平面向量數(shù)量積：2性質(zhì)及應(yīng)用

PAGEPAGE10平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角平面向量的數(shù)量積插上“翅膀”，它又能飛多遠(yuǎn)呢？本節(jié)講解平面向量數(shù)量積的“翅膀”——坐標(biāo)表示，它使平面向量的數(shù)量積同時(shí)具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，平面向量的數(shù)量積與向量垂直的坐標(biāo)表示1 1 2 設(shè)非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y1 1 2 數(shù)量積數(shù)量積兩個(gè)向量的數(shù)量積等它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的，即a·b＝ x1x2＋兩個(gè)向量垂直y1y2x1x2＋y1y2＝0 []1.公式a·b＝|a||b|cos<a，b>與a·b＝x1x2＋y1y2都是用來(lái)求兩向量的數(shù)量積的，求解；若已知兩向量的坐標(biāo)，則可選用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．a(chǎn)＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的坐標(biāo)表示如下：a∥b?x1y2＝x2y1x1y2－x2y1＝0；a⊥b?x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0．兩個(gè)結(jié)論不能混淆，可以對(duì)比學(xué)習(xí)，分別簡(jiǎn)記為：縱橫交錯(cuò)積相等，橫橫縱縱積相反．2．平面向量的模與夾角的坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝，1，＝，2，a與b的夾角為，則有下表：坐標(biāo)表示坐標(biāo)表示|a|2＝ x2＋y2 或模1 1x2＋y21 1設(shè)A(x，y)，B(x，y)，則|→|＝1 1a·bco|a||b＝2 2ABx－x2＋y－y22 12 1夾角xx＋yy12 12x2＋y2(a，b為非零向量)1 1x2＋y22 2[知識(shí)點(diǎn)撥]向量的模的坐標(biāo)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)向量的模即向量的長(zhǎng)度，其大小應(yīng)為平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離，如a＝(x，y)，→ A(x，y)OA＝a＝(x，y)，∴|OA|＝|a|＝x2＋y2，→ 即A

，y)，B(x，y

)，則→＝(x－x，y－y)，∴|→|1 1 2 2

AB 2 1 2 1 AB2 1 2 ＝x－x2＋y－y2 1 2 1．若向量a＝(－1,2)，b＝(1，－2)，則a·b＝( D )A．0C．－4

B．2D．－52．已知平面向量a＝(3,1)，b＝(x，－3)，且a⊥b，則x等( B )A．3B．1C．－13a＝(－1,3)，則|a|＝(CD．－3)A．2B．2C．10D．1044．已知a＝(2，－1)，b＝(－1,3)，則a與b的夾角為3π．4命題方向 數(shù)量積的坐標(biāo)表示典例1 已知a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，求(3a－b)·(a－2b)．[解析] 解法一：因?yàn)椋?3，所以(3a－b)·(a－2b)＝3a2－7a·b＋2b2＝3×5－7×8＋2×13＝－15．解法二：∵a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，∴3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)，a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)．∴(3a－b)·(a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3＝－15．『規(guī)律總結(jié)』進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算時(shí)，需要牢記有關(guān)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)．解題利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開(kāi)，再依據(jù)已知條件計(jì)算．〔跟蹤練習(xí)1向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝( C )C．1

B．0D．2[解析] a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1．命題方向 利用坐標(biāo)解決向量的夾角問(wèn)題典例2 (1)已知三點(diǎn)A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，求∠BAC的余弦值；(2)a＝(3,0)，b＝(－5,5)，求a與b的夾角．[思路分] 本題考查的是利用向量的坐標(biāo)表示來(lái)求兩向量的夾角．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)a＝(xb＝(x)a·b＝x

x＋y

和1 1 2 2

12 1a·b

1 1x2＋y22 2xxx2＋y22 2的積，其比值就是這兩個(gè)向量夾角的余弦值，即cosθ＝|a||b|＝

12 12 ．x2＋y2· x2＋y2[解析] (1)

(5,1)－(2，－2)＝(3,3)，

1 1 2 2∵AB＝→AC＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)，→→∴AB·AC＝3×(－1)＋3×6＝15．→ 又32＋32＝3 －12＋62＝37，→ →→∴cos∠BAC＝AB·AC

15 5 7474＝ ．74| 3 →| 3 →(2)a·b＝3×(－5)＋0×5＝－15，|a|＝3，|b|＝5 2．a(chǎn)·b設(shè)a與b的夾角為θ，則cosθ＝

－15 2＝－3π又0≤θ≤π，∴θ＝4

|a||b| 3×5 2 2．『規(guī)律總結(jié)』用坐標(biāo)求兩個(gè)向量夾角的四個(gè)步驟：a·b的值；的值；根據(jù)向量夾角的余弦公式求出兩向量夾角的余弦；(4)〔跟蹤練習(xí)2設(shè)a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb與b的夾角為45°，求實(shí)數(shù)t的值．[解析] a＋tb＝(4，－3)＋t(2,1)＝(4＋2t，t－3)．(a＋tb)·b＝(4＋2t，t－3)·(2,1)＝5t＋5．|a＋tb|＝4＋2t2＋t－32＝5t＋12＋20．5 2由(a＋tb)·b＝|a＋tb||b|cos45°，得5t＋5＝2· t＋12＋4，即t2＋2t－3＝0．∴t＝－3或t＝1，經(jīng)檢驗(yàn)t＝－3不合題意，舍去，∴t＝1．利用平行、垂直求參數(shù)12 21 12 1y－xy＝012 21 12 11 1 2 ＝(x，y)，b＝(x，y))列關(guān)于某參數(shù)的方程(或方程組)1 1 2 典例3

→(2,3)

(1，k)，且△ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角，求k的值．在△ABC[思路分在△ABC[解析] 當(dāng)

→·→0，

時(shí)，ABAC＝2∴k＝－3．當(dāng)∠B＝90°

→·→

0 → →

(1－2，k－3)＝(－1，k－3)，BC＝，BC＝AC－AB＝∴2×(－1)＋3×(BC＝，BC＝AC－AB＝當(dāng)∠C＝90°

→·

∴k＝3．0，時(shí)，ACBC＝∴k＝2 ∴－1＋k(k－∴k＝2 2 11 3± 13綜上所述或3或2 ．『規(guī)律總結(jié)』解決本題的關(guān)鍵是要判斷△ABC論，不能只認(rèn)為某個(gè)角就是直角，結(jié)果只考慮一種情況而導(dǎo)致漏解．〔跟蹤練習(xí)3〕已知三個(gè)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(3，－4)、(6，－3)、(5－m，－3－m)，若△ABC為直角三角形，且∠A為直角，求實(shí)數(shù)m的值．→[解析] 由已知，AB＝(3,1)，→AC＝(2－m,1－m)．∵△ABC為直角三角形，且∠A為直角，→ →∴AB⊥AC．→→∴AB·AC＝3(2－m)＋(1－m)＝0，7解得m＝4．忽視向量共線致誤典例4 已知a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且a與b的夾角θ為銳角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(

－2

1 A．(－∞，－2)∪

，2

B．2，＋∞－2 2

1C．

D．－∞，2[錯(cuò)解] ∵a與b的夾角θ為銳角，∴cosθ>0，即a·b＝1－2λ>0，得λ1，故選D．<2[]ababcosθ＝1>0λ＝－2，顯然是不合理的．[]aθ?cosθ>0cosθ≠1?a·b>0a≠mb(m>0)；θ?cosθ<0cosθ≠－1?a·b<0a≠mb(m<0)；θ?cosθ＝0?a·b＝0．[正解] ∵a與b的夾角θ為銳角，∴cosθ>0且cosθ≠1a·b>0ab方向不同，－2 1即a·b＝1－2λ>0，且a≠mb(m>0)，解得λ∈(－∞，－2)∪ 故選A．[點(diǎn)評(píng)] 對(duì)于非零向量a與設(shè)其夾角為則θ為銳且cosθ≠1?a·b>0，且為鈍且cosθ≠－1?a·b<0，且為直?cosθ＝0?a·b＝0．4a＝(2，x)，b＝(－4,5)abx的取值范圍．8[解析] 由cosθ<0得x<5，a∥b

5 5 (2 5 1，即x＝－2，當(dāng)x＝－2時(shí)，a＝，－2)＝－b，2所以a與b反向＝，故x8 52<5且x≠－2．1

1 1，則下列結(jié)論正確的( C )A．|a|＝|b|C．a(chǎn)－bb

(2，2)

2a·b＝D．a(chǎn)∥b21 1 2[解析] 由題

22＋22＝2．1 1 1 1 1a·b＝1×2＋0×2＝2，(a－b)·b＝a·b－|b|2＝2－2＝0，∴a－bb垂直．2．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，則由x的值構(gòu)成的集合( C )A．{2,3}C．{2}

B．{－1,6}D．{6}[解析] 考查向量垂直的坐標(biāo)表示∵a⊥b，∴a·b＝2(x－5)＋3x＝0，解之得x＝2，則由x的值構(gòu)成的集合是{2}．3．已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，則△ABC的形狀( A )C．鈍角三角形

銳角三角形D[解析] ＝－3,3＝(1,1，·＝．π∴A＝2．4．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，則λ( B )C．－2－3D．－1[解析] 本題考查數(shù)量積的運(yùn)算，向量垂直的條件．m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，∵(m＋n)⊥(m－n)，∴(m＋n)·(m－n)＝－2λ－3－3＝0，∴λ＝－3．5ab同向，b＝(1,2)，a·b＝10(1)a的坐標(biāo)；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b．[解析] (1)∵a與b同向，且b＝(1,2)，∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)．又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．(2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，∴(a·c)b＝0·b＝0．A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．已知點(diǎn)A(1,2，B(2,3，C2,5，·等于( B )A．－1C．1

B．0D．2[解析] ∵B＝(2,3)－(1,2)(1,1)，C＝(－2,5)－(1,2＝－3,3)，∴B·C＝1×(－3)＋1×3＝0．2．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，則a在b上的投影( C )135B．13135655C．65 D．655[解析] ∵a＝(2,3)，b＝(－4,7)，∴a·b＝2×(－4)＋3×7＝13，|a|＝65，∴a·b 5 5 65cosθ＝|a||b|＝

.∴ab|a|cosθ＝135＝5．3．已知a＝(－1,3)，b＝(2，－1)且(ka＋b)⊥(a－2b)則k＝( C )4A．3C 3

4BB3．4[解析] 由題意(ka＋b)·(a－2b)＝0，而ka＋b＝(2－k,3k－1)，a－2b＝(－5,5)，

D．－4故－5(2－k)＋5(3k－1)＝0 3，解得k＝4．4．已知a＝(1，n)，b＝(－1，n)．若2a－b與b垂直，C )2B．2C．2 D．4[解析] 由2a－b與b垂直，(2a－b)·b＝0，即2a·b－b2＝0．2(－1＋n2)－(1＋n2)＝01＋n2＝1＋3＝2．5．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5 2，則等于( C )510A． B．510C．5 D．25[解析] 可|b|＝5．已知向量若向量c滿則c＝( D )A．7 7

B．( 7 7(9，3) －3，－9)C．7 7

D．( 7 7(3，9) －9，－3)[解析] 不妨設(shè)c＝(m，n)，則a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，對(duì)(c＋a)∥b，則有－3(1＋m)＝2(2＋n)c⊥(a＋b)3m－n＝0二、填空題

7 7，∴m＝－9，n＝－3，故選7．已知a＝(1，3)，b＝(－2,0)，則|a＋b|＝ 2 ．[解析] 因?yàn)閍＋b＝(－1，3)，所以|a＋b|＝－12＋ 8a＝(3，－1)，b＝(x，－2)

π 1 ．π 3x＋2

，且〈a，b〉＝4，則x＝4[解析] cos＝ ，解得x＝1或x＝－4(舍410×x2＋4三、解答題9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b與a－3b垂直，求k的值．[解析] ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．又ka＋b與a－3b垂直，(ka＋b)·(a－3b)＝0．即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0得k＝19．10．已知a＝( 3，1)，b＝(2,2 3)．a(chǎn)·b；ab[解析] (1)a·b＝2 3＋2 3＝4 3．(2)cosθ＝

xx＋yy1212x2＋y2·1212x2＋y2·1 1x2＋y22 23＋1· 4＋12 2，又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°．一、選擇題

B級(jí)素養(yǎng)提升已知向量a＝( 是不平行于x軸的單位向量且a·b＝則b等( B )A． 3 B．1 32C．1 3 3

2，2D．(1,0)4，4[解析] 方法1：令b＝(x，y)(y≠0)，則x2＋y2＝1， ① 3x＋y＝3，②將②代入①得x2＋( 3－3x)2＝1，即2x2－3x＋1＝0，1 3∴x＝1(舍去，此時(shí)或x＝2 y＝2．2y＝0A，不合題意，故選B．2．(2016·全國(guó)Ⅲ，文)

→ 1 3

( 3 1)，則∠ABC＝( A )0°C．60°

已知向量BA＝(2，

25°D．120°

2，21 3 3 12 2 2 →→ ×＋×2 2 2 [解析] 由題意得cos∠ABC＝BA·BC＝ ＝

30°，故選|→→ |BA||BC|A．

2，所以∠ABC＝設(shè)x向量且則|a＋b|＝( B )5C．2 5D．10[解析] 由a⊥c，得2x－4＝0 則x＝2，由b∥c得－4＝2y則y＝－2，|a＋b|＝2＋12＋1－22＝10． 已知向量則向量b的夾角( A )3π2－θ－2C π－2

θ π．2＋θ

D．θ[解析] 由三角函數(shù)定義知a的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，終點(diǎn)落在圓x2＋y2＝4位于第二象限部分上( π∵2<θ<π)，設(shè)其終點(diǎn)為P，則∠x(chóng)OP＝θ，3π∴a與b的夾角為2－θ．二、填空題已知兩個(gè)單位向量b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，則t＝ 2 ．[解析] ∵a＝b＝1〈ab〉60，1∴a·b＝2，|b|2＝1，1 1∵b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝2t＋(1－t)＝1－2t＝0，∴t＝2．A(1,0)B(0,2)O(0,0)

→·→≤0 →→ →→

是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足APOA，BP·OB≥0，OP·AB的最小值為3 ．→→[解析] ∵AP·OA＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，∴x≤1，∴－x≥－1，→→∵BP·OB＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2．→→∴OP·AB＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3．三、解答題(1)bc；(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m與向量n的夾角的大小．[解析] (1)∵a∥b，∴3x－36＝0.∴x＝12．∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0.∴y＝－3．∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，|m||n|m，nθ，則cosθ＝|m||n|＝ －32＋－4＝ －32＋－42×72＋12∵θ∈[0，π]，

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