shè)計(jì)是需要手動(dòng)按壓2.求空間中的角(1)兩異面直線的夾角利用向量法求兩異面直線所成的夾角,不用再把這兩條異面直線平移,求出兩條異面直線的方向向量,則兩方向向量的夾角與兩直線的夾角相等或互補(bǔ),我們僅取銳角或直角就行了.572.求空間中的角(1)兩異面直線的夾角20例5如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點(diǎn),則對(duì)角線DB1與CM所成角的余弦值為_____.BC

AMxzyB1C1D1A1CD58例5如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點(diǎn)解:以A為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,那么M(1,0,0),C(2,2,0),B1(2,0,2),D(0,2,0),∴cosθ=|cosα|設(shè)DB1與CM所成角為θ,與所成角為α,于是：59解:以A為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,設(shè)正(2)直線與與平面所成的角若n是平面α的法向量,a是直線L的方向向量,設(shè)L與α所成的角θ,n與a所成的角α

則θ=α-或θ=-α

于是,因此θθnααnaa60(2)直線與與平面所成的角θθnααnaa23例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a,高為，求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角。zxyC1A1B1ACBO61例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a,高為解:建立如圖示的直角坐標(biāo)系,則A(,0,0),B(0,,0)A1(,0,).C(-,0,)設(shè)面ABB1A1的法向量為n=(x,y,z)得由，解得，取y=,得n=(3,,0)，設(shè)與n夾角為α而∴故：AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角大小為30°.62解:建立如圖示的直角坐標(biāo)系,則25（3）二面角設(shè)n1

、n2分別是二面角兩個(gè)半平面α、β的法向量，由幾何知識(shí)可知，二面角α-L-β的大小與法向量n1、n2夾角相等（選取法向量豎坐標(biāo)z同號(hào)時(shí)相等）或互補(bǔ)（選取法向量豎坐標(biāo)z異號(hào)時(shí)互補(bǔ)），于是求二面角的大小可轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)平面法向量的夾角，這樣可避免了二面角的平面角的作圖麻煩.n1n2αβn1n263（3）二面角n1n2αβn1n226例7在四棱錐S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，側(cè)棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.zxyABCDS64例7在四棱錐S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，側(cè)棱解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.設(shè)平面SCD的法向量n1=(x,y,z),則由

得

n1=(1,1,2).而面SAD的法向量n2

=(1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小θ滿足

∴二面角A-SD-C的大小為.65解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則B（1，03.求解空間中的距離(1)異面直線間的距離兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段,只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計(jì)算.如圖,設(shè)兩條異面直線a、b的公垂線的方向向量為n,

這時(shí)分別在a、b上任取A、B兩點(diǎn),則向量在n上的正射影長(zhǎng)就是兩條異面直線a、b的距離.∴

即兩異面直線間的距離等于兩異面直線上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與公垂線的方向向量模的比值.nabAB663.求解空間中的距離(1)異面直線間的距離nabAB29例8在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,求異面直線AC1與BD間的距離.zxyABCDD1C1B1A167zxyABCDD1C1B1A130解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),設(shè)異面直線AC1與BD的公垂線的方向向量n=(x,y,z),則由,得

n=(-1,-1,2).∵,∴異面直線AC1與BD間的距離68解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,,則(2)點(diǎn)到平面的距離A為平面α外一點(diǎn)(如圖),n為平面α的法向量,過A作平面α的斜線AB