質(zhì)數(shù)與哥德巴赫猜想

質(zhì)數(shù)與哥德巴赫猜想著名數(shù)學(xué)家高斯曾說過：“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，而數(shù)論則是數(shù)學(xué)的皇后?！睌?shù)論中最引人入勝的問題之一一一哥德巴赫猜想，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)是冠上的明珠。”這個至今仍懸而未決的問題與一類特殊的數(shù)——質(zhì)數(shù)有關(guān)。我們知道，自然數(shù)可以這樣分為三類：數(shù)“1”：只有它本身作為自己的因數(shù)。質(zhì)數(shù)：只有1和它本身作為自己的因數(shù)。合數(shù)：有兩個或兩個以上大于1的因數(shù)。上面的分類是按照數(shù)的因子的個數(shù)來分類的。質(zhì)數(shù)體現(xiàn)出來的這種特殊性質(zhì)（只被1和它自身整除）引起了人們的興趣并很早就開始了有關(guān)的研究。早在2000多年前，古希臘學(xué)者歐幾里得（Euclid，約前330年?前275年）就作出了簡單而又生動的證明“不管你取的質(zhì)數(shù)有多大，肯定還能找出比它更大的質(zhì)數(shù)。也就是說，質(zhì)數(shù)有無窮多個。比如說，能找出比13更大的質(zhì)數(shù)嗎？首先，你把不大于13的所有質(zhì)數(shù)2,3,5,7,11，13乘起來，然后把這個乘積再加上1，便得：2X3X5X7X11X13+1=30031這個數(shù)肯定不能被2,3,5,7,11或13所整除，因?yàn)槌玫慕Y(jié)果都余1。如果30031除了它本身和1之外再也不能被其他數(shù)整除，那么它就是質(zhì)數(shù)；如果它還有其他的質(zhì)因數(shù)，那么這個（或多個）其他因數(shù)必定大于13。實(shí)際上，30031=59X509,即我們找出59和529這兩個比13大的質(zhì)數(shù)。對于多個質(zhì)數(shù)的情形，我們的推理完全一樣。假若2,3,5,7,11,……，p為所有不大于p的質(zhì)數(shù)，則令N=2X3X5X7X11X?Xp+1數(shù)N要么是質(zhì)數(shù)，要么所有的質(zhì)因子都大于P。歐幾里得把這個證明放在了他的巨著《幾何原本》第九卷中。不過，他的證明過程并不是讀者在本文中所看到的樣子，而是用幾何的方法來表述的。這個證明方法還可以用于證明質(zhì)數(shù)之間存在著很大的間隙。其方法是，我們可以隨意挑出一段足夠長的連續(xù)的合數(shù)，把它們插在兩個質(zhì)數(shù)的間隙之中。例如，我們希望插入1000個連續(xù)的合數(shù)，那么就先找出大于1000的第一個質(zhì)數(shù)1009,下面的這1000個數(shù)：2X3X5X7X?X1009+22X3X5X7X?X1009+32X3X5X7X?X1009+42X3X5X7X?X1009+52X3X5X7X?X1009+1001顯然是連續(xù)的合數(shù)。這意味著我們在兩個質(zhì)數(shù)之間找到了至少1000個數(shù)的間隙！對于這個結(jié)果讀者也許會感到有些驚訝，質(zhì)數(shù)之間的間隙竟然要多大有多大！不過，質(zhì)數(shù)之間并不總是這樣稀稀拉拉的，人們發(fā)現(xiàn)有些質(zhì)數(shù)緊挨在一起（中間僅隔一個數(shù)字）而且成對地出現(xiàn)，如3,5；5,7；11,13；17,19；29,31；41,43；?；10016957,10016959；?；99999999.9959,999999999961；…。這些成對出現(xiàn)的質(zhì)數(shù)被稱為攣生質(zhì)數(shù)。關(guān)于攣生質(zhì)數(shù)是否存在無窮多對的問題，也是一個尚待解決的世界著名難題。質(zhì)數(shù)的分布體現(xiàn)出如此的不確定性，有時間隙要多大有多大，有時又緊挨在一起；從1到10這十個數(shù)中共有四個自然數(shù)，而從1001到1010之間卻僅有1009這一個質(zhì)數(shù)。為了找出質(zhì)數(shù)的分布規(guī)律，有人想到了造“表”。古希臘著名學(xué)者埃拉托塞尼(Eratosthenes，約前284~前192)創(chuàng)造了所謂的“篩法”并以此制出了一個不太大的質(zhì)數(shù)表。他先把從2到N的所有整數(shù)寫出來，然后從中劃去2的所有倍數(shù)；再劃去3的所有倍數(shù)如6,9,12,15…；接著劃掉所有5的倍數(shù)如10,15,20,…；這樣持續(xù)地做下去，有些數(shù)可能被劃掉不止一次，最后剩下的數(shù)就是質(zhì)數(shù)，這個被挖去合數(shù)的數(shù)表就像布滿洞眼的篩子，因而得名“埃拉托塞尼篩子”。這種制質(zhì)數(shù)表的方法畢竟過于繁瑣，于是人們開始嘗度尋找質(zhì)數(shù)的一般表達(dá)式。退一步說，如果能找到一個公式來表達(dá)一部分質(zhì)數(shù)也很好。法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬因此提出了一個奇妙的猜想：形如2n+1的數(shù)是質(zhì)數(shù)(〃=0,1,2,3,4,…)后人把這類數(shù)稱為費(fèi)馬數(shù)。按照這個表達(dá)式，當(dāng)n=0,1,2,3,4時，所得的數(shù)3,5,17,257,65537的的確確都是質(zhì)數(shù)。但不幸的是，費(fèi)馬的猜想就在n=5的時候出了差錯。七八十年代后，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Euler,1707~1783)指出，n=5時所得數(shù)225+1=232+1=4294967297是合數(shù)：4294967297=641X6700417而且奇怪的是，從那以后，數(shù)學(xué)家們至今卻再也沒能找到任何一個是質(zhì)數(shù)的費(fèi)馬數(shù)了。推翻費(fèi)馬猜想的歐拉也提出了一個公式：fn)=n2-n+41把n=0,1,2,3,4…，40代入這個式子可以得到41,41,43,47,…，160共40個不同的質(zhì)數(shù)。1798年，法國數(shù)學(xué)家勒讓德(Legendre,1752~1833)提f(n)=2n2+29把n=0,1,2,3，…，28代入這個式子可以得到29,31,37,…，1597共29個質(zhì)數(shù)。2p+1隨后，又有許多人提出了各種各樣的公式，比如f(n)=n2-79n+1601,fp)=3(P是奇質(zhì)數(shù))等等，但這些公式都會從某個數(shù)開始失效，人們在這方面的嘗試并沒有取得很大進(jìn)展。質(zhì)數(shù)領(lǐng)域的一個著名難題就是一開始我們曾經(jīng)提到過的哥德巴赫猜想。哥德巴赫(Goldbach,1690?1764)是德國人，彼得堡科學(xué)院院士。他在1742年6月7日給歐拉的信中提出了這個猜想。這個猜想的完整內(nèi)容是：任何不小于6的偶數(shù)均能表示成兩個奇質(zhì)數(shù)之和。任何不小于9的奇數(shù)均能表示成三個奇質(zhì)數(shù)之和。同年6月30日，歐拉在復(fù)信中寫道：“任何不小于6的偶數(shù)都是兩奇質(zhì)數(shù)之和，雖然我還不能證明它，但我確信無疑地認(rèn)為這是完全正確的定理疽'實(shí)際上，這個問題的后一半可以很容易地從前一半推出，反過來則不行。哥德巴赫猜想引起了眾多數(shù)學(xué)家和業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者的極大興趣，但它的證明極其困難，直到十九世紀(jì)結(jié)束的200多年前沒有取得任何進(jìn)展。不過有人做了大量的驗(yàn)證工作，現(xiàn)在已經(jīng)有人驗(yàn)證了對于所有大于4而不超過33000000的偶數(shù)，猜想都正確。這是迄今為止被驗(yàn)證得最多的數(shù)學(xué)猜想。1900年，在巴黎召開的國際數(shù)學(xué)大會上，著名數(shù)學(xué)家希爾伯特(Hibert,1862~1943)發(fā)表了世界數(shù)學(xué)需要研究的23個難題(名為希爾伯特問題)，其中第8個提到了哥德巴赫猜想。1912年，德國著名數(shù)論大師蘭道(Landau,1877~1938)在第五屆國際數(shù)學(xué)家會議上的報告中聲稱：“即使要證明下面較弱的命題：任何不小于6的整數(shù)都能表示成c(c為一個確定整數(shù))個質(zhì)數(shù)之和，這也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)力所不及的。”可見這個猜想證明的難度之大。盡管如此，數(shù)學(xué)家們鍥而不舍的努力終于使得這個問題的研究取得了突破性的進(jìn)展。1920年，挪威數(shù)學(xué)家布龍(Brun)證明了每個充分大的偶數(shù)都可以表示為2個質(zhì)因數(shù)不超過9個的正整數(shù)之和。人們把這個命題稱為“9+9”。隨后，數(shù)學(xué)家們陸續(xù)取得了下面的成果：1924年，德國數(shù)學(xué)家雷特馬赫(Rademacher)證明了“7+7”。1932年，英國數(shù)學(xué)家埃司特曼(Estermann)證明了“6+6”。1937年，意大利數(shù)學(xué)家蕾西(Ricci)證明了“5+7”，“4+9”，“3+15”和“2+366”。1938年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家布赫夕太勃證明了“5+5”，隨后在1940年又證明了“4+4”。1956年，中國數(shù)學(xué)家王元證明了“3+4”。1957年，中國數(shù)學(xué)家王元又證明了“3+3”和“2+3”。1962年，中國數(shù)學(xué)家潘承洞和蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家巴爾班分別獨(dú)立證明了“1+5”。1963年，王元、潘承洞和巴爾班又分別獨(dú)立證明了“1+4”。1965年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉朵夫和希赫夕太勃以及意大利數(shù)學(xué)家龐比利獨(dú)立證明了“1+3”。1966年，中國數(shù)學(xué)家陳景潤宣布證明了“1+2”并于1973年發(fā)表了他的論文《大偶數(shù)表示的一個素數(shù)及一個不超過兩個素數(shù)的乘積之和》，在國際上引起了轟動。英國數(shù)學(xué)有哈伯斯坦姆(Halberstam)與德國數(shù)學(xué)家李希特(Richet)合著的一本名為《篩法》的數(shù)論專著，原有十章，付印后見到了陳是潤的論文，便加印了第十一章，章目為“陳氏