行列式的計算方法

論行列式的計算方法黃正敏（莆田學院數(shù)學系2002級，福建莆田）摘要：歸納行列式的各種計算方法，并舉例說明了它們的應用，同時對若干特殊例子進行推廣。關鍵詞：行列式；范德蒙行列式；矩陣；特征植；拉普拉斯定理；析因法；輔助行列式法行列式的計算靈活多變，需要有較強的技巧。當然，任何一個n階行列式都可以由它的定義去計算其值。但由定義可知，n階行列式的展開式有n!項，計算量很大，一般情況下不用此法，但如果行列式中有許多零元素，可考慮此法。值的注意的是：在應用定義法求非零元素乘積項時，不一定從第1行開始，哪行非零元素最少就從哪行開始。接下來要介紹計算行列式的兩種最基本方法--化三角形法和按行（列）展開法。方法1化三角形法化三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或對角形行列式計算的一種方法。這是計算行列式的基本方法重要方法之一。因為利用行列式的定義容易求得上（下）三角形行列式或對角形行列式的性質(zhì)將行列式化為三角形行列式計算。原則上，每個行列式都可利用行列式的性質(zhì)化為三角形行列式。但對于階數(shù)高的行列式，在一般情況下，計算往往較繁。因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性質(zhì)將其作為某種保值變形，再將其化為三角形行列式。例1：浙江大學2004年攻讀碩士研究生入學考試試題第一大題第2小題（重慶大學2004年攻讀碩士研究生入學考試試題第三大題第1小題）的解答中需要計算如下行列式的值：123n1n234n1D34512nn12n2n1［分析］顯然若直接化為三角形行列式，計算很繁，所以我們要充分利用行列式的性質(zhì)。注意到從第1列開始；每一列與它一列中有n-1個數(shù)是差1的，根據(jù)行列式的性質(zhì)，先從第n-1列開始乘以-1加到第n列，第n-2列乘以-1加到第n-1列，一直到第一列乘以-1加到第2列。然后把第1行乘以-1加到各行去，再將其化為三角形行列式，計算就簡單多了。解：

111?-11111?-11211?-11-n(i=2,...,n)100?-0-nD=311?--1-n1200?---n0n.-r=r..-:n:1-n:1?-:1:1n-1:-n:0?-:0:0(i=2,...,n)11+???+n0?0?0?-00--n0-n01n(n+1)00?0?-0-—n—n0r+—rn21:0?-—n.,:00:00=n20:—n.,:0:0n-n--n0?-001n(n+1)(n1)(n2)2［問題推廣］例1中，顯然是1,2,…，n-1,n這n個數(shù)在循環(huán)，那么如果是ao，a1,…,a.a^這n個無規(guī)律的數(shù)在循環(huán)，行列式該怎么計算呢？把這種行列式稱為“循環(huán)行列式”。aaa…a012n-1aaa…an-101n-2D=::::naaa…a2341aaa…a1230」aaa?-a012n-1aaa?an-101n-2解：令A=::::aaa?a2341aaa?-a1230」[2]從而推廣到一般，求下列行列式:首先注意，若u為n次單位根（即un=1），則有:(aec,i=0,1,,n-1)-(一n)-(一n)n-1-(-1)(n+1)2-nn-1-(-1廣■1—a0+。,i-+a"Tn-luan-l+ciu-\-0??+a"Tn-2u2—a+?！?3???+a"Ti"TaLi+1“+2??十a(chǎn)"To」（這里???A-n—\"Tounn-lun~2+aun~x+???+a〃2"-3a"T0n-1aun+???+au2n~2in-lfM-u2其中f(w)=a01,/.用到侃="+i等)"1_u..?+1侃〃—l)?"2n-l"T+???+"Un~ln-l"T=cos2nk+isin2兀k為n次本原單位根:wn=l,wk尹1(0<k<n)于是：1,W,W2,??-,W"T互異且為單位根W-i(j=0,1,—1)方陣w(w,w，…，w)01n-lW（"T）則由上述知：A-w故Aw=(Aw,Aw，…，Aw)

01n-l=(fO。)”，yo)w,f3〃t)布)01n-1(w，柞,,w)?01n-l顯然w=(w,W,???,VP)01n-ly(vpn-i)w21VV"T為范德蒙行列式VP?/(I)-f(w)fO〃t)=A-從而有：Aw=?■-\a=d=y(i).yo)VP?/(I)-f(w)fO〃t)=A-aoaiaia2an-1a0an-2相對應個符號(〃-1)(72-2)而。與ZT只相差(一1)2n3—1)(用一2)即得：D=(-1)2-/(l)-/(w)n從而出(ci?a?,?,a)=(1,2,...，〃)日寸01,n-l對單位根〃=w"。1,總有：個符號f(u)=1+2"+3〃2+...+nu1,n,,n(n+l)了(1)=1+2+???+〃=2:.f(it)_uf(h)=1+u+u2+???+"-i-n=-n-nf(")=1—uxn—1pt而乂=11(x-w^)=l+x+x2+---+Xn~xx-1k=l令］=1則有：(1—"')=1+1+...+1=nk=l

(n1)(n2)n(n~1)2(n-1)2(n-1)1一w2(nD(n2)n(n+1)()(1nn-121一wnn(n~1)2(n-1)2(n-1)1一w2(nD(n2)n(n+1)()(1nn-121一wn-1(-1)(-1)=(-1)方法2按行（列）展開法（降階法）設D=|氣為n階行列式，根據(jù)行列式的按行（列）展開定理有D=aA+aAH—+aA（i=1,2,…，n）ni1i1i2i2inin或D=aA+aA+—+aA（j=1,2,…，n）n1j1j2j2jnjnj其中A為?！ㄖ械脑豠的代數(shù)余子式按行（列）展開法可以將一個n階行列式化為n個n-1階行列式計算。若繼續(xù)使用按行（列）展開法，可以將n階行列式降階直至化為許多個2階行列式計算，這是計算行列式的又一基本方法。但一般情況下，按行（列）展開并不能減少計算量，僅當行列式中某一行（列）含有較多零元素時，它才能發(fā)揮真正的作用。因此，應用按行（列）展開法時，應利用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為有較多的零元素，再按該行（列）展開。例2，計算20階行列式［9］123?181920212?-171819D=20321??161718!20!19!18?!3!2!1［分析］這個行列式中沒有一個零元素，若直接應用按行（列）展開法逐次降階直至化許許多多個2階行列式計算，需進行20！*20-1次加減法和乘法運算，這人根本是無法完成的，更何況是n階。但若利用行列式的性質(zhì)將其化為有很多零元素，則很快就可算出結果。注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對應元素僅差1，因此，可按下述方法計

算:解:111..111123…181920—2-11..111212…171819+-1-1..111D=321…16171820:::::(i=1,...19)::::::19-1-1..-1-11201918…321￡-1-1..-1-1-1111…111302…222(i=2,???,20)400…222=21X(-1)20+1X218=-21X218r+r::::::2000…0022100…000以上就是計算行列式最基本的兩種方法，接下來介紹的一些方法，不管是哪種，都要與行列式的性質(zhì)和基本方法結合起來。下面是一常用的方法：方法3遞推法應用行列式的性質(zhì)，把一個n階行列式表示為具有相同結構的較低階行列式（比如，n-1階或n-1階與n-2階等）的線性關系式，這種關系式稱為遞推關系式。根據(jù)遞推關系式及某個低階初始行列式（比如二階或一階行列式）的值，便可遞推求得所給n階行列式的值，這種計算行列式的方法稱為遞推法。［注意］用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結構如果沒有的話，即很難找出遞推關系式，從而不能使用此方法。例3，2003年福州大學研究生入學考試試題第二大題第10小題要證如下行列式等式：a+pap0001a+pap00Dn=0:1:a+p-:0:0:0001a+p證明：D=*"1-'"+1,其中a尹pna-p（雖然這是一道證明題，但我們可以直接求出其值，從而證之。）［分析］此行列式的特點是：除主對角線及其上下兩條對角線的元素外，其余的元素都為零，這種行列式稱“三對角”行列式［1］。從行列式的左上方往右下方看，即知D1與D具有相同的結構。因此可考慮利用遞推關系式計算。芷明：日按第1列展開，再將展開后的第二項中n-1階行列式按第一行展開有:D=（a+g）D—agD這是由D和D表示D的遞推關系式。若由上面的遞推關系式從n階逐階往低階遞推，計算較繁；之注意到上面的遞推關系式是由n-1階和n-2階行列式表示n階行列式，因此，可考慮將其變形為：D-aD=gD—agD=g(D—aD)或D—gD=aD—agD=a(D—gD)現(xiàn)可反復用低階代替高階，有：TOC\o"1-5"\h\zD—aD=g(D—aD)=g(D—aD)=g3(D—aD)

nn—1n—1n—2n—2n—3n—3n—4=...=gn—2(d—aD)=gn—2[(a+g)2-ag-a(a+g)]=gn(1)同樣有：D—gD=a(D—gD)=a2(D—gD)=aKD—gD)nn—1n—1n—2n—2n—3n—3n—4=...=an-2(D—gD)=an—2[(a+g)2-ag-g(a+g)]=an(2)因此當arg時由（1）（2）式可解得:證畢。［點評］雖然我們從一個行列式中可以看出有低階的相同的結構，然后得到一遞推關系式，但我們不要盲目亂代，一定要看清這個遞推關系式是否可以簡化我們的計算，如果不行的話，就要適當?shù)負Q遞推關系式，如本題。方法4加邊法（升階法）有時為了計算行列式，特意把原行列式加上一行一列再進行計算，這種計算行列式的方法稱為加邊法或升階法。當然，加邊后必須是保值的，而且要使所得的高一階行列式較易計算。要根據(jù)需要和原行列式的特點選取所加的行和列。加法適用于某一行（列）有一個相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分別為n-1個元素的倍數(shù)的情況。加邊法的一般做法是：1a.-a10.-0a.-a1n111n0a.-aba.-aa.-a111n1111nD=212n=0a.-a=ba.-an::212n2212na.-a::::::n1nn0a.-aba.-an1nnnn1nn特殊情況取a=a=…=a=1或b=b=…=b=112n12n當然加法不是隨便加一行一列就可以了。那么加法在何時才能應用呢？關鍵是觀察每行或每列是否有相同的因子。如下題：

例4、計算n階行列式：兇x2+1xxxx11212xxx2+1xxD=12212nxxxxx2+11212n［分析］我們先把主對角線的數(shù)都減1,這樣我們就可明顯地看出第一行為x1與x1,x2，…,xn相乘，第二行為X2與X］,x2，…，xn相乘，，第n行為xn與x「x2，…，xn相乘。這樣就知道了該行列式每行有相同的因子xi，x2,?,xn，從而就可考慮此法。°解加邊法最在的特點就是要找出每行或每列相同的因子，那么?加邊法最在的特點就是要找出每行或每列相同的因子，那么10D=0!x1x2+11xxx?..2x1x2?x22+1?:xnxx(i—1,…r_xr,n)1_xx110■x?20?1?■-xn-0-0■1x2xn2!10xx1xnx2?x2n+1—xn00?-11+n乙x2ii-100!x1x2?xnc+x(1=1,c+1…，n)10!01■??00■n-1+2Li—1x2i000?1n+1+1n［注意］在家一定要記住，升階之后，就可利用行列式的性質(zhì)把絕大部分元素化為零，然后再化為三角形行列式，這樣就達到了簡化計算的效果。方法5拆行（列）法由行列式拆項性質(zhì)知，將已知行列式拆成若干個行列式之積，計算其值，再得原行列式值，此法稱為拆行（列）法。由行列式的性質(zhì)知道，若行列式的某行（列）的元素都是兩個數(shù)之和，則該行列式可拆成兩個行列式的和，這兩個行列式的某行（列）分別以這兩數(shù)之一為該行（列）的元素，而其他各行（列）的元素與原行列式的對應行（列）相同，利用行列式的這一性質(zhì)，有時較容易求得行列式的值。例5、南開大學2004年研究生入學考試題第1大題，要求下列行列式的值：設n階行列式：aa--a11121naa--a21■22■2n■—1aa--an1n2nn

且滿足a=-a.,i,j=1,2,..?,n,對任意數(shù)b,求n階彳丁列式a+ba+b:a12a22+b+b:.a1n.a2n+b+b=?:a+ba+b.a+bn1n2nn吩析］該行列式的每個元素都是由兩個數(shù)的和組成，且其中有一個數(shù)是b,顯然用拆行(列)法。解./uT*a+ba+b…a+baa+b.a+bba+b…a+b11121n11121n121na+ba+b…a+baa+b.a+bba+b…a+bD=21n:222n=::21:22:2n+222n::::a+ba+b…a+baa+b.a+bba+b…a+bn1n2nnn1n2nnn2nnaa..-a+bab-a+b1a…a11121n111n121naa..-a+bab-a+b1a…a=2122::2n+21:::2n:+b:222n::aa.-a+bab-a+b1a…an1n2nnn1nnn2nnaa.-aa1…a1a…a11121n111n121naa.-aa1…a1a…a=2122::2n+b21:::2n:+…+b:222n::aa.-aa1…a1a…an1n2nnn1nnn2nn=1+b乙A+?..+bfA=1+bUA2i1iiji=1i=1i,j=1aa…a11121naa…a又令A=21222n且a=—a,ij=1,.,n:::ijjiaa…an1n2nn有：A==1,且A'=—A由A-1=得：|a|-A-1=A*即A*-A=E\a\:.A*=A-1又(A*)'=(A-1)'=(A')-1=-(A)-1=-A*A*也為反對稱矩陣又A(i,j=1,2,…，n)為A*的元素有LA=0F,E從而知：D=1+bLA=1i=1,j=1方法6數(shù)學歸納法一般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學歸納法給出猜想的證明。因此，數(shù)學歸納法一般是用來證明行列式等式。因為給定一個行列式，要猜想其值是比較難的，所以是先給定其值，然后再去證明。(數(shù)學歸納法的步驟大家都比較熟悉，這里就不再說了)例6.證明：2cos010-0012cos01-00012cos0-00sin(n+1)0(sin0尹0)D=-n:::::sin0000-2cos01000-12cos0證：當n=1,2時，有:sin(1+1)0D=2cos0=—1sin02cos01sin(2+1)0D==4cos20-1=212cos0sin0結論顯然成立?，F(xiàn)假定結論對小于等于n-1時成立。即有：Dsin(n一2+1)0。sin(n一1+1)0n-2sin0n-1sin0將D〃按第1列展開，得:2cos01?..002cos00?..0012cos0?..0012cos0?..00D=:!:!一:!:!n00?.?2cos0100?.?2cos0100?-12cos000?-12cos0(n-1)(n-1)=2cos0-D一Dn-1n一2八sin(n一1+1)0sin(n一2+1)0=2cos0-一sin0sin02cos0-sinn0一sin(n一1)0sin02cos0-sinn0一sinn0-cos0+cosn0-sin0sin0sinn0-cos0+cosn0-sin0=sin0sin(n+1)0sin0故當對n時，等式也成立。得證。接下來介紹一些特殊的行列式計算方法，但卻很實用。方法7析因法如果行列式D中有一些元素是變數(shù)x(或某個參變數(shù))的多項式，那么可以將行列式D當作一個多項式f(x)，然后對行列式施行某些變換，求出f(x)的互素的一次因式，使得f(x)與這些因式的乘積g(x)只相差一個常數(shù)因子C，根據(jù)多項式相等的定義，比較f(x)與g(x)的某一項的系數(shù)，求出C值，便可求得D=Cg(x)。那在什么情況下才能用呢？要看行列式中的兩行(其中含變數(shù)x)，若x等于某一數(shù)ai時，使得兩行相同，根據(jù)行列式的性質(zhì)，可使得D=0。那么x-ai便是一個一次因式，再找其他的互異數(shù)使得D=0，即得到與D階數(shù)相同的互素一次因式，那么便可用此法。例7.蘭州大學2004招收攻讀碩士研究生考試工試題第四大題第(1)小題。需求如下行列式的值。xaa?-a12naxa?-a12nD=::n+1aaa?-a123naaa?-x123［分析］根據(jù)該行列式的特點，當x=氣.i=1,2,...，n時，有Dn+1=0。但大家認真看一下，該行列式Dn+1是一個n+1次多項式，而這時我們只找出了n個一次因式x-氣.i=1,2,...，n，那么能否用析因法呢？我們再仔細看一下，每行的元素的和數(shù)都是一樣的，為：芫a+n那么我們從第2列開始到第n+1列都加到第1歹U，現(xiàn)提出公因式i-1羌a+x，這樣行列式的次數(shù)就降了一次。從而再考慮析因法。i=1解：￡a+xaa?-ai12ni=1￡a+xxa?-a1a1a?2-ani2n1xa?-aD=i=1:::=(￡a+x)::2:n:n+1￡i=11aa?-aa+xaa?-a23ni23n1aa?-xi=123￡a+xaa?-xi23i=1令:1aa…aTOC\o"1-5"\h\z2n1xa…a2nD="::n+11aa…a3n1aa?..x顯然當：x=a..i=1,2,…，n時，D'=0又D+1'為n次多項式?！?設D,=C(x一a)(x一a)…(x一a)n+112n又D+「中x的最高次項為xn,系數(shù)為1,C=1「.D'=(x_a)(x_a)…(x一a)n+112n因此得：(乙a+x)(x-a)(x-a［點評］該題顯然用析因法是最簡便，但大家不要一味地只找使它等于0的數(shù)，而該最多只能有n個數(shù)使它等于0，而行列式又是n+1階是一個n+1次多項式，從而我們想到的就

是得用行列式的性質(zhì)把行列式的次數(shù)降低一次，使得原n+1次多項式變?yōu)橐粋€一次多項式和一個n次多項式的乘積。進而便可求得其值。凡事要懂得變通，一道題不可能用一種方法就可以馬上解得。在析因法中，對于一個n次多項式，當你最多只能找出r個使其行列式為零時，就要把它化為一個n-r次多項式與一個r次多項式的乘積。但一般找出的使其行列式為零的個數(shù)與行列式的次數(shù)差太多時，不用本法。方法8.輔助行列式法輔助行列式法應用條件：行列式各行(列)和相等，且除對角線外其余元素都相同。解題程序：在行列式D的各元素中加上一個相同的元素x，使新行列式D*除主對角線外，其余元素均為0；計算D*的主對角線各元素的代數(shù)余子式A祈(i=1,2,...〃)；3)D=D-x丈A[1]i，j=1例8.大連理工大學2004年碩士生入學考試《高等代數(shù)》試題，第一大題填空題第2n???Dn???D=(D)+乙Aiji，j=1n(n~1)=(-1)2n(n-1)=(-1)2n-(1-n)n+乙Ai,n一i+1i=1n(n~1)-(1-n)n+(-1)2-n-(1-n)n-1小題需求下列n階行列式的值。11?-12-n1D=1?-2-n1n::::2-n1??11解：在Dn的各元素上加上(-1)后，0002-(Dn)*=0:0:2-n0::2-n000又A=A=…=An(n-1)=(-1)2n12,n-1n1n則有:n(n~1)=(-1)2-(1-n)n-(1-n)n-1，其余的為零。n(n-1)=(-1)2-(1-n)n-1[點評]若知道輔助行列式法的解題程序，用此法就可輕松地解出此題。但根據(jù)該行列式的特點，我們也可以用加邊法，把大部分元素化為零，再化為三角形行列式也可輕易解出該行列式。

以下幾種方法是利用到公式，所以有的方法在這只簡單地給出其應用，只要記住公式，會應用就行。Xaaa-abapp-pD=bp!ap!-p!n-!bppp-amm方法9利用拉普拉斯定理mmAnnCmn0Bmm=Ann-Bmm2)Ann0CnmBmm=Ann-Bmm0Ann=(—1)mn\aI-|b14)CnmAnn=(—1)mnAI-BBCnnmmB0nnmm拉普拉斯定理的四種特殊情形：UH5〕1)3)mmmn例9計算n階行列式：[1]解：Xaaa…abaa—ppp(i=2,,n—1)0p—aa0...0X—Xi+12!!!!:0000a—pX(n—1)aaa.aba+(n—2)ppp.pC+C00a—p0.02i(i=3,???n)000a—p.0Dna—p0?-0利用拉普X(n—1)a0a—p-?-0-拉斯定理ba+(n—2)p2x2!0!0!..a—p(n—2)x(n—2)0000…a—p=[Xa+人(n—2)P—ab(n—1)]-(a—P)n-2方法10.利用范德蒙行列式范德蒙行列式：

1111尤尤12尤2尤2Xn—1xn—112XX3nX2X2Xn—1xn—13n=n(x.-x.)1<j<i<n例10計算n階行列式[9](a—n+1)n—1(a—n+2)n—1…(a—1)n—1an—1(a—n+1)n-2D=:(a—n+2)n—2!…(a—1)n-2an-2::na—n+11a—n+21…a—1a?11(a--n+1)n—1(a—n+2)n—1(a—1)n—1an—1(aD=-n+1)n-2:(a—n+2)n—2:(a—1)n-2an-2::na—n+11a—n+21…a—1a…11解：顯然該題與范德蒙行列式很相似，但還是有所不同，所以先利用行列式的性質(zhì)把它化為范德蒙行列式的類型。先將的第n行依次與第n-1行，n-2行，?,2行，1行對換，再將得到到的新的行列式?,2行對換，繼續(xù)仿此作法，直到最后將第n行與第n-1行（n-2）+?+2+1=n（n-1）/2次行對換后，得到的第n行與第n-1行，n-2行，對換，這樣，共經(jīng)過（n-1）+n(n■—1)D=(—1)2an-2的第n行與第n-1行，n-2行，對換，這樣，共經(jīng)過（n-1）+an-2(a—n+1)n—1(a—n+2)n—1(a—1)n-1an-1上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的結果得:=Xn-m|XE-BAn(n—1)nn-—11)iD=(—1)211[(a—n+i)—(a—n+j)]=(—1)211(i—j)1<j<i<n1<j<i<n方法11利用矩陣行列式公式引理：設A為nxm型矩陣，B為mxn型矩陣，E，E分別表示n階，m階單位矩陣，則有det（E+BA）=1<j<i<n先引入一個證明題：[1]

設A,B分別是nxm和mxn矩陣，人0，證明：|入E-AB=Xn-m|xE—BA證明:(XEA設A,B分別是nxm和mxn矩陣，人0，證明：|入E-AB=Xn-m|xE—BA證明:(XEA、(E)(XE—ABA)nn=n3Em7〔-BEm7[0E7m兩邊取行列式得:XEnAEn0XEMABE—BE11BE入En0mmm—AB=lxEAB||eI=IXE—AB1

——AX(XEn1

——BAX1XE0XEAE——AXEAnnnX=n=1BEBEB—_BA+Em0EmXmmmBA1(XE—BA)=Xn—mXE一BA分別是nxm和mxn矩陣，X,IxE+ABI=Xnn-mlxE+BA樣兩邊取行列式有得證。0能否得到:答案是肯定的。有:—AIx有:—AIxE+AB(XE—A、(E0)(XE+AB—A、nn=nBE7—BE70E\m7\m7m7證:(1)(、E—AnX7(1)(、E—AnX7、0E/I—ABmmXEn1—BA+EXm/BXEn—A=IxE1—BA+E=Xn一mIxE+BABEnXmmmmABI=Xn-mIxE+BA即得：對A,B分別為nxm和mxn矩陣，X,0時，有:IxE+ABI=Xn—mIxE+BA則當x=1時，有：\e+AB1=Ie+BA...引理得證。例11.2003年全國碩士研究生入學考試數(shù)學試卷三第九題的解答中需要計算如下行列式的值。

a+b1a2a3…anaa+ba…a123nD=aaa+b…an123n::a:3aaa…a+b123na+baa…a123naa+ba..‘a(chǎn)解：令矩陣A=a'"aa+b…na123n::a:3aaa.a+b123n則可得：aaa…a123n(1)aaa…a123n1111A=bE+aaa…a=bE+II(a,a,…),a)n123nnI:I12n::a:I311Jaaa…a123na)=bEn+氣￡n其中B1=(11…1)r,C1=(a1,a2a)D=\bE+BC\=bn-ilb+CBI(1)LI)111/I:II'I11J...可得:D=bn-1(￡a+b)i=1方法12利用方陣特征值與行列式的關系。...可得:D=bn-1(￡a+b)i=1方法12利用方陣特征值與行列式的關系。［5也以例11為例解：a+baa…a123naa+ba…a123nM=aaa+b…an123n::a:3aaa…a+b123naaa…a123naaa…a123n=bE+aaa…a=bE+An123nn::a:3aaa…a123n顯然bE的n個特征值為b,b,...,b。ni=1~V~

n-1故M的特征值