第六章-近獨(dú)立粒子及其最概然分布課件

上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的研究方法微觀粒子觀察和實(shí)驗(yàn)出發(fā)點(diǎn)熱力學(xué)驗(yàn)證統(tǒng)計(jì)物理學(xué)，統(tǒng)計(jì)物理學(xué)揭示熱力學(xué)本質(zhì)二者關(guān)系無(wú)法自我驗(yàn)證不深刻缺點(diǎn)揭露本質(zhì)普遍，可靠?jī)?yōu)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)平均方法力學(xué)規(guī)律總結(jié)歸納邏輯推理方法微觀量宏觀量物理量熱現(xiàn)象熱現(xiàn)象研究對(duì)象微觀理論（統(tǒng)計(jì)物理學(xué)）宏觀理論（熱力學(xué)）上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的研究方法微觀上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的研究方法動(dòng)力學(xué)規(guī)律:

確定性的理論.

在一定的初始條件下,某一時(shí)刻系統(tǒng)必然處于一定狀態(tài).統(tǒng)計(jì)規(guī)律:

非確定性的理論.

由于宏觀系統(tǒng)中粒子數(shù)的巨大和粒子相互作用的隨即性,無(wú)法跟蹤單個(gè)粒子進(jìn)行研究,也使得系統(tǒng)整體具有了不能歸結(jié)為單個(gè)粒子行為簡(jiǎn)單疊加的新性質(zhì)和新規(guī)律,即統(tǒng)計(jì)性質(zhì)和統(tǒng)計(jì)規(guī)律.上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的研究方法動(dòng)力上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的研究方法伽爾頓板實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的特點(diǎn)(1)對(duì)大量隨機(jī)事件整體起作用,對(duì)少量粒子組成的系統(tǒng)失去意義.(2)在一定的宏觀條件下,某一時(shí)刻系統(tǒng)處在哪一個(gè)微觀態(tài)是偶然的,但處于某一微觀態(tài)的概率是確定的.改變宏觀條件,不僅微觀態(tài)發(fā)生變化,而且系統(tǒng)處在一微觀態(tài)的概率也隨之改變.(3)統(tǒng)計(jì)規(guī)律永遠(yuǎn)伴隨著漲落.(4)宏觀系統(tǒng)的演化是不可逆的,過(guò)去和將來(lái)不等價(jià),即統(tǒng)計(jì)規(guī)律性對(duì)時(shí)間反演是不對(duì)稱的.上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的研究方法伽爾上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出第六章近獨(dú)立粒子及其最概然分布概論一、統(tǒng)計(jì)物理的基本觀點(diǎn)和方法1、基本觀點(diǎn)：①宏觀物體是由大量微觀粒子組成的。②物質(zhì)的宏觀熱性質(zhì)是由大量微觀粒子運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)，宏觀物理量是相應(yīng)微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值。2、方法：深入到微觀，從單個(gè)粒子的力學(xué)規(guī)律以及粒子間的相互作用出發(fā)，對(duì)大量粒子組成的體系運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的方法。二、任何統(tǒng)計(jì)理論要涉及解決的三個(gè)問(wèn)題1、研究對(duì)象是什么-------引入何種假設(shè)、模型，如何描述其研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（力學(xué)、幾何）2、如何求出概率分布-------這是核心。3、如何求出熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式。本章為7、8章作準(zhǔn)備，研究解決前兩個(gè)問(wèn)題。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出第六章近獨(dú)立粒子及其最概然分上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出第六章近獨(dú)立粒子及其最概然分布三、本章研究的系統(tǒng)：近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)①粒子：分子、原子、離子、電子、光子等。②近獨(dú)立：粒子間有相互作用，但可忽略不計(jì)。四、最概然分布1、分布：指系統(tǒng)中粒子在能級(jí)上的填布情況。2、最概然分布：也稱最可幾分布，是概率最大的一種分布。3、體系有多種不同分布，可以證明，最概然分布出現(xiàn)的概率比其余各種所有可能分布的概率之和好要大得多，因此，體系絕大部分時(shí)間處于這種分布。故可用最概然分布代替體系處于平衡態(tài)式的分布。4、意義：求得最概然分布以后，可求得體系的統(tǒng)計(jì)平衡性質(zhì)。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出第六章近獨(dú)立粒子及其最概然分上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出第六章近獨(dú)立粒子及其最概然分布6.1、粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述6.2、粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述6.3、系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述6.4、等概率原理6.5、分布和微觀狀態(tài)6.6、玻耳茲曼分布6.7、玻色分布和費(fèi)米分布6.8、三種分布的關(guān)系上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出第六章近獨(dú)立粒子及其最概然分上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述

若粒子（系統(tǒng)）有r個(gè)自由度，則研究方法分為以下幾步為:一、粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述①確定描述系統(tǒng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的r個(gè)廣義坐標(biāo)：②寫(xiě)出系統(tǒng)的拉氏函數(shù):③寫(xiě)出系統(tǒng)的哈密頓量只有保守力時(shí)，哈密頓量就是系統(tǒng)的總能量。④研究運(yùn)動(dòng)：運(yùn)動(dòng)規(guī)律有正則方程確定結(jié)論：確定了系統(tǒng)的r個(gè)廣義坐標(biāo)和r個(gè)廣義動(dòng)量，就確定了體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述二、空間把遵從經(jīng)典力學(xué)規(guī)律的粒子看作是具有r個(gè)自由度的力學(xué)體系時(shí)，近獨(dú)立粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由粒子r個(gè)廣義坐標(biāo)和r個(gè)廣義動(dòng)量確定----構(gòu)成一個(gè)2r維抽象空間，稱為空間，也稱為粒子相空間。μ空間中任何一點(diǎn)代表力學(xué)體系中一個(gè)粒子的一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這個(gè)點(diǎn)稱為代表點(diǎn)（或相點(diǎn)）。當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間改變時(shí)，代表點(diǎn)相應(yīng)地在μ空間中移動(dòng)，描畫(huà)出一條軌跡，稱為相軌跡。①、相點(diǎn)是一個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而不是粒子，粒子只能在真實(shí)空間運(yùn)動(dòng)。②、任何粒子總可以找到與其對(duì)應(yīng)的空間，不同自由度的粒子不能用同一空間描述狀態(tài)。③、若粒子受的限制，粒子狀態(tài)只能在能量曲面內(nèi)，稱為相體積。④、空間中相軌道不相交，因?yàn)樵谖锢韱?wèn)題中是單值函數(shù)。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出

三、常用粒子的空間及相體積：1、三維自由粒子：自由度：3；μ空間維數(shù)：66.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述空間：6維抽象空間，相體積元:相體積：粒子在體積V內(nèi)運(yùn)動(dòng)，能量介于所以粒子在μ空間能達(dá)到的相體積為：上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出三、常用粒子的空間及相體積：上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出用x和px表示粒子的廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量，以x和px為直角坐標(biāo)，可構(gòu)成二維的空間px0Lxpx2、對(duì)于一維自由粒子：（自由度為1）6.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述

三、常用粒子的空間及相體積：相體積為：上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出用x和px表示粒子的廣義坐標(biāo)和廣上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出3、一維線性諧振子（自由度為1）6.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述

三、常用粒子的空間及相體積：彈性力振動(dòng)頻率μ空間：二維正交空間x~px振動(dòng)能量這為一橢圓方程，所以其相體積等于這一橢圓的面積能量不同，橢圓也就不同在一定條件下，分子內(nèi)原子的震動(dòng)，晶體中原子或離子在其平衡位置附近的振動(dòng)都可以看作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出3、一維線性諧振子（自由度為1）上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出4、轉(zhuǎn)子（雙原子分子的轉(zhuǎn)動(dòng)）：自由度為26.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述考慮質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)被具有一定長(zhǎng)度的輕桿系于原點(diǎn)O時(shí)所作的運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)在直角坐標(biāo)下的能量：用球坐標(biāo)表示:上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出4、轉(zhuǎn)子（雙原子分子的轉(zhuǎn)動(dòng)）：自上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出4、轉(zhuǎn)子6.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述考慮質(zhì)點(diǎn)和原點(diǎn)的距離保持不變，于是應(yīng)用于雙原子分子的轉(zhuǎn)動(dòng)：自由度為2，μ空間維數(shù)：4能量：上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出4、轉(zhuǎn)子6.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出4、轉(zhuǎn)子6.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述雙原子分子的力學(xué)模型：將雙原子分子看作一根細(xì)棒的兩端聯(lián)結(jié)著質(zhì)量為m1

和m2的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)繞其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)。然后將兩體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單體問(wèn)題，即將公式中的m換成約化質(zhì)量上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出4、轉(zhuǎn)子6.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出4、轉(zhuǎn)子6.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述IMIp2222==je根據(jù)經(jīng)典力學(xué)，在沒(méi)有外力作用的情形下，轉(zhuǎn)子的總角動(dòng)量是一個(gè)守恒量，其大小和時(shí)間都不隨時(shí)間改變。由于垂直于，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是在垂直于的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。如果選擇軸平行于，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)必在平面上，這時(shí)能量簡(jiǎn)化為上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出4、轉(zhuǎn)子6.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出一、微觀粒子的波粒二象性與測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系

微觀粒子普遍地具有粒子和波動(dòng)的二象性，一方面是客觀存在的單個(gè)實(shí)體，另一方面在適當(dāng)?shù)臈l件下顯示干涉、衍射等波動(dòng)的現(xiàn)象。德布羅意關(guān)系：德布羅意波：適用于一切微觀粒子。6.2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述德布羅意，薛定諤

普朗克常數(shù)是物理中的基本常數(shù)，它的量綱是[時(shí)間]·[能量]=[長(zhǎng)度]·[動(dòng)量]=[角動(dòng)量]上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出一、微觀粒子的波粒二象性與測(cè)不準(zhǔn)

1927年C.J.Davisson&G.P.Germer戴維森與革末用電子束垂直投射到鎳單晶，做電子轟擊鋅板的實(shí)驗(yàn)，隨著鎳的取向變化，電子束的強(qiáng)度也在變化，這種現(xiàn)象很像一束波繞過(guò)障礙物時(shí)發(fā)生的衍射那樣。其強(qiáng)度分布可用德布羅意關(guān)系和衍射理論給以解釋。德布羅意波的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證--電子衍射實(shí)驗(yàn)1探測(cè)器電子束電子槍鎳單晶1927年C.J.Davisson&G.P.

屏P多晶薄膜高壓柵極陰極德布羅意波的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證--電子衍射實(shí)驗(yàn)2同時(shí)英國(guó)物理學(xué)家G.P.Thompson&Reid也獨(dú)立完成了電子衍射實(shí)驗(yàn)。電子束在穿過(guò)細(xì)晶體粉末或薄金屬片后，也象X射線一樣產(chǎn)生衍射現(xiàn)象。德布羅意理論從此得到了有力的證實(shí)，獲得1929年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)金，Davisson和Thompson則共同分享了1937年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)金。屏P多晶薄膜高壓柵極陰極德布羅意波的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出測(cè)不準(zhǔn)原理：：稱為不確定關(guān)系

粒子和波動(dòng)二象性的一個(gè)重要結(jié)果是微觀粒子不可能同時(shí)具有確定的動(dòng)量和坐標(biāo)。6.2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述結(jié)論：不能用q、p描述粒子的運(yùn)動(dòng)。即微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不是用坐標(biāo)和動(dòng)量來(lái)描述的，而是用波函數(shù)或量子數(shù)來(lái)描述的。海森堡

上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出測(cè)不準(zhǔn)原理：：稱為不確定關(guān)系上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出：表示在t時(shí)刻在dxdydz內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率。二、狀態(tài)的描述----量子態(tài)6.2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述

在量子力學(xué)中，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)稱為量子態(tài)。量子態(tài)不是用坐標(biāo)和動(dòng)量來(lái)描述的，而是用波函數(shù)或量子數(shù)來(lái)描述的。波函數(shù)滿足薛定諤波動(dòng)方程：定態(tài)時(shí)：波函數(shù)必須是單值、有限、連續(xù)，并且滿足一定邊界條件。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出：表示在t時(shí)刻在dxdydz內(nèi)發(fā)上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出二、狀態(tài)的描述----量子態(tài)6.2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述例：方匣中運(yùn)動(dòng)的微觀粒子②波函數(shù)與量子數(shù)nx、ny、nz有關(guān)，一組確定的量子數(shù)nx、ny、nz的組合，給出一個(gè)確定的波函數(shù)，從而確定體系一個(gè)量子態(tài)。研究表明：①波函數(shù)滿足單值、有限、連續(xù)和一定邊界條件時(shí)，粒子能量只能取分立值。一般來(lái)說(shuō)，體系有幾個(gè)自由度，就有幾個(gè)量子數(shù)。③能級(jí)給定后：確定，有多少個(gè)滿足這一體系的nx、ny、nz的不同組合數(shù)，該能級(jí)就有多少量子態(tài)，-----稱為能級(jí)的簡(jiǎn)并度。普朗克傳記上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出二、狀態(tài)的描述----量子態(tài)6.上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出1、自旋狀態(tài)：6.2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述三、舉例：關(guān)于自旋發(fā)現(xiàn)的趣聞電子的自旋：通過(guò)Stern-Gerlach實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。Hatsstate

Realorbitpoints

Expectedorbit

NSZ如圖z向磁場(chǎng)，s態(tài)H的軌道分為二條。說(shuō)明：H有Internal磁矩（Spin）

磁矩在外磁場(chǎng)B中的勢(shì)能為：則氫原子所受的力為若一定。則作類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，二條軌跡說(shuō)明磁矩有兩個(gè)取向。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出1、自旋狀態(tài)：6.2粒子運(yùn)動(dòng)上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出1、自旋狀態(tài)：

電子、質(zhì)子、中子等粒子具有內(nèi)稟角動(dòng)量（自旋）（S）和內(nèi)稟磁矩（自旋）磁矩（μ），其量子數(shù)為1/2，關(guān)系為自旋角動(dòng)量在外磁場(chǎng)方向上的投影Sz只能取兩個(gè)值：在外磁場(chǎng)B中的勢(shì)能為：在外磁場(chǎng)方向的投影相應(yīng)為：6.2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述三、舉例：上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出1、自旋狀態(tài)：電子、質(zhì)子上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出2、線性諧振子：3、轉(zhuǎn)子

其中n表示線性諧振子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和能量的量子數(shù)，上式給出的能量值是分立的，分立的能量稱為能級(jí)。線性諧振子的能級(jí)是等間距的，相鄰兩能級(jí)的能量差為：在量子力學(xué)中轉(zhuǎn)子的能量是分立的：6.2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出2、線性諧振子：3、轉(zhuǎn)子上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出4、自由粒子①一維自由粒子，考慮處于長(zhǎng)度為L(zhǎng)的一維容器中自由粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。由周期性邊界條件可得：6.2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述nx表示一維自由粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子數(shù)，能量的可能值為：基態(tài)能級(jí)為非簡(jiǎn)并，激發(fā)態(tài)能級(jí)為二度簡(jiǎn)并。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出4、自由粒子①一維自由粒子，考慮上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出②對(duì)于三維自由粒子：量子數(shù)為3：能量的可能值：（1）、微觀體積下，能量值和動(dòng)量值的分離性很顯著。（2）、宏觀體積下，能量值和動(dòng)量值是準(zhǔn)連續(xù)的，考慮V=L3內(nèi)，一定動(dòng)量范圍的自由粒子量子態(tài)數(shù)。6.2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述量子態(tài)數(shù)為：上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出②對(duì)于三維自由粒子：量子數(shù)為3：上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出可理解為：由測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系：對(duì)應(yīng)μ空間的一個(gè)體積元，稱為量子相格。6.2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述2r維μ空間中大小的相格內(nèi)只能有一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。否則違背測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出可理解為：由測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系：對(duì)應(yīng)μ空上一頁(yè)下一頁(yè)退出目錄采用球極坐標(biāo)：?jiǎn)挝荒芰块g隔內(nèi)粒子可能的量子態(tài)數(shù)，即態(tài)密度。如果粒子的自旋不為零，需乘2。6.2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述上一頁(yè)下一頁(yè)退出目錄采用球極坐標(biāo)：?jiǎn)挝荒芰块g隔內(nèi)粒子上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.3系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述一、全同粒子與近獨(dú)立粒子二、經(jīng)典物理中系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述（1）可分辨（可跟蹤的經(jīng)典軌道運(yùn)動(dòng)）（1）全同粒子：具有完全相同屬性（相同的質(zhì)量、電荷、自旋等）的同類(lèi)粒子。（2）近獨(dú)立粒子：粒子之間的相互作用很弱，相互作用的平均能量遠(yuǎn)小于單個(gè)粒子的能量。全同粒子是可以分辨的（因?yàn)榻?jīng)典粒子的運(yùn)動(dòng)是軌道運(yùn)動(dòng)，原則上是可以被跟蹤的）。如果在含有多個(gè)全同粒子的系統(tǒng)中，將兩個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)加以交換，則交換前后，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是不同的。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.3系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.3系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.3系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.3系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述（2）描述方式：代數(shù)方法

單個(gè)粒子需r個(gè)廣義坐標(biāo)和r個(gè)廣義動(dòng)量共2r個(gè)參量來(lái)描述，因此對(duì)整個(gè)系統(tǒng)需2Nr個(gè)參量來(lái)描述。

對(duì)應(yīng)μ空間中的N個(gè)點(diǎn)：一個(gè)粒子在某時(shí)刻的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以在μ空間中用一個(gè)點(diǎn)表示，由N個(gè)全同粒子組成的系統(tǒng)在某時(shí)刻的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以在μ空間中用N個(gè)點(diǎn)表示，那么如果交換兩個(gè)代表點(diǎn)在μ空間的位置，相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是不同的。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.3系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出（2）玻色子與費(fèi)米子：a費(fèi)米子：自旋量子數(shù)為半整數(shù)的基本粒子。如：電子、質(zhì)子、中子等。b玻色子：自旋量子數(shù)為整數(shù)的基本粒子。如：光子、Л介子等。c復(fù)合粒子：凡是由玻色子構(gòu)成的復(fù)合粒子是玻色子；由偶數(shù)個(gè)費(fèi)米子構(gòu)成的復(fù)合粒子是玻色子，由奇數(shù)個(gè)費(fèi)米子構(gòu)成的復(fù)合粒子是費(fèi)米子。d泡利不相容原理：對(duì)于含有多個(gè)全同近獨(dú)立費(fèi)米子的系統(tǒng)中，一個(gè)個(gè)體量子態(tài)最多能容納一個(gè)費(fèi)米子。6.3系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述三、量子物理中系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述（1）全同性原理：全同粒子不可分辨，在由全同粒子組成的系統(tǒng)，將任何兩個(gè)全同粒子加以交換，不改變整個(gè)系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。Pauli傳奇上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出（2）玻色子與費(fèi)米子：a費(fèi)米上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出（3)、玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費(fèi)米系統(tǒng)

玻耳茲曼系統(tǒng)：由可分辨的全同近獨(dú)立粒子（定域子：固體中的原子、離子，在各自平衡位置附近作微振動(dòng)，波函數(shù)幾乎不交疊，可用位置加以分辨---定域系）組成，且處在一個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)。

玻色系統(tǒng)：由不可分辨的全同近獨(dú)立玻色子組成，且處在一個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)。

費(fèi)米系統(tǒng)：由不可分辨的全同近獨(dú)立費(fèi)米子組成，且處在一個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)最多只能為1，受泡利不相容原理的限制。6.3系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述波耳茲曼

★玻耳茲曼系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)歸結(jié)為確定每一個(gè)粒子的個(gè)體量子態(tài)?！锊Ｉ到y(tǒng)、費(fèi)米系統(tǒng)的微觀狀態(tài)歸結(jié)為確定每一個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出（3)、玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出系統(tǒng)

玻耳茲曼系統(tǒng)（9種不同的微觀狀態(tài))

玻色系統(tǒng)（6種不同的微觀狀態(tài)）

費(fèi)米系統(tǒng)（3種不同的微觀狀態(tài)）量子態(tài)1ABAABBAAAAAA量子態(tài)2ABBAABAAAAAA量子態(tài)3ABBBAAAAAAAA例如：兩個(gè)粒子占據(jù)3個(gè)量子態(tài)的方式6.3系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出系統(tǒng)玻耳茲曼系統(tǒng)玻色系上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出一、宏觀狀態(tài)與微觀狀態(tài)的區(qū)別：6.4等概率原理宏觀狀態(tài)：平衡態(tài)由一組宏觀參量表示，例如，對(duì)于孤立系統(tǒng)可以用粒子數(shù)N、能量E和體積V來(lái)表征系統(tǒng)的平衡態(tài)。微觀狀態(tài)：由廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量（經(jīng)典描述）或一組量子數(shù)表示（量子描述）在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中，我們研究系統(tǒng)在給定宏觀條件下的宏觀性質(zhì)。如果我們研究的是一個(gè)孤立系，給定的宏觀條件是系統(tǒng)具有確定的粒子數(shù)N，體積V和能量E。由于自然界中實(shí)際上不存在與外界完全沒(méi)有任何相互作用的嚴(yán)格的孤立系統(tǒng)，應(yīng)當(dāng)認(rèn)為系統(tǒng)的能量是在經(jīng)典熱力學(xué)認(rèn)為，處于平衡態(tài)的封閉體系的各熱力學(xué)性質(zhì)具有單值性且不隨時(shí)間而變。但量子力學(xué)并不認(rèn)同這一觀點(diǎn)，從微觀的角度，分子在不斷地相互碰撞和交換能量。雖然總能量守恒，但N個(gè)粒子分配總能量E則應(yīng)有許多不同方式，而能量的每一種分配方式就產(chǎn)生體系的一個(gè)微觀態(tài)。因此不難想像，對(duì)于一個(gè)指定的宏觀態(tài)，實(shí)際上包含著難以計(jì)數(shù)的微觀態(tài)。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出一、宏觀狀態(tài)與微觀狀態(tài)的區(qū)別：6上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出二、宏觀狀態(tài)與微觀狀態(tài)的聯(lián)系：一個(gè)確定不變的宏觀態(tài)包含大量不同的微觀態(tài)。宏觀量是相應(yīng)微觀物理量的統(tǒng)計(jì)平均值，統(tǒng)計(jì)物理的根本問(wèn)題：確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率。6.4等概率原理概率（probability）：指某一件事或某一種狀態(tài)出現(xiàn)的機(jī)會(huì)大小。是數(shù)學(xué)上的概念，概率必須滿足歸一化原則。熱力學(xué)概率：體系在一定的宏觀狀態(tài)下，可能出現(xiàn)的微觀狀態(tài)總數(shù)，通常用表示。通常情況下，是個(gè)遠(yuǎn)大于1的大數(shù)。三、等概率原理：對(duì)于U,V和N確定的某一宏觀體系，任何一個(gè)可能出現(xiàn)的微觀狀態(tài)，都有相同的數(shù)學(xué)概率，所以這假定又稱為等概率原理。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出二、宏觀狀態(tài)與微觀狀態(tài)的聯(lián)系：一上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出四、等概率原理的幾點(diǎn)說(shuō)明：1、等概率原理是統(tǒng)計(jì)物理中一個(gè)基本假設(shè)，它的正確性由它的種種推論都與客觀實(shí)際相符而得到肯定。3、既然這些微觀狀態(tài)都同樣滿足具有確定N、E、V的宏觀條件，沒(méi)有理由認(rèn)為哪一個(gè)狀態(tài)出現(xiàn)的概率應(yīng)當(dāng)更大一些。這些微觀狀態(tài)應(yīng)當(dāng)是平權(quán)的，因此，認(rèn)為各個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)概率相等應(yīng)當(dāng)是一個(gè)合理的假設(shè)。2、等概率原理是平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理的基礎(chǔ)。6.4等概率原理例如，某宏觀體系的總微觀態(tài)數(shù)為，則每一種微觀狀態(tài)出現(xiàn)的數(shù)學(xué)概率P都相等，即：上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出四、等概率原理的幾點(diǎn)說(shuō)明：1、等上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.4等概率原理例：試列出分子（可分辨、玻色子）數(shù)為4，總能量為3個(gè)單位的體系中各種分布方式和實(shí)現(xiàn)這類(lèi)分布方式的熱力學(xué)概率？設(shè)粒子分布在e0＝0，e1＝1，e3＝2，e4＝3，的四個(gè)非簡(jiǎn)并能級(jí)上，則滿足兩個(gè)守恒條件的分布方式有三種：0123I3001II2110III1300eiNi分布方式各分布方式所包含的微觀態(tài)數(shù)：①、每一種微觀狀態(tài)出現(xiàn)的數(shù)學(xué)概率②、各分布出現(xiàn)數(shù)學(xué)概率：上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.4等概率原理例：試列出分上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.4等概率原理從以上分析可見(jiàn)：每種分配的值各不相同，但其中有一項(xiàng)最大值(上例中為)，在粒子數(shù)足夠多的宏觀體系中，可以近似用來(lái)代表所有的微觀數(shù)，這就是最概然分布。分布確定宏觀條件下，各分布的微觀狀態(tài)數(shù)比較對(duì)于宏觀上的平衡態(tài)，在微觀上其實(shí)并非完全“均勻一致”，這種偏離平衡態(tài)的現(xiàn)象稱為“漲落”或“起伏”。但隨著體系粒子數(shù)愈多，則“漲落”現(xiàn)象出現(xiàn)的機(jī)會(huì)愈小。在極限情況下,“漲落”出現(xiàn)的幾率幾乎為零。此時(shí)，可認(rèn)為體系中只存在一種微觀狀態(tài)數(shù)最大的分布——最概然分布?？梢?jiàn)用某一微觀態(tài)數(shù)最大的分布代表平衡態(tài)便是不足為奇了。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.4等概率原理從以上分析可上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.5分布與微觀狀態(tài)數(shù)一、分布能級(jí)分布：即N個(gè)粒子分布在各個(gè)能級(jí)上的分布狀態(tài)。狀態(tài)分布：在某一簡(jiǎn)并能級(jí)上，粒子在各個(gè)量子態(tài)上的分布狀態(tài)。說(shuō)明：(1)能量是量子化的，但每一個(gè)能級(jí)上可能有若干個(gè)不同的量子狀態(tài)存在，反映在光譜上就是代表某一能級(jí)的譜線常常是由好幾條非常接近的精細(xì)譜線所構(gòu)成。量子力學(xué)中把能級(jí)可能有的微觀狀態(tài)數(shù)稱為該能級(jí)的簡(jiǎn)并度。(2)對(duì)非簡(jiǎn)并能級(jí)，能級(jí)分布與狀態(tài)分布相同；(3)對(duì)簡(jiǎn)并能級(jí)，同一能級(jí)分布可對(duì)應(yīng)于多種不同的狀態(tài)分布，即狀態(tài)分布數(shù)大于能級(jí)分布數(shù)；(4)一種狀態(tài)分布數(shù)表示體系的一種微觀態(tài)。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.5分布與微觀狀態(tài)數(shù)一、分上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.5分布與微觀狀態(tài)數(shù)一、分布能級(jí)：簡(jiǎn)并度：粒子數(shù)：

設(shè)有一個(gè)系統(tǒng)，由大量全同近獨(dú)立的粒子組成，具有確定的粒子數(shù)N、能量E和體積V。…上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.5分布與微觀狀態(tài)數(shù)一、分上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.5分布與微觀狀態(tài)數(shù)一、分布分布和微觀狀態(tài)是兩個(gè)不同的概念。

給定了一個(gè)分布，只能確定處在每一個(gè)能級(jí)上的粒子數(shù)，它與系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是兩個(gè)性質(zhì)不同的概念。微觀狀態(tài)是粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)或稱為量子態(tài)。它反映的是粒子運(yùn)動(dòng)特征。①、假如全同粒子可以分辨（或定域子），確定由全同近獨(dú)立粒子組成的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)歸結(jié)為確定每一個(gè)粒子的個(gè)體量子態(tài)。即：當(dāng)每個(gè)粒子的量子態(tài)都確定了就對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的一個(gè)微觀狀態(tài)。如果其中某一粒子的量子態(tài)變化了，那么系統(tǒng)的微觀狀態(tài)也就發(fā)生了變化了。②、對(duì)于不可分辨的全同粒子，確定由全同近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)歸結(jié)為確定每一個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)。即：當(dāng)每一個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)確定了就對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的一個(gè)微觀狀態(tài)。如果其中某一個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)變化了，那么系統(tǒng)的微觀狀態(tài)也就發(fā)生了變化了。結(jié)論：由于一個(gè)能級(jí)往往對(duì)應(yīng)若干個(gè)量子態(tài)（即簡(jiǎn)并的），因此給定了一個(gè)分布，系統(tǒng)有一系列的微觀狀態(tài)與之對(duì)應(yīng)。求一定分布的微觀狀態(tài)數(shù)是統(tǒng)計(jì)物理的核心問(wèn)題。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.5分布與微觀狀態(tài)數(shù)一、分上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出二、給定分布的微觀狀態(tài)數(shù)1、玻耳茲曼系統(tǒng)：微觀態(tài)數(shù)為：6.5分布與微觀狀態(tài)數(shù)注意：一個(gè)粒子設(shè)為“無(wú)體積”的“質(zhì)點(diǎn)”，一個(gè)“盒子”有粒子占據(jù)時(shí)，不排斥其它粒子進(jìn)入（M－B與B－E都是不排斥，但F－D則不行，是要排斥的）

個(gè)粒子，放入個(gè)盒子中的可能組合上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出二、給定分布的微觀狀態(tài)數(shù)1、玻耳上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出二、給定分布的微觀狀態(tài)數(shù)6.5分布與微觀狀態(tài)數(shù)種可能方式。將各種能級(jí)的結(jié)果相乘，就得到玻色系統(tǒng)與分布相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：粒子不可分辨，每個(gè)個(gè)體量子態(tài)能容納的粒子個(gè)數(shù)不受限制。首先個(gè)粒子占據(jù)能級(jí)上的個(gè)量子態(tài)有2、玻色系統(tǒng)：用□表示狀態(tài)，○表示粒子上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出二、給定分布的微觀狀態(tài)數(shù)6.5上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出二、給定分布的微觀狀態(tài)數(shù)6.5分布與微觀狀態(tài)數(shù)3費(fèi)米系統(tǒng)：粒子不可分辨，每一個(gè)個(gè)體量子態(tài)最多只能容納一個(gè)粒子。個(gè)粒子占據(jù)能級(jí)上的個(gè)量子態(tài)，相當(dāng)于從個(gè)量子態(tài)中挑出個(gè)來(lái)為粒子所占據(jù)，有種可能的方式。將各能級(jí)的結(jié)果相乘，就得到費(fèi)米系統(tǒng)與分布相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出二、給定分布的微觀狀態(tài)數(shù)6.5上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出二、給定分布的微觀狀態(tài)數(shù)6.5分布與微觀狀態(tài)數(shù)4、經(jīng)典統(tǒng)計(jì)中的分布和微觀狀態(tài)數(shù)：對(duì)于經(jīng)典系統(tǒng)，由于對(duì)坐標(biāo)和動(dòng)量的測(cè)量總存在一定的誤差，假設(shè)，這時(shí)經(jīng)典系統(tǒng)的一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不能用一個(gè)點(diǎn)表示，而必須用一個(gè)體積元表示，該體積元的大小表示經(jīng)典系統(tǒng)的一個(gè)微觀狀態(tài)在空間所占的體積，稱為經(jīng)典相格。這里由測(cè)量精度決定，最小值為普朗克常量。

現(xiàn)將空間劃分為許多體積元，以表示運(yùn)動(dòng)狀態(tài)處在內(nèi)的粒子所具有的能量，內(nèi)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)數(shù)為這樣，個(gè)粒子處在各的分布可表示為上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出二、給定分布的微觀狀態(tài)數(shù)6.5上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出二、給定分布的微觀狀態(tài)數(shù)6.5分布與微觀狀態(tài)數(shù)能級(jí)：簡(jiǎn)并度：粒子數(shù)：體積元:由于經(jīng)典粒子可以分辨，處在一個(gè)相格內(nèi)的粒子個(gè)數(shù)不受限制，所以經(jīng)典系統(tǒng)遵從玻耳茲曼系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，所以與分布相應(yīng)的經(jīng)典系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出二、給定分布的微觀狀態(tài)數(shù)6.5上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出2、玻色系統(tǒng)：3、費(fèi)米系統(tǒng)：4、經(jīng)典系統(tǒng)：6.5分布與微觀狀態(tài)數(shù)二、給定分布的微觀狀態(tài)數(shù)1、玻耳茲曼系統(tǒng)：上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出2、玻色系統(tǒng)：3、費(fèi)米系統(tǒng)：4、上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出三、經(jīng)典極限條件（非簡(jiǎn)并性條件）

對(duì)于玻色系統(tǒng)或費(fèi)米系統(tǒng)，當(dāng)任一能級(jí)上的粒子數(shù)都遠(yuǎn)小于該能級(jí)的量子態(tài)時(shí)：經(jīng)典極限條件表示，在所有的能級(jí)粒子數(shù)都遠(yuǎn)小于量子態(tài)數(shù)。6.5分布與微觀狀態(tài)數(shù)單體量子態(tài)的平均粒子數(shù)遠(yuǎn)小于1。——非簡(jiǎn)并性條件。

上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出三、經(jīng)典極限條件（非簡(jiǎn)并性條件）上一頁(yè)下一頁(yè)退出目錄6.6玻耳茲曼分布

二、最概然分布根據(jù)等概率原理，對(duì)處于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，每一可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等，因此，微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布，出現(xiàn)的概率最大，稱為最概然分布。證明：

上式右方等于如圖中一系列矩形面積之和，各矩形的寬為1，高分別為：當(dāng)m遠(yuǎn)大于1時(shí)，矩形面積之和近似等于曲線lnx下的面積。所以其中m是遠(yuǎn)大于1的整數(shù)。一、斯特令公式上一頁(yè)下一頁(yè)退出目錄6.6玻耳茲曼分布二、最概上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.6玻耳茲曼分布

三、玻耳茲曼分布：應(yīng)用stirling公式：1、推導(dǎo)（重點(diǎn)）：上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.6玻耳茲曼分布三、玻耳上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出約束條件：因此：采用拉格朗日不定乘子法可得：麥克斯韋-玻耳茲曼分布：6.6玻耳茲曼分布

上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出約束條件：因此：采用拉格朗日不定上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出玻耳茲曼分布：意義：最概然分布時(shí)各能級(jí)上的粒子數(shù)。：表示能級(jí)一個(gè)量子態(tài)上的平均粒子數(shù)。6.6玻耳茲曼分布

2、參量a和β的確定：在實(shí)際問(wèn)題中，參量β往往由實(shí)驗(yàn)條件確定，而由上面第二式確定體系的內(nèi)能。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出玻耳茲曼分布：意義：最概然分布時(shí)上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出3、討論：6.6玻耳茲曼分布

（1)、取極大值的條件不僅要求同時(shí)要求證明：對(duì)關(guān)于再求變分，有所以滿足取極大值的條件。（2）、最概然分布可以代替平衡態(tài)下的分布。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出3、討論：6.6玻耳茲曼分布上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.6玻耳茲曼分布

證明：現(xiàn)將玻耳茲曼分布的微觀狀態(tài)數(shù)與對(duì)玻耳茲曼分布有偏離的一個(gè)分布的微觀狀態(tài)數(shù)加以比較。對(duì)作泰勒展開(kāi)，的宏觀系統(tǒng)，假設(shè)對(duì)玻耳茲曼分布的相對(duì)偏離為則對(duì)于這個(gè)估計(jì)說(shuō)明，即使對(duì)最概然分布僅有極小偏離的分布，它的微觀狀態(tài)數(shù)與最概然分布給出的微觀狀態(tài)數(shù)相比也接近于零。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.6玻耳茲曼分布證明：現(xiàn)上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.6玻耳茲曼分布

（3）、stirling公式有一定的近似范圍（要求al>>1),這個(gè)條件實(shí)際上往往并不滿足。但可以證明：上面的證明表明；一個(gè)處在宏觀平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)可能給出的微觀狀態(tài)數(shù)為各種分布對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)的總和，其中最概然分布給出的微觀狀態(tài)數(shù)比其他分布給出的微觀狀態(tài)數(shù)大得多，因此可以用最概然分布給出的微觀狀態(tài)數(shù)來(lái)近似系統(tǒng)總的微觀狀態(tài)數(shù)。（4）以上理論可以推廣到含有多個(gè)組元的情形。（見(jiàn)習(xí)題6.5）上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.6玻耳茲曼分布（3）、上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.7玻色分布和費(fèi)米分布四、玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)粒子的最概然分布：可得：玻色-愛(ài)因斯坦分布：約束條件：上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.7玻色分布和費(fèi)米分布四上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.7玻色分布和費(fèi)米分布同理可得費(fèi)米-狄拉克分布：

玻色分布和費(fèi)米-狄拉克分布分別給出了玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)在最概然分布下處在能級(jí)εl的粒子數(shù)，能級(jí)εl有ωl個(gè)量子態(tài)，處在其中任何一個(gè)量子態(tài)上的平均粒子數(shù)應(yīng)該是相同的。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.7玻色分布和費(fèi)米分布同上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.7玻色分布和費(fèi)米分布討論：1、參量β由實(shí)驗(yàn)確定，N由實(shí)驗(yàn)確定，所以可以N、E公式求參量a和E的確定。2、若參量a和β均視為實(shí)驗(yàn)確定，則N、E可以由公式求。3、往往不能被滿足，這是該理論推導(dǎo)中的嚴(yán)重缺陷。但用系綜理論可以證明上述推導(dǎo)的結(jié)論是正確的。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.7玻色分布和費(fèi)米分布討上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.8三種分布的關(guān)系玻色-愛(ài)因斯坦分布：費(fèi)米-狄拉克分布：麥克斯韋-玻耳茲曼分布：上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.8三種分布的關(guān)系玻色-上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.8三種分布的關(guān)系1、在滿足條件的情形下，玻色分布和費(fèi)米分布都過(guò)渡到玻耳茲曼分布，即滿足經(jīng)典極限條件的玻色（或費(fèi)米）系統(tǒng)遵從玻耳茲曼系統(tǒng)同樣的分布。4、因子不影響分布，但影響熱力學(xué)量的計(jì)算。所以滿足經(jīng)典極限條件的非定域系與定域系，雖然在分布上相同，但熱力學(xué)量的計(jì)算有區(qū)別，區(qū)別在于粒子是否可分辨。2、若時(shí)，非簡(jiǎn)并性條件，或經(jīng)典極限條件。3、，對(duì)求最大無(wú)影響，故分布相同。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.8三種分布的關(guān)系1、在上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出第六章--近獨(dú)立粒子及其最概然分布課件上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的研究方法微觀粒子觀察和實(shí)驗(yàn)出發(fā)點(diǎn)熱力學(xué)驗(yàn)證統(tǒng)計(jì)物理學(xué)，統(tǒng)計(jì)物理學(xué)揭示熱力學(xué)本質(zhì)二者關(guān)系無(wú)法自我驗(yàn)證不深刻缺點(diǎn)揭露本質(zhì)普遍，可靠?jī)?yōu)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)平均方法力學(xué)規(guī)律總結(jié)歸納邏輯推理方法微觀量宏觀量物理量熱現(xiàn)象熱現(xiàn)象研究對(duì)象微觀理論（統(tǒng)計(jì)物理學(xué)）宏觀理論（熱力學(xué)）上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的研究方法微觀上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的研究方法動(dòng)力學(xué)規(guī)律:

確定性的理論.

在一定的初始條件下,某一時(shí)刻系統(tǒng)必然處于一定狀態(tài).統(tǒng)計(jì)規(guī)律:

非確定性的理論.

由于宏觀系統(tǒng)中粒子數(shù)的巨大和粒子相互作用的隨即性,無(wú)法跟蹤單個(gè)粒子進(jìn)行研究,也使得系統(tǒng)整體具有了不能歸結(jié)為單個(gè)粒子行為簡(jiǎn)單疊加的新性質(zhì)和新規(guī)律,即統(tǒng)計(jì)性質(zhì)和統(tǒng)計(jì)規(guī)律.上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的研究方法動(dòng)力上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的研究方法伽爾頓板實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的特點(diǎn)(1)對(duì)大量隨機(jī)事件整體起作用,對(duì)少量粒子組成的系統(tǒng)失去意義.(2)在一定的宏觀條件下,某一時(shí)刻系統(tǒng)處在哪一個(gè)微觀態(tài)是偶然的,但處于某一微觀態(tài)的概率是確定的.改變宏觀條件,不僅微觀態(tài)發(fā)生變化,而且系統(tǒng)處在一微觀態(tài)的概率也隨之改變.(3)統(tǒng)計(jì)規(guī)律永遠(yuǎn)伴隨著漲落.(4)宏觀系統(tǒng)的演化是不可逆的,過(guò)去和將來(lái)不等價(jià),即統(tǒng)計(jì)規(guī)律性對(duì)時(shí)間反演是不對(duì)稱的.上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的研究方法伽爾上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出第六章近獨(dú)立粒子及其最概然分布概論一、統(tǒng)計(jì)物理的基本觀點(diǎn)和方法1、基本觀點(diǎn)：①宏觀物體是由大量微觀粒子組成的。②物質(zhì)的宏觀熱性質(zhì)是由大量微觀粒子運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)，宏觀物理量是相應(yīng)微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值。2、方法：深入到微觀，從單個(gè)粒子的力學(xué)規(guī)律以及粒子間的相互作用出發(fā)，對(duì)大量粒子組成的體系運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的方法。二、任何統(tǒng)計(jì)理論要涉及解決的三個(gè)問(wèn)題1、研究對(duì)象是什么-------引入何種假設(shè)、模型，如何描述其研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（力學(xué)、幾何）2、如何求出概率分布-------這是核心。3、如何求出熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式。本章為7、8章作準(zhǔn)備，研究解決前兩個(gè)問(wèn)題。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出第六章近獨(dú)立粒子及其最概然分上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出第六章近獨(dú)立粒子及其最概然分布三、本章研究的系統(tǒng)：近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)①粒子：分子、原子、離子、電子、光子等。②近獨(dú)立：粒子間有相互作用，但可忽略不計(jì)。四、最概然分布1、分布：指系統(tǒng)中粒子在能級(jí)上的填布情況。2、最概然分布：也稱最可幾分布，是概率最大的一種分布。3、體系有多種不同分布，可以證明，最概然分布出現(xiàn)的概率比其余各種所有可能分布的概率之和好要大得多，因此，體系絕大部分時(shí)間處于這種分布。故可用最概然分布代替體系處于平衡態(tài)式的分布。4、意義：求得最概然分布以后，可求得體系的統(tǒng)計(jì)平衡性質(zhì)。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出第六章近獨(dú)立粒子及其最概然分上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出第六章近獨(dú)立粒子及其最概然分布6.1、粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述6.2、粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述6.3、系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述6.4、等概率原理6.5、分布和微觀狀態(tài)6.6、玻耳茲曼分布6.7、玻色分布和費(fèi)米分布6.8、三種分布的關(guān)系上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出第六章近獨(dú)立粒子及其最概然分上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述

若粒子（系統(tǒng)）有r個(gè)自由度，則研究方法分為以下幾步為:一、粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述①確定描述系統(tǒng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的r個(gè)廣義坐標(biāo)：②寫(xiě)出系統(tǒng)的拉氏函數(shù):③寫(xiě)出系統(tǒng)的哈密頓量只有保守力時(shí)，哈密頓量就是系統(tǒng)的總能量。④研究運(yùn)動(dòng)：運(yùn)動(dòng)規(guī)律有正則方程確定結(jié)論：確定了系統(tǒng)的r個(gè)廣義坐標(biāo)和r個(gè)廣義動(dòng)量，就確定了體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述二、空間把遵從經(jīng)典力學(xué)規(guī)律的粒子看作是具有r個(gè)自由度的力學(xué)體系時(shí)，近獨(dú)立粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由粒子r個(gè)廣義坐標(biāo)和r個(gè)廣義動(dòng)量確定----構(gòu)成一個(gè)2r維抽象空間，稱為空間，也稱為粒子相空間。μ空間中任何一點(diǎn)代表力學(xué)體系中一個(gè)粒子的一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這個(gè)點(diǎn)稱為代表點(diǎn)（或相點(diǎn)）。當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間改變時(shí)，代表點(diǎn)相應(yīng)地在μ空間中移動(dòng)，描畫(huà)出一條軌跡，稱為相軌跡。①、相點(diǎn)是一個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而不是粒子，粒子只能在真實(shí)空間運(yùn)動(dòng)。②、任何粒子總可以找到與其對(duì)應(yīng)的空間，不同自由度的粒子不能用同一空間描述狀態(tài)。③、若粒子受的限制，粒子狀態(tài)只能在能量曲面內(nèi)，稱為相體積。④、空間中相軌道不相交，因?yàn)樵谖锢韱?wèn)題中是單值函數(shù)。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出

三、常用粒子的空間及相體積：1、三維自由粒子：自由度：3；μ空間維數(shù)：66.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述空間：6維抽象空間，相體積元:相體積：粒子在體積V內(nèi)運(yùn)動(dòng)，能量介于所以粒子在μ空間能達(dá)到的相體積為：上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出三、常用粒子的空間及相體積：上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出用x和px表示粒子的廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量，以x和px為直角坐標(biāo)，可構(gòu)成二維的空間px0Lxpx2、對(duì)于一維自由粒子：（自由度為1）6.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述

三、常用粒子的空間及相體積：相體積為：上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出用x和px表示粒子的廣義坐標(biāo)和廣上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出3、一維線性諧振子（自由度為1）6.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述

三、常用粒子的空間及相體積：彈性力振動(dòng)頻率μ空間：二維正交空間x~px振動(dòng)能量這為一橢圓方程，所以其相體積等于這一橢圓的面積能量不同，橢圓也就不同在一定條件下，分子內(nèi)原子的震動(dòng)，晶體中原子或離子在其平衡位置附近的振動(dòng)都可以看作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出3、一維線性諧振子（自由度為1）上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出4、轉(zhuǎn)子（雙原子分子的轉(zhuǎn)動(dòng)）：自由度為26.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述考慮質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)被具有一定長(zhǎng)度的輕桿系于原點(diǎn)O時(shí)所作的運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)在直角坐標(biāo)下的能量：用球坐標(biāo)表示:上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出4、轉(zhuǎn)子（雙原子分子的轉(zhuǎn)動(dòng)）：自上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出4、轉(zhuǎn)子6.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述考慮質(zhì)點(diǎn)和原點(diǎn)的距離保持不變，于是應(yīng)用于雙原子分子的轉(zhuǎn)動(dòng)：自由度為2，μ空間維數(shù)：4能量：上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出4、轉(zhuǎn)子6.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出4、轉(zhuǎn)子6.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述雙原子分子的力學(xué)模型：將雙原子分子看作一根細(xì)棒的兩端聯(lián)結(jié)著質(zhì)量為m1

和m2的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)繞其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)。然后將兩體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單體問(wèn)題，即將公式中的m換成約化質(zhì)量上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出4、轉(zhuǎn)子6.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出4、轉(zhuǎn)子6.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述IMIp2222==je根據(jù)經(jīng)典力學(xué)，在沒(méi)有外力作用的情形下，轉(zhuǎn)子的總角動(dòng)量是一個(gè)守恒量，其大小和時(shí)間都不隨時(shí)間改變。由于垂直于，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是在垂直于的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。如果選擇軸平行于，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)必在平面上，這時(shí)能量簡(jiǎn)化為上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出4、轉(zhuǎn)子6.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出一、微觀粒子的波粒二象性與測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系

微觀粒子普遍地具有粒子和波動(dòng)的二象性，一方面是客觀存在的單個(gè)實(shí)體，另一方面在適當(dāng)?shù)臈l件下顯示干涉、衍射等波動(dòng)的現(xiàn)象。德布羅意關(guān)系：德布羅意波：適用于一切微觀粒子。6.2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述德布羅意，薛定諤

普朗克常數(shù)是物理中的基本常數(shù)，它的量綱是[時(shí)間]·[能量]=[長(zhǎng)度]·[動(dòng)量]=[角動(dòng)量]上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出一、微觀粒子的波粒二象性與測(cè)不準(zhǔn)

1927年C.J.Davisson&G.P.Germer戴維森與革末用電子束垂直投射到鎳單晶，做電子轟擊鋅板的實(shí)驗(yàn)，隨著鎳的取向變化，電子束的強(qiáng)度也在變化，這種現(xiàn)象很像一束波繞過(guò)障礙物時(shí)發(fā)生的衍射那樣。其強(qiáng)度分布可用德布羅意關(guān)系和衍射理論給以解釋。德布羅意波的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證--電子衍射實(shí)驗(yàn)1探測(cè)器電子束電子槍鎳單晶1927年C.J.Davisson&G.P.

屏P多晶薄膜高壓柵極陰極德布羅意波的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證--電子衍射實(shí)驗(yàn)2同時(shí)英國(guó)物理學(xué)家G.P.Thompson&Reid也獨(dú)立完成了電子衍射實(shí)驗(yàn)。電子束在穿過(guò)細(xì)晶體粉末或薄金屬片后，也象X射線一樣產(chǎn)生衍射現(xiàn)象。德布羅意理論從此得到了有力的證實(shí)，獲得1929年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)金，Davisson和Thompson則共同分享了1937年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)金。屏P多晶薄膜高壓柵極陰極德布羅意波的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出測(cè)不準(zhǔn)原理：：稱為不確定關(guān)系

粒子和波動(dòng)二象性的一個(gè)重要結(jié)果是微觀粒子不可能同時(shí)具有確定的動(dòng)量和坐標(biāo)。6.2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述結(jié)論：不能用q、p描述粒子的運(yùn)動(dòng)。即微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不是用坐標(biāo)和動(dòng)量來(lái)描述的，而是用波函數(shù)或量子數(shù)來(lái)描述的。海森堡

上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出測(cè)不準(zhǔn)原理：：稱為不確定關(guān)系上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出：表示在t時(shí)刻在dxdydz內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率。二、狀態(tài)的描述----量子態(tài)6.2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述

在量子力學(xué)中，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)稱為量子態(tài)。量子態(tài)不是用坐標(biāo)和動(dòng)量來(lái)描述的，而是用波函數(shù)或量子數(shù)來(lái)描述的。波函數(shù)滿足薛定諤波動(dòng)方程：定態(tài)時(shí)：波函數(shù)必須是單值、有限、連續(xù)，并且滿足一定邊界條件。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出：表示在t時(shí)刻在dxdydz內(nèi)發(fā)上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出二、狀態(tài)的描述----量子態(tài)6.2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述例：方匣中運(yùn)動(dòng)的微觀粒子②波函數(shù)與量子數(shù)nx、ny、nz有關(guān)，一組確定的量子數(shù)nx、ny、nz的組合，給出一個(gè)確定的波函數(shù)，從而確定體系一個(gè)量子態(tài)。研究表明：①波函數(shù)滿足單值、有限、連續(xù)和一定邊界條件時(shí)，粒子能量只能取分立值。一般來(lái)說(shuō)，體系有幾個(gè)自由度，就有幾個(gè)量子數(shù)。③能級(jí)給定后：確定，有多少個(gè)滿足這一體系的nx、ny、nz的不同組合數(shù)，該能級(jí)就有多少量子態(tài)，-----稱為能級(jí)的簡(jiǎn)并度。普朗克傳記上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出二、狀態(tài)的描述----量子態(tài)6.上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出1、自旋狀態(tài)：6.2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述三、舉例：關(guān)于自旋發(fā)現(xiàn)的趣聞電子的自旋：通過(guò)Stern-Gerlach實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。Hatsstate

Realorbitpoints

Expectedorbit

NSZ如圖z向磁場(chǎng)，s態(tài)H的軌道分為二條。說(shuō)明：H有Internal磁矩（Spin）

磁矩在外磁場(chǎng)B中的勢(shì)能為：則氫原子所受的力為若一定。則作類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，二條軌跡說(shuō)明磁矩有兩個(gè)取向。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出1、自旋狀態(tài)：6.2粒子運(yùn)動(dòng)上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出1、自旋狀態(tài)：

電子、質(zhì)子、中子等粒子具有內(nèi)稟角動(dòng)量（自旋）（S）和內(nèi)稟磁矩（自旋）磁矩（μ），其量子數(shù)為1/2，關(guān)系為自旋角動(dòng)量在外磁場(chǎng)方向上的投影Sz只能取兩個(gè)值：在外磁場(chǎng)B中的勢(shì)能為：在外磁場(chǎng)方向的投影相應(yīng)為：6.2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述三、舉例：上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出1、自旋狀態(tài)：電子、質(zhì)子上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出2、線性諧振子：3、轉(zhuǎn)子

其中n表示線性諧振子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和能量的量子數(shù)，上式給出的能量值是分立的，分立的能量稱為能級(jí)。線性諧振子的能級(jí)是等間距的，相鄰兩能級(jí)的能量差為：在量子力學(xué)中轉(zhuǎn)子的能量是分立的：6.2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出2、線性諧振子：3、轉(zhuǎn)子上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出4、自由粒子①一維自由粒子，考慮處于長(zhǎng)度為L(zhǎng)的一維容器中自由粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。由周期性邊界條件可得：6.2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述nx表示一維自由粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子數(shù)，能量的可能值為：基態(tài)能級(jí)為非簡(jiǎn)并，激發(fā)態(tài)能級(jí)為二度簡(jiǎn)并。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出4、自由粒子①一維自由粒子，考慮上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出②對(duì)于三維自由粒子：量子數(shù)為3：能量的可能值：（1）、微觀體積下，能量值和動(dòng)量值的分離性很顯著。（2）、宏觀體積下，能量值和動(dòng)量值是準(zhǔn)連續(xù)的，考慮V=L3內(nèi)，一定動(dòng)量范圍的自由粒子量子態(tài)數(shù)。6.2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述量子態(tài)數(shù)為：上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出②對(duì)于三維自由粒子：量子數(shù)為3：上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出可理解為：由測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系：對(duì)應(yīng)μ空間的一個(gè)體積元，稱為量子相格。6.2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述2r維μ空間中大小的相格內(nèi)只能有一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。否則違背測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出可理解為：由測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系：對(duì)應(yīng)μ空上一頁(yè)下一頁(yè)退出目錄采用球極坐標(biāo)：?jiǎn)挝荒芰块g隔內(nèi)粒子可能的量子態(tài)數(shù)，即態(tài)密度。如果粒子的自旋不為零，需乘2。6.2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述上一頁(yè)下一頁(yè)退出目錄采用球極坐標(biāo)：?jiǎn)挝荒芰块g隔內(nèi)粒子上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.3系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述一、全同粒子與近獨(dú)立粒子二、經(jīng)典物理中系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述（1）可分辨（可跟蹤的經(jīng)典軌道運(yùn)動(dòng)）（1）全同粒子：具有完全相同屬性（相同的質(zhì)量、電荷、自旋等）的同類(lèi)粒子。（2）近獨(dú)立粒子：粒子之間的相互作用很弱，相互作用的平均能量遠(yuǎn)小于單個(gè)粒子的能量。全同粒子是可以分辨的（因?yàn)榻?jīng)典粒子的運(yùn)動(dòng)是軌道運(yùn)動(dòng)，原則上是可以被跟蹤的）。如果在含有多個(gè)全同粒子的系統(tǒng)中，將兩個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)加以交換，則交換前后，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是不同的。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.3系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.3系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.3系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.3系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述（2）描述方式：代數(shù)方法

單個(gè)粒子需r個(gè)廣義坐標(biāo)和r個(gè)廣義動(dòng)量共2r個(gè)參量來(lái)描述，因此對(duì)整個(gè)系統(tǒng)需2Nr個(gè)參量來(lái)描述。

對(duì)應(yīng)μ空間中的N個(gè)點(diǎn)：一個(gè)粒子在某時(shí)刻的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以在μ空間中用一個(gè)點(diǎn)表示，由N個(gè)全同粒子組成的系統(tǒng)在某時(shí)刻的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以在μ空間中用N個(gè)點(diǎn)表示，那么如果交換兩個(gè)代表點(diǎn)在μ空間的位置，相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是不同的。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.3系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出（2）玻色子與費(fèi)米子：a費(fèi)米子：自旋量子數(shù)為半整數(shù)的基本粒子。如：電子、質(zhì)子、中子等。b玻色子：自旋量子數(shù)為整數(shù)的基本粒子。如：光子、Л介子等。c復(fù)合粒子：凡是由玻色子構(gòu)成的復(fù)合粒子是玻色子；由偶數(shù)個(gè)費(fèi)米子構(gòu)成的復(fù)合粒子是玻色子，由奇數(shù)個(gè)費(fèi)米子構(gòu)成的復(fù)合粒子是費(fèi)米子。d泡利不相容原理：對(duì)于含有多個(gè)全同近獨(dú)立費(fèi)米子的系統(tǒng)中，一個(gè)個(gè)體量子態(tài)最多能容納一個(gè)費(fèi)米子。6.3系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述三、量子物理中系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述（1）全同性原理：全同粒子不可分辨，在由全同粒子組成的系統(tǒng)，將任何兩個(gè)全同粒子加以交換，不改變整個(gè)系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。Pauli傳奇上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出（2）玻色子與費(fèi)米子：a費(fèi)米上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出（3)、玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費(fèi)米系統(tǒng)

玻耳茲曼系統(tǒng)：由可分辨的全同近獨(dú)立粒子（定域子：固體中的原子、離子，在各自平衡位置附近作微振動(dòng)，波函數(shù)幾乎不交疊，可用位置加以分辨---定域系）組成，且處在一個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)。

玻色系統(tǒng)：由不可分辨的全同近獨(dú)立玻色子組成，且處在一個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)。

費(fèi)米系統(tǒng)：由不可分辨的全同近獨(dú)立費(fèi)米子組成，且處在一個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)最多只能為1，受泡利不相容原理的限制。6.3系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述波耳茲曼

★玻耳茲曼系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)歸結(jié)為確定每一個(gè)粒子的個(gè)體量子態(tài)?！锊Ｉ到y(tǒng)、費(fèi)米系統(tǒng)的微觀狀態(tài)歸結(jié)為確定每一個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出（3)、玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出系統(tǒng)

玻耳茲曼系統(tǒng)（9種不同的微觀狀態(tài))

玻色系統(tǒng)（6種不同的微觀狀態(tài)）

費(fèi)米系統(tǒng)（3種不同的微觀狀態(tài)）量子態(tài)1ABAABBAAAAAA量子態(tài)2ABBAABAAAAAA量子態(tài)3ABBBAAAAAAAA例如：兩個(gè)粒子占據(jù)3個(gè)量子態(tài)的方式6.3系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出系統(tǒng)玻耳茲曼系統(tǒng)玻色系上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出一、宏觀狀態(tài)與微觀狀態(tài)的區(qū)別：6.4等概率原理宏觀狀態(tài)：平衡態(tài)由一組宏觀參量表示，例如，對(duì)于孤立系統(tǒng)可以用粒子數(shù)N、能量E和體積V來(lái)表征系統(tǒng)的平衡態(tài)。微觀狀態(tài)：由廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量（經(jīng)典描述）或一組量子數(shù)表示（量子描述）在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中，我們研究系統(tǒng)在給定宏觀條件下的宏觀性質(zhì)。如果我們研究的是一個(gè)孤立系，給定的宏觀條件是系統(tǒng)具有確定的粒子數(shù)N，體積V和能量E。由于自然界中實(shí)際上不存在與外界完全沒(méi)有任何相互作用的嚴(yán)格的孤立系統(tǒng)，應(yīng)當(dāng)認(rèn)為系統(tǒng)的能量是在經(jīng)典熱力學(xué)認(rèn)為，處于平衡態(tài)的封閉體系的各熱力學(xué)性質(zhì)具有單值性且不隨時(shí)間而變。但量子力學(xué)并不認(rèn)同這一觀點(diǎn)，從微觀的角度，分子在不斷地相互碰撞和交換能量。雖然總能量守恒，但N個(gè)粒子分配總能量E則應(yīng)有許多不同方式，而能量的每一種分配方式就產(chǎn)生體系的一個(gè)微觀態(tài)。因此不難想像，對(duì)于一個(gè)指定的宏觀態(tài)，實(shí)際上包含著難以計(jì)數(shù)的微觀態(tài)。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出一、宏觀狀態(tài)與微觀狀態(tài)的區(qū)別：6上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出二、宏觀狀態(tài)與微觀狀態(tài)的聯(lián)系：一個(gè)確定不變的宏觀態(tài)包含大量不同的微觀態(tài)。宏觀量是相應(yīng)微觀物理量的統(tǒng)計(jì)平均值，統(tǒng)計(jì)物理的根本問(wèn)題：確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率。6.4等概率原理概率（probability）：指某一件事或某一種狀態(tài)出現(xiàn)的機(jī)會(huì)大小。是數(shù)學(xué)上的概念，概率必須滿足歸一化原則。熱力學(xué)概率：體系在一定的宏觀狀態(tài)下，可能出現(xiàn)的微觀狀態(tài)總數(shù)，通常用表示。通常情況下，是個(gè)遠(yuǎn)大于1的大數(shù)。三、等概率原理：對(duì)于U,V和N確定的某一宏觀體系，任何一個(gè)可能出現(xiàn)的微觀狀態(tài)，都有相同的數(shù)學(xué)概率，所以這假定又稱為等概率原理。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出二、宏觀狀態(tài)與微觀狀態(tài)的聯(lián)系：一上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出四、等概率原理的幾點(diǎn)說(shuō)明：1、等概率原理是統(tǒng)計(jì)物理中一個(gè)基本假設(shè)，它的正確性由它的種種推論都與客觀實(shí)際相符而得到肯定。3、既然這些微觀狀態(tài)都同樣滿足具有確定N、E、V的宏觀條件，沒(méi)有理由認(rèn)為哪一個(gè)狀態(tài)出現(xiàn)的概率應(yīng)當(dāng)更大一些。這些微觀狀態(tài)應(yīng)當(dāng)是平權(quán)的，因此，認(rèn)為各個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)概率相等應(yīng)當(dāng)是一個(gè)合理的假設(shè)。2、等概率原理是平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理的基礎(chǔ)。6.4等概率原理例如，某宏觀體系的總微觀態(tài)數(shù)為，則每一種微觀狀態(tài)出現(xiàn)的數(shù)學(xué)概率P都相等，即：上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出四、等概率原理的幾點(diǎn)說(shuō)明：1、等上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.4等概率原理例：試列出分子（可分辨、玻色子）數(shù)為4，總能量為3個(gè)單位的體系中各種分布方式和實(shí)現(xiàn)這類(lèi)分布方式的熱力學(xué)概率？設(shè)粒子分布在e0＝0，e1＝1，e3＝2，e4＝3，的四個(gè)非簡(jiǎn)并能級(jí)上，則滿足兩個(gè)守恒條件的分布方式有三種：0123I3001II2110III1300eiNi分布方式各分布方式所包含的微觀態(tài)數(shù)：①、每一種微觀狀態(tài)出現(xiàn)的數(shù)學(xué)概率②、各分布出現(xiàn)數(shù)學(xué)概率：上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.4等概率原理例：試列出分上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.4等概率原理從以上分析可見(jiàn)：每種分配的值各不相同，但其中有一項(xiàng)最大值(上例中為)，在粒子數(shù)足夠多的宏觀體系中，可以近似用來(lái)代表所有的微觀數(shù)，這就是最概然分布。分布確定宏觀條件下，各分布的微觀狀態(tài)數(shù)比較對(duì)于宏觀上的平衡態(tài)，在微觀上其實(shí)并非完全“均勻一致”，這種偏離平衡態(tài)的現(xiàn)象稱為“漲落”或“起伏”。但隨著體系粒子數(shù)愈多，則“漲落”現(xiàn)象出現(xiàn)的機(jī)會(huì)愈小。在極限情況下,“漲落”出現(xiàn)的幾率幾乎為零。此時(shí)，可認(rèn)為體系中只存在一種微觀狀態(tài)數(shù)最大的分布——最概然分布?？梢?jiàn)用某一微觀態(tài)數(shù)最大的分布代表平衡態(tài)便是不足為奇了。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.4等概率原理從以上分析可上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.5分布與微觀狀態(tài)數(shù)一、分布能級(jí)分布：即N個(gè)粒子分布在各個(gè)能級(jí)上的分布狀態(tài)。狀態(tài)分布：在某一簡(jiǎn)并能級(jí)上，粒子在各個(gè)量子態(tài)上的分布狀態(tài)。說(shuō)明：(1)能量是量子化的，但每一個(gè)能級(jí)上可能有若干個(gè)不同的量子狀態(tài)存在，反映在光譜上就是代表某一能級(jí)的譜線常常是由好幾條非常接近的精細(xì)譜線所構(gòu)成。量子力學(xué)中把能級(jí)可能有的微觀狀態(tài)數(shù)稱為該能級(jí)的簡(jiǎn)并度。(2)對(duì)非簡(jiǎn)并能級(jí)，能級(jí)分布與狀態(tài)分布相同；(3)對(duì)簡(jiǎn)并能級(jí)，同一能級(jí)分布可對(duì)應(yīng)于多種不同的狀態(tài)分布，即狀態(tài)分布數(shù)大于能級(jí)分布數(shù)；(4)一種狀態(tài)分布數(shù)表示體系的一種微觀態(tài)。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.5分布與微觀狀態(tài)數(shù)一、分上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.5分布與微觀狀態(tài)數(shù)一、分布能級(jí)：簡(jiǎn)并度：粒子數(shù)：

設(shè)有一個(gè)系統(tǒng)，由大量全同近獨(dú)立的粒子組成，具有確定的粒子數(shù)N、能量E和體積V?！弦豁?yè)下一頁(yè)目錄退出6.5分布與微觀狀態(tài)數(shù)一、分上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.5分布與微觀狀態(tài)數(shù)一、分布分布和微觀狀態(tài)是兩個(gè)不同的概念。

給定了一個(gè)分布，只能確定處在每一個(gè)能級(jí)上的粒子數(shù)，它與系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是兩個(gè)性質(zhì)不同的概念。微觀狀態(tài)是粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)或稱為量子態(tài)。它反映的是粒子運(yùn)動(dòng)特征。①、假如全同粒子可以分辨（或定域子），確定由全同近獨(dú)立粒子組成的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)歸結(jié)為確定每一個(gè)粒子的個(gè)體量子態(tài)。即：當(dāng)每個(gè)粒子的量子態(tài)都確定了就對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的一個(gè)微觀狀態(tài)。如果其中某一粒子的量子態(tài)變化了，那么系統(tǒng)的微觀狀態(tài)也就發(fā)生了變化了。②、對(duì)于不可分辨的全同粒子，確定由全同近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)歸結(jié)為確定每一個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)。即：當(dāng)每一個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)確定了就對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的一個(gè)微觀狀態(tài)。如果其中某一個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)變化了，那么系統(tǒng)的微觀狀態(tài)也就發(fā)生了變化了。結(jié)論：由于一個(gè)能級(jí)往往對(duì)應(yīng)若干個(gè)量子態(tài)（即簡(jiǎn)并的），因此給定了一個(gè)分布，系統(tǒng)有一系列的微觀狀態(tài)與之對(duì)應(yīng)。求一定分布的微觀狀態(tài)數(shù)是統(tǒng)計(jì)物理的核心問(wèn)題。上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出6.5分布與微觀狀態(tài)數(shù)一、分上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出二、給定分布的微觀狀態(tài)數(shù)1、玻耳茲曼系統(tǒng)：微觀態(tài)數(shù)為：6.5分布與微觀狀態(tài)數(shù)注意：一個(gè)粒子設(shè)為“無(wú)體積”的“質(zhì)點(diǎn)”，一個(gè)“盒子”有粒子占據(jù)時(shí)，不排斥其它粒子進(jìn)入（M－B與B－E都是不排斥，但F－D則不行，是要排斥的）

個(gè)粒子，放入個(gè)盒子中的可能組合上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出二、給定分布的微觀狀態(tài)數(shù)1、玻耳上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出二、給定分布的微觀狀態(tài)數(shù)6.5分布與微觀狀態(tài)數(shù)種可能方式。將各種能級(jí)的結(jié)果相乘，就得到玻色系統(tǒng)與分布相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：粒子不可分辨，每個(gè)個(gè)體量子態(tài)能容納的粒子個(gè)數(shù)不受限制。首先個(gè)粒子占據(jù)能級(jí)上的個(gè)量子態(tài)有2、玻色系統(tǒng)：用□表示狀態(tài)，○表示粒子上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出二、給定分布的微觀狀態(tài)數(shù)6.5上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出二、給定分布的微觀狀態(tài)數(shù)6.5分布與微觀狀態(tài)數(shù)3費(fèi)米系統(tǒng)：粒子不可分辨，每一個(gè)個(gè)體量子態(tài)最多只能容納一個(gè)粒子。個(gè)粒子占據(jù)能級(jí)上的個(gè)量子態(tài)，相當(dāng)于從個(gè)量子態(tài)中挑出個(gè)來(lái)為粒子所占據(jù)，有種可能的方式。將各能級(jí)的結(jié)果相乘，就得到費(fèi)米系統(tǒng)與分布相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出二、給定分布的微觀狀態(tài)數(shù)6.5上一頁(yè)下一頁(yè)目錄退出二、給定分布的微觀狀態(tài)數(shù)6.5分布與微觀狀態(tài)數(shù)4、經(jīng)典統(tǒng)計(jì)中的分布和微觀狀態(tài)數(shù)：對(duì)于經(jīng)典系統(tǒng)，由于對(duì)坐標(biāo)和動(dòng)量的測(cè)量總存在一定的誤差，假設(shè)，這時(shí)經(jīng)典系統(tǒng)的一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不能用一個(gè)點(diǎn)表示，而必須用一個(gè)體積元表示，該體積元的大小表示經(jīng)典系統(tǒng)的一個(gè)微觀狀態(tài)在空間所占的體積，稱為經(jīng)典相格。這里由測(cè)量精度決定，最小值為普朗克常量。

現(xiàn)將空間劃分為許多體積元