建筑力學(xué)教材課件第八章-超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析

建筑力學(xué)

第8章超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析

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第8章超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析1超靜定結(jié)構(gòu)與靜定結(jié)構(gòu)在計算方面的主要區(qū)別：

靜定結(jié)構(gòu)的支座反力和各截面的內(nèi)力只根據(jù)靜力平衡條件即可求出；

超靜定結(jié)構(gòu)支座反力和各截面的內(nèi)力則不能單從靜力平衡條件求出，而必須同時考慮變形協(xié)調(diào)條件。靜定結(jié)構(gòu)超靜定結(jié)構(gòu)從幾何構(gòu)造來看，靜定結(jié)構(gòu)是沒有多余約束的幾何不變體系；超靜定結(jié)構(gòu)為有多余約束的幾何不變體系?？傊?，有多余約束是超靜定結(jié)構(gòu)區(qū)別于靜定結(jié)構(gòu)的基本特點。超靜定結(jié)構(gòu)與靜定結(jié)構(gòu)在計算方面的主要區(qū)別：靜定結(jié)構(gòu)2

力法是超靜定計算基本方法之一，也是學(xué)習(xí)其他方法的基礎(chǔ)。力法是把超靜定結(jié)構(gòu)拆成靜定結(jié)構(gòu)，再由靜定結(jié)構(gòu)過渡到超靜定結(jié)構(gòu)。靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移計算是力法計算的基礎(chǔ)。8-1力法力法是超靜定計算基本方法之一，也是學(xué)習(xí)其他方法的83一、力法的基本原理1.力法的基本結(jié)構(gòu)(a)原結(jié)構(gòu)

(b)基本體系圖a所示一端固定，另一端鉸支的梁，承受荷載ｑ的作用，EI為常數(shù)，該梁有一個多余約束，是一次超靜定結(jié)構(gòu)。對圖a所示的原結(jié)構(gòu)，如果把支桿B作為多余約束去掉，并代之以多余未知力X1（簡稱多余力），則圖a所示的超靜定梁就轉(zhuǎn)化為圖b所示的靜定梁，這樣得到的含有多余未知力的靜定結(jié)構(gòu)稱為力法的基本體系。與之相應(yīng)，把圖a中原超靜定結(jié)構(gòu)中多余約束（支座B）和荷載都去掉后得到的靜定結(jié)構(gòu)稱為力法的基本結(jié)構(gòu)（圖c）。AB(c）基本結(jié)構(gòu)一、力法的基本原理(a)原結(jié)構(gòu)(b)基本體系圖42.力法的基本未知量求解基本結(jié)構(gòu)的多余未知力

，一旦求得多余未知力

，就可在基本結(jié)構(gòu)上用靜力平衡條件求出原結(jié)構(gòu)的所有反力和內(nèi)力。因此多余力是最基本的未知力，又可稱為力法的基本未知量。但是這個基本未知量

不能用靜力平衡條件求出，而必須根據(jù)基本結(jié)構(gòu)的受力和變形與原結(jié)構(gòu)相同的原則來確定。2.力法的基本未知量5二、力法的基本方程基本體系轉(zhuǎn)化為原來超靜定結(jié)構(gòu)的條件是：基本體系沿多余未知力

方向的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)中相應(yīng)的位移相等，即。可見，為了唯一確定超靜定結(jié)構(gòu)的反力和內(nèi)力，必須同時考慮靜力平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件。(d)

(e)設(shè)以和分別表示未知力和荷載q單獨作用在基本結(jié)構(gòu)時，B點沿方向上的位移（圖d、e）。符號右下方兩個角標(biāo)的含義是：第一個角標(biāo)表示位移的位置和方向；第二個角標(biāo)表示產(chǎn)生位移的原因。為了求得B點總的豎向位移，根據(jù)疊加原理：

若以

表示

為單位力（即

）時，基本結(jié)構(gòu)在

作用點沿方向產(chǎn)生的位移，則有

，于是上式可寫成

此式就是根據(jù)原結(jié)構(gòu)的變形條件建立的用以確定的變形協(xié)調(diào)方程，即為力法的基本方程。二、力法的基本方程(d)(e)設(shè)以和6(a)(b)

(c)繪出基本結(jié)構(gòu)的單位彎矩圖（由單位力產(chǎn)生）和荷載彎矩圖（由荷載q產(chǎn)生），分別如圖a、b所示。用圖乘法計算位移:

計算時可用圖乘圖,叫做圖的“自乘”，即同理可用圖與圖相圖乘計算,得

將

和

之值代入力法基本方程由此求出：(a)7所得結(jié)果為正值，表明的實際方向與原假設(shè)的方向相同。多余未知力求出后，就可以利用靜力平衡條件求原結(jié)構(gòu)的支座反力，作內(nèi)力圖，如圖c所示。根據(jù)疊加原理，結(jié)構(gòu)任一截面的彎矩M也可以用下列公式表示，即綜上可知,力法是以多余未知力作為基本未知量，取去掉多余聯(lián)系后的靜定結(jié)構(gòu)為基本結(jié)構(gòu)，并根據(jù)去掉多余聯(lián)系處的已知位移條件建立基本方程，將多余未知力首先求出，而以后的計算即與靜定結(jié)構(gòu)無異。它可用來分析任何類型的超靜定結(jié)構(gòu)。所得結(jié)果為正值，表明的實際方向與原假設(shè)的方向相同8三、力法典型方程圖a所示為一個三次超靜定結(jié)構(gòu)，在荷載作用下結(jié)構(gòu)的變形如圖中虛線所示。用力法求解時，去掉支座C的三個多余約束，并以相應(yīng)的多余力、、代替所去約束的作用，則得到圖b所示的基本體系。由于原結(jié)構(gòu)在支座C處不可能有任何位移，因此，在承受原荷載和全部多余未知力的基本體系上，也必須與原結(jié)構(gòu)變形相符，在C點處沿多余未知力方向的相應(yīng)位移都等于零。

即應(yīng)滿足位移條件：，，。(a)(b)三、力法典型方程圖a所示為一個三次超靜定結(jié)構(gòu)，在荷載作用下結(jié)9根據(jù)疊加原理，上面位移條件可表示為：這就是三次超靜定結(jié)構(gòu)的力法方程。同理，我們可以建立力法的一般方程。對于n次超靜定結(jié)構(gòu)，用力法計算時，可去掉n個多余約束得到靜定的基本結(jié)構(gòu)，在去掉的n個多余約束處代之以n個多余未知力。當(dāng)原結(jié)構(gòu)在去掉多余約束處的位移為零時，相應(yīng)地也就有n個已知的位移條件，即：

根據(jù)疊加原理，上面位移條件可表示為：這就是三10

即：n次超靜定結(jié)構(gòu)力法的基本方程，通常稱為力法典型方程。這一方程組的物理意義為：基本結(jié)構(gòu)在全部多余未知力和荷載共同作用下，在去掉多余聯(lián)系處沿各多余未知力方向的位移，應(yīng)與原結(jié)構(gòu)相等。典型方程中，多余未知力系數(shù)主對角線上稱為主系數(shù)，其物理意義為：當(dāng)單位力單獨作用時，在其自身方向上所引起的位移，恒為正且不為零。其它系數(shù)稱為副系數(shù)，其物理意義為：當(dāng)單位力單獨作用時，所引起方向的位移。各式最后一項稱為自由項，它是荷載單獨作用時所引起的方向的位移。副系數(shù)和自由項的值可能為正、負(fù)或零。按前面求靜定結(jié)構(gòu)位移的方法求得典型方程中的系數(shù)和自由項后，即可解得多余未知力，然后可按照靜定結(jié)構(gòu)的分析方法求得原結(jié)構(gòu)的全部反力和內(nèi)力，或按下述疊加公式求出彎矩:再根據(jù)平衡條件可求得其剪力和軸力。即：n次超靜定結(jié)構(gòu)力法的基本方程，通常稱為力法典型方程。這11四、力法計算的應(yīng)用力法計算超靜定結(jié)構(gòu)的步驟：⑴選取基本結(jié)構(gòu)。去掉原結(jié)構(gòu)的多余約束得到一個靜定的基本結(jié)構(gòu)，并以力法基本未知量代替相應(yīng)多余約束的作用，確定力法基本未知量的個數(shù)；⑵建立力法典型方程。根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在多余力和原荷載的共同作用下，在去掉多余約束處的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)中相應(yīng)的位移相同的位移條件，建立力法典型方程；⑶求系數(shù)和自由項。為此，需分兩步進(jìn)行：①令作基本結(jié)構(gòu)單位彎矩圖和基本結(jié)構(gòu)荷載彎矩圖；②按照求靜定結(jié)構(gòu)位移的方法計算系數(shù)和自由項；⑷解典型方程，求出多余未知力；⑸求出原結(jié)構(gòu)內(nèi)力繪制內(nèi)力圖。四、力法計算的應(yīng)用12【例8-1】試分析圖8-6a所示剛架，EI=常數(shù)。解：⑴確定超靜定次數(shù)，選取基本結(jié)構(gòu)此剛架具有一個多余聯(lián)系，是一次超靜定結(jié)構(gòu)，去掉支座鏈桿C即為靜定結(jié)構(gòu)，并用X1代替支座鏈桿C的作用，得基本體系如圖8-6b所示。⑵建立力法典型方程

(a)(b)圖8-6圖8-7【例8-1】試分析圖8-6a所示剛架，EI=常數(shù)。13⑶求系數(shù)和自由項⑷求解多余力⑸繪制內(nèi)力圖各桿端彎矩可按計算，最后彎矩圖如圖8-7c所示。⑶求系數(shù)和自由項⑷求解多余力⑸繪制內(nèi)力圖各桿端彎矩可按14位移法是把結(jié)構(gòu)拆成桿件，再由桿件過渡到結(jié)構(gòu)。桿件的內(nèi)力和位移關(guān)系是位移法的計算基礎(chǔ)。位移法雖然主要用于超靜定結(jié)構(gòu)，但也可用于靜定結(jié)構(gòu)。一、位移法的基本概念位移法是以結(jié)點位移作為基本未知量求解超靜定結(jié)構(gòu)的方法。利用位移法既可以計算超靜定結(jié)構(gòu)，也可以計算靜定結(jié)構(gòu)。對于高次超靜定結(jié)構(gòu)，運用位移法計算通常也比力法簡便。同時，學(xué)習(xí)位移法也幫助我們加深對結(jié)構(gòu)位移概念的理解，為學(xué)習(xí)力矩分配法打下必要的基礎(chǔ)。8-2位移法位移法是把結(jié)構(gòu)拆成桿件，再由桿件過渡到結(jié)構(gòu)15二、位移法基本變形假設(shè)位移法的計算對象是由等截面直桿組成的桿系結(jié)構(gòu)，例如剛架、連續(xù)梁。在計算中認(rèn)為結(jié)構(gòu)仍然符合小變形假定，同時位移法假設(shè)：1.各桿端之間的軸向長度在變形后保持不變；2.剛性結(jié)點所連各桿端的截面轉(zhuǎn)角是相同的。三、位移法的基本未知量位移法以結(jié)構(gòu)的剛結(jié)點角位移和結(jié)點線位移為基本未知量，通過平衡條件和變形條件建立位移法方程求出未知量。未知量求出后，再利用桿端內(nèi)力與荷載及結(jié)點位移之間的關(guān)系，計算出結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，作出內(nèi)力圖。

在結(jié)構(gòu)中，一般情況下剛結(jié)點的角位移數(shù)目和剛結(jié)點的數(shù)目相同，但結(jié)構(gòu)獨立的結(jié)點線位移的數(shù)目則需要分析判斷后才能確定。下面舉例說明如何確定位移法的基本未知量。二、位移法基本變形假設(shè)16圖（a）所示剛架有兩個剛結(jié)點，現(xiàn)在兩個剛結(jié)點都發(fā)生了角位移和線位移，但在忽略桿件的軸向變形時，這兩個線位移相等，即獨立的結(jié)點線位移只有一個，因此用位移法求解時，該結(jié)構(gòu)的基本未知量是兩個角位移和以及一個線位移Δ。

圖（a）所示剛架有兩個剛結(jié)點，現(xiàn)在兩個剛結(jié)點都發(fā)生了角位移和17(b)同理，圖（b）所示排架有三個鉸結(jié)點，其水平線位移相同，故該結(jié)構(gòu)的基本未知量是一個線位移Δ。

(b)同理，圖（b）所示排架有三個鉸結(jié)點，其水平線位移相同，18當(dāng)結(jié)構(gòu)的獨立結(jié)點線位移的數(shù)目由直觀的方法難以判斷時，則可以采用“鉸化結(jié)點、增加鏈桿”的方法判斷。即在確定結(jié)構(gòu)獨立的結(jié)點線位移時，先把所有的結(jié)點和支座都換成鉸結(jié)點和鉸支座，得到一個鉸結(jié)體系。若此體系是幾何不變體系，則由此知道結(jié)構(gòu)的所有結(jié)點均無獨立結(jié)點線位移。如果此體系是幾何可變體系或瞬變體系，則可以通過增加鏈桿使其變?yōu)閹缀尾蛔凅w系，所增加的最少鏈桿的數(shù)目，就是原結(jié)構(gòu)的獨立結(jié)點線位移的數(shù)目。當(dāng)結(jié)構(gòu)的獨立結(jié)點線位移的數(shù)目由直觀的方法難以判斷時，則可以采19例如圖(a)所示結(jié)構(gòu)，鉸化結(jié)點后增加一根鏈桿可變?yōu)閹缀尾蛔凅w系[圖(b)]，所以結(jié)點獨立線位移的數(shù)目為一，整個結(jié)構(gòu)的基本未知量為兩個角位移和一個獨立結(jié)點線位移。例如圖(a)所示結(jié)構(gòu)，鉸化結(jié)點后增加一根鏈桿可變?yōu)閹缀尾蛔凅w20四、位移法的桿端內(nèi)力1.運用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)時，需要將結(jié)構(gòu)拆成單桿，單桿的桿端約束視結(jié)點而定，剛結(jié)點視為固定支座，鉸結(jié)點視為固定鉸支座。當(dāng)討論桿件的彎矩與剪力時，由于鉸支座在桿軸線方向上的約束力只產(chǎn)生軸力，因此可不予考慮，從而鉸支座可進(jìn)一步簡化為垂直于桿軸線的可動鉸支座。結(jié)合邊界支座的形式，位移法的單桿超靜定梁有三種形式，如圖8-10所示。(a)

(b)(c)圖8-10單桿超靜定梁的約束形式四、位移法的桿端內(nèi)力(a)212.為了計算方便，桿端內(nèi)力采用兩個下標(biāo)來表示，其中第一個下標(biāo)表示該彎矩所作用的桿端，稱為近端，第二個下標(biāo)表示桿件的另一端，稱為遠(yuǎn)端。如圖8-11所示AB梁8-11桿端彎矩的正、負(fù)號規(guī)定位移法規(guī)定桿端彎矩使桿端順時針轉(zhuǎn)向為正，逆時針轉(zhuǎn)向為負(fù)（對于支座和結(jié)點就變成逆時針轉(zhuǎn)向為正，順時針轉(zhuǎn)向為負(fù)），如圖8-11所示。對于桿端、支座及結(jié)點剪力的正負(fù)號規(guī)定則和以前相同，以順時針為正，逆時針為負(fù)。2.為了計算方便，桿端內(nèi)力采用兩個下標(biāo)來表示，其中第一個下223.位移法的桿端內(nèi)力主要是剪力和彎矩，由于位移法下的單桿都是超靜定梁，所以不僅荷載會引起桿端內(nèi)力，桿端支座位移也會引起內(nèi)力，由荷載引起的彎矩稱為固端彎矩，由荷載引起的剪力稱為固端剪力。這些桿端內(nèi)力可通過查表8-1獲得，表中的i稱為桿件的線剛度，即：其中：EI是桿件的抗彎剛度；是桿長。3.位移法的桿端內(nèi)力主要是剪力和彎矩，由于位移法下的單桿都23表8.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力

表8.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力24續(xù)表8.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力

續(xù)表8.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力25續(xù)表8.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力

續(xù)表8.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力26續(xù)表8.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力

續(xù)表8.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力27續(xù)表8.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力

續(xù)表8.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力28續(xù)表8.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力

續(xù)表8.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力29五、位移法的原理位移法的基本思路就是選取結(jié)點位移為基本未知量，把每段桿件視為獨立的單跨超靜定梁，然后根據(jù)其位移以及荷載寫出各桿端彎矩的表達(dá)式，再利用靜力平衡條件求解位移未知量，進(jìn)而求解各桿端彎矩。六、位移法的應(yīng)用

利用位移法求解超靜定結(jié)構(gòu)的一般步驟如下：⑴確定基本未知量；⑵將結(jié)構(gòu)拆成超靜定(或個別靜定)的單桿；⑶查表8-1，列出各桿端轉(zhuǎn)角位移方程；⑷根據(jù)平衡條件建立平衡方程（一般對有轉(zhuǎn)角位移的剛結(jié)點取力矩平衡方程，有結(jié)點線位移時，則考慮線位移方向的靜力平衡方程）；⑸解出未知量，求出桿端內(nèi)力；⑹作出內(nèi)力圖。五、位移法的原理位移法的基本思路就是選取結(jié)點30一、力矩分配法的基本概念力矩分配法的理論基礎(chǔ)是位移法，解題方法采用漸近法，它不必計算節(jié)點位移，也無須求解聯(lián)立方程，可以直接通過代數(shù)運算得到桿端彎矩。計算時，逐個節(jié)點依次進(jìn)行，和力法、位移法相比，計算過程較為簡單直觀，計算過程不容易出錯。力矩分配法的適用范圍是連續(xù)梁和無結(jié)點線位移的剛架。在力矩分配法中，內(nèi)力正負(fù)號的規(guī)定與位移法相同。8-3力矩分配法一、力矩分配法的基本概念8-3力矩分配法311.轉(zhuǎn)動剛度

轉(zhuǎn)動剛度表示桿端對轉(zhuǎn)動的抵抗能力。在數(shù)值上等于使桿端產(chǎn)生單位角位移時所需施加的力矩，記作S。其中轉(zhuǎn)動端稱為近端，另一端稱為遠(yuǎn)端。等截面直桿的轉(zhuǎn)動剛度與遠(yuǎn)端約束及線剛度有關(guān)，根據(jù)表8-1知：遠(yuǎn)端固定：遠(yuǎn)端鉸支：遠(yuǎn)端雙滑動支座：遠(yuǎn)端自由：(式中為線剛度）1.轉(zhuǎn)動剛度遠(yuǎn)端固定：遠(yuǎn)端鉸支：遠(yuǎn)端雙滑動支座：遠(yuǎn)端自由：322.分配系數(shù)圖8-14所示超靜定剛架，B端為固定端支座，C端為定向支座，D端為固定鉸支座，設(shè)有力偶M作用于A結(jié)點，使結(jié)點A產(chǎn)生轉(zhuǎn)角，由轉(zhuǎn)動剛度定義可知：圖8-14取結(jié)點A為隔離體，由平衡方程得：所以可得式中，——A端各桿的轉(zhuǎn)動剛度之和。2.分配系數(shù)圖8-14取結(jié)點A為隔離體，由平衡方程33將值帶入A結(jié)點的各桿端彎矩表達(dá)式，得：由此看來，A結(jié)點處各桿端彎矩與各桿端的轉(zhuǎn)動剛度成正比，可以用下列公式表達(dá)計算結(jié)果，即式中，——分配系數(shù)，其中j可以是B、C或D?？梢?，桿件的桿端分配系數(shù)等于該桿近端轉(zhuǎn)動剛度與交于該點各桿近端轉(zhuǎn)動剛度之和的比。稱為分配彎矩。上式表明，作用于結(jié)點A處的外力矩是根據(jù)匯集于該結(jié)點處的各桿的剛度系數(shù)的大小按比例分配給各桿端的。顯然，在同一剛結(jié)點上，各桿近端的分配系數(shù)之和等于1，即將值帶入A結(jié)點的各桿端彎矩表達(dá)式，得：343.傳遞系數(shù)圖8-14中，力偶荷載M加于結(jié)點A，使各桿近端產(chǎn)生彎矩，同時也使各桿遠(yuǎn)端產(chǎn)生彎矩。由位移法中的轉(zhuǎn)角位移方程可得桿端彎矩的具體數(shù)值為，，由上述結(jié)果可知：稱為傳遞系數(shù)，表示當(dāng)近端有轉(zhuǎn)角時遠(yuǎn)端彎矩與近端彎矩的比值。對等截面桿來說，傳遞系數(shù)隨遠(yuǎn)端的支承情況的不同而變化，數(shù)值為：遠(yuǎn)端固定：遠(yuǎn)端定向：遠(yuǎn)端鉸支：3.傳遞系數(shù)，，由上述結(jié)果可知：35求得各桿的近端的分配彎矩后，不難求出各桿遠(yuǎn)端的傳遞彎矩，即：最后，將各桿桿端的固端彎矩、分配彎矩和傳遞彎矩疊加，就得到桿端的最后彎矩。求得各桿的近端的分配彎矩后，不難求出各桿遠(yuǎn)端的傳遞彎矩，即：36二、計算原理力矩分配法的基本思路概括為“固定”和“放松”。首先將剛結(jié)點固定（加剛臂），得到荷載單獨作用下的桿端彎矩，然后任取一個結(jié)點作為起始結(jié)點，計算其不平衡力矩。接著放松該結(jié)點，允許其產(chǎn)生角位移，并依據(jù)平衡條件，通過分配不平衡力矩得到角位移引起的各桿近端分配彎矩，再由各桿近端分配彎矩傳遞得到各桿遠(yuǎn)端傳遞彎矩。該結(jié)點的計算結(jié)束后仍將其固定，再換一個剛結(jié)點，重復(fù)上述計算過程，直至計算結(jié)束。由于力矩分配法屬于逐次逼近法，因此計算可能不止一個輪次，當(dāng)誤差在允許范圍內(nèi)時即可停止計算。最后將各結(jié)點的固端彎矩、分配彎矩和傳遞彎矩相加，得到最終桿端彎矩。二、計算原理力矩分配法的基本思路概括為“固定37力矩分配法的計算步驟如下：（1）將各剛結(jié)點看作是鎖定的，查表8-1得到各桿的固端彎矩；（2）計算各桿的線剛度、轉(zhuǎn)動剛度S，確定剛結(jié)點處各桿的分配系數(shù)μ，并用結(jié)點處總分配系數(shù)為1進(jìn)行驗算；（3）計算剛結(jié)點處的不平衡力矩，將結(jié)點不平衡力矩變號分配，得近端分配彎矩；（4）根據(jù)遠(yuǎn)端約束條件確定傳遞系數(shù)C，計算遠(yuǎn)端傳遞彎矩；（5）依次對各結(jié)點循環(huán)進(jìn)行分配、傳遞計算，當(dāng)誤差在允許范圍內(nèi)時，終止計算，然后將各桿端的固端彎矩、分配彎矩與傳遞彎矩進(jìn)行代數(shù)相加，得出最后的桿端彎矩；（6）根據(jù)最終桿端彎矩值及位移法的彎矩正負(fù)號規(guī)定，用疊加法繪制彎矩圖。力矩分配法的計算步驟如下：38【例】試用力矩分配法計算圖（a）所示兩跨連續(xù)梁，并繪制彎矩圖。(a)【例】試用力矩分配法計算圖（a）所示兩跨連續(xù)梁，并繪制彎矩39【解】（1）計算力矩分配系數(shù)。由于AB桿BC桿的線剛度相同，令轉(zhuǎn)動剛度為

SBA=4iAB=4iSBC=3iBC=3i分配系數(shù)為

【解】（1）計算力矩分配系數(shù)。40

校核：

AB+BC=1

41

（2）計算固端彎矩和結(jié)點處的約束力矩。先在結(jié)點B加上阻止轉(zhuǎn)動的約束，由表9.1計算荷載產(chǎn)生的固端彎矩如下：

結(jié)點處的約束力矩為

（2）計算固端彎矩和結(jié)點處的約束力矩。42（3）計算分配彎矩。

（4）計算傳遞彎矩。

（3）計算分配彎矩。43（5）計算桿端彎矩。

（5）計算桿端彎矩。44一般情況下，將以上計算過程列表進(jìn)行。表中結(jié)點B分配彎矩下畫一橫線表示結(jié)點B力矩分配完畢，結(jié)點已達(dá)到新的平衡。表中箭頭表示將近端分配彎矩通過傳遞系數(shù)傳向遠(yuǎn)端。一般情況下，將以上計算過程列表進(jìn)行。表中結(jié)點B分配彎矩下畫一45

計算過程表(力矩單位：kN·m)

桿端

ABBABCCB分配系數(shù)0.57l0.429固端彎矩?150150?900力矩分配與傳遞?17.2←

?34.1?25.7→0桿端最后彎矩?167.2115.7

?l15.70計算過程表(力矩單46

最后根據(jù)桿端彎矩值，繪出M圖［圖（b）］。注意結(jié)點B應(yīng)滿足平衡條件。即∑MB=115.7－115.7=0最后根據(jù)桿端彎矩值，繪出M圖［圖（b）］。注意結(jié)點B應(yīng)滿47

建筑力學(xué)

第8章超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析

建筑力學(xué)

第8章超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析48超靜定結(jié)構(gòu)與靜定結(jié)構(gòu)在計算方面的主要區(qū)別：

靜定結(jié)構(gòu)的支座反力和各截面的內(nèi)力只根據(jù)靜力平衡條件即可求出；

超靜定結(jié)構(gòu)支座反力和各截面的內(nèi)力則不能單從靜力平衡條件求出，而必須同時考慮變形協(xié)調(diào)條件。靜定結(jié)構(gòu)超靜定結(jié)構(gòu)從幾何構(gòu)造來看，靜定結(jié)構(gòu)是沒有多余約束的幾何不變體系；超靜定結(jié)構(gòu)為有多余約束的幾何不變體系?？傊卸嘤嗉s束是超靜定結(jié)構(gòu)區(qū)別于靜定結(jié)構(gòu)的基本特點。超靜定結(jié)構(gòu)與靜定結(jié)構(gòu)在計算方面的主要區(qū)別：靜定結(jié)構(gòu)49

力法是超靜定計算基本方法之一，也是學(xué)習(xí)其他方法的基礎(chǔ)。力法是把超靜定結(jié)構(gòu)拆成靜定結(jié)構(gòu)，再由靜定結(jié)構(gòu)過渡到超靜定結(jié)構(gòu)。靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移計算是力法計算的基礎(chǔ)。8-1力法力法是超靜定計算基本方法之一，也是學(xué)習(xí)其他方法的850一、力法的基本原理1.力法的基本結(jié)構(gòu)(a)原結(jié)構(gòu)

(b)基本體系圖a所示一端固定，另一端鉸支的梁，承受荷載ｑ的作用，EI為常數(shù)，該梁有一個多余約束，是一次超靜定結(jié)構(gòu)。對圖a所示的原結(jié)構(gòu)，如果把支桿B作為多余約束去掉，并代之以多余未知力X1（簡稱多余力），則圖a所示的超靜定梁就轉(zhuǎn)化為圖b所示的靜定梁，這樣得到的含有多余未知力的靜定結(jié)構(gòu)稱為力法的基本體系。與之相應(yīng)，把圖a中原超靜定結(jié)構(gòu)中多余約束（支座B）和荷載都去掉后得到的靜定結(jié)構(gòu)稱為力法的基本結(jié)構(gòu)（圖c）。AB(c）基本結(jié)構(gòu)一、力法的基本原理(a)原結(jié)構(gòu)(b)基本體系圖512.力法的基本未知量求解基本結(jié)構(gòu)的多余未知力

，一旦求得多余未知力

，就可在基本結(jié)構(gòu)上用靜力平衡條件求出原結(jié)構(gòu)的所有反力和內(nèi)力。因此多余力是最基本的未知力，又可稱為力法的基本未知量。但是這個基本未知量

不能用靜力平衡條件求出，而必須根據(jù)基本結(jié)構(gòu)的受力和變形與原結(jié)構(gòu)相同的原則來確定。2.力法的基本未知量52二、力法的基本方程基本體系轉(zhuǎn)化為原來超靜定結(jié)構(gòu)的條件是：基本體系沿多余未知力

方向的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)中相應(yīng)的位移相等，即。可見，為了唯一確定超靜定結(jié)構(gòu)的反力和內(nèi)力，必須同時考慮靜力平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件。(d)

(e)設(shè)以和分別表示未知力和荷載q單獨作用在基本結(jié)構(gòu)時，B點沿方向上的位移（圖d、e）。符號右下方兩個角標(biāo)的含義是：第一個角標(biāo)表示位移的位置和方向；第二個角標(biāo)表示產(chǎn)生位移的原因。為了求得B點總的豎向位移，根據(jù)疊加原理：

若以

表示

為單位力（即

）時，基本結(jié)構(gòu)在

作用點沿方向產(chǎn)生的位移，則有

，于是上式可寫成

此式就是根據(jù)原結(jié)構(gòu)的變形條件建立的用以確定的變形協(xié)調(diào)方程，即為力法的基本方程。二、力法的基本方程(d)(e)設(shè)以和53(a)(b)

(c)繪出基本結(jié)構(gòu)的單位彎矩圖（由單位力產(chǎn)生）和荷載彎矩圖（由荷載q產(chǎn)生），分別如圖a、b所示。用圖乘法計算位移:

計算時可用圖乘圖,叫做圖的“自乘”，即同理可用圖與圖相圖乘計算,得

將

和

之值代入力法基本方程由此求出：(a)54所得結(jié)果為正值，表明的實際方向與原假設(shè)的方向相同。多余未知力求出后，就可以利用靜力平衡條件求原結(jié)構(gòu)的支座反力，作內(nèi)力圖，如圖c所示。根據(jù)疊加原理，結(jié)構(gòu)任一截面的彎矩M也可以用下列公式表示，即綜上可知,力法是以多余未知力作為基本未知量，取去掉多余聯(lián)系后的靜定結(jié)構(gòu)為基本結(jié)構(gòu)，并根據(jù)去掉多余聯(lián)系處的已知位移條件建立基本方程，將多余未知力首先求出，而以后的計算即與靜定結(jié)構(gòu)無異。它可用來分析任何類型的超靜定結(jié)構(gòu)。所得結(jié)果為正值，表明的實際方向與原假設(shè)的方向相同55三、力法典型方程圖a所示為一個三次超靜定結(jié)構(gòu)，在荷載作用下結(jié)構(gòu)的變形如圖中虛線所示。用力法求解時，去掉支座C的三個多余約束，并以相應(yīng)的多余力、、代替所去約束的作用，則得到圖b所示的基本體系。由于原結(jié)構(gòu)在支座C處不可能有任何位移，因此，在承受原荷載和全部多余未知力的基本體系上，也必須與原結(jié)構(gòu)變形相符，在C點處沿多余未知力方向的相應(yīng)位移都等于零。

即應(yīng)滿足位移條件：，，。(a)(b)三、力法典型方程圖a所示為一個三次超靜定結(jié)構(gòu)，在荷載作用下結(jié)56根據(jù)疊加原理，上面位移條件可表示為：這就是三次超靜定結(jié)構(gòu)的力法方程。同理，我們可以建立力法的一般方程。對于n次超靜定結(jié)構(gòu)，用力法計算時，可去掉n個多余約束得到靜定的基本結(jié)構(gòu)，在去掉的n個多余約束處代之以n個多余未知力。當(dāng)原結(jié)構(gòu)在去掉多余約束處的位移為零時，相應(yīng)地也就有n個已知的位移條件，即：

根據(jù)疊加原理，上面位移條件可表示為：這就是三57

即：n次超靜定結(jié)構(gòu)力法的基本方程，通常稱為力法典型方程。這一方程組的物理意義為：基本結(jié)構(gòu)在全部多余未知力和荷載共同作用下，在去掉多余聯(lián)系處沿各多余未知力方向的位移，應(yīng)與原結(jié)構(gòu)相等。典型方程中，多余未知力系數(shù)主對角線上稱為主系數(shù)，其物理意義為：當(dāng)單位力單獨作用時，在其自身方向上所引起的位移，恒為正且不為零。其它系數(shù)稱為副系數(shù)，其物理意義為：當(dāng)單位力單獨作用時，所引起方向的位移。各式最后一項稱為自由項，它是荷載單獨作用時所引起的方向的位移。副系數(shù)和自由項的值可能為正、負(fù)或零。按前面求靜定結(jié)構(gòu)位移的方法求得典型方程中的系數(shù)和自由項后，即可解得多余未知力，然后可按照靜定結(jié)構(gòu)的分析方法求得原結(jié)構(gòu)的全部反力和內(nèi)力，或按下述疊加公式求出彎矩:再根據(jù)平衡條件可求得其剪力和軸力。即：n次超靜定結(jié)構(gòu)力法的基本方程，通常稱為力法典型方程。這58四、力法計算的應(yīng)用力法計算超靜定結(jié)構(gòu)的步驟：⑴選取基本結(jié)構(gòu)。去掉原結(jié)構(gòu)的多余約束得到一個靜定的基本結(jié)構(gòu)，并以力法基本未知量代替相應(yīng)多余約束的作用，確定力法基本未知量的個數(shù)；⑵建立力法典型方程。根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在多余力和原荷載的共同作用下，在去掉多余約束處的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)中相應(yīng)的位移相同的位移條件，建立力法典型方程；⑶求系數(shù)和自由項。為此，需分兩步進(jìn)行：①令作基本結(jié)構(gòu)單位彎矩圖和基本結(jié)構(gòu)荷載彎矩圖；②按照求靜定結(jié)構(gòu)位移的方法計算系數(shù)和自由項；⑷解典型方程，求出多余未知力；⑸求出原結(jié)構(gòu)內(nèi)力繪制內(nèi)力圖。四、力法計算的應(yīng)用59【例8-1】試分析圖8-6a所示剛架，EI=常數(shù)。解：⑴確定超靜定次數(shù)，選取基本結(jié)構(gòu)此剛架具有一個多余聯(lián)系，是一次超靜定結(jié)構(gòu)，去掉支座鏈桿C即為靜定結(jié)構(gòu)，并用X1代替支座鏈桿C的作用，得基本體系如圖8-6b所示。⑵建立力法典型方程

(a)(b)圖8-6圖8-7【例8-1】試分析圖8-6a所示剛架，EI=常數(shù)。60⑶求系數(shù)和自由項⑷求解多余力⑸繪制內(nèi)力圖各桿端彎矩可按計算，最后彎矩圖如圖8-7c所示。⑶求系數(shù)和自由項⑷求解多余力⑸繪制內(nèi)力圖各桿端彎矩可按61位移法是把結(jié)構(gòu)拆成桿件，再由桿件過渡到結(jié)構(gòu)。桿件的內(nèi)力和位移關(guān)系是位移法的計算基礎(chǔ)。位移法雖然主要用于超靜定結(jié)構(gòu)，但也可用于靜定結(jié)構(gòu)。一、位移法的基本概念位移法是以結(jié)點位移作為基本未知量求解超靜定結(jié)構(gòu)的方法。利用位移法既可以計算超靜定結(jié)構(gòu)，也可以計算靜定結(jié)構(gòu)。對于高次超靜定結(jié)構(gòu)，運用位移法計算通常也比力法簡便。同時，學(xué)習(xí)位移法也幫助我們加深對結(jié)構(gòu)位移概念的理解，為學(xué)習(xí)力矩分配法打下必要的基礎(chǔ)。8-2位移法位移法是把結(jié)構(gòu)拆成桿件，再由桿件過渡到結(jié)構(gòu)62二、位移法基本變形假設(shè)位移法的計算對象是由等截面直桿組成的桿系結(jié)構(gòu)，例如剛架、連續(xù)梁。在計算中認(rèn)為結(jié)構(gòu)仍然符合小變形假定，同時位移法假設(shè)：1.各桿端之間的軸向長度在變形后保持不變；2.剛性結(jié)點所連各桿端的截面轉(zhuǎn)角是相同的。三、位移法的基本未知量位移法以結(jié)構(gòu)的剛結(jié)點角位移和結(jié)點線位移為基本未知量，通過平衡條件和變形條件建立位移法方程求出未知量。未知量求出后，再利用桿端內(nèi)力與荷載及結(jié)點位移之間的關(guān)系，計算出結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，作出內(nèi)力圖。

在結(jié)構(gòu)中，一般情況下剛結(jié)點的角位移數(shù)目和剛結(jié)點的數(shù)目相同，但結(jié)構(gòu)獨立的結(jié)點線位移的數(shù)目則需要分析判斷后才能確定。下面舉例說明如何確定位移法的基本未知量。二、位移法基本變形假設(shè)63圖（a）所示剛架有兩個剛結(jié)點，現(xiàn)在兩個剛結(jié)點都發(fā)生了角位移和線位移，但在忽略桿件的軸向變形時，這兩個線位移相等，即獨立的結(jié)點線位移只有一個，因此用位移法求解時，該結(jié)構(gòu)的基本未知量是兩個角位移和以及一個線位移Δ。

圖（a）所示剛架有兩個剛結(jié)點，現(xiàn)在兩個剛結(jié)點都發(fā)生了角位移和64(b)同理，圖（b）所示排架有三個鉸結(jié)點，其水平線位移相同，故該結(jié)構(gòu)的基本未知量是一個線位移Δ。

(b)同理，圖（b）所示排架有三個鉸結(jié)點，其水平線位移相同，65當(dāng)結(jié)構(gòu)的獨立結(jié)點線位移的數(shù)目由直觀的方法難以判斷時，則可以采用“鉸化結(jié)點、增加鏈桿”的方法判斷。即在確定結(jié)構(gòu)獨立的結(jié)點線位移時，先把所有的結(jié)點和支座都換成鉸結(jié)點和鉸支座，得到一個鉸結(jié)體系。若此體系是幾何不變體系，則由此知道結(jié)構(gòu)的所有結(jié)點均無獨立結(jié)點線位移。如果此體系是幾何可變體系或瞬變體系，則可以通過增加鏈桿使其變?yōu)閹缀尾蛔凅w系，所增加的最少鏈桿的數(shù)目，就是原結(jié)構(gòu)的獨立結(jié)點線位移的數(shù)目。當(dāng)結(jié)構(gòu)的獨立結(jié)點線位移的數(shù)目由直觀的方法難以判斷時，則可以采66例如圖(a)所示結(jié)構(gòu)，鉸化結(jié)點后增加一根鏈桿可變?yōu)閹缀尾蛔凅w系[圖(b)]，所以結(jié)點獨立線位移的數(shù)目為一，整個結(jié)構(gòu)的基本未知量為兩個角位移和一個獨立結(jié)點線位移。例如圖(a)所示結(jié)構(gòu)，鉸化結(jié)點后增加一根鏈桿可變?yōu)閹缀尾蛔凅w67四、位移法的桿端內(nèi)力1.運用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)時，需要將結(jié)構(gòu)拆成單桿，單桿的桿端約束視結(jié)點而定，剛結(jié)點視為固定支座，鉸結(jié)點視為固定鉸支座。當(dāng)討論桿件的彎矩與剪力時，由于鉸支座在桿軸線方向上的約束力只產(chǎn)生軸力，因此可不予考慮，從而鉸支座可進(jìn)一步簡化為垂直于桿軸線的可動鉸支座。結(jié)合邊界支座的形式，位移法的單桿超靜定梁有三種形式，如圖8-10所示。(a)

(b)(c)圖8-10單桿超靜定梁的約束形式四、位移法的桿端內(nèi)力(a)682.為了計算方便，桿端內(nèi)力采用兩個下標(biāo)來表示，其中第一個下標(biāo)表示該彎矩所作用的桿端，稱為近端，第二個下標(biāo)表示桿件的另一端，稱為遠(yuǎn)端。如圖8-11所示AB梁8-11桿端彎矩的正、負(fù)號規(guī)定位移法規(guī)定桿端彎矩使桿端順時針轉(zhuǎn)向為正，逆時針轉(zhuǎn)向為負(fù)（對于支座和結(jié)點就變成逆時針轉(zhuǎn)向為正，順時針轉(zhuǎn)向為負(fù)），如圖8-11所示。對于桿端、支座及結(jié)點剪力的正負(fù)號規(guī)定則和以前相同，以順時針為正，逆時針為負(fù)。2.為了計算方便，桿端內(nèi)力采用兩個下標(biāo)來表示，其中第一個下693.位移法的桿端內(nèi)力主要是剪力和彎矩，由于位移法下的單桿都是超靜定梁，所以不僅荷載會引起桿端內(nèi)力，桿端支座位移也會引起內(nèi)力，由荷載引起的彎矩稱為固端彎矩，由荷載引起的剪力稱為固端剪力。這些桿端內(nèi)力可通過查表8-1獲得，表中的i稱為桿件的線剛度，即：其中：EI是桿件的抗彎剛度；是桿長。3.位移法的桿端內(nèi)力主要是剪力和彎矩，由于位移法下的單桿都70表8.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力

表8.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力71續(xù)表8.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力

續(xù)表8.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力72續(xù)表8.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力

續(xù)表8.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力73續(xù)表8.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力

續(xù)表8.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力74續(xù)表8.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力

續(xù)表8.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力75續(xù)表8.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力

續(xù)表8.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力76五、位移法的原理位移法的基本思路就是選取結(jié)點位移為基本未知量，把每段桿件視為獨立的單跨超靜定梁，然后根據(jù)其位移以及荷載寫出各桿端彎矩的表達(dá)式，再利用靜力平衡條件求解位移未知量，進(jìn)而求解各桿端彎矩。六、位移法的應(yīng)用

利用位移法求解超靜定結(jié)構(gòu)的一般步驟如下：⑴確定基本未知量；⑵將結(jié)構(gòu)拆成超靜定(或個別靜定)的單桿；⑶查表8-1，列出各桿端轉(zhuǎn)角位移方程；⑷根據(jù)平衡條件建立平衡方程（一般對有轉(zhuǎn)角位移的剛結(jié)點取力矩平衡方程，有結(jié)點線位移時，則考慮線位移方向的靜力平衡方程）；⑸解出未知量，求出桿端內(nèi)力；⑹作出內(nèi)力圖。五、位移法的原理位移法的基本思路就是選取結(jié)點77一、力矩分配法的基本概念力矩分配法的理論基礎(chǔ)是位移法，解題方法采用漸近法，它不必計算節(jié)點位移，也無須求解聯(lián)立方程，可以直接通過代數(shù)運算得到桿端彎矩。計算時，逐個節(jié)點依次進(jìn)行，和力法、位移法相比，計算過程較為簡單直觀，計算過程不容易出錯。力矩分配法的適用范圍是連續(xù)梁和無結(jié)點線位移的剛架。在力矩分配法中，內(nèi)力正負(fù)號的規(guī)定與位移法相同。8-3力矩分配法一、力矩分配法的基本概念8-3力矩分配法781.轉(zhuǎn)動剛度

轉(zhuǎn)動剛度表示桿端對轉(zhuǎn)動的抵抗能力。在數(shù)值上等于使桿端產(chǎn)生單位角位移時所需施加的力矩，記作S。其中轉(zhuǎn)動端稱為近端，另一端稱為遠(yuǎn)端。等截面直桿的轉(zhuǎn)動剛度與遠(yuǎn)端約束及線剛度有關(guān)，根據(jù)表8-1知：遠(yuǎn)端固定：遠(yuǎn)端鉸支：遠(yuǎn)端雙滑動支座：遠(yuǎn)端自由：(式中為線剛度）1.轉(zhuǎn)動剛度遠(yuǎn)端固定：遠(yuǎn)端鉸支：遠(yuǎn)端雙滑動支座：遠(yuǎn)端自由：792.分配系數(shù)圖8-14所示超靜定剛架，B端為固定端支座，C端為定向支座，D端為固定鉸支座，設(shè)有力偶M作用于A結(jié)點，使結(jié)點A產(chǎn)生轉(zhuǎn)角，由轉(zhuǎn)動剛度定義可知：圖8-14取結(jié)點A為隔離體，由平衡方程得：所以可得式中，——A端各桿的轉(zhuǎn)動剛度之和。2.分配系數(shù)圖8-14取結(jié)點A為隔離體，由平衡方程80將值帶入A結(jié)點的各桿端彎矩表達(dá)式，得：由此看來，A結(jié)點處各桿端彎矩與各桿端的轉(zhuǎn)動剛度成正比，可以用下列公式表達(dá)計算結(jié)果，即式中，——分配系數(shù)，其中j可以是B、C或D?？梢?，桿件的桿端分配系數(shù)等于該桿近端轉(zhuǎn)動剛度與交于該點各桿近端轉(zhuǎn)動剛度之和的比。稱為分配彎矩。上式表明，作用于結(jié)點A處的外力矩是根據(jù)匯集于該結(jié)點處的各桿的剛度系數(shù)的大小按比例分配給各桿端的。顯然，在同一剛結(jié)點上，各桿近端的分配系數(shù)之和等于1，即將值帶入A結(jié)點的各桿端彎矩表達(dá)式，得：813.傳遞系數(shù)圖8-14中，力偶荷載M加于結(jié)點A，使各桿近端產(chǎn)生彎矩，同時也使各桿遠(yuǎn)端產(chǎn)生彎矩。由位移法中的轉(zhuǎn)角位移方程可得桿端彎矩的具體數(shù)值為，，由上述結(jié)果可知：稱為傳遞系數(shù)，表示當(dāng)近端有轉(zhuǎn)角時遠(yuǎn)端彎矩與近端彎矩的比值。對等截面桿來說，傳遞系數(shù)隨遠(yuǎn)端的支承情況的不同而變化，數(shù)值為：遠(yuǎn)端固定：遠(yuǎn)端定向：遠(yuǎn)端鉸支：3.傳遞系數(shù)，，由上述結(jié)果可知：82求得各桿的近端的分配彎矩后，不難求出各桿遠(yuǎn)端的傳遞彎矩，即：最后，將各桿桿端的固端彎矩、分配彎矩和傳遞彎矩疊加，就得到桿端的最后彎矩。求得各桿的近端的分配彎矩后，不難求出各桿遠(yuǎn)端的傳遞彎矩，即：83二、計算原理力矩分配法的基本思路概括為“固定”和“放松”。首先將剛結(jié)點固定（加剛臂），得到荷載單獨作用下的桿端彎矩，然后任取一個結(jié)點作為起始結(jié)點，計算其不平衡力矩。接著放松該結(jié)點，允許其產(chǎn)生角位移，并依據(jù)平衡條件，通過分配不平衡力矩得到角位移引起的各