第4章離散時(shí)間系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與濾波器設(shè)計(jì)

第四章數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)一、濾波器設(shè)計(jì)基礎(chǔ)二、濾波器結(jié)構(gòu)類型三、IIR濾波器設(shè)計(jì)四、FIR濾波器設(shè)計(jì)24.1濾波器設(shè)計(jì)基礎(chǔ)濾波器定義：線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域卷積和特性導(dǎo)致系統(tǒng)在頻域上對(duì)輸入信號(hào)的濾波特性濾波主要是指幅度特性的改變?yōu)V波器的作用:增強(qiáng)某一頻段內(nèi)信號(hào)，衰減另一頻段信號(hào)，有用信號(hào)的提取，噪聲及干擾的濾除等濾波器分類根據(jù)不同頻段內(nèi)的特性不同濾波器有通帶、阻帶、過渡帶之分等，相應(yīng)的濾波器就有低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器等。按照系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的時(shí)限特性“無限長沖激響應(yīng)系統(tǒng)”，簡稱為IIR系統(tǒng)；“有限長單位沖激響應(yīng)系統(tǒng)”，簡稱為FIR系統(tǒng)34濾波器設(shè)計(jì)步驟1、按照任務(wù)的要求，確定濾波器的性能指標(biāo)2、用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散線性時(shí)不變系統(tǒng)按照某一準(zhǔn)則去逼近所要得到的性能指標(biāo)可以選用IIR濾波器也可選用FIR濾波器3、利用有限精度，選擇合適的結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)軟件實(shí)現(xiàn)硬件實(shí)現(xiàn)5濾波器設(shè)計(jì)是按照某一準(zhǔn)則去逼近想要實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)，因此要求對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行一定的描述和要求，就是濾波器的性能指標(biāo)。濾波器性能要求，主要以頻率響應(yīng)的幅度特性的容差來表征。增益和衰減是濾波器的重要性能參數(shù)，其定義如下：濾波器性能指標(biāo)6通帶指標(biāo)在通帶中，濾波器的幅度響應(yīng)以誤差逼近1，這部分誤差稱為通帶容限，或者表示為通帶波紋

、通帶最大衰減7同理，在阻帶中，濾波器的幅度響應(yīng)應(yīng)以誤差逼近0，這部分容差稱為阻帶容限，或者表示為阻帶波紋、阻帶最小衰減：阻帶指標(biāo)8注意通帶截止頻率在低通情況下為一數(shù)值，而在帶通情況下為一向量。通常對(duì)過渡帶的寬度有所要求，而對(duì)過渡帶內(nèi)的特性不做要求。數(shù)字指標(biāo)和模擬指標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系4.2 離散時(shí)間系統(tǒng)結(jié)構(gòu)研究系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的出發(fā)點(diǎn)：1、同一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)，可以用不同運(yùn)算結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)2、不同的運(yùn)算結(jié)構(gòu)，存貯單元和乘法的次數(shù)不同即實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜性和運(yùn)算速度不同4.2.1系統(tǒng)構(gòu)成及表示有理結(jié)構(gòu)的離散LTI系統(tǒng)函數(shù)如下：

與此相對(duì)應(yīng)的差分方程和Z變換為：a方框圖：流圖：a基本運(yùn)算為:單位延時(shí)、比例乘、相加。方框圖和流圖表示為：節(jié)點(diǎn)及轉(zhuǎn)置定理源節(jié)點(diǎn)，匯(阱)節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)置定理：輸入輸出及支路方向逆轉(zhuǎn)如果全部，則系統(tǒng)在有限Z平面內(nèi)將沒有極點(diǎn)，只有零點(diǎn)，由于有限長序列的Z變換在有限Z平面內(nèi)處處收斂，所以系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)將是有限長序列稱為全零點(diǎn)系統(tǒng)或滑動(dòng)平均系統(tǒng)（MA系統(tǒng)）。MA系統(tǒng)可以看出，只要分母多項(xiàng)式中有一個(gè)系數(shù)，則在有限Z平面內(nèi)就會(huì)出現(xiàn)極點(diǎn)，這種有限Z平面內(nèi)的極點(diǎn)將導(dǎo)致無限長的指數(shù)序列，因此系統(tǒng)是IIR系統(tǒng)。在這種情況下也有兩種情況一種是分子只有常數(shù)項(xiàng)，此時(shí)有限Z平面內(nèi)只有極點(diǎn)，稱為全極點(diǎn)系統(tǒng)，或自回歸系統(tǒng)（AR系統(tǒng)）；另一種是有限Z平面內(nèi)既有極點(diǎn)也有零點(diǎn)，稱為零極點(diǎn)系統(tǒng)，自回歸滑動(dòng)平均系統(tǒng)（ARMA系統(tǒng)）。AR和ARMA系統(tǒng)

從結(jié)構(gòu)類型看，IIR系統(tǒng)至少有一個(gè)，其差分方程表達(dá)式為：可以看出，若要得到時(shí)刻的輸出，需要將此時(shí)刻以前的系統(tǒng)輸出

反饋回來,稱為“遞歸型”。

在FIR系統(tǒng)中，系統(tǒng)的當(dāng)前的輸出只由當(dāng)前輸入和此前的輸入決定，不存在反饋結(jié)構(gòu)，因而稱之為“非遞歸型”。遞歸與非遞歸IIR系統(tǒng)只能采用遞歸型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)FIR系統(tǒng)多采用非遞歸型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)但用零、極點(diǎn)抵消的方法，F(xiàn)IR也可采用遞歸型結(jié)構(gòu)。由于IIR和FIR系統(tǒng)的特性和設(shè)計(jì)方法都不相同，下面我們將分別加以討論。

需要注意IIR濾波器主要特點(diǎn)是：1）為無限長序列；2）在有限Z平面上存在極點(diǎn)；3）實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)上存在反饋環(huán)節(jié)，必須采用遞歸型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。IIR濾波器的結(jié)構(gòu)主要有:直接I型、II型、級(jí)聯(lián)型、并聯(lián)型四種4.2.2

IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)一、直接I型由系統(tǒng)的差分方程：容易直接得到：特點(diǎn)：1、前向結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)；2、后向反饋網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的極點(diǎn)；3、直接反映差分方程和系統(tǒng)參數(shù)關(guān)系；4、需要N＋M級(jí)延時(shí)。二、直接II型交換其級(jí)聯(lián)子系統(tǒng)的次序，系統(tǒng)函數(shù)不變。合并相同的串行延時(shí)支路，稱為直接II型結(jié)構(gòu)或典范型結(jié)構(gòu)。仍能直接反映差分方程和系統(tǒng)參數(shù)關(guān)系；對(duì)于N階差分方程只需N個(gè)延時(shí)單元（系統(tǒng)滿足N≥M），比直接I型延時(shí)單元要少，節(jié)省存儲(chǔ)單元（軟件實(shí)現(xiàn)），或節(jié)省寄存器（硬件實(shí)現(xiàn)）是實(shí)現(xiàn)N階濾波器所需的最少延時(shí)單元結(jié)構(gòu)，因而又稱典范型。直接I型和II型都是直接實(shí)現(xiàn)，其共同的缺點(diǎn)是結(jié)構(gòu)系數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)關(guān)系不明顯，因而對(duì)濾波器性能控制不直接。系統(tǒng)的極點(diǎn)在某些臨界條件下對(duì)系數(shù)的變化過于靈敏，從而使系統(tǒng)頻率響應(yīng)對(duì)系數(shù)的變化過于靈敏，也就是對(duì)有限精度（有限字長）運(yùn)算過于靈敏，容易出現(xiàn)不穩(wěn)定或較大誤差。直接型存在的問題三、級(jí)聯(lián)型系統(tǒng)函數(shù)按進(jìn)行因式分解后得到：寫成二階系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的原因?二階系統(tǒng)在某些系數(shù)為零時(shí)可以表示一階系統(tǒng)；也可以表示由兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)或兩個(gè)實(shí)數(shù)所表示的一級(jí)系統(tǒng)級(jí)聯(lián)成的二階系統(tǒng)；目的：利于現(xiàn)實(shí)實(shí)現(xiàn)（將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)），簡化形式；另外在時(shí)分多路復(fù)用時(shí)，采用相同形式的子網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)就更有意義。級(jí)聯(lián)型由多個(gè)二階環(huán)節(jié)串聯(lián)而成；每個(gè)二階基本節(jié)都是用典范型結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)的，如圖所示。調(diào)整系數(shù)便能單獨(dú)調(diào)整濾波器的第k對(duì)零點(diǎn)，而不影響其他零、極點(diǎn)同樣，調(diào)整系數(shù)就能單獨(dú)調(diào)整濾波器第k對(duì)極點(diǎn)，而不影響其他零、極點(diǎn)便于準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)濾波器零、極點(diǎn)，調(diào)整濾波器頻率響應(yīng)性能,與直接II型相同具有最少的存儲(chǔ)單元。缺點(diǎn)：由于信號(hào)是依次通過級(jí)聯(lián)的各個(gè)環(huán)節(jié)，只要一個(gè)環(huán)節(jié)出現(xiàn)了問題，便會(huì)影響整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。特點(diǎn)：假如將因式分解后的系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)一步展開成部分分式的形式：并聯(lián)型的IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)如下：四、并聯(lián)型特點(diǎn)：并聯(lián)子系統(tǒng)都采用典范型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。為了結(jié)構(gòu)的一致性，以便多路復(fù)用，一般將兩個(gè)一階實(shí)極點(diǎn)和共軛極點(diǎn)對(duì)化成實(shí)系數(shù)二階系統(tǒng)。并聯(lián)型可以通過調(diào)整來單獨(dú)調(diào)整并聯(lián)子系統(tǒng)的一對(duì)極點(diǎn)并聯(lián)結(jié)構(gòu)中，各并聯(lián)子系統(tǒng)之間的誤差信號(hào)無相互交叉，利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。缺點(diǎn)：不能像級(jí)聯(lián)型那樣單獨(dú)調(diào)整零點(diǎn)的位置，在要求準(zhǔn)確的傳輸零點(diǎn)的場合下，宜采用級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)。4.2.3FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)FIR濾波器主要有如下特點(diǎn)：1）單位沖激響應(yīng)h(n)在有限個(gè)n值處不為零；2）系統(tǒng)函數(shù)在有限Z平面處處收斂，全部極點(diǎn)都在z=0處（因果系統(tǒng)）；3）結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒有輸出到輸入的反饋有些結(jié)構(gòu)中（例如頻率抽樣結(jié)構(gòu)）也包含有反饋的遞歸部分。FIR系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：FIR濾波器的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)主要有：橫截型級(jí)聯(lián)型頻率抽樣型線性相位型由系統(tǒng)函數(shù)可得差分方程表達(dá)式為：上式實(shí)際是線性移不變系統(tǒng)的卷積和公式，也是延時(shí)的橫向結(jié)構(gòu),稱為橫截型結(jié)構(gòu)或卷積型結(jié)構(gòu)，也可稱為直接型結(jié)構(gòu)。

一、直接型（卷積型、橫截型）應(yīng)用轉(zhuǎn)置定理可得到轉(zhuǎn)置直接型結(jié)構(gòu)單位沖激響應(yīng)與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)應(yīng)；系統(tǒng)參數(shù)與零點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不明顯，系統(tǒng)的頻率特性不易控制；存儲(chǔ)單元及運(yùn)算量最少。將系統(tǒng)函數(shù)分解成實(shí)系數(shù)二階因子的乘積形式：

級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)如圖所示 二、級(jí)聯(lián)型每個(gè)級(jí)聯(lián)子系統(tǒng)獨(dú)立控制一對(duì)零點(diǎn)，便于精確控制零點(diǎn)特性所需要的系數(shù)比卷積型的系數(shù)要多，因而乘法次數(shù)也比卷積型多。特點(diǎn)：頻率內(nèi)插公式為FIR濾波器提供了另外一種結(jié)構(gòu)，頻率抽樣型結(jié)構(gòu)。簡單證明如下：三、頻率抽樣型級(jí)聯(lián)第一部分是N節(jié)延時(shí)單元構(gòu)成的梳狀濾波器，頻率響應(yīng)為：0梳狀濾波器級(jí)聯(lián)的第二部分由N個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)而成，每個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)都是在單位圓上一個(gè)極點(diǎn)的諧振器：

在處響應(yīng)為無窮大，即無損耗諧振器。該諧振器的極點(diǎn)剛好與梳狀濾波器的一個(gè)零點(diǎn)相抵消，使得該頻點(diǎn)處的響應(yīng)為。諧振器頻率抽樣結(jié)構(gòu)系數(shù)就是濾波器在處的頻率響應(yīng)；可以很方便的控制濾波器的頻率響應(yīng)；零、極點(diǎn)數(shù)目只取決于單位抽樣響應(yīng)的點(diǎn)數(shù)；只要單位沖激響應(yīng)點(diǎn)數(shù)相同，就可以利用同一梳狀濾波器、同一結(jié)構(gòu)的諧振器得到各種不同的濾波器，因而是高度模塊化的。特點(diǎn)：缺點(diǎn)：結(jié)構(gòu)中所乘的系數(shù)都是復(fù)數(shù)，增加了乘法次數(shù)和存儲(chǔ)量所有極點(diǎn)都在單位圓上，當(dāng)存在系數(shù)量化誤差時(shí)，極點(diǎn)會(huì)移動(dòng)；有些極點(diǎn)就不能被梳狀濾波器的零點(diǎn)所抵消（零點(diǎn)由延時(shí)單元決定，不受量化的影響），系統(tǒng)就不能保持穩(wěn)定四、線性相位型線性相位型結(jié)構(gòu)與剛才所介紹的其他結(jié)構(gòu)不同，它不是對(duì)所有的FIR系統(tǒng)通用的一種結(jié)構(gòu)，只能適用于線性相位的FIR系統(tǒng)。對(duì)于