2022年高考數(shù)學函數(shù)的基本性質奇偶性、單調性、周期性知識點練習含答案

專題5函數(shù)的基本性質-奇偶性、單調性、周期性一、單選題（本大題共10小題，共50.0分）已知函數(shù)f(x)=lnx2-2ln(xA.函數(shù)f(x)為奇函數(shù)

B.函數(shù)f(x)的值域為(-∞,-1]

C.當x>0時，函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=1對稱

D.函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(-∞,-1)，減區(qū)間為(0,1)已知函數(shù)f(x)=x4-x2，則錯誤的是(A.f(x)的圖象關于y軸對稱 B.方程f(x)=0的解的個數(shù)為2

C.f(x)在(1,+∞)上單調遞增 D.f(x)的最小值為-1已知函數(shù)f(x)=cosxsin2x，給出下列命題：①?x∈R，都有f(-x)=-f(x)成立；②存在常數(shù)T≠0,?x∈R恒有f(x+T)=f(x)成立；③fx的最大值為23④y=fx在[-π以上命題中正確的為(

)A.①②③④ B.②③ C.①②③ D.①②④函數(shù)，則下列結論正確的是(

)A.函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù) B.函數(shù)f(x)的最小正周期為4

C.函數(shù)f(x)是奇函數(shù) D.函數(shù)f(x)無最小值已知函數(shù)fx=ln1+x1-x+x+1，且f(a)+f(a+1)>2，則a的取值范圍是(A.(-12,+∞) B.(-1,-12已知函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù)，當1<x1<x2時，[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0恒成立，設a=fA.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c已知定義在R上的函數(shù)f(x)，若函數(shù)y=f(x+2)為偶函數(shù)，且f(x)對任意x1，，都有f(x2)-f(x1)x2-x1A.-12,34 B.-2,-1設函數(shù)f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|，則f(x)(????)A.是偶函數(shù)，且在(12,+∞)單調遞增

B.是奇函數(shù)，且在(-12,12)單調遞減設函數(shù)f(x)滿足對?x∈R，都有f(4-x)=f(x)，且在(2,+∞)上單調遞增，f(4)=0，g(x)=x4，則函數(shù)y=f(x+2)g(x)的大致圖象可能是(

)A. B.

C. D.設f(x)是定義在R上的函數(shù)，g(x)=f(x+1).若函數(shù)g(x)滿足下列條件：①g(x)是偶函數(shù)；②g(x)在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù)；③g(x)有一個零點為2，則不等式(x+1)f(x)>0的解集是

(

)A.(3,+∞) B.(1,+∞)

C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）設函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1)，已知當x∈[0,1]時，f(x)=(12)1-x，給出下列結論：①對任意②函數(shù)f(x)在(1,2)上遞減，在(2,3)上遞增；③函數(shù)f(x)的最大值是1，最小值是0；④當x∈(3,4)時，f(x)=(12)已知函數(shù)f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R)①f(x)必是偶函數(shù)；②當f(0)=f(2)時，f(x)的圖象關于直線x=1對稱；③若a2-b≤0，則f(x)在[a,+∞)④若a>0，在[-a,a]上f(x)有最大值|a2其中正確的命題序號是________．已知函數(shù)fx=x3+x，關于x的不等式fmx2+2+f設函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的x∈恒有fx+1=fx-1，已知當x∈0,1時，f(x)=121-x，則下列命題：①對任意x∈，都有fx+2=fx；②函數(shù)f(x)在1,2上遞減，在2,3上遞增；③函數(shù)f(x)的最大值是1其中正確命題的序號有_________．三、解答題（本大題共4小題，共30分）如果函數(shù)y=fx的定義域為R，對于定義域內的任意x，存在實數(shù)a使得fx+a=f-x成立，則稱此函數(shù)具有“Pa性質”．

(1)判斷函數(shù)y=sinx是否具有“Pa性質”，若具有“Pa性質”，求出所有a的值；若不具有“Pa性質”，請說明理由．

(2)已知y=fx具有“P0性質”，且當x≤0時fx=x+m2，求y=fx在0,1上的最小值．

(3)設函數(shù)y=gx具有“P±1性質”，且當函數(shù)f(x)=log(Ⅰ)當a=3時，求函數(shù)f(x)的定義域；(Ⅱ)若g(x)=f(x)-loga(2+ax)，判斷(Ⅲ)是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f(x)在[2,3]遞增，并且最大值為1，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x、y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，當x>0時，f(x)<0，且f(1)=-2．(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)求f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值；(3)若f(x)<m2-2am+2對所有的x∈-1,1,a∈試分別解答下列兩個小題：(Ⅰ)已知函數(shù)fx=log0.54x-3+2x(Ⅱ)已知fx是定義在-2,2上的奇函數(shù)，且fx在-2,2上為減函數(shù)，若f3a+f專題5函數(shù)的基本性質-奇偶性、單調性、周期性一、單選題（本大題共10小題，共50.0分）已知函數(shù)f(x)=lnx2A.函數(shù)f(x)為奇函數(shù)

B.函數(shù)f(x)的值域為(-∞,-1]

C.當x>0時，函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=1對稱

D.函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(-∞,-1)，減區(qū)間為(0,1)【答案】D【解析】

由f(-x)=ln(-x)2-2ln[(-x)2+1]=lnx2-2ln(x2+1)=f(x)，

可知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；不妨設x>0，此時fx=2lnx-2lnx2+1=2lnxx2+1，

由xx2+1=1x+1x≤12x?1x=12(當且僅當x=1時取“=”)，

由已知函數(shù)f(x)=x4-x2A.f(x)的圖象關于y軸對稱 B.方程f(x)=0的解的個數(shù)為2

C.f(x)在(1,+∞)上單調遞增 D.f(x)的最小值為-1【答案】B【解析】解：因為函數(shù)f(x)=x4-x2，滿足f(-x)=x4-x2=f(x)，所以函數(shù)是偶函數(shù)，所以A正確；

令f(x)=0即x2(x+1)(x-1)=0，解得：x=0，1，-1，函數(shù)f(x)有3個零點：0；-1；1，所以方程f(x)=0的解的個數(shù)為3，所以B不正確；

令t=x2，g(t)=t2-t=(t-12)2-14，x>1時，

函數(shù)t=x2已知函數(shù)f(x)=cosxsin2x，給出下列命題：①?x∈R，都有f(-x)=-f(x)成立；②存在常數(shù)T≠0,?x∈R恒有f(x+T)=f(x)成立；③fx的最大值為23④y=fx在[-π以上命題中正確的為(

)A.①②③④ B.②③ C.①②③ D.①②④【答案】D【解析】解：對于①，?x∈R，f(-x)=cos(-x)sin(-2x)=-cosxsin2x=-f(x)，f(x)為奇函數(shù)，①正確；

對于②，?x∈R，由f(x+2π)=cos(x+2π)sin2(x+2π)=cosxsin2x=f(x)，f(x)為周期函數(shù)，②正確；

對于③，f(x)=2sinxcos2x=2sinx(1-sin2x)=2sinx-2sin3x，

令t=sinx，t∈[-1,1]，則y(t)=2t-2t3，

令y'=2-6t2=0，得t=±33，且y(-1)=0，y(33)=439為最大值，函數(shù)，則下列結論正確的是(

)A.函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù) B.函數(shù)f(x)的最小正周期為4

C.函數(shù)f(x)是奇函數(shù) D.函數(shù)f(x)無最小值【答案】A【解析】畫出函數(shù)fx=x3+1,x>12sinπ2x,x?1，的圖象，如圖．

觀察圖象可得：

函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù)，故A正確；

函數(shù)f(x)的不是周期函數(shù)，故B錯；

函數(shù)f(x)的圖象不關于原點對稱，不是奇函數(shù)，故C錯；已知函數(shù)fx=ln1+x1-x+x+1，且f(a)+f(a+1)>2，則aA.(-12,+∞) B.(-1,-12【答案】C【解析】解：令

，

因為是-1,1上的增函數(shù)，

所以函數(shù)Fx是-1,1上的增函數(shù)．

又因為，

所以函數(shù)Fx是-1,1上的奇函數(shù)．

由fa+fa+1>2得fa-1+fa+1-1>0，

即Fa+Fa+1>0，

所以F已知函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù)，當1<x1<x2時，[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0恒A.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c【答案】A【解析】解：∵當1<x1<x2時，[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0恒成立，

∴當1<x1<x2時，f

(x2)-f

(x1)>0，

即f

(x2)>f

(x1)，

∴函數(shù)f(x)在(1,+∞)上為單調增函數(shù)，

∵函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù)，

已知定義在R上的函數(shù)f(x)，若函數(shù)y=f(x+2)為偶函數(shù)，且f(x)對任意x1，，都有f(x2)-f(x1)x2-A.-12,34 B.-2,-1【答案】A【解析】解：因為函數(shù)y=fx+2為偶函數(shù)，

所以函數(shù)fx的圖象關于x=2對稱，

因為fx對任意x1，x2∈2,+∞x1≠x2，都有fx2-fx1x2-x1設函數(shù)f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|，則f(x)(????)A.是偶函數(shù)，且在(12,+∞)單調遞增

B.是奇函數(shù)，且在(-12,12)單調遞減【答案】D【解析】【試題解析】解：由2x+1≠02x-1≠0，得x≠±12．

又f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|

=-(ln|2x+1|-ln|2x-1|)=-f(x)，

∴f(x)為奇函數(shù)；

由f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|

=ln|2x+1||2x-1|=ln|2x+12x-1|，

∵2x+12x-1=2x-1+22x-1=1+22x-1

=1+22(x-12)=1+1x-12設函數(shù)f(x)滿足對?x∈R，都有f(4-x)=f(x)，且在(2,+∞)上單調遞增，f(4)=0，g(x)=x4，則函數(shù)y=f(x+2)g(x)的大致圖象可能是(

A. B.

C. D.【答案】B【解析】解：令h(x)=f(x+2)，F(xiàn)(x)=h(x)g(x)=x4h(x)，

因為f(4-x)=f(x)，

故y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱，

故h(x)=f(x+2)的圖象關于y軸對稱，即h(-x)=h(x)，

故F(-x)=x4h(-x)=F(x)，故F(x)為偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，故排除AD．

因為y=f(x)在(2,+∞)上單調遞增，故h(x)在(0,+∞)為增函數(shù)，

因為f(4)=0，故h(2)=0，

故0<x<2時，h(x)<0，故F(x)<0，故排除C設f(x)是定義在R上的函數(shù)，g(x)=f(x+1).若函數(shù)g(x)滿足下列條件：①g(x)是偶函數(shù)；②g(x)在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù)；③g(x)有一個零點為2，則不等式(x+1)f(x)>0的解集是

(

)A.(3,+∞) B.(1,+∞)

C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)【答案】A【解析】解：由g(x)=f(x+1)，可得g(x-1)=f(x)，即f(x)為g(x)向右平移一個單位得到．

故由g(x)是偶函數(shù)，可得f(x)關于直線x=1對稱；

又由g(x)在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù)，可得f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)；

由g(x)有一個零點為2，可得f(x)有一個零點為3．

結合圖象可得f(x)>0的解集為-∞,-1∪3,+∞，f(x)<0的解集為-1,3，

又因為y=x+1過點(-1,0)且單調遞增，所以由(x+1)f(x)>0的解集為：3,+∞．

故選A．二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）設函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1)，已知當x∈[0,1]時，f(x)=(12)1-x，給出下列結論：①對任意②函數(shù)f(x)在(1,2)上遞減，在(2,3)上遞增；③函數(shù)f(x)的最大值是1，最小值是0；④當x∈(3,4)時，f(x)=(12)【答案】①②④【解析】解：由題意，函數(shù)fx對任意的x∈R恒有fx+1可得fx+2=f[f(x+1)+1]=f[(x+1)-1]=fx，所以由x∈0,1時，f(x)=1因為函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，可得x∈-1,0時，函數(shù)f(x)又由函數(shù)的周期為2，可得函數(shù)f(x)在1,2上遞減，在2,3上遞增，所以②正確；由②可得，當x=2時，函數(shù)取得最小值，最小值為f2=f當x=3時，函數(shù)取得最大值，最大值為f3=f根據(jù)函數(shù)的周期性，可得函數(shù)的最大值為1，最小值為12，所以③不正確；當x∈3,4時，則4-x∈(0,1)，可得f4-x=f(2-x)=f(-x)=fx=故答案為：①②④．已知函數(shù)f(x)=|x2①f(x)必是偶函數(shù)；②當f(0)=f(2)時，f(x)的圖象關于直線x=1對稱；③若a2-b≤0，則f(x)在[a,+∞)④若a>0，在[-a,a]上f(x)有最大值|a2其中正確的命題序號是________．【答案】③【解析】解：對于①，當且僅當a=0時，函數(shù)f(x)=|x2-2ax+b|為偶函數(shù)，①錯誤；

對于②，當a=0，b=-2時，滿足f(0)=2=f(2)，

此時函數(shù)圖象不關于直線x=1對稱，②錯誤；

對于③，當a2-b≤0時，(-2a)2-4b=4(a2-b)≤0，

所以f(x)=x2-2ax+b，則f(x)在[a,+∞)上是增函數(shù)，③正確；

對于④，當a=1，b=4時，滿足a>0，此時f(x)=|x已知函數(shù)fx=x3+x，關于x的不等式fmx2【答案】m<1【解析】解：f(-x)=(-x)3-x=-f(x)，

∴函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，

f(x)=x3+x，則函數(shù)f(x)在R上單調遞增，

∵f(mx2+2)+f(-x)<0，

∴f(mx2+2)<-f(-x)=f(x)，

∴mx2+2<x在區(qū)間[1,5]上有解，

即m<x-2x2在區(qū)間[1,5]上有解，

令gx=x-2x2，x∈1,5，則只需要m<gmaxx即可，

gx設函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的x∈恒有fx+1=fx-1，已知當x∈0,1時，f(x)=121-x，則下列命題：①對任意x∈，都有fx+2=fx；②函數(shù)f(x)在1,2上遞減，在2,3上遞增；③函數(shù)f(x)的最大值是1其中正確命題的序號有_________．【答案】①②④【解析】解：由f(x+1)=f(x-1)，

可得f(x+2)=f[(x+1)+1]=f[(x+1)-1]=f(x)，故①正確；

當x∈[0,1]時，f(x)=(12)1-x為增函數(shù)，

由f(x)為R上的偶函數(shù)，可得x∈[-1,0]時，f(x)為減函數(shù)，

結合函數(shù)的周期為2，可得函數(shù)f(x)在(1,2)上是減函數(shù)，

在(2,3)上是增函數(shù)，故②正確；

當x為奇數(shù)時，函數(shù)f(x)的最大值是1，

當x為偶數(shù)時，函數(shù)的最小值是12，故③錯誤；

當x∈(3,4)時，x-4∈(-1,0)，可得f(x-4)=(12三、解答題（本大題共4小題，共30分）如果函數(shù)y=fx的定義域為R，對于定義域內的任意x，存在實數(shù)a使得fx+a=f-x成立，則稱此函數(shù)具有“Pa性質”．

(1)判斷函數(shù)y=sinx是否具有“Pa性質”，若具有“Pa性質”，求出所有a的值；若不具有“Pa性質”，請說明理由．

(2)已知y=fx具有“P0性質”，且當x≤0時fx=x+m2，求y=fx在0,1上的最小值．

(3)設函數(shù)y=gx具有“P【答案】解：(1)由sin(x+a)=sin(-x)得sin(x+a)=-sinx，

根據(jù)誘導公式得a=2kπ+π，k∈Z，

所以y=sinx具有“P(a)性質”，其中a=2kπ+π，k∈Z；

(2)y=f(x)具有P(0)性質，則有f(x)=f(-x)，

設x>?0，則-x<0，f(x)=f(-x)=(x-m)2，

所以f(x)=(x+m)2,x≤0(x-m)2,x>0,

當m≤0時，函數(shù)在[0,1]單調遞增，所以最小值為f(0)=m2，

當m≥1時，函數(shù)在[0,1]單調遞減，所以最小值為f(1)=(1-m)2，

當0<m<1時，函數(shù)在[0,m]單調遞減，在[m,1]單調遞增，

所以最小值為f(m)=0；

(3)因為y=gx具有“P(±1)性質”，

所以g(1+x)=g(-x)，g(-1+x)=g(-x)，

所以y=gx的函數(shù)圖象關于直線x=±12對稱，

且g(x+2)=g(1+1+x)=g(-1-x)=g(x)，

從而得到y(tǒng)=g(x)是以2為周期的函數(shù)，

又設12≤x≤32，則-12≤1-x≤12，

g(x)=g(x-2)=g(-1+x-1)=g(-x+1)=|-x+1|=|x-1|=g(x-1)，

根據(jù)函數(shù)y=g(x)函數(shù)f(x)=log(Ⅰ)當a=3時，求函數(shù)f(x)的定義域；(Ⅱ)若g(x)=f(x)-loga(2+ax)，判斷(Ⅲ)是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f(x)在[2,3]遞增，并且最大值為1，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．【答案】解：(Ⅰ)由題意得f(x)=log3(2-3x)，

∴2-3x>0，即x<23，

∴函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,23)；

(Ⅱ)易知g(x)=loga(2-ax)-loga(2+ax)，

∵2-ax>0且2+ax>0，

∴-2a<x<2a，定義域關于原點對稱．

又∵g(x)=loga(2-ax)-loga(2+ax)=loga2-ax2+ax，

∴g(-x)=loga2+ax2-ax=-loga2-ax2+ax=-g(x)，

∴g(x)為奇函數(shù)．

(3)令μ=2-ax，∵a>0，a≠1，

∴μ=2-ax在[2,3]上單調遞減，

又已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x、y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，當x>0時，f(x)<0，且f