空間向量法解決立體幾何問題課件

利用空間向量解決立體幾何問題數(shù)學專題二1利用空間向量解決立體幾何問題數(shù)學專題二1二、立體幾何問題的類型及解法1、判斷直線、平面間的位置關(guān)系；

(1)直線與直線的位置關(guān)系;(2)直線與平面的位置關(guān)系;(3)平面與平面的位置關(guān)系;2、求解空間中的角度；

3、求解空間中的距離。1、直線的方向向量；2、平面的法向量。一、引入兩個重要空間向量2二、立體幾何問題的類型及解法1、判斷直線、平面間的位置關(guān)系；一.引入兩個重要的空間向量

1.直線的方向向量把直線上任意兩點的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖,在空間直角坐標系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方向向量是zxyAB3一.引入兩個重要的空間向量1.直線的方向向量2.平面的法向量如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面α,稱這個向量垂直于平面α,記作n⊥α,這時向量n叫做平面α的法向量.

αn42.平面的法向量如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面3.在空間直角坐標系中,如何求平面法向量的坐標呢?

如圖,設(shè)a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α內(nèi)的兩個不共線的非零向量,由直線與平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,則n⊥α.換句話說,若n·a=0且n·b=0,則n⊥α.abnα53.在空間直角坐標系中,如何求平面法向量的坐標呢?abn(1)求平面的法向量的坐標的一般步驟:第一步(設(shè)):設(shè)出平面法向量的坐標為n=(x,y,z).第二步(列):根據(jù)n·a=0且n·b=0可列出方程組第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y.第四步(取):取z為任意一個正數(shù)(當然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐標.6(1)求平面的法向量的坐標的一般步驟:第一步(設(shè)):設(shè)出平面例1在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy7例1在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面A解：以A為原點建立空間直角坐標系O-xyz,設(shè)平面OA1D1的法向量的法向量為n=(x,y,z),那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)得平面OA1D1的法向量的坐標n=(2,0,1).取z=1解得:得:由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）8解：以A為原點建立空間直角坐標系O-xyz,得平面OA1D1(2)求平面的法向量的坐標的特殊方法:第一步:寫出平面內(nèi)兩個不平行的向量

a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),第二步:那么平面法向量為9(2)求平面的法向量的坐標的特殊方法:第一步:寫出平面內(nèi)兩個二.立體幾何問題的類型及解法1.判定直線、平面間的位置關(guān)系(1)直線與直線的位置關(guān)系不重合的兩條直線a,b的方向向量分別為a,b.①若a∥b,即a=λb,則a∥b.②若a⊥b,即a·b=0,則a⊥babab10二.立體幾何問題的類型及解法1.判定直線、平面間的位置關(guān)系a例2已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求證:CC1⊥BDA1B1C1D1CBAD11例2已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是證明：設(shè)a,b,c,依題意有|a|=|b|，于是a–b∵=c(a–b)=c·a–c·b=|c|·|a|cosθ–|c|·|b|cosθ=0∴CC1⊥BD

12證明：設(shè)a,b,(2)直線與平面的位置關(guān)系直線L的方向向量為a,平面α的法向量為n,且Lα.①若a∥n,即a

=λn,則L⊥α②若a⊥n,即a·n=0,則a∥α.naααnaLL13(2)直線與平面的位置關(guān)系naααnaLL13例3棱長都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分別是AC,CC1的中點,求證:(1)A1E⊥平面DBC1;(2)AB1∥平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy14例3棱長都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,A1C1B1解：以D為原點，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標系D-xyz.則A(-1,0,0),B(0,,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,,2),C1(1,0,2).設(shè)平面DBC1的法向量為n=(x,y,z),則解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(1)=-n,從而A1E⊥平面DBC1(2),而

n=-2+0+2=0∴AB1

∥平面DBC115解：以D為原點，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標系D-(3)平面與平面的位置關(guān)系平面α的法向量為n1,平面β的法向量為n2

①若n1∥n2,即n1=λn2,則α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2=0,則α⊥ββαβαn2n1n1n216(3)平面與平面的位置關(guān)系βαβαn2n1n1n216例4正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點,求證:平面AED⊥平面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D117例4正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1證明:以A為原點建立如圖所示的的直角坐標系A(chǔ)-xyz,∴平面AED⊥平面A1FD∵n1·n2=-2+0+2=0同理可得平面A1FD的法向量為n2=(2,0,1)取z=2得n1=(-1,0,2)解得：設(shè)平面AED的法向量為n1=(x,y,z)得于是，設(shè)：正方體的棱長為2,那么E(2,0,1),A1(0,0,2),F(1,2,0),D(0,2,0),18證明:以A為原點建立如圖所示的的直角坐標系A(chǔ)-xyz,1.什么是傳統(tǒng)機械按鍵設(shè)計？傳統(tǒng)的機械按鍵設(shè)計是需要手動按壓按鍵觸動PCBA上的開關(guān)按鍵來實現(xiàn)功能的一種設(shè)計方式。傳統(tǒng)機械按鍵設(shè)計要點：1.合理的選擇按鍵的類型，盡量選擇平頭類的按鍵，以防按鍵下陷。2.開關(guān)按鍵和塑膠按鍵設(shè)計間隙建議留0.05~0.1mm，以防按鍵死鍵。3.要考慮成型工藝，合理計算累積公差，以防按鍵手感不良。傳統(tǒng)機械按鍵結(jié)構(gòu)層圖：按鍵開關(guān)鍵PCBA1.什么是傳統(tǒng)機械按鍵設(shè)計？傳統(tǒng)的機械按鍵設(shè)計是需要手動按壓2.求空間中的角(1)兩異面直線的夾角利用向量法求兩異面直線所成的夾角,不用再把這兩條異面直線平移,求出兩條異面直線的方向向量,則兩方向向量的夾角與兩直線的夾角相等或互補,我們僅取銳角或直角就行了.202.求空間中的角(1)兩異面直線的夾角20例5如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點,則對角線DB1與CM所成角的余弦值為_____.BC

AMxzyB1C1D1A1CD21例5如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點解:以A為原點建立如圖所示的直角坐標系A(chǔ)-xyz,設(shè)正方體的棱長為2,那么M(1,0,0),C(2,2,0),B1(2,0,2),D(0,2,0),∴cosθ=|cosα|設(shè)DB1與CM所成角為θ,與所成角為α,于是：22解:以A為原點建立如圖所示的直角坐標系A(chǔ)-xyz,設(shè)正(2)直線與與平面所成的角若n是平面α的法向量,a是直線L的方向向量,設(shè)L與α所成的角θ,n與a所成的角α

則θ=α-或θ=-α

于是,因此θθnααnaa23(2)直線與與平面所成的角θθnααnaa23例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a,高為，求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角。zxyC1A1B1ACBO24例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a,高為解:建立如圖示的直角坐標系,則A(,0,0),B(0,,0)A1(,0,).C(-,0,)設(shè)面ABB1A1的法向量為n=(x,y,z)得由，解得，取y=,得n=(3,,0)，設(shè)與n夾角為α而∴故：AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角大小為30°.25解:建立如圖示的直角坐標系,則25（3）二面角設(shè)n1

、n2分別是二面角兩個半平面α、β的法向量，由幾何知識可知，二面角α-L-β的大小與法向量n1、n2夾角相等（選取法向量豎坐標z同號時相等）或互補（選取法向量豎坐標z異號時互補），于是求二面角的大小可轉(zhuǎn)化為求兩個平面法向量的夾角，這樣可避免了二面角的平面角的作圖麻煩.n1n2αβn1n226（3）二面角n1n2αβn1n226例7在四棱錐S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，側(cè)棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.zxyABCDS27例7在四棱錐S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，側(cè)棱解：建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，則B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.設(shè)平面SCD的法向量n1=(x,y,z),則由

得

n1=(1,1,2).而面SAD的法向量n2

=(1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小θ滿足

∴二面角A-SD-C的大小為.28解：建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，則B（1，03.求解空間中的距離(1)異面直線間的距離兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段,只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計算.如圖,設(shè)兩條異面直線a、b的公垂線的方向向量為n,

這時分別在a、b上任取A、B兩點,則向量在n上的正射影長就是兩條異面直線a、b的距離.∴

即兩異面直線間的距離等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值.nabAB293.求解空間中的距離(1)異面直線間的距離nabAB29例8在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,求異面直線AC1與BD間的距離.zxyABCDD1C1B1A130zxyABCDD1C1B1A130解:建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),設(shè)異面直線AC1與BD的公垂線的方向向量n=(x,y,z),則由,得

n=(-1,-1,2).∵,∴異面直線AC1與BD間的距離31解:建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,,則(2)點到平面的距離A為平面α外一點(如圖),n為平面α的法向量,過A作平面α的斜線AB及垂線AH.

==.于是，點到平面的距離等于平面內(nèi)外兩點的向量和平面的法向量的數(shù)量積的絕對值與平面的法向量模的比值.nABHαθ32(2)點到平面的距離nABHαθ32例9在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,AC=BC=1,∠ACB=90°,求B1到面A1BC的距離.zxyCC1A1B1AB33例9在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=解:以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz,則C(0,0,0),A1(1,0,),B(0,1,0),B1(0,1,).設(shè)面A1BC的法向量n=(x,y,z),由得

n=(-,0,1).

∵,∴或∵,∴或∵,∴可見,選擇平面內(nèi)外兩點的向量時,與平面內(nèi)的點選擇無關(guān).34解:以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz,則會求了點到平面的距離,直線到平面、平面到平面間的距離都可轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離來求.例10四棱錐P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,側(cè)棱PA⊥底面AC且PA=4,E是PA的中點,求PC與平面PED間的距離.xzyPBEADCF35會求了點到平面的距離,直線到平面、平面到平面間的距離都可轉(zhuǎn)化解:以A為原點、AB為x軸、△ACD中CD邊上的高AF為y軸、AP為z軸建立空間直角坐標系,則F為CD的中點,于是A(0,0,0),B(4,0,0),F(0,2,0),C(2,2,0),D(-2,2,0),P(0,0,4),E(0,0,2).設(shè)面BED的法向量n=(x,y,z),由得

n=(1,,2).∵∴n·2+6-8=0，故PC∥面BED,∴PC到面BED的距離就是P到面BED的距離,∵∴.36解:以A為原點、AB為x軸、△ACD中CD邊上的高AF為y軸空間向量理論引入立體幾何中，通常涉及到夾角、平行、垂直、距離等問題，其方法是不必添加繁雜的輔助線，只要建立適當?shù)目臻g直角坐標系，寫出相關(guān)點的坐標，利用向量運算解決立體幾何問題。這樣使問題坐標化、符號化、數(shù)量化，從而將推理問題完全轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，降低了思維難度，這正是在立體幾何中引進空間向量的獨到之處。37空間向量理論引入立體幾何中，通常涉及到夾角、平行、垂直、距離利用空間向量解決立體幾何問題數(shù)學專題二38利用空間向量解決立體幾何問題數(shù)學專題二1二、立體幾何問題的類型及解法1、判斷直線、平面間的位置關(guān)系；

(1)直線與直線的位置關(guān)系;(2)直線與平面的位置關(guān)系;(3)平面與平面的位置關(guān)系;2、求解空間中的角度；

3、求解空間中的距離。1、直線的方向向量；2、平面的法向量。一、引入兩個重要空間向量39二、立體幾何問題的類型及解法1、判斷直線、平面間的位置關(guān)系；一.引入兩個重要的空間向量

1.直線的方向向量把直線上任意兩點的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖,在空間直角坐標系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方向向量是zxyAB40一.引入兩個重要的空間向量1.直線的方向向量2.平面的法向量如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面α,稱這個向量垂直于平面α,記作n⊥α,這時向量n叫做平面α的法向量.

αn412.平面的法向量如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面3.在空間直角坐標系中,如何求平面法向量的坐標呢?

如圖,設(shè)a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α內(nèi)的兩個不共線的非零向量,由直線與平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,則n⊥α.換句話說,若n·a=0且n·b=0,則n⊥α.abnα423.在空間直角坐標系中,如何求平面法向量的坐標呢?abn(1)求平面的法向量的坐標的一般步驟:第一步(設(shè)):設(shè)出平面法向量的坐標為n=(x,y,z).第二步(列):根據(jù)n·a=0且n·b=0可列出方程組第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y.第四步(取):取z為任意一個正數(shù)(當然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐標.43(1)求平面的法向量的坐標的一般步驟:第一步(設(shè)):設(shè)出平面例1在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy44例1在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面A解：以A為原點建立空間直角坐標系O-xyz,設(shè)平面OA1D1的法向量的法向量為n=(x,y,z),那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)得平面OA1D1的法向量的坐標n=(2,0,1).取z=1解得:得:由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）45解：以A為原點建立空間直角坐標系O-xyz,得平面OA1D1(2)求平面的法向量的坐標的特殊方法:第一步:寫出平面內(nèi)兩個不平行的向量

a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),第二步:那么平面法向量為46(2)求平面的法向量的坐標的特殊方法:第一步:寫出平面內(nèi)兩個二.立體幾何問題的類型及解法1.判定直線、平面間的位置關(guān)系(1)直線與直線的位置關(guān)系不重合的兩條直線a,b的方向向量分別為a,b.①若a∥b,即a=λb,則a∥b.②若a⊥b,即a·b=0,則a⊥babab47二.立體幾何問題的類型及解法1.判定直線、平面間的位置關(guān)系a例2已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求證:CC1⊥BDA1B1C1D1CBAD48例2已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是證明：設(shè)a,b,c,依題意有|a|=|b|，于是a–b∵=c(a–b)=c·a–c·b=|c|·|a|cosθ–|c|·|b|cosθ=0∴CC1⊥BD

49證明：設(shè)a,b,(2)直線與平面的位置關(guān)系直線L的方向向量為a,平面α的法向量為n,且Lα.①若a∥n,即a

=λn,則L⊥α②若a⊥n,即a·n=0,則a∥α.naααnaLL50(2)直線與平面的位置關(guān)系naααnaLL13例3棱長都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分別是AC,CC1的中點,求證:(1)A1E⊥平面DBC1;(2)AB1∥平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy51例3棱長都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,A1C1B1解：以D為原點，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標系D-xyz.則A(-1,0,0),B(0,,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,,2),C1(1,0,2).設(shè)平面DBC1的法向量為n=(x,y,z),則解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(1)=-n,從而A1E⊥平面DBC1(2),而

n=-2+0+2=0∴AB1

∥平面DBC152解：以D為原點，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標系D-(3)平面與平面的位置關(guān)系平面α的法向量為n1,平面β的法向量為n2

①若n1∥n2,即n1=λn2,則α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2=0,則α⊥ββαβαn2n1n1n253(3)平面與平面的位置關(guān)系βαβαn2n1n1n216例4正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點,求證:平面AED⊥平面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D154例4正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1證明:以A為原點建立如圖所示的的直角坐標系A(chǔ)-xyz,∴平面AED⊥平面A1FD∵n1·n2=-2+0+2=0同理可得平面A1FD的法向量為n2=(2,0,1)取z=2得n1=(-1,0,2)解得：設(shè)平面AED的法向量為n1=(x,y,z)得于是，設(shè)：正方體的棱長為2,那么E(2,0,1),A1(0,0,2),F(1,2,0),D(0,2,0),55證明:以A為原點建立如圖所示的的直角坐標系A(chǔ)-xyz,1.什么是傳統(tǒng)機械按鍵設(shè)計？傳統(tǒng)的機械按鍵設(shè)計是需要手動按壓按鍵觸動PCBA上的開關(guān)按鍵來實現(xiàn)功能的一種設(shè)計方式。傳統(tǒng)機械按鍵設(shè)計要點：1.合理的選擇按鍵的類型，盡量選擇平頭類的按鍵，以防按鍵下陷。2.開關(guān)按鍵和塑膠按鍵設(shè)計間隙建議留0.05~0.1mm，以防按鍵死鍵。3.要考慮成型工藝，合理計算累積公差，以防按鍵手感不良。傳統(tǒng)機械按鍵結(jié)構(gòu)層圖：按鍵開關(guān)鍵PCBA1.什么是傳統(tǒng)機械按鍵設(shè)計？傳統(tǒng)的機械按鍵設(shè)計是需要手動按壓2.求空間中的角(1)兩異面直線的夾角利用向量法求兩異面直線所成的夾角,不用再把這兩條異面直線平移,求出兩條異面直線的方向向量,則兩方向向量的夾角與兩直線的夾角相等或互補,我們僅取銳角或直角就行了.572.求空間中的角(1)兩異面直線的夾角20例5如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點,則對角線DB1與CM所成角的余弦值為_____.BC

AMxzyB1C1D1A1CD58例5如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點解:以A為原點建立如圖所示的直角坐標系A(chǔ)-xyz,設(shè)正方體的棱長為2,那么M(1,0,0),C(2,2,0),B1(2,0,2),D(0,2,0),∴cosθ=|cosα|設(shè)DB1與CM所成角為θ,與所成角為α,于是：59解:以A為原點建立如圖所示的直角坐標系A(chǔ)-xyz,設(shè)正(2)直線與與平面所成的角若n是平面α的法向量,a是直線L的方向向量,設(shè)L與α所成的角θ,n與a所成的角α

則θ=α-或θ=-α

于是,因此θθnααnaa60(2)直線與與平面所成的角θθnααnaa23例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a,高為，求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角。zxyC1A1B1ACBO61例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a,高為解:建立如圖示的直角坐標系,則A(,0,0),B(0,,0)A1(,0,).C(-,0,)設(shè)面ABB1A1的法向量為n=(x,y,z)得由，解得，取y=,得n=(3,,0)，設(shè)與n夾角為α而∴故：AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角大小為30°.62解:建立如圖示的直角坐標系,則25（3）二面角設(shè)n1

、n2分別是二面角兩個半平面α、β的法向量，由幾何知識可知，二面角α-L-β的大小與法向量n1、n2夾角相等（選取法向量豎坐標z同號時相等）或互補（選取法向量豎坐標z異號時互補），于是求二面角的大小可轉(zhuǎn)化為求兩個平面法向量的夾角，這樣可避免了二面角的平面角的作圖麻煩.n1n2αβn1n263（3）二面角n1n2αβn1n226例7在四棱錐S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，側(cè)棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.zxyABCDS64例7在四棱錐S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，側(cè)棱解：建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，則B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.設(shè)平面SCD的法向量n1=(x,y,z),則由

得

n1=(1,1,2).而面SAD的法向量n2

=(1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小θ滿足

∴二面角A-SD-C的大小為.65解：建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，則B（1，03.求解空間中的距離(1)異面直線間的距離兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段,只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計算.如圖,設(shè)兩條異面直線a、b的公垂線的方向向量為n,

這時分別在a、b上任取A、B兩點,則向量在n上的正射影長就是兩條異面直線a、b的距離.∴

即兩異面直線間的距離等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值.nabAB663.求解空間中的距離(1)異面直線間的距離nabAB29例8在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,求異面直線AC1與BD間的距離.zxyABCDD1C1B1A167zxyABCDD1C1B1A130解:建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),設(shè)異面直線AC1與BD的公垂線的方向向量n=(x,y,z),則由,得

n=(-1,-1,2).∵,∴異面直線AC1與BD間的距離68解:建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,,則(2)點到平面的距離A為平面α外一點(如圖),n為平面α的法向量,過A作平面α的斜線AB