隨機(jī)變量的數(shù)字特征課件

第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1.數(shù)學(xué)期望第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二、隨機(jī)變1引例1分賭本問題(產(chǎn)生背景)

A,B兩人賭技相同,各出賭金100元,并約定先勝三局者為勝,取得全部200元.由于出現(xiàn)意外情況,在A勝2局B勝1局時,不得不終止賭博,如果要分賭金,該如何分配才算公平?

注:1654年,一個騎士就此問題求教于帕斯卡,帕斯卡與費馬通信討論這一問題,共同建立了概率論的第一個基本概念------數(shù)學(xué)期望引例1分賭本問題(產(chǎn)生背景)A,B2在已賭過的三局(A勝2局B勝1局)的基礎(chǔ)上，若繼續(xù)賭A勝1/2B勝1/2A勝1/2B勝1/2A勝出的概率1/2+1/2*1/2=3/4

B勝出的概率1/2*1/2=1/4

在賭技相同的情況下,A,B最終獲勝的可能性大小之比為即A應(yīng)獲得賭金的而B只能獲得賭金的在已賭過的三局(A勝2局B勝1局)的基礎(chǔ)上，若繼續(xù)賭A3因而A期望所得的賭金即為X的“期望”值,等于X

的可能值與其概率之積的累加.即為若設(shè)隨機(jī)變量X為:在A勝2局B勝1局的前提下,繼續(xù)賭下去A最終所得的賭金.則X所取可能值為:其概率分別為:因而A期望所得的賭金即為X的“期望”值,等于X的可能值與4引例2(射擊問題)射手在同樣條件下進(jìn)行射擊，命中的環(huán)數(shù)為隨機(jī)變量，其分布律如下：求該射手平均每次命中的環(huán)數(shù)。

引例2(射擊問題)求該射手平均每次命中的環(huán)數(shù)。5數(shù)學(xué)期望又可以稱為期望，均值。離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望又可以稱為期望，均值。離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望6關(guān)于定義的幾點說明(1)E(X)是一個實數(shù),它是一種加權(quán)平均,也稱均值.(2)級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)的和不隨級數(shù)各項次序的改變而改變.關(guān)于定義的幾點說明(1)E(X)是一個實數(shù),它是一種加權(quán)7試問哪個射手技術(shù)較好?例1

誰的技術(shù)好?乙射手甲射手比一比試問哪個射手技術(shù)較好?例18解故甲射手的技術(shù)比較好.解故甲射手的技術(shù)比較好.9例2

投資理財決策某人現(xiàn)有10萬元現(xiàn)金進(jìn)行為期一年的投資，現(xiàn)有2種投資方案：一是購買股票，二是存入銀行獲利息。若買股票，則一年收益主要取決于全年經(jīng)濟(jì)形式好（概率30%）、中等（概率50%）、和差（概率20%）三種狀態(tài)，形式好就能獲利40000元，形式中等也能獲利10000元，形式差就要損失20000元。若存入銀行，則按8%的年利率獲得利息8000元。例2投資理財決策某人現(xiàn)有10萬元現(xiàn)金進(jìn)行為期一10解設(shè)X為投資利潤，則存入銀行的利息:故應(yīng)選擇股票投資.解設(shè)X為投資利潤，則存入銀行的利息:故應(yīng)選擇股票投資.110132p0.40.30.20.10132p0.40.30.20.11202123222p0.40.30.20.1-1153p0.40.30.20.102123222p0.40.30.20.1-1153p0.413例3

最優(yōu)訂購方案某商場訂購下一年的掛歷，零售價80元/本，進(jìn)價50元/本，若當(dāng)年賣不出去，則降價到20元/本全部銷售出去。根據(jù)往年經(jīng)驗，需求概率如下：在當(dāng)年售出150本、160本、170本和180本的概率分別為0.1，0.4，0.3，0.2。有以下四種訂購方案：(1)訂購150本；(2)訂購160本；(3)訂購170本；(4)訂購180本，請問哪種方案可使期望利潤最大？例3最優(yōu)訂購方案某商場訂購下一年的掛歷，零售價14(1)訂購150本:設(shè)隨機(jī)變量X表示該方案下的利潤(百元)(2)訂購160本:設(shè)隨機(jī)變量Y表示該方案下的利潤(百元)(1)訂購150本:設(shè)隨機(jī)變量X表示該方案下的利潤(百元)(15(3)訂購170本:設(shè)隨機(jī)變量Z表示該方案下的利潤(百元)(4)訂購180本:設(shè)隨機(jī)變量R表示該方案下的利潤(百元)選擇方案2或3，可使期望利潤最大。(3)訂購170本:設(shè)隨機(jī)變量Z表示該方案下的利潤(百元)(16連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望17例已知隨機(jī)變量在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布，求例已知隨機(jī)變量在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布，18第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征課件19例：對圓的直徑作近似測量，其值均勻分布在區(qū)間[a,b]上，求圓的面積的數(shù)學(xué)期望。例：對圓的直徑作近似測量，其值均勻分布在區(qū)間20第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征課件21例設(shè)隨機(jī)變量X~E(1)，求解

X的概率密度為

例設(shè)隨機(jī)變量X~E(1)，求解X的概率密度為22小結(jié)小結(jié)23三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

性質(zhì)1若C是常數(shù),則E(C)=C.性質(zhì)2若C是常數(shù),則E(C)=CE().三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)性質(zhì)1若C是常數(shù),則E(C)=C24分布期望分布期望25第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征課件26例

應(yīng)用數(shù)學(xué)期望提高工效醫(yī)院常用驗血的方法在人群中普查某種疾病。假設(shè)共有10個人驗血。有如下兩種方案：方案一：每個人的血分別化驗，要化驗10次；方案二：把這10個人的血液樣本混合起來進(jìn)行化驗。如果結(jié)果為陰性，則10個人只需化驗1次；若結(jié)果為陽性，則需對10個人再逐個化驗，總計化驗11次。假定人群中這種病的患病率p為10%，且每人患?。ㄑ夯灋殛栃裕┡c否是相互獨立的。試問：哪種方案工作效率更高？例應(yīng)用數(shù)學(xué)期望提高工效醫(yī)院常用驗血的方法在人群中普查某27解：設(shè)化驗次數(shù)為隨機(jī)變量X結(jié)論：分組化驗法的平均化驗次數(shù)少于逐一化驗法的次數(shù),提高了工效.方案一：X=10方案二：X的分布律為：解：設(shè)化驗次數(shù)為隨機(jī)變量X結(jié)論：分組化驗法的平均化驗次數(shù)少于28進(jìn)一步思考（1）當(dāng)人數(shù)為10時，方案一有沒有可能優(yōu)于方案二，此時對患病率p有什么要求？（2）當(dāng)患病率p=0.1時，要使方案二優(yōu)于方案一，對驗血人數(shù)有什么要求？進(jìn)一步思考（1）當(dāng)人數(shù)為10時，方案一有沒有可能優(yōu)于方案二，291、概率p對是否分組的影響若p=0.2，則當(dāng)p>0.2057時，E(X)>102、概率p對每組人數(shù)n的影響當(dāng)p=0.2時，可得出n<10.32，才能保證EX<10.當(dāng)p=0.1時，為使1、概率p對是否分組的影響若p=0.2，則當(dāng)p>0.205303方差一、隨機(jī)變量方差的概念二、隨機(jī)變量方差的計算三、隨機(jī)變量方差的性質(zhì)3方差一、隨機(jī)變量方差的概念二、隨31X2P235781/81/81/21/81/8X1P4561/41/21/4設(shè)有兩種球形產(chǎn)品，其直徑的取值規(guī)律如下：

兩種產(chǎn)品的直徑均值是相同的，但產(chǎn)品2的偏差大，如果需要使用直徑為5的產(chǎn)品，則產(chǎn)品1較產(chǎn)品2理想。引例一、隨機(jī)變量方差的概念若需要直徑為5的產(chǎn)品，選哪種產(chǎn)品較理想？X2P235732甲、乙兩門炮同時向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點距目標(biāo)的位置如圖：你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮因為乙炮的彈著點較集中在中心附近.

中心中心甲、乙兩門炮同時向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點距目標(biāo)的位置如331、方差的定義稱為均方差或標(biāo)準(zhǔn)差.即

方差刻畫了隨機(jī)變量的取值與數(shù)學(xué)期望的偏離程度,它的大小可以衡量隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定性.設(shè)是一隨機(jī)變量，如果存在，則稱為的方差，記作或.1、方差的定義稱為均方差或標(biāo)準(zhǔn)差.即方差刻342.方差的意義(1)方差是一個常用來體現(xiàn)隨機(jī)變量取值分散程度的量.如果值大,表示

取值分散程度大,

的代表性差;而如果

值小,則表示

的取值比較集中,以

作為隨機(jī)變量的代表性好.（2）若方差

，則隨機(jī)變量

恒取常數(shù)值。2.方差的意義(1)方差是一個常用來體現(xiàn)隨機(jī)變量取值35解

P4561/41/21/4例

設(shè)有一種球形產(chǎn)品，其直徑的取值規(guī)律如下：求。

解P4561/41/36第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征課件37離散型連續(xù)型小結(jié)：用定義計算設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為f(x)離散型連續(xù)型小結(jié)：用定義計算設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律382、（常用的）計算方差的簡化公式:2、（常用的）計算方差的簡化公式:39解

P4561/41/21/4例

設(shè)有一種球形產(chǎn)品，其直徑的取值規(guī)律如下：求。

解P4561/41/40第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征課件41三、方差的性質(zhì)C為常數(shù)a為常數(shù)三、方差的性質(zhì)C為常數(shù)a為常數(shù)42分布期望分布期望43第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征課件44第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征課件45第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征課件46第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征課件47第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征課件48第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1.數(shù)學(xué)期望第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二、隨機(jī)變49引例1分賭本問題(產(chǎn)生背景)

A,B兩人賭技相同,各出賭金100元,并約定先勝三局者為勝,取得全部200元.由于出現(xiàn)意外情況,在A勝2局B勝1局時,不得不終止賭博,如果要分賭金,該如何分配才算公平?

注:1654年,一個騎士就此問題求教于帕斯卡,帕斯卡與費馬通信討論這一問題,共同建立了概率論的第一個基本概念------數(shù)學(xué)期望引例1分賭本問題(產(chǎn)生背景)A,B50在已賭過的三局(A勝2局B勝1局)的基礎(chǔ)上，若繼續(xù)賭A勝1/2B勝1/2A勝1/2B勝1/2A勝出的概率1/2+1/2*1/2=3/4

B勝出的概率1/2*1/2=1/4

在賭技相同的情況下,A,B最終獲勝的可能性大小之比為即A應(yīng)獲得賭金的而B只能獲得賭金的在已賭過的三局(A勝2局B勝1局)的基礎(chǔ)上，若繼續(xù)賭A51因而A期望所得的賭金即為X的“期望”值,等于X

的可能值與其概率之積的累加.即為若設(shè)隨機(jī)變量X為:在A勝2局B勝1局的前提下,繼續(xù)賭下去A最終所得的賭金.則X所取可能值為:其概率分別為:因而A期望所得的賭金即為X的“期望”值,等于X的可能值與52引例2(射擊問題)射手在同樣條件下進(jìn)行射擊，命中的環(huán)數(shù)為隨機(jī)變量，其分布律如下：求該射手平均每次命中的環(huán)數(shù)。

引例2(射擊問題)求該射手平均每次命中的環(huán)數(shù)。53數(shù)學(xué)期望又可以稱為期望，均值。離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望又可以稱為期望，均值。離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望54關(guān)于定義的幾點說明(1)E(X)是一個實數(shù),它是一種加權(quán)平均,也稱均值.(2)級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)的和不隨級數(shù)各項次序的改變而改變.關(guān)于定義的幾點說明(1)E(X)是一個實數(shù),它是一種加權(quán)55試問哪個射手技術(shù)較好?例1

誰的技術(shù)好?乙射手甲射手比一比試問哪個射手技術(shù)較好?例156解故甲射手的技術(shù)比較好.解故甲射手的技術(shù)比較好.57例2

投資理財決策某人現(xiàn)有10萬元現(xiàn)金進(jìn)行為期一年的投資，現(xiàn)有2種投資方案：一是購買股票，二是存入銀行獲利息。若買股票，則一年收益主要取決于全年經(jīng)濟(jì)形式好（概率30%）、中等（概率50%）、和差（概率20%）三種狀態(tài)，形式好就能獲利40000元，形式中等也能獲利10000元，形式差就要損失20000元。若存入銀行，則按8%的年利率獲得利息8000元。例2投資理財決策某人現(xiàn)有10萬元現(xiàn)金進(jìn)行為期一58解設(shè)X為投資利潤，則存入銀行的利息:故應(yīng)選擇股票投資.解設(shè)X為投資利潤，則存入銀行的利息:故應(yīng)選擇股票投資.590132p0.40.30.20.10132p0.40.30.20.16002123222p0.40.30.20.1-1153p0.40.30.20.102123222p0.40.30.20.1-1153p0.461例3

最優(yōu)訂購方案某商場訂購下一年的掛歷，零售價80元/本，進(jìn)價50元/本，若當(dāng)年賣不出去，則降價到20元/本全部銷售出去。根據(jù)往年經(jīng)驗，需求概率如下：在當(dāng)年售出150本、160本、170本和180本的概率分別為0.1，0.4，0.3，0.2。有以下四種訂購方案：(1)訂購150本；(2)訂購160本；(3)訂購170本；(4)訂購180本，請問哪種方案可使期望利潤最大？例3最優(yōu)訂購方案某商場訂購下一年的掛歷，零售價62(1)訂購150本:設(shè)隨機(jī)變量X表示該方案下的利潤(百元)(2)訂購160本:設(shè)隨機(jī)變量Y表示該方案下的利潤(百元)(1)訂購150本:設(shè)隨機(jī)變量X表示該方案下的利潤(百元)(63(3)訂購170本:設(shè)隨機(jī)變量Z表示該方案下的利潤(百元)(4)訂購180本:設(shè)隨機(jī)變量R表示該方案下的利潤(百元)選擇方案2或3，可使期望利潤最大。(3)訂購170本:設(shè)隨機(jī)變量Z表示該方案下的利潤(百元)(64連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望65例已知隨機(jī)變量在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布，求例已知隨機(jī)變量在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布，66第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征課件67例：對圓的直徑作近似測量，其值均勻分布在區(qū)間[a,b]上，求圓的面積的數(shù)學(xué)期望。例：對圓的直徑作近似測量，其值均勻分布在區(qū)間68第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征課件69例設(shè)隨機(jī)變量X~E(1)，求解

X的概率密度為

例設(shè)隨機(jī)變量X~E(1)，求解X的概率密度為70小結(jié)小結(jié)71三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

性質(zhì)1若C是常數(shù),則E(C)=C.性質(zhì)2若C是常數(shù),則E(C)=CE().三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)性質(zhì)1若C是常數(shù),則E(C)=C72分布期望分布期望73第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征課件74例

應(yīng)用數(shù)學(xué)期望提高工效醫(yī)院常用驗血的方法在人群中普查某種疾病。假設(shè)共有10個人驗血。有如下兩種方案：方案一：每個人的血分別化驗，要化驗10次；方案二：把這10個人的血液樣本混合起來進(jìn)行化驗。如果結(jié)果為陰性，則10個人只需化驗1次；若結(jié)果為陽性，則需對10個人再逐個化驗，總計化驗11次。假定人群中這種病的患病率p為10%，且每人患?。ㄑ夯灋殛栃裕┡c否是相互獨立的。試問：哪種方案工作效率更高？例應(yīng)用數(shù)學(xué)期望提高工效醫(yī)院常用驗血的方法在人群中普查某75解：設(shè)化驗次數(shù)為隨機(jī)變量X結(jié)論：分組化驗法的平均化驗次數(shù)少于逐一化驗法的次數(shù),提高了工效.方案一：X=10方案二：X的分布律為：解：設(shè)化驗次數(shù)為隨機(jī)變量X結(jié)論：分組化驗法的平均化驗次數(shù)少于76進(jìn)一步思考（1）當(dāng)人數(shù)為10時，方案一有沒有可能優(yōu)于方案二，此時對患病率p有什么要求？（2）當(dāng)患病率p=0.1時，要使方案二優(yōu)于方案一，對驗血人數(shù)有什么要求？進(jìn)一步思考（1）當(dāng)人數(shù)為10時，方案一有沒有可能優(yōu)于方案二，771、概率p對是否分組的影響若p=0.2，則當(dāng)p>0.2057時，E(X)>102、概率p對每組人數(shù)n的影響當(dāng)p=0.2時，可得出n<10.32，才能保證EX<10.當(dāng)p=0.1時，為使1、概率p對是否分組的影響若p=0.2，則當(dāng)p>0.205783方差一、隨機(jī)變量方差的概念二、隨機(jī)變量方差的計算三、隨機(jī)變量方差的性質(zhì)3方差一、隨機(jī)變量方差的概念二、隨79X2P235781/81/81/21/81/8X1P4561/41/21/4設(shè)有兩種球形產(chǎn)品，其直徑的取值規(guī)律如下：

兩種產(chǎn)品的直徑均值是相同的，但產(chǎn)品2的偏差大，如果需要使用直徑為5的產(chǎn)品，則產(chǎn)品1較產(chǎn)品2理想。引例一、隨機(jī)變量方差的概念若需要直徑為5的產(chǎn)品，選哪種產(chǎn)品較理想？X2P235780甲、乙兩門炮同時向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點距目標(biāo)的位置如圖：你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮因為乙炮的彈著點較集中在中心附近.

中心中心甲、乙兩門炮同時向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點距目標(biāo)的位置如811、方差的定義稱為均方差或標(biāo)準(zhǔn)差.即

方差刻畫了隨機(jī)變量的取值與數(shù)學(xué)期望的偏離程