圖像的恢復(fù)與重構(gòu)課件

第五章圖像的恢復(fù)與重構(gòu)

什么是圖像退化：圖像的質(zhì)量變壞叫做退化。退化的形式有圖像模糊、圖像有干擾等。圖像退化的處理方法：無論是由光學(xué)、光電或電子方法獲得的圖像都會有不同程度的退化；退化的形式多種多樣。如傳感器噪聲、攝像機(jī)未聚焦、物體與攝像設(shè)備之間的相對移動、隨機(jī)大氣湍流、光學(xué)系統(tǒng)的相差、成像光源或射線的散射等；如果我們對退化的類型、機(jī)制和過程都十分清楚，那么就可以利用其反過程來復(fù)原圖像。典型的圖像復(fù)原方法是根據(jù)圖像退化的先驗(yàn)知識建立一個退化模型，以此模型為基礎(chǔ)，采用濾波等手段進(jìn)行處理，使得復(fù)原后的圖像符合一定的準(zhǔn)則，達(dá)到改善圖像質(zhì)量的目的。第五章圖像的恢復(fù)與重構(gòu)什么是圖像退化：圖像的質(zhì)量變1一、圖像退化模型f(i,j)：原始圖像g(i,j)：降質(zhì)圖像T(·)：成像系統(tǒng)的作用，則：g(x,y)=T[f(x,y)]設(shè)T是線性移不變的。一幅連續(xù)的圖像f(x,y)可以用抽樣函數(shù)的二維卷積表示：因此，令h(x,α;y,β)=T[δ(x-α,y-β)]，則有：定義于不在原點(diǎn)的二維δ函數(shù)由于f(α,β)與x，y沒有關(guān)系一、圖像退化模型f(i,j)：原始圖像因此，定義于不在原點(diǎn)2稱h(x,α;y,β)為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(PSF)或系統(tǒng)沖擊響應(yīng)。多數(shù)情況下它表現(xiàn)為時不變的，反映在圖像中為位移不變的，則h(x,α;y,β)可以表示為h(x-α,y-β)其中*表示卷積運(yùn)算。如果T(·)是一個h可分離系統(tǒng)，即：h(x,α;y,β)=h1(x,α)h2(y,β)則二維運(yùn)算可以分解為列和行兩次一維運(yùn)算來代替。在加性噪聲情況下，圖像退化模型可以表示為：g(x,y)=f(x,y)*h(x,y)+n(n,y)其中n(x,y)為噪聲圖像。

稱h(x,α;y,β)為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(PSF)或系統(tǒng)沖擊響3二、離散圖像退化模型對于圖像降質(zhì)過程進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，設(shè)：f(i,j)為原始圖像；y(i,j)為降質(zhì)圖像；h(i,j;k,l)為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)；圖像為M×N維。有假設(shè)為空間不移變h(i,j;k,l)，則：二、離散圖像退化模型對于圖像降質(zhì)過程進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，設(shè)：假設(shè)為4線性位移不變的圖像退化模型則表示為：

g(x,y)=f(x,y)*h(x,y)+n(x,y)結(jié)論：如果已知g(x,y)、n(x,y)、h(x,y)，則f(x,y)可以計算出來。對等式兩端取傅立葉變換有：G(u,v)=F(u,v)H(u,v)+N(u,v)F(u,v)=(G(u,v)-N(u,v))/H(u,v)f(x,y)=F-1[F(u,v)]g(x,y)f(x,y)n(x,y)h(x,y)+線性位移不變的圖像退化模型則表示為：結(jié)論：如果已知g(x,y5三、循環(huán)矩陣及傅立葉化一個一維離散序列通過一個系統(tǒng)發(fā)生失真的過程可用下圖表示f=H-1[g-n]用矩陣表示，可以寫成

g(x)f(x)n(x)h(x)+如果考慮加性噪聲，根據(jù)離散序列的卷積定理，有擴(kuò)展為周期為M的序列三、循環(huán)矩陣及傅立葉化一個一維離散序列通過一個系統(tǒng)發(fā)生失真的6由于離散卷積的周期性，有he(x)=he(x+M)，H可以寫成H是一個循環(huán)陣。結(jié)論：離散卷積都可以寫成：輸入矩陣×循環(huán)矩陣！對數(shù)字圖象的二維離散函數(shù)也是如此。對圖像退化模型而言，有A=5B=5M=9M=9由于離散卷積的周期性，有he(x)=he(x+M)，H可以寫7用矩陣形式表示上式：g=Hf+n

g、f和n分別表示M×N的函數(shù)矩陣ge(i,j)、fe(i,j)和ne(i,j)的各行前后相連而成的列矢量(堆疊矢量)。如果假設(shè)原始圖像是M×N維矩陣，則H是MN×MN循環(huán)矩陣，且H是一個分塊(M×M個)循環(huán)矩陣：每一個子矩陣Hi自身也是循環(huán)矩陣N×N：=+MN×1MN×MNMN×1MN×1用矩陣形式表示上式：g=Hf+n每一個子矩陣Hi自身也是循81、一維信號序列循環(huán)矩陣的對角化和傅立葉化解矩陣方程：f=H-1[g-n]最簡單的計算方法就是對角化，H→H-1也是對角陣。對角化H的方法——求取其特征值和特征矢量。對循環(huán)矩陣而言，設(shè)：其有M個特征值和特征矢量。由于w(k)是由傅立葉系數(shù)構(gòu)成的，因此w(k)彼此是正交的。所以，由w(k)構(gòu)成的變換矩陣是可逆的。1、一維信號序列循環(huán)矩陣的對角化和傅立葉化解矩陣方程：f=9用特征矢量組成的矩陣：W=[w(0),w(1)…w(M-1)]生成對角矩陣D：D=W-1HW；且D(k,k)=λ(k)。而根據(jù)周期性，M–i=-i湊一個常數(shù)所以H=WDW-1用特征矢量組成的矩陣：W=[w(0),w(1)…w(M-1)10對g=Hf+n而言，可以寫成g=WDW-1f+n，有W－1g=DW-1f+W－1n；其中對

W-1g列矢量的每一行G(k)而言，有對W-1f列矢量的每一行F(k)而言對W-1n而言有同樣的結(jié)果。所以對W－1g=DW-1f+W－1n而言，G(u)=MH(u)F(u)+N(u)。上面的過程稱之為循環(huán)矩陣的傅立葉化。對g=Hf+n而言，可以寫成g=WDW-1f+n，有W－111如果圖像的g、f、n采用堆疊矢量的方法構(gòu)成，g=Hf+n。同一維的情況類似，不同的地方是H為塊循環(huán)矩陣，以及其中的傅立葉變換是二維的，但最后結(jié)論是一樣的。G(u)=MH(u)F(u)+N(u)——一維情況下的結(jié)論G(u,v)=MNH(u,v)F(u,v)+N(u,v)——二維情況下的結(jié)論在實(shí)際應(yīng)用中，認(rèn)為f(x,y)、h(x,y)、g(x,y)、n(x,y)的維數(shù)是相等的。F(u,v)=[G(u,v)-N(u,v)]/MNH(u,v)f(x,y)=F-1[F(u,v)]2、二維信號序列塊循環(huán)矩陣的對角化和傅立葉化=+如果圖像的g、f、n采用堆疊矢量的方法構(gòu)成，g=Hf+n。123、H(u,v)的獲取要知道一個圖象降質(zhì)系統(tǒng)的H(u,v)是一件非常困難的事情。但因?yàn)閒(x,y)*h(x,y)=g(x,y)，有F(u,v)H(u,v)=G(u,v)如果f(x,y)=δ(x,y)，F(xiàn)[δ(x,y)]=1則H(u,v)=G(u,v)所以，可以用實(shí)驗(yàn)的方法得到h(x,y)和H(u,v)；H(u,v)可用點(diǎn)源的輸出圖像的傅立葉變換來近似。另外，有一些圖象降質(zhì)系統(tǒng)的H(u,v)有固定的或近似的數(shù)學(xué)模型。3、H(u,v)的獲取要知道一個圖象降質(zhì)系統(tǒng)13四、常見的線性移不變降質(zhì)算子運(yùn)動模糊：通常在拍攝過程中，相機(jī)或物體移動造成的運(yùn)動模糊可以用一維均勻鄰域像素灰度的平均值來表示：

大氣擾動模糊：這種模糊經(jīng)常出現(xiàn)在遙感和航空攝影中，由于曝光時間過長引起的模糊可用高斯點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)來表示：式中K是一個歸一化常數(shù)，保證模糊的大小為單位值，σ2可以決定模糊的程度。四、常見的線性移不變降質(zhì)算子運(yùn)動模糊：通常在拍攝過程中，相機(jī)14均勻不聚焦模糊這是由于相機(jī)聚焦不準(zhǔn)確引起的，雖然不聚焦由許多參數(shù)決定，如相機(jī)的焦距、相機(jī)光圈的大小、形狀、物體和相機(jī)之間的距離等，但在研究中為了簡單起見，我們用下列函數(shù)表示聚焦不準(zhǔn)引起的模糊：均勻二維模糊這是最常見的一種模糊，可以用來近似聚焦不準(zhǔn)引起的模糊：其中L是奇數(shù)。均勻不聚焦模糊15五、無約束恢復(fù)逆濾波對于圖像退化模型：g(x,y)=f(x,y)*h(x,y)+n(x,y)兩邊取傅立葉變換：G(u,v)=F(u,v)H(u,v)+N(u,v)

H(u,v)又稱為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)(或?yàn)V波函數(shù))，它使圖像退化。在無噪聲的情況下，上式可以簡化為：

G(u,v)=F(u,v)H(u,v)F(u,v)=G(u,v)/H(u,v)

這種1/H(u,v)的形式稱為逆濾波。再進(jìn)行傅立葉逆變換就可以得到f(x,y)。五、無約束恢復(fù)逆濾波16什么是無約束恢復(fù)當(dāng)對噪聲一無所知時，使n無約束的小。由于g=Hf+n，假設(shè)通過恢復(fù)可以得到一個不錯的f的估計f’。顯然，f’應(yīng)滿足關(guān)系g－Hf’＝n，我們希望n盡可能的小。于是問題轉(zhuǎn)化為f’在什么情況下n最小——對矩陣而言就是它的跡(對角線之和)的平方最小。什么是無約束恢復(fù)當(dāng)對噪聲一無所知時，使n無約束的小。17實(shí)際情況中，噪聲是不可避免的，因而只能求F(u,v)的估計值：

如果H(u,v)有許多零點(diǎn)，必然使得復(fù)原的結(jié)果受到極大影響?；蛘呷绻鸋(u,v)不為零但是有非常小的值，也即病態(tài)條件，也會使復(fù)原效果受到影響。解決這個問題的方法是避開H(u,v)的零點(diǎn)。幸好一般的H(u,v)在低頻附近的有限區(qū)域內(nèi)不為零。因此逆濾波可以在原點(diǎn)附近進(jìn)行，相當(dāng)于在頻域乘上一低通窗口函數(shù)W(u,v)。

實(shí)際情況中，噪聲是不可避免的，因而只能求F(u,v)的估計值18為了防止隨著u、v的增大H(u,v)的迅速減小而增設(shè)一些條件由于截斷地原因，被恢復(fù)的圖象振鈴較大。一種改進(jìn)的方法是取(?)其中，d、k均為小于1的常數(shù)。逆濾波的應(yīng)用條件：退化圖像g(x,y)是信噪比較高的圖像。設(shè)：為了防止隨著u、v的增大H(u,v)的迅速減小而增設(shè)一些條件19對降質(zhì)圖像g=Hf+n而言，所謂恢復(fù)可以看成是對g通過某種線性變換L而得到原圖像的估計值f’。其中，L是H的某種逆過程。如果f’與f之間的差滿足某些條件——約束條件，例如：滿足給定的均方誤差，則稱該圖像被恢復(fù)了。六、有約束恢復(fù)(某種準(zhǔn)則)的一般公式噪聲是獨(dú)立的，與圖像不相關(guān)。求其期望應(yīng)為0。期望值越小，其跡也越小對降質(zhì)圖像g=Hf+n而言，所謂恢復(fù)可以看成是對g通過某種線20因此對求跡而言，式中第2項(xiàng)和第3項(xiàng)的相等，有問題轉(zhuǎn)化為：L等于什么時，均方誤差最小。由此可得最佳L：0000將Rf，Rn看成是一個循環(huán)塊矩陣，對其進(jìn)行對角化，有：圖像的相關(guān)度約為20－30個象素合理的假設(shè)因此對求跡而言，式中第2項(xiàng)和第3項(xiàng)的相等，有問題轉(zhuǎn)化為：L等21由最佳L：可得兩邊乘以W和W-1：又因?yàn)楫?dāng)D為對角陣時有所以當(dāng)L為分塊循環(huán)矩陣時，WLW-1也是一對角陣。其對角線上元素的值為循環(huán)序列(“主值”序列)的傅立葉變換值。同理，D，D*，A，B都為對角陣，其對角線上的元素的值為對應(yīng)循環(huán)序列(“主值”序列)的傅立葉變換值。于是上式可以寫成標(biāo)量形式合理的假設(shè)f’(x,y)=g(x,y)*l(x,y)由最佳L：可得兩邊乘以W和W-1：又因?yàn)楫?dāng)D為對角陣時有所以22七、維納濾波恢復(fù)基本原理研究發(fā)現(xiàn)，逆濾波復(fù)原方法對噪聲極為敏感，要求信噪比較高(100以上)，通常不滿足該條件。因此希望找到一種方法，在有噪聲條件下，從退化圖像g(x,y)復(fù)原出f(x,y)的估計值f’(x,y)，該估計值應(yīng)符合一定的準(zhǔn)則。用向量f,g,n來表示f(x,y),g(x,y),n(x,y)，Q為對f’的線性算子，在約束條件||g-Hf’||2=||n||2下求Qf’的最小化||Qf’||2而得到f的最佳估計f’。七、維納濾波恢復(fù)基本原理23用拉格朗日法求解設(shè)Rf和Rn為f和n的相關(guān)矩陣，根據(jù)前述分析結(jié)果：若QTQ用Rf－1Rn來代替，有：拉格朗日系數(shù)用拉格朗日法求解設(shè)Rf和Rn為f和n的相關(guān)矩陣，根據(jù)前述分析24當(dāng)D為對角陣，分塊循環(huán)矩陣為因此：寫成標(biāo)量形式為：統(tǒng)計量的得到是非常困難的一件事。其中Sf(u,v),Sn(u,v)分別是f(x,y)和n(x,y)的功率譜。當(dāng)D為對角陣，分塊循環(huán)矩陣為因此：統(tǒng)計量的得到是非常困難的一25在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)噪聲情況未知時八、最小平方(最大平滑)恢復(fù)與維納濾波恢復(fù)的不同在于QTQ的選擇。維納濾波中QTQ用Rf－1Rn，根據(jù)前面的推導(dǎo)，其依據(jù)的準(zhǔn)則為均方誤差最小。而最小平方恢復(fù)依據(jù)的準(zhǔn)則為換言之：在約束條件||g-Hf’||2=||n||2條件下，恢復(fù)出來的圖像的梯度最小(或稱最大平滑)。根據(jù)此條件選擇Q。在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)噪聲情況未知時八、最小平方(最大平滑)恢復(fù)換26由圖像增強(qiáng)一章可知，對圖像求梯度可用如下操作如果f(x,y)尺寸是A×B，則圖像與p(x,y)相卷的結(jié)果后的圖像為M×N，M≥A+3-1，N≥B+3-1。構(gòu)造p(x,y)、f(x,y)的擴(kuò)展周期圖像pe(x,y)與fe(x,y)做卷積。*************************0-10-14-10-10由圖像增強(qiáng)一章可知，對圖像求梯度可用如下操作如果f(x,y)27如果圖像的g、f采用堆疊矢量的方法構(gòu)成，有g(shù)=CfMN×1MN×MNMN×1=對C進(jìn)行對角化，有E=W-1CW在約束條件||g-Hf’||2=||n||2條件下，恢復(fù)出來的圖像的梯度最小(或稱最大平滑)。根據(jù)此條件選擇Q。如果圖像的g、f采用堆疊矢量的方法構(gòu)成，有g(shù)=CfMN×128令Q＝C根據(jù)有：左乘W-1，有根據(jù)對角化的討論，有與維納濾波不同此值為已知，不是統(tǒng)計量。剩下的問題是對s的估測。構(gòu)造殘差矢量r=g-Hf’，調(diào)節(jié)s使其滿足||r||2=||n||2±a(a是一個準(zhǔn)確度系數(shù))。賦給s某個初始值；計算f’和||r||2。如果滿足||r||2=||n||2±a，停止計算；如果||r||2<||n||2-a，增加s，繼續(xù)計算；如果||r||2>||n||2+a，減少s，繼續(xù)計算。點(diǎn)對點(diǎn)計算令Q＝C根據(jù)29九、幾何失真校正在不同條件下拍攝的圖像，一個物體的圖像常會發(fā)生幾何失真，出現(xiàn)歪斜變形的現(xiàn)象。從太空中宇航器拍攝的地球上的等距平行線，其圖像會變?yōu)橥嵝被虿坏染?；用光學(xué)和電子掃描儀攝取的圖像常會有桶形失真和枕形失真；用普通的光學(xué)攝影與測試?yán)走_(dá)拍攝的同一地區(qū)的景物二者在幾何形狀上有較大的差異。以一幅圖像為基準(zhǔn)，去校正另一種方式攝入的圖像，以期校正其幾何失真，就叫做圖像的幾何失真復(fù)原或者幾何失真校正。九、幾何失真校正在不同條件下拍攝的圖像，一個物體的圖像常會發(fā)301、空間變換幾何基準(zhǔn)圖像的坐標(biāo)系統(tǒng)用f(x,y)來表示需要校正的圖像的坐標(biāo)系統(tǒng)用g(x’,y’)表示設(shè)兩個圖像坐標(biāo)系統(tǒng)之間的關(guān)系用解析式表示x’=s(x,y)y’=t(x,y)通常s(x,y)和t(x,y)用多項(xiàng)式來表示：1、空間變換幾何基準(zhǔn)圖像的坐標(biāo)系統(tǒng)用f(x,y)來表示31

通常用線性失真來近似較小的幾何失真x’=a0+a1x+a2yy’=b0+b1x+b2y更精確一些可以用二次型來近似x’=a0+a1x+a2y+a3x2+a4xy+a5y2y’=b0+b1x+b2y+b3x2+b4xy+b5y2若基準(zhǔn)圖像為f(x,y)，失真圖像為g(x’,y’)，對于景物上的同一個點(diǎn)，假定其灰度不變，則f(x,y)=g(x’,y’)，可利用已知點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)構(gòu)造方程組求取ai、bj。幾何失真復(fù)原的一套方法也可以用于使圖像失真的工作中：在廣告制作和計算機(jī)動畫中常常要使物體變形。假設(shè)的變形關(guān)系通常用線性失真來近似較小的幾何失真假設(shè)的變形關(guān)系322、灰度插值有時會遇到知道兩點(diǎn)灰度值，要計算兩點(diǎn)之間點(diǎn)的灰度值問題，如加大圖像尺寸等。兩點(diǎn)之間點(diǎn)的灰度值問題——灰度差值問題。雙線性差值法g(E)=(xE-xA)[g(B)-g(A)]+g(A)g(F)=(xF-xC)[g(D)-g(C)]+g(C)g(H)=(yH-yA)[g(C)-g(A)]+g(A)g(I)=(yI-yB)[g(D)-g(B)]+g(B)x3×37×7ABCDEFyIH02、灰度插值有時會遇到知道兩點(diǎn)灰度值，要計算兩點(diǎn)之間點(diǎn)的灰度33十、圖像質(zhì)量的優(yōu)劣的客觀指標(biāo)圖像質(zhì)量的優(yōu)劣既可以通過人眼主觀視覺效果來判斷，也可以通過客觀指標(biāo)來衡量。1、均方誤差(MSE)：2、峰值信噪比(PSNR)：其中M、N分別是x方向、y方向圖像像素點(diǎn)的個數(shù)，f(i,j)和f’(i,j)分別是原始圖像和測試圖像在(i,j)點(diǎn)上的取值，L是圖像中灰度取值的范圍，對8比特的灰度圖像而言，L=255。十、圖像質(zhì)量的優(yōu)劣的客觀指標(biāo)圖像質(zhì)量的優(yōu)劣既可以通過人眼主觀343、模糊信噪比(BSNR,theBlurredSignal-to-NoiseRatio)

表示由模糊和疊加噪聲引起的降質(zhì)程度。3、模糊信噪比(BSNR,theBlurredSig35

ISNR只是評價圖像恢復(fù)算法好壞的一個客觀指標(biāo)，ISNR高并不一定主觀視覺效果好。4、信噪比的改善度量ISNR(theImprovementinSNR)ISNR只是評價圖像恢復(fù)算法好壞的一個客觀指標(biāo)，ISNR36十一、圖象的重構(gòu)——從投影數(shù)據(jù)重構(gòu)圖象在我們觀察的圖象中，有一部分是通過數(shù)據(jù)人為構(gòu)造的圖象，如：CT圖象、地址斷面圖象、安全檢查設(shè)備輸出的圖象等。其中一類是由投影信息重構(gòu)的圖象——本節(jié)的重點(diǎn)。1917年，奧地利數(shù)學(xué)家J.Radon證明了二維或三維物體可以從許多投影來重構(gòu)其內(nèi)部的數(shù)據(jù)。1963年，美國科學(xué)家A.M.Cormack首先將這一理論用于醫(yī)學(xué)圖象重構(gòu)；1972年，英國科學(xué)家G.N.Homsfield設(shè)計出第一臺X射線掃描儀ComputerTomgraph——CT。二人于1979年雙雙獲諾貝爾醫(yī)學(xué)獎。十一、圖象的重構(gòu)——從投影數(shù)據(jù)重構(gòu)圖象在我們觀察的圖象中，有371、投影數(shù)據(jù)平行光按傳輸方向投射到一個物體后，在垂直于平行光傳輸方向的平面上生成影象稱為投影；用某種傳感器取得的投影影象的數(shù)據(jù)稱為投影數(shù)據(jù)。不同物質(zhì)組合體的視圖自然光投影視圖X射線投影視圖片狀X射線投影視圖最后一幅圖象的數(shù)據(jù)就是重構(gòu)斷面圖象的投影數(shù)據(jù)。顯然，僅憑這組數(shù)據(jù)不能得到斷面圖象(里面物體的方園無法判斷)，我們需要更多的數(shù)據(jù)。1、投影數(shù)據(jù)平行光按傳輸方向投射到一個物體后，在垂直于平行光382、物質(zhì)對X射線的吸收研究表明：當(dāng)強(qiáng)度為I0的X射線通過吸收率為μ(x)的物體時，有下面的關(guān)系：μ(x)xabI0III00計算機(jī)采樣示意圖基準(zhǔn)檢測器檢測器物體+I0lnI0lnI+-A/D2、物質(zhì)對X射線的吸收研究表明：當(dāng)強(qiáng)度為I0的X射線通過吸收393、由投影數(shù)據(jù)重構(gòu)圖像——簡單方法對應(yīng)一個吸收率不均勻物質(zhì)，μ(x,y)不為常數(shù)?？煞窀鶕?jù)得到的投影值求得μ(x,y)？——結(jié)論：如果μ(x,y)已知，既可以重構(gòu)圖象。方法一：解聯(lián)立方程法設(shè)每個網(wǎng)格中的吸收系數(shù)為x1～

xN，第i條射線與第xj個象素的相交長度為aij(可以計算得出)，代表第j個像素沿第i條射線的貢獻(xiàn)的權(quán)值。如果用pi(θk)表示沿射線方向在射線角度為θk時的總吸收測量值，則可通過解方程組的方法得到x1～

xN。長度aij可以計算出來，只要找出63個獨(dú)立方程即可。1第i條射線第j個像素接收器23N553、由投影數(shù)據(jù)重構(gòu)圖像——簡單方法對應(yīng)一個吸收率不均勻物質(zhì)，40方法二：疊代法被照射物質(zhì)內(nèi)的某一確切位置的吸收函數(shù)值是固定的。構(gòu)造疊代公式進(jìn)行疊代計算，其收斂值應(yīng)是吸收函數(shù)值。上次求得的μk(i,j)值某角度為θ時的投影數(shù)據(jù)值某角度為θ時射線經(jīng)過的像元數(shù)之和同一投影線路上的上次μk(i,j)值之和2.5+(3-5)/2=1.52.5+(7-5)/2=3.5給定疊代結(jié)束條件：μ1μ1μ1μ12.52.52.52.53.53.51.51.53.752.752.251.253.5321.542.752.25143213725364154給定初值2.5方法二：疊代法被照射物質(zhì)內(nèi)的某一確切位置的吸收函數(shù)值是固定的414、投影定理和傅立葉重構(gòu)xysstp(s,θ)θf(x,y)X射線方向1)、構(gòu)造兩個坐標(biāo)系，相交成θ角。根據(jù)解析幾何的知識有根據(jù)投影數(shù)據(jù)重構(gòu)圖像的理論進(jìn)行圖像重構(gòu)。4、投影定理和傅立葉重構(gòu)xysstp(s,θ)θf(x,y)422)、尋找p(s,θ)與f(s,t)之間的關(guān)系根據(jù)X射線與物體吸收率的關(guān)系有：3)、求投影p(s,θ)在某一θ時對s的傅立葉變換：其中，T=0。可以寫成F(S,T)=F(S,0)角度θ固定后，p(s,θ)的傅立葉變換＝s軸上各點(diǎn)的傅立葉變換。xysstp(s,θ)θf(x,y)X射線方向L沿L方向的微分2)、尋找p(s,θ)與f(s,t)之間的關(guān)系根據(jù)X射線與物434)、尋找f(x,y)與p(s,θ)、f(s,t)之間的關(guān)系由于吸收值與座標(biāo)系統(tǒng)無關(guān)(僅差坐標(biāo)變換系數(shù))，有：對f(x,y)和f(s,t)的傅立葉變換為：將(1)代入(2)有(雅可比行列式＝1，dxdy=dsdt)：雅可比行列式4)、尋找f(x,y)與p(s,θ)、f(s,t)之間的關(guān)44觀察傅立葉變換公式，與(3)比較，恰好滿足旋轉(zhuǎn)公式這個變換是頻域的一個旋轉(zhuǎn)變換，于是有投影定理(以前圖所示)：某角度投影數(shù)據(jù)對s的傅立葉變換＝s軸上對應(yīng)點(diǎn)的傅立葉變換。對比觀察傅立葉變換公式，與(3)比較，恰好滿足旋轉(zhuǎn)公式這個變換是455、傅立葉重建原理如果已知F(X,Y)，則該式即為重構(gòu)圖象的生成公式。雅可比行列式5、傅立葉重建原理如果已知F(X,Y)，則該式即為重構(gòu)圖象的46實(shí)際應(yīng)用中往往采用下面的方法公式F(S,T)=P(S,θ)=F(S,0)T=0告訴我們：通過采樣數(shù)據(jù)得到的傅立葉變換值，實(shí)際上是x-y座標(biāo)系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)θ角度后在s-t座標(biāo)系統(tǒng)中s軸上數(shù)據(jù)的傅立葉變換，如下圖所示。如果要得到真正圖象的傅立葉變換，需對下圖做適當(dāng)?shù)男薷?。XYYX實(shí)際應(yīng)用中往往采用下面的方法公式F(S,T)=P(S,θ)47一般用線性內(nèi)插公式計算(X,Y)座標(biāo)點(diǎn)上的值。式中：C為直角坐標(biāo)定位點(diǎn)；P1，P2，P3，P4為與C點(diǎn)距離最近之四點(diǎn)之值；d1，d2，d3，d4為C點(diǎn)與P1，P2，P3，P4四點(diǎn)的距離。對于直角坐標(biāo)定位點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)座標(biāo)軸上之點(diǎn)，可采用零級內(nèi)插公式得到：CXY得到頻域圖象后，對其進(jìn)行反變換，即可得到f(x,y)。最近點(diǎn)的傅立葉變換值一般用線性內(nèi)插公式計算(X,Y)座標(biāo)點(diǎn)上的值。式中：C為直角486、卷積反投影重建原理對空域圖象而言，有空域、頻域座標(biāo)對應(yīng)關(guān)系為xystθf(x,y)φXYSTθF(X,Y)r6、卷積反投影重建原理對空域圖象而言，有空域、頻域座標(biāo)對應(yīng)關(guān)49根據(jù)傅立葉重建公式及座標(biāo)變換式，有P(S,θ)乘以|S|等效為兩個時域函數(shù)的卷積。P(S,θ)的傅立葉反變換是投影數(shù)據(jù)p(s,θ)；而其余部分可設(shè)為h(s)，即于是根據(jù)傅立葉重建公式及座標(biāo)變換式，有P(S,θ)乘以|S|等效507、核函數(shù)是什么樣子根據(jù)|S|=(X2+Y2)1/2，可知XY|S|sh(s)h(s)sh(s)sX|S||S|X|S|X|S|Xh(s)s7、核函數(shù)是什么樣子根據(jù)|S|=(X2+Y2)1/2，可知51第五章圖像的恢復(fù)與重構(gòu)

什么是圖像退化：圖像的質(zhì)量變壞叫做退化。退化的形式有圖像模糊、圖像有干擾等。圖像退化的處理方法：無論是由光學(xué)、光電或電子方法獲得的圖像都會有不同程度的退化；退化的形式多種多樣。如傳感器噪聲、攝像機(jī)未聚焦、物體與攝像設(shè)備之間的相對移動、隨機(jī)大氣湍流、光學(xué)系統(tǒng)的相差、成像光源或射線的散射等；如果我們對退化的類型、機(jī)制和過程都十分清楚，那么就可以利用其反過程來復(fù)原圖像。典型的圖像復(fù)原方法是根據(jù)圖像退化的先驗(yàn)知識建立一個退化模型，以此模型為基礎(chǔ)，采用濾波等手段進(jìn)行處理，使得復(fù)原后的圖像符合一定的準(zhǔn)則，達(dá)到改善圖像質(zhì)量的目的。第五章圖像的恢復(fù)與重構(gòu)什么是圖像退化：圖像的質(zhì)量變52一、圖像退化模型f(i,j)：原始圖像g(i,j)：降質(zhì)圖像T(·)：成像系統(tǒng)的作用，則：g(x,y)=T[f(x,y)]設(shè)T是線性移不變的。一幅連續(xù)的圖像f(x,y)可以用抽樣函數(shù)的二維卷積表示：因此，令h(x,α;y,β)=T[δ(x-α,y-β)]，則有：定義于不在原點(diǎn)的二維δ函數(shù)由于f(α,β)與x，y沒有關(guān)系一、圖像退化模型f(i,j)：原始圖像因此，定義于不在原點(diǎn)53稱h(x,α;y,β)為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(PSF)或系統(tǒng)沖擊響應(yīng)。多數(shù)情況下它表現(xiàn)為時不變的，反映在圖像中為位移不變的，則h(x,α;y,β)可以表示為h(x-α,y-β)其中*表示卷積運(yùn)算。如果T(·)是一個h可分離系統(tǒng)，即：h(x,α;y,β)=h1(x,α)h2(y,β)則二維運(yùn)算可以分解為列和行兩次一維運(yùn)算來代替。在加性噪聲情況下，圖像退化模型可以表示為：g(x,y)=f(x,y)*h(x,y)+n(n,y)其中n(x,y)為噪聲圖像。

稱h(x,α;y,β)為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(PSF)或系統(tǒng)沖擊響54二、離散圖像退化模型對于圖像降質(zhì)過程進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，設(shè)：f(i,j)為原始圖像；y(i,j)為降質(zhì)圖像；h(i,j;k,l)為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)；圖像為M×N維。有假設(shè)為空間不移變h(i,j;k,l)，則：二、離散圖像退化模型對于圖像降質(zhì)過程進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，設(shè)：假設(shè)為55線性位移不變的圖像退化模型則表示為：

g(x,y)=f(x,y)*h(x,y)+n(x,y)結(jié)論：如果已知g(x,y)、n(x,y)、h(x,y)，則f(x,y)可以計算出來。對等式兩端取傅立葉變換有：G(u,v)=F(u,v)H(u,v)+N(u,v)F(u,v)=(G(u,v)-N(u,v))/H(u,v)f(x,y)=F-1[F(u,v)]g(x,y)f(x,y)n(x,y)h(x,y)+線性位移不變的圖像退化模型則表示為：結(jié)論：如果已知g(x,y56三、循環(huán)矩陣及傅立葉化一個一維離散序列通過一個系統(tǒng)發(fā)生失真的過程可用下圖表示f=H-1[g-n]用矩陣表示，可以寫成

g(x)f(x)n(x)h(x)+如果考慮加性噪聲，根據(jù)離散序列的卷積定理，有擴(kuò)展為周期為M的序列三、循環(huán)矩陣及傅立葉化一個一維離散序列通過一個系統(tǒng)發(fā)生失真的57由于離散卷積的周期性，有he(x)=he(x+M)，H可以寫成H是一個循環(huán)陣。結(jié)論：離散卷積都可以寫成：輸入矩陣×循環(huán)矩陣！對數(shù)字圖象的二維離散函數(shù)也是如此。對圖像退化模型而言，有A=5B=5M=9M=9由于離散卷積的周期性，有he(x)=he(x+M)，H可以寫58用矩陣形式表示上式：g=Hf+n

g、f和n分別表示M×N的函數(shù)矩陣ge(i,j)、fe(i,j)和ne(i,j)的各行前后相連而成的列矢量(堆疊矢量)。如果假設(shè)原始圖像是M×N維矩陣，則H是MN×MN循環(huán)矩陣，且H是一個分塊(M×M個)循環(huán)矩陣：每一個子矩陣Hi自身也是循環(huán)矩陣N×N：=+MN×1MN×MNMN×1MN×1用矩陣形式表示上式：g=Hf+n每一個子矩陣Hi自身也是循591、一維信號序列循環(huán)矩陣的對角化和傅立葉化解矩陣方程：f=H-1[g-n]最簡單的計算方法就是對角化，H→H-1也是對角陣。對角化H的方法——求取其特征值和特征矢量。對循環(huán)矩陣而言，設(shè)：其有M個特征值和特征矢量。由于w(k)是由傅立葉系數(shù)構(gòu)成的，因此w(k)彼此是正交的。所以，由w(k)構(gòu)成的變換矩陣是可逆的。1、一維信號序列循環(huán)矩陣的對角化和傅立葉化解矩陣方程：f=60用特征矢量組成的矩陣：W=[w(0),w(1)…w(M-1)]生成對角矩陣D：D=W-1HW；且D(k,k)=λ(k)。而根據(jù)周期性，M–i=-i湊一個常數(shù)所以H=WDW-1用特征矢量組成的矩陣：W=[w(0),w(1)…w(M-1)61對g=Hf+n而言，可以寫成g=WDW-1f+n，有W－1g=DW-1f+W－1n；其中對

W-1g列矢量的每一行G(k)而言，有對W-1f列矢量的每一行F(k)而言對W-1n而言有同樣的結(jié)果。所以對W－1g=DW-1f+W－1n而言，G(u)=MH(u)F(u)+N(u)。上面的過程稱之為循環(huán)矩陣的傅立葉化。對g=Hf+n而言，可以寫成g=WDW-1f+n，有W－162如果圖像的g、f、n采用堆疊矢量的方法構(gòu)成，g=Hf+n。同一維的情況類似，不同的地方是H為塊循環(huán)矩陣，以及其中的傅立葉變換是二維的，但最后結(jié)論是一樣的。G(u)=MH(u)F(u)+N(u)——一維情況下的結(jié)論G(u,v)=MNH(u,v)F(u,v)+N(u,v)——二維情況下的結(jié)論在實(shí)際應(yīng)用中，認(rèn)為f(x,y)、h(x,y)、g(x,y)、n(x,y)的維數(shù)是相等的。F(u,v)=[G(u,v)-N(u,v)]/MNH(u,v)f(x,y)=F-1[F(u,v)]2、二維信號序列塊循環(huán)矩陣的對角化和傅立葉化=+如果圖像的g、f、n采用堆疊矢量的方法構(gòu)成，g=Hf+n。633、H(u,v)的獲取要知道一個圖象降質(zhì)系統(tǒng)的H(u,v)是一件非常困難的事情。但因?yàn)閒(x,y)*h(x,y)=g(x,y)，有F(u,v)H(u,v)=G(u,v)如果f(x,y)=δ(x,y)，F(xiàn)[δ(x,y)]=1則H(u,v)=G(u,v)所以，可以用實(shí)驗(yàn)的方法得到h(x,y)和H(u,v)；H(u,v)可用點(diǎn)源的輸出圖像的傅立葉變換來近似。另外，有一些圖象降質(zhì)系統(tǒng)的H(u,v)有固定的或近似的數(shù)學(xué)模型。3、H(u,v)的獲取要知道一個圖象降質(zhì)系統(tǒng)64四、常見的線性移不變降質(zhì)算子運(yùn)動模糊：通常在拍攝過程中，相機(jī)或物體移動造成的運(yùn)動模糊可以用一維均勻鄰域像素灰度的平均值來表示：

大氣擾動模糊：這種模糊經(jīng)常出現(xiàn)在遙感和航空攝影中，由于曝光時間過長引起的模糊可用高斯點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)來表示：式中K是一個歸一化常數(shù)，保證模糊的大小為單位值，σ2可以決定模糊的程度。四、常見的線性移不變降質(zhì)算子運(yùn)動模糊：通常在拍攝過程中，相機(jī)65均勻不聚焦模糊這是由于相機(jī)聚焦不準(zhǔn)確引起的，雖然不聚焦由許多參數(shù)決定，如相機(jī)的焦距、相機(jī)光圈的大小、形狀、物體和相機(jī)之間的距離等，但在研究中為了簡單起見，我們用下列函數(shù)表示聚焦不準(zhǔn)引起的模糊：均勻二維模糊這是最常見的一種模糊，可以用來近似聚焦不準(zhǔn)引起的模糊：其中L是奇數(shù)。均勻不聚焦模糊66五、無約束恢復(fù)逆濾波對于圖像退化模型：g(x,y)=f(x,y)*h(x,y)+n(x,y)兩邊取傅立葉變換：G(u,v)=F(u,v)H(u,v)+N(u,v)

H(u,v)又稱為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)(或?yàn)V波函數(shù))，它使圖像退化。在無噪聲的情況下，上式可以簡化為：

G(u,v)=F(u,v)H(u,v)F(u,v)=G(u,v)/H(u,v)

這種1/H(u,v)的形式稱為逆濾波。再進(jìn)行傅立葉逆變換就可以得到f(x,y)。五、無約束恢復(fù)逆濾波67什么是無約束恢復(fù)當(dāng)對噪聲一無所知時，使n無約束的小。由于g=Hf+n，假設(shè)通過恢復(fù)可以得到一個不錯的f的估計f’。顯然，f’應(yīng)滿足關(guān)系g－Hf’＝n，我們希望n盡可能的小。于是問題轉(zhuǎn)化為f’在什么情況下n最小——對矩陣而言就是它的跡(對角線之和)的平方最小。什么是無約束恢復(fù)當(dāng)對噪聲一無所知時，使n無約束的小。68實(shí)際情況中，噪聲是不可避免的，因而只能求F(u,v)的估計值：

如果H(u,v)有許多零點(diǎn)，必然使得復(fù)原的結(jié)果受到極大影響。或者如果H(u,v)不為零但是有非常小的值，也即病態(tài)條件，也會使復(fù)原效果受到影響。解決這個問題的方法是避開H(u,v)的零點(diǎn)。幸好一般的H(u,v)在低頻附近的有限區(qū)域內(nèi)不為零。因此逆濾波可以在原點(diǎn)附近進(jìn)行，相當(dāng)于在頻域乘上一低通窗口函數(shù)W(u,v)。

實(shí)際情況中，噪聲是不可避免的，因而只能求F(u,v)的估計值69為了防止隨著u、v的增大H(u,v)的迅速減小而增設(shè)一些條件由于截斷地原因，被恢復(fù)的圖象振鈴較大。一種改進(jìn)的方法是取(?)其中，d、k均為小于1的常數(shù)。逆濾波的應(yīng)用條件：退化圖像g(x,y)是信噪比較高的圖像。設(shè)：為了防止隨著u、v的增大H(u,v)的迅速減小而增設(shè)一些條件70對降質(zhì)圖像g=Hf+n而言，所謂恢復(fù)可以看成是對g通過某種線性變換L而得到原圖像的估計值f’。其中，L是H的某種逆過程。如果f’與f之間的差滿足某些條件——約束條件，例如：滿足給定的均方誤差，則稱該圖像被恢復(fù)了。六、有約束恢復(fù)(某種準(zhǔn)則)的一般公式噪聲是獨(dú)立的，與圖像不相關(guān)。求其期望應(yīng)為0。期望值越小，其跡也越小對降質(zhì)圖像g=Hf+n而言，所謂恢復(fù)可以看成是對g通過某種線71因此對求跡而言，式中第2項(xiàng)和第3項(xiàng)的相等，有問題轉(zhuǎn)化為：L等于什么時，均方誤差最小。由此可得最佳L：0000將Rf，Rn看成是一個循環(huán)塊矩陣，對其進(jìn)行對角化，有：圖像的相關(guān)度約為20－30個象素合理的假設(shè)因此對求跡而言，式中第2項(xiàng)和第3項(xiàng)的相等，有問題轉(zhuǎn)化為：L等72由最佳L：可得兩邊乘以W和W-1：又因?yàn)楫?dāng)D為對角陣時有所以當(dāng)L為分塊循環(huán)矩陣時，WLW-1也是一對角陣。其對角線上元素的值為循環(huán)序列(“主值”序列)的傅立葉變換值。同理，D，D*，A，B都為對角陣，其對角線上的元素的值為對應(yīng)循環(huán)序列(“主值”序列)的傅立葉變換值。于是上式可以寫成標(biāo)量形式合理的假設(shè)f’(x,y)=g(x,y)*l(x,y)由最佳L：可得兩邊乘以W和W-1：又因?yàn)楫?dāng)D為對角陣時有所以73七、維納濾波恢復(fù)基本原理研究發(fā)現(xiàn)，逆濾波復(fù)原方法對噪聲極為敏感，要求信噪比較高(100以上)，通常不滿足該條件。因此希望找到一種方法，在有噪聲條件下，從退化圖像g(x,y)復(fù)原出f(x,y)的估計值f’(x,y)，該估計值應(yīng)符合一定的準(zhǔn)則。用向量f,g,n來表示f(x,y),g(x,y),n(x,y)，Q為對f’的線性算子，在約束條件||g-Hf’||2=||n||2下求Qf’的最小化||Qf’||2而得到f的最佳估計f’。七、維納濾波恢復(fù)基本原理74用拉格朗日法求解設(shè)Rf和Rn為f和n的相關(guān)矩陣，根據(jù)前述分析結(jié)果：若QTQ用Rf－1Rn來代替，有：拉格朗日系數(shù)用拉格朗日法求解設(shè)Rf和Rn為f和n的相關(guān)矩陣，根據(jù)前述分析75當(dāng)D為對角陣，分塊循環(huán)矩陣為因此：寫成標(biāo)量形式為：統(tǒng)計量的得到是非常困難的一件事。其中Sf(u,v),Sn(u,v)分別是f(x,y)和n(x,y)的功率譜。當(dāng)D為對角陣，分塊循環(huán)矩陣為因此：統(tǒng)計量的得到是非常困難的一76在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)噪聲情況未知時八、最小平方(最大平滑)恢復(fù)與維納濾波恢復(fù)的不同在于QTQ的選擇。維納濾波中QTQ用Rf－1Rn，根據(jù)前面的推導(dǎo)，其依據(jù)的準(zhǔn)則為均方誤差最小。而最小平方恢復(fù)依據(jù)的準(zhǔn)則為換言之：在約束條件||g-Hf’||2=||n||2條件下，恢復(fù)出來的圖像的梯度最小(或稱最大平滑)。根據(jù)此條件選擇Q。在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)噪聲情況未知時八、最小平方(最大平滑)恢復(fù)換77由圖像增強(qiáng)一章可知，對圖像求梯度可用如下操作如果f(x,y)尺寸是A×B，則圖像與p(x,y)相卷的結(jié)果后的圖像為M×N，M≥A+3-1，N≥B+3-1。構(gòu)造p(x,y)、f(x,y)的擴(kuò)展周期圖像pe(x,y)與fe(x,y)做卷積。*************************0-10-14-10-10由圖像增強(qiáng)一章可知，對圖像求梯度可用如下操作如果f(x,y)78如果圖像的g、f采用堆疊矢量的方法構(gòu)成，有g(shù)=CfMN×1MN×MNMN×1=對C進(jìn)行對角化，有E=W-1CW在約束條件||g-Hf’||2=||n||2條件下，恢復(fù)出來的圖像的梯度最小(或稱最大平滑)。根據(jù)此條件選擇Q。如果圖像的g、f采用堆疊矢量的方法構(gòu)成，有g(shù)=CfMN×179令Q＝C根據(jù)有：左乘W-1，有根據(jù)對角化的討論，有與維納濾波不同此值為已知，不是統(tǒng)計量。剩下的問題是對s的估測。構(gòu)造殘差矢量r=g-Hf’，調(diào)節(jié)s使其滿足||r||2=||n||2±a(a是一個準(zhǔn)確度系數(shù))。賦給s某個初始值；計算f’和||r||2。如果滿足||r||2=||n||2±a，停止計算；如果||r||2<||n||2-a，增加s，繼續(xù)計算；如果||r||2>||n||2+a，減少s，繼續(xù)計算。點(diǎn)對點(diǎn)計算令Q＝C根據(jù)80九、幾何失真校正在不同條件下拍攝的圖像，一個物體的圖像常會發(fā)生幾何失真，出現(xiàn)歪斜變形的現(xiàn)象。從太空中宇航器拍攝的地球上的等距平行線，其圖像會變?yōu)橥嵝被虿坏染?；用光學(xué)和電子掃描儀攝取的圖像常會有桶形失真和枕形失真；用普通的光學(xué)攝影與測試?yán)走_(dá)拍攝的同一地區(qū)的景物二者在幾何形狀上有較大的差異。以一幅圖像為基準(zhǔn)，去校正另一種方式攝入的圖像，以期校正其幾何失真，就叫做圖像的幾何失真復(fù)原或者幾何失真校正。九、幾何失真校正在不同條件下拍攝的圖像，一個物體的圖像常會發(fā)811、空間變換幾何基準(zhǔn)圖像的坐標(biāo)系統(tǒng)用f(x,y)來表示需要校正的圖像的坐標(biāo)系統(tǒng)用g(x’,y’)表示設(shè)兩個圖像坐標(biāo)系統(tǒng)之間的關(guān)系用解析式表示x’=s(x,y)y’=t(x,y)通常s(x,y)和t(x,y)用多項(xiàng)式來表示：1、空間變換幾何基準(zhǔn)圖像的坐標(biāo)系統(tǒng)用f(x,y)來表示82

通常用線性失真來近似較小的幾何失真x’=a0+a1x+a2yy’=b0+b1x+b2y更精確一些可以用二次型來近似x’=a0+a1x+a2y+a3x2+a4xy+a5y2y’=b0+b1x+b2y+b3x2+b4xy+b5y2若基準(zhǔn)圖像為f(x,y)，失真圖像為g(x’,y’)，對于景物上的同一個點(diǎn)，假定其灰度不變，則f(x,y)=g(x’,y’)，可利用已知點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)構(gòu)造方程組求取ai、bj。幾何失真復(fù)原的一套方法也可以用于使圖像失真的工作中：在廣告制作和計算機(jī)動畫中常常要使物體變形。假設(shè)的變形關(guān)系通常用線性失真來近似較小的幾何失真假設(shè)的變形關(guān)系832、灰度插值有時會遇到知道兩點(diǎn)灰度值，要計算兩點(diǎn)之間點(diǎn)的灰度值問題，如加大圖像尺寸等。兩點(diǎn)之間點(diǎn)的灰度值問題——灰度差值問題。雙線性差值法g(E)=(xE-xA)[g(B)-g(A)]+g(A)g(F)=(xF-xC)[g(D)-g(C)]+g(C)g(H)=(yH-yA)[g(C)-g(A)]+g(A)g(I)=(yI-yB)[g(D)-g(B)]+g(B)x3×37×7ABCDEFyIH02、灰度插值有時會遇到知道兩點(diǎn)灰度值，要計算兩點(diǎn)之間點(diǎn)的灰度84十、圖像質(zhì)量的優(yōu)劣的客觀指標(biāo)圖像質(zhì)量的優(yōu)劣既可以通過人眼主觀視覺效果來判斷，也可以通過客觀指標(biāo)來衡量。1、均方誤差(MSE)：2、峰值信噪比(PSNR)：其中M、N分別是x方向、y方向圖像像素點(diǎn)的個數(shù)，f(i,j)和f’(i,j)分別是原始圖像和測試圖像在(i,j)點(diǎn)上的取值，L是圖像中灰度取值的范圍，對8比特的灰度圖像而言，L=255。十、圖像質(zhì)量的優(yōu)劣的客觀指標(biāo)圖像質(zhì)量的優(yōu)劣既可以通過人眼主觀853、模糊信噪比(BSNR,theBlurredSignal-to-NoiseRatio)

表示由模糊和疊加噪聲引起的降質(zhì)程度。3、模糊信噪比(BSNR,theBlurredSig86

ISNR只是評價圖像恢復(fù)算法好壞的一個客觀指標(biāo)，ISNR高并不一定主觀視覺效果好。4、信噪比的改善度量ISNR(theImprovementinSNR)ISNR只是評價圖像恢復(fù)算法好壞的一個客觀指標(biāo)，ISNR87十一、圖象的重構(gòu)——從投影數(shù)據(jù)重構(gòu)圖象在我們觀察的圖象中，有一部分是通過數(shù)據(jù)人為構(gòu)造的圖象，如：CT圖象、地址斷面圖象、安全檢查設(shè)備輸出的圖象等。其中一類是由投影信息重構(gòu)的圖象——本節(jié)的重點(diǎn)。1917年，奧地利數(shù)學(xué)家J.Radon證明了二維或三維物體可以從許多投影來重構(gòu)其內(nèi)部的數(shù)據(jù)。1963年，美國科學(xué)家A.M.Cormack首先將這一理論用于醫(yī)學(xué)圖象重構(gòu)；1972年，英國科學(xué)家G.N.Homsfield設(shè)計出第一臺X射線掃描儀ComputerTomgraph——CT。二人于1979年雙雙獲諾貝爾醫(yī)學(xué)獎。十一、圖象的重構(gòu)——從投影數(shù)據(jù)重構(gòu)圖象在我們觀察的圖象中，有881、投影數(shù)據(jù)平行光按傳輸方向投射到一個物體后，在垂直于平行光傳輸方向的平面上生成影象稱為投影；用某種傳感器取得的投影影象的數(shù)據(jù)稱為投影數(shù)據(jù)。不同物質(zhì)組合體的視圖自然光投影視圖X射線投影視圖片狀X射線投影視圖最后一幅圖象的數(shù)據(jù)就是重構(gòu)斷面圖象的投影數(shù)據(jù)。顯然，僅憑這組數(shù)據(jù)不能得到斷面圖象(里面物體的方園無法判斷)，我們需要更多的數(shù)據(jù)。1、投影數(shù)據(jù)平行光按傳輸方向投射到一個物體后，在垂直于平行光892、物質(zhì)對X射線的吸收研究表明：當(dāng)強(qiáng)度為I0的X射線通過吸收率為μ(x)的物體時，有下面的關(guān)系：μ(x)xabI0III00計算機(jī)采樣示意圖基準(zhǔn)檢測器檢測器物體+I0lnI0lnI+-A/D2、物質(zhì)