線性方程組課件

18世紀下半葉，法國數(shù)學家貝祖:

對線性方程組理論進行了一系列研究證明了n元齊次線性方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零

19世紀，英國數(shù)學家史密斯和道奇森:

前者引進了方程組的增廣矩陣的概念后者證明了n個未知數(shù)m個方程的方程組相容的充要條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相同第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法18世紀下半葉，法國數(shù)學家貝祖:第三章線性方程組§1第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法一.線性方程組的概念一般形式:a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…a2nxn=b2

…am1x1+am2x2+…+amnxn=bm(3.1)齊次線性方程組(homogeneous~)(systemoflinearequations)解(tosolve,solution)相容(consistent)非齊次線性方程組(nonhomogeneous~)第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法2第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法設A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn,b=b1b2…bm,a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=b2

…am1x1+am2x2+…+amnxn=bmAx=b.x=x1x2…xn,解向量(solutionvector),

則解集(solutionset),

同解(havingthesamesetofsolutions)

vectorofunknownsvectorofconstants第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法3§3.1線性方程組和Gauss消元法稱A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn為(3.1)的系數(shù)矩陣

[A,b]=a11

a12…a1nb1a21

a22…a2nb2

……………am1

am2…amnbm為(3.1)的增廣矩陣

第三章線性方程組(coefficientmatrix),(augmentedmatrix).§3.1線性方程組和Gauss消元法稱A=a114§3.1線性方程組和Gauss消元法二.Gauss消元法(Gauss’method)

2x13x2+4x3=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2x1+2x2

x3=

32x13x2+4x3=4

x1+x2

3x3=1x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

x22x3=22(1)x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=01/21對換變換(swapping)

倍乘變換(rescaling)

倍加變換(pivoting)

階梯形方程組(echelonform)

第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法二.Gauss消5§3.1線性方程組和Gauss消元法x1

5x3=1x2+2x3=

2

0=0x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=0階梯形(echelonform)(2)x1=5x3+1x2

=

2x32

x3

=

x3(任意)

最簡形(reducedechelonform)

或寫成向量形式由此可得原方程組的通解(generalsolution)

x=5c+12c2c

,其中c為任意數(shù).第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法x16§3.1線性方程組和Gauss消元法1.線性方程組的初等變換

第三章線性方程組

對換變換(swapping)(elementaryreductionoperations/rowoperations/Gaussianoperations)

倍乘變換(rescaling)

倍加變換(pivoting)注:倍乘變換必須用非零的數(shù)去乘某一個方程(multiplyingbya

nonzeroscalar).§3.1線性方程組和Gauss消元法1.線性方程組的7§3.1線性方程組和Gauss消元法2.階梯形線性方程組的有三中基本類型.2x1+3x2x3=1

2x2+x3=2

0=1x1x2+2x3=8

2x2+x3=

1

x3=5x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4=

3第三章線性方程組例如:leadingvariablesfreevariables§3.1線性方程組和Gauss消元法2.階梯形線性方8§3.1線性方程組和Gauss消元法3.階梯陣的形狀與線性方程組的解.2x1+3x2x3=1

2x2+x3=2

0=1x1x2+2x3=8

2x2+x3=

1

x3=5x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4=

30=0無解有唯一解有無數(shù)解2

3

11

021

200012

128

021

1001512

1

1

2

0014300000解的數(shù)目Ax=bAx=b~~[A,b]~~[A,b]r2=r1+1r2=r1=n

第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法3.階梯陣的形狀9§3.1線性方程組和Gauss消元法例1.設有線性方程組問為何值時,此方程組(1)有唯一解;(2)無解;(3)有無窮多解?并在有無窮多解時求其通解.解:對其增廣矩陣[A,b]作初等行變換,化為階梯形.第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法例1.設有線性方10§3.1線性方程組和Gauss消元法1+

11011+13111+

[A,b]=111+

11+131+

110(1)111+

0

3

1+

110111+

0

3

0

(2+)(1+)(1

)111+

0

3

00

(3+)(1)(3+)1第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法1+111§3.1線性方程組和Gauss消元法111+

0

3

00

(3+)(1)(3+)(1)當0且3時,方程組有唯一解;(2)當

=0時,方程組無解;(3)當

=3時,方程組有無窮多解.此時111+

0

3

00

(3+)(1)(3+)112

3033

60000=112

301120000101

101120000(1)()13第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法1112§3.1線性方程組和Gauss消元法101

101120000令x3=c,則x1x2x3(c為任意實數(shù)).1

11=c120+由此可得原方程組的通解x1=x31x2

=

x32

x3

=

x3(任意)

因而原方程組化為x1

x3=1x2

x3

=

2第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法1013§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組§3.2齊次線性方程組齊次線性方程組a11x1+a12x2+…+a1nxn=0

a21x1+a22x2+…a2nxn=0

…am1x1+am2x2+…+amnxn=0(3.2)零/平凡解(trivialsolution),非零/平凡解(non-~)a11a21…am1a12a22…am2a1na2n…amnx1

+x2

+…+xn

=0§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組§3.2齊14§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組一.齊次線性方程組有非零解的條件

定理3.1.Amnx=0有非零解r(A)<n.例2.當

=______時,齊次線性方程組推論3.1.m<n

Amnx=0有非零解.推論3.2.Annx=0有非零解|A|=0.有非零解?x1+

x2+x3

=0x1+x2+x3=0

x1+x2

+

x3=01或2§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組一.齊次線15§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組二.齊次線性方程組的解的性質

A

=0A(k)=k(A)=0.性質1.若,都是Ax=0的解向量,則+也是Ax=0的解向量.A

=0,A

=0A(+)=A+A=0.性質2.若是Ax=0的解向量,kR,則k也是Ax=0的解向量.綜上所述,若,都是Ax=0的解向量,k1,k2R,則k1

+k2也是Ax=0的解向量.§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組二.齊次線16§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組V={Rn|A

=0}Ax=0的解集構成一個向量空間——Ax=0的解空間.三.基礎解系

齊次線性方程組Ax=0的解空間的基稱為該齊次線性方程組的基礎解系.若1,2,…,s是Ax=0的一個基礎解系,則Ax=0的通解就可以表示成

=k11+k22+…+kss,其中k1,k2,…,ks為常數(shù).結構式通解(spaceofsolutions)§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組V={17§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組定理3.2.設ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,則Ax=0沒有基礎解系;(2)若r<n,則Ax=0確有基礎解系,且任一基礎解系中均含有nr個解向量.x1=c1,r+1xr+1

+c1,r+2xr+2

+…+c1nxn

x2=c2,r+1xr+1

+c2,r+2xr+2

+…+c2nxn

………xr=cr,r+1xr+1

+cr,r+2xr+2

+…+crnxn

xr+1=

xr+1

xr+2=

xr+2

xn=

xn

………§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組定理3.2.18§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組=xr+1

+xr+2

+…+xn

x1

x2

…xr

xr+1xr+2

…xn

c1,r+1

c2,r+1

…cr,r+1

10…0c1,r+2

c2,r+2

…cr,r+2

01…0c1n

c2n

…crn

00…1定理3.2.設ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,則Ax=0沒有基礎解系;(2)若r<n,則Ax=0確有基礎解系,且任一基礎解系中均含有nr個解向量.§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組=19§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組定理3.2.設ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,則Ax=0沒有基礎解系;(2)若r<n,則Ax=0確有基礎解系,且任一基礎解系中均含有nr個解向量.=xr+1

+xr+2

+…+xn

x1

x2

…xr

xr+1xr+2

…xn

c1,r+1

c2,r+1

…cr,r+1

10…0c1,r+2

c2,r+2

…cr,r+2

01…0c1n

c2n

…crn

00…1§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組定理3.2.20§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組定理3.2.設ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,則Ax=0沒有基礎解系;(2)若r<n,則Ax=0確有基礎解系,且任一基礎解系中均含有nr個解向量.1=,c1,r+1

c2,r+1

…cr,r+1

10…0c1,r+2

c2,r+2

…cr,r+2

01…0c1n

c2n

…crn

00…12=,nr=.§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組定理3.2.21§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組解齊次線性方程組Amn

x=0的一般步驟A初等行變換行階梯形秩(A)<n?行最簡形

解最簡方程只有零解N初等行變換Y§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組解齊次線性方22§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組例3.求的基礎解系與通解.解:初等行變換該方程組的基礎解系可取為通解為§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組例3.求的23§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組注:若依次取則于是得基礎解系通解容易驗證1,2與1,2等價.§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組注:若依次24§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組與Ax=0的基礎解系等價的線性無關向量組也是Ax=0的基礎解系.定理3.3.若ARmn,秩(A)=

r,則Ax=0的任意

nr個線性無關的解向量都是Ax=0的基礎解系.例4.證明:(1)Ax=0與(ATA)x=0同解;(2)秩(ATA)=秩(A).§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組與Ax=25§3.3非齊次線性方程組第三章線性方程組§3.3非齊次線性方程組一.非齊次線性方程組的相容性

定理3.4.設ARmn,bRm,則(3)當秩([A,b])=秩(A)<n時,Ax=b有無窮多解,且通解中含有n秩(A)

個自由未知量.(1)Ax=b有解秩([A,b])=秩(A);(2)當秩([A,b])=秩(A)=n時,Ax=b有唯一解;§3.3非齊次線性方程組第三章線性方程組§3.326第三章線性方程組§3.3非齊次線性方程組二.非齊次線性方程組的解的結構

1.齊次線性方程組Ax

=0

稱為非齊次線性方程組Ax

=b

的導出組.性質1.設1,2都是Ax

=b的解,則1–2是

Ax

=0

的解.性質2.是Ax

=b的解,是Ax

=0

的解,則

+是Ax

=b的解.2.非齊次線性方程組的解向量的性質第三章線性方程組§3.3非齊次線性方程組二.非齊27第三章線性方程組§3.3非齊次線性方程組定理3.5.*——是Ax

=b的一個解1,…,nr——Ax

=0

的基礎解系Ax

=b的結構式通解為x=k11

+…+knrnr

+*.特解

(particularsolution)(unrestrictedcombination)第三章線性方程組§3.3非齊次線性方程組定理3.528第三章線性方程組§3.3非齊次線性方程組3.解非齊次線性方程組Amnx=b的一般步驟[Ab]初等行變換行階梯形秩(A)=秩([Ab])?行最簡形

解最簡方程無解N初等行變換Y第三章線性方程組§3.3非齊次線性方程組3.解非29第三章線性方程組§3.3非齊次線性方程組解:初等行變換可見原方程組有解,且例5.求方程組的通解.第三章線性方程組§3.3非齊次線性方程組解:初等行30第三章線性方程組§3.3非齊次線性方程組由此可得原方程組的結構式通解可見原方程組有解,且第三章線性方程組§3.3非齊次線性方程組由此可得原31《九章算術》是中國古代數(shù)學專著，是算經十書中最重要的一種。該書系統(tǒng)總結了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就。它在數(shù)學上還有其獨到的成就，不僅最早提到分數(shù)問題，也首先記錄了盈不足等問題。該書經多次增補,成書時間已不可考,但據(jù)估算最遲在公元一世紀已有了現(xiàn)傳本。許多人曾為它作過注釋，其中不乏歷史上的數(shù)學名人，最著名的有劉徽(公元263年)、李淳風(公元656年)等人。共九章:方田,粟米,衰分,少廣,商功,均輸,盈不足,方程,勾股《九章算術》是中國古代問題，也首先記錄了盈不足等問題。共九章32Born:31March1730inNemours,France

Died:27Sept1783in

Basses-Loges(nearFontainbleau),FranceétienneBézout

Born:31March1730inNemours33Born:31July1704inGeneva,SwitzerlandDied:4Jan1752inBagnols-sur-Ceze,FranceGabrielCramerBorn:31July1704inGeneva,34CharlesLutwidge

Dodgson

Born:27Jan1832inDaresbury,England

Died:14Jan1898inGuilford,England

CharlesLutwidgeDodgsonBorn:35GottfriedWilhelmvonLeibnizBorn:1July1646inLeipzig,Saxony(nowGermany)Died:14Nov1716inHannover,Hanover(nowGermany)GottfriedWilhelmvonLeibniz36ColinMaclaurinBorn:Feb1698inKilmodan(12kmNofTighnabruaich),Cowal,Argyllshire,ScotlandDied:14June1746inEdinburgh,ScotlandColinMaclaurinBorn:Feb169837HenryJohnStephenSmith

Born:2Nov1826inDublin,Ireland

Died:9Feb1883inOxford,England

HenryJohnStephenSmithBorn:3818世紀下半葉，法國數(shù)學家貝祖:

對線性方程組理論進行了一系列研究證明了n元齊次線性方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零

19世紀，英國數(shù)學家史密斯和道奇森:

前者引進了方程組的增廣矩陣的概念后者證明了n個未知數(shù)m個方程的方程組相容的充要條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相同第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法18世紀下半葉，法國數(shù)學家貝祖:第三章線性方程組§39第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法一.線性方程組的概念一般形式:a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…a2nxn=b2

…am1x1+am2x2+…+amnxn=bm(3.1)齊次線性方程組(homogeneous~)(systemoflinearequations)解(tosolve,solution)相容(consistent)非齊次線性方程組(nonhomogeneous~)第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法40第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法設A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn,b=b1b2…bm,a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=b2

…am1x1+am2x2+…+amnxn=bmAx=b.x=x1x2…xn,解向量(solutionvector),

則解集(solutionset),

同解(havingthesamesetofsolutions)

vectorofunknownsvectorofconstants第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法41§3.1線性方程組和Gauss消元法稱A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn為(3.1)的系數(shù)矩陣

[A,b]=a11

a12…a1nb1a21

a22…a2nb2

……………am1

am2…amnbm為(3.1)的增廣矩陣

第三章線性方程組(coefficientmatrix),(augmentedmatrix).§3.1線性方程組和Gauss消元法稱A=a1142§3.1線性方程組和Gauss消元法二.Gauss消元法(Gauss’method)

2x13x2+4x3=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2x1+2x2

x3=

32x13x2+4x3=4

x1+x2

3x3=1x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

x22x3=22(1)x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=01/21對換變換(swapping)

倍乘變換(rescaling)

倍加變換(pivoting)

階梯形方程組(echelonform)

第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法二.Gauss消43§3.1線性方程組和Gauss消元法x1

5x3=1x2+2x3=

2

0=0x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=0階梯形(echelonform)(2)x1=5x3+1x2

=

2x32

x3

=

x3(任意)

最簡形(reducedechelonform)

或寫成向量形式由此可得原方程組的通解(generalsolution)

x=5c+12c2c

,其中c為任意數(shù).第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法x144§3.1線性方程組和Gauss消元法1.線性方程組的初等變換

第三章線性方程組

對換變換(swapping)(elementaryreductionoperations/rowoperations/Gaussianoperations)

倍乘變換(rescaling)

倍加變換(pivoting)注:倍乘變換必須用非零的數(shù)去乘某一個方程(multiplyingbya

nonzeroscalar).§3.1線性方程組和Gauss消元法1.線性方程組的45§3.1線性方程組和Gauss消元法2.階梯形線性方程組的有三中基本類型.2x1+3x2x3=1

2x2+x3=2

0=1x1x2+2x3=8

2x2+x3=

1

x3=5x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4=

3第三章線性方程組例如:leadingvariablesfreevariables§3.1線性方程組和Gauss消元法2.階梯形線性方46§3.1線性方程組和Gauss消元法3.階梯陣的形狀與線性方程組的解.2x1+3x2x3=1

2x2+x3=2

0=1x1x2+2x3=8

2x2+x3=

1

x3=5x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4=

30=0無解有唯一解有無數(shù)解2

3

11

021

200012

128

021

1001512

1

1

2

0014300000解的數(shù)目Ax=bAx=b~~[A,b]~~[A,b]r2=r1+1r2=r1=n

第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法3.階梯陣的形狀47§3.1線性方程組和Gauss消元法例1.設有線性方程組問為何值時,此方程組(1)有唯一解;(2)無解;(3)有無窮多解?并在有無窮多解時求其通解.解:對其增廣矩陣[A,b]作初等行變換,化為階梯形.第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法例1.設有線性方48§3.1線性方程組和Gauss消元法1+

11011+13111+

[A,b]=111+

11+131+

110(1)111+

0

3

1+

110111+

0

3

0

(2+)(1+)(1

)111+

0

3

00

(3+)(1)(3+)1第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法1+149§3.1線性方程組和Gauss消元法111+

0

3

00

(3+)(1)(3+)(1)當0且3時,方程組有唯一解;(2)當

=0時,方程組無解;(3)當

=3時,方程組有無窮多解.此時111+

0

3

00

(3+)(1)(3+)112

3033

60000=112

301120000101

101120000(1)()13第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法1150§3.1線性方程組和Gauss消元法101

101120000令x3=c,則x1x2x3(c為任意實數(shù)).1

11=c120+由此可得原方程組的通解x1=x31x2

=

x32

x3

=

x3(任意)

因而原方程組化為x1

x3=1x2

x3

=

2第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法1051§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組§3.2齊次線性方程組齊次線性方程組a11x1+a12x2+…+a1nxn=0

a21x1+a22x2+…a2nxn=0

…am1x1+am2x2+…+amnxn=0(3.2)零/平凡解(trivialsolution),非零/平凡解(non-~)a11a21…am1a12a22…am2a1na2n…amnx1

+x2

+…+xn

=0§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組§3.2齊52§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組一.齊次線性方程組有非零解的條件

定理3.1.Amnx=0有非零解r(A)<n.例2.當

=______時,齊次線性方程組推論3.1.m<n

Amnx=0有非零解.推論3.2.Annx=0有非零解|A|=0.有非零解?x1+

x2+x3

=0x1+x2+x3=0

x1+x2

+

x3=01或2§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組一.齊次線53§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組二.齊次線性方程組的解的性質

A

=0A(k)=k(A)=0.性質1.若,都是Ax=0的解向量,則+也是Ax=0的解向量.A

=0,A

=0A(+)=A+A=0.性質2.若是Ax=0的解向量,kR,則k也是Ax=0的解向量.綜上所述,若,都是Ax=0的解向量,k1,k2R,則k1

+k2也是Ax=0的解向量.§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組二.齊次線54§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組V={Rn|A

=0}Ax=0的解集構成一個向量空間——Ax=0的解空間.三.基礎解系

齊次線性方程組Ax=0的解空間的基稱為該齊次線性方程組的基礎解系.若1,2,…,s是Ax=0的一個基礎解系,則Ax=0的通解就可以表示成

=k11+k22+…+kss,其中k1,k2,…,ks為常數(shù).結構式通解(spaceofsolutions)§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組V={55§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組定理3.2.設ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,則Ax=0沒有基礎解系;(2)若r<n,則Ax=0確有基礎解系,且任一基礎解系中均含有nr個解向量.x1=c1,r+1xr+1

+c1,r+2xr+2

+…+c1nxn

x2=c2,r+1xr+1

+c2,r+2xr+2

+…+c2nxn

………xr=cr,r+1xr+1

+cr,r+2xr+2

+…+crnxn

xr+1=

xr+1

xr+2=

xr+2

xn=

xn

………§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組定理3.2.56§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組=xr+1

+xr+2

+…+xn

x1

x2

…xr

xr+1xr+2

…xn

c1,r+1

c2,r+1

…cr,r+1

10…0c1,r+2

c2,r+2

…cr,r+2

01…0c1n

c2n

…crn

00…1定理3.2.設ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,則Ax=0沒有基礎解系;(2)若r<n,則Ax=0確有基礎解系,且任一基礎解系中均含有nr個解向量.§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組=57§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組定理3.2.設ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,則Ax=0沒有基礎解系;(2)若r<n,則Ax=0確有基礎解系,且任一基礎解系中均含有nr個解向量.=xr+1

+xr+2

+…+xn

x1

x2

…xr

xr+1xr+2

…xn

c1,r+1

c2,r+1

…cr,r+1

10…0c1,r+2

c2,r+2

…cr,r+2

01…0c1n

c2n

…crn

00…1§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組定理3.2.58§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組定理3.2.設ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,則Ax=0沒有基礎解系;(2)若r<n,則Ax=0確有基礎解系,且任一基礎解系中均含有nr個解向量.1=,c1,r+1

c2,r+1

…cr,r+1

10…0c1,r+2

c2,r+2

…cr,r+2

01…0c1n

c2n

…crn

00…12=,nr=.§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組定理3.2.59§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組解齊次線性方程組Amn

x=0的一般步驟A初等行變換行階梯形秩(A)<n?行最簡形

解最簡方程只有零解N初等行變換Y§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組解齊次線性方60§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組例3.求的基礎解系與通解.解:初等行變換該方程組的基礎解系可取為通解為§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組例3.求的61§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組注:若依次取則于是得基礎解系通解容易驗證1,2與1,2等價.§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組注:若依次62§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組與Ax=0的基礎解系等價的線性無關向量組也是Ax=0的基礎解系.定理3.3.若ARmn,秩(A)=

r,則Ax=0的任意

nr個線性無關的解向量都是Ax=0的基礎解系.例4.證明:(1)Ax=0與(ATA)x=0同解;(2)秩(ATA)=秩(A).§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組與Ax=63§3.3非齊次線性方程組第三章線性方程組§3.3非齊次線性方程組一.非齊次線性方程組的相容性

定理3.4.設ARmn,bRm,則(3)當秩([A,b])=秩(A)<n時,Ax=b有無窮多解,且通解中含有n秩(A)

個自由未知量.