2023年高考數(shù)學一輪復習第十章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布列6事件的相互獨立性與條件概率練習含解析

事件的相互獨立性與條件概率考試要求1..2會利用全概率公式計算概率．知識梳理1．概念：對任意兩個事件A，如果A與事件B相互獨立，簡稱為獨立．性質(zhì)：若事件AB相互獨立，那么ABAAB也都相互獨立．2．條件概率PAB(1)概念：一般地，設為兩個隨機事件，且我們稱PAA發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率．(2)兩個公式

為在事件nABnA；②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．3．全概率公式AAAAAA(A)>＝1,1 2 n 1 2 n in，則對任意的事件B)．i ii＝1常用結(jié)論事件發(fā)生的概率沒有影響，兩事件相互獨立不一定互斥．A發(fā)生的條件下事件BB發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率．3．計算條件概率P(B|A)時，不能隨便用事件B的概率P(B)代替P(AB)．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)對于任意兩個事件，公式)都成立．(×)(2)若事件相互獨立，則)．(√)122枚為正面”為事件若事件A與A是對立事件，則對任意的事件BΩ＝1 2 1 1P(A)P(B|A)．(√)2 2教材改編題1．一個電路上裝有甲、乙兩根保險絲，甲熔斷的概率為0.85，乙熔斷的概率為0.74，甲乙兩根保險絲熔斷與否相互獨立，則兩根保險絲都熔斷的概率( )A．1C．0答案

B．0.629D．0.740.85()的值是(解析由題意知甲、乙兩根保險絲熔斷與否相互獨立，∴甲、乙兩根保險絲都熔斷的概率為0.85×0.74＝0.629.()的值是(2．若(|PA2．若(|

1PB

PAB ))＝，()＝，則9 3)＝，()＝，則1 111A.B.C.D.2739答案A解析由P(AB)＝P(A|B)P(B)，P

11 1

)＝×＝93273．已知某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為2∶1，貨車和客車中途停車修理的概率別為0.02,0.01，則一輛汽車中途停車修理的概率( )1 1 1 1A. B.C.D.1006050答案B解析設B表示汽車中途停車修理，A1

表示公路上經(jīng)過的汽車是貨車，A2

表示公路上經(jīng)過的汽車是客車，PA 2P

1PBA

PBA則()＝，()＝，(|)＝0.02，(|

)＝0.01，1 3 2 3 1 2)1 1 2 22 1 1＝×0.02＋×0.01＝3 3 60題型一條件概率1(1)某公司為方便員工停車，租了62能停一輛車，每個員工只允許占用一個停車位．記事件A為“員工小王的車停在編號為奇的車位上”，事件B為“員工小李的車停在編號為偶數(shù)的車位上”，則等( )1 310A.6 B.101 32C. D.25答案D解析根據(jù)條件概率的計算公式可得，33×PAB

PAB

653(|)＝PB

＝ ＝3 56(2)(多選)(2022·濱州模)為慶祝建黨100周年，謳歌中華民族實現(xiàn)偉大復興的奮斗歷程增進全體黨員干部職工對黨史知識的了解，某單位組織開展黨史知識競賽活動，以支部為單位參加比賽，某支部在5道黨史題(有3道選擇題和2道填空)，不放回地依次隨機抽取2道題作答，設事件A為“第1次抽到選擇題”，事件B為“第2次抽到選擇題”，則下列結(jié)論中正確的( )PA 3 3A．()＝5 10PBA 1 A)＝1C．(|)＝2 2答案ABCC1 3解析P(A)＝3＝，故A正確；PAB

C1 55C1C1 3()＝32＝，故BC1C1 10543PBA

PAB

101(|)＝PA

＝＝，故C正確；323P(A

5PA 32)＝1－

()＝1－＝，55AB

C1C1 3)＝23＝C1C)＝23＝5433P AB 103A)＝P A

＝＝，故D錯誤．2425教師備選對標有不同編號的6件正品和4件次品的產(chǎn)品進行檢測不放回地依次摸出2件在第次摸出次品的條件下，第二次摸到正品的概率( )3252A.B.C.D.559答案D解析記A＝“第一次摸出的是次品”，B＝“第二次摸到的是正品”，由題意知，()＝＝，PA 4 2()＝＝，105

4 6 4×＝，10915×＝，

4152則 ＝()＝2＝.PA 35已知盒中裝有3個紅球2個白球5個黑球，它們大小形狀完全相同，現(xiàn)需一個紅球甲每次從中任取一個不放回，則在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率為( )3 132A.B.C.D.1038答案B解析設A＝{甲第一次拿到白球}，B＝{甲第二次拿到紅球}，A1A1

1 C1 1則23＝，

2＝，A2103PBA3

15 C1 510PAB 1

|)＝PA＝.思維升華求條件概率的常用方法PABPA.nABnA.縮樣法：去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解跟蹤訓練1(1)多選下列說法正確的( )PAB是可能的4C．0≤P(A|B)≤1答案BCD

D．P(A|A)＝1PAB解析由條件概率公式PB

知A當事件B包含事件A時，有PAB，故B故C，D(2)(2022·5名男醫(yī)生(含一名主任醫(yī)師)、4323333A.B.C.D.81011答案A解析設事件A表示“有一名主任醫(yī)師被選派”，事件B則“在有一名主任醫(yī)師被選派的條件下，兩名主任醫(yī)師都被選派”的概率為P(B|A)＝nAB C2C1 183＝ 43 ＝＝.nA C3C2－C3C2 48854 43題型二相互獨立事件的概率2(1)(2021·61,2,3,4,5,61二次取出的球的數(shù)字是7”，則()C．答案BP

D．1 P 1 P解析事件甲發(fā)生的概率(甲)＝，事件乙發(fā)生的概率(乙)＝，事件丙發(fā)生的概率(丙)6 6＝，事件丁發(fā)生的概率(丁)＝ ＝.事件甲與事件丙同時發(fā)生的概率為0，＝5 5 ＝，事件丁發(fā)生的概率(丁)＝ ＝.事件甲與事件丙同時發(fā)生的概率為0，6×636 6×66丙)≠P(甲)P(丙)，故A甲丁故B正確事件乙與事件丙同時發(fā)生的概率為1 1

1＝1，P(甲丁)＝6×636P P P＝，(乙丙)≠6×636

(乙)

(丙)，故C錯誤；事件丙與事件丁是互斥事件，不是相互獨立事件，故D錯誤．(2)(5343球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A，AA表示由甲罐取出的球是紅球，白1 2 35球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則列結(jié)論中正確的( )PB 2A．()＝5)＝51 11事件B與事件A1

相互獨立D．A，A，A是兩兩互斥的事件1 2 3答案BD解析易知A，A

是兩兩互斥的事件，1 2PBA

35 5×1011 5)＝ 11 PA1

＝ ＝115105)＝×＋×＋×)＝×＋×＋×

5 5 2 4

3 4 9.1 2

10111011

101122延伸探究(多)若將乙罐中球的個數(shù)改為“乙罐中有3個紅球個白球和3個黑球其他條件不變，則下列選項正確的( )310)＝41 11C．事件B與事件A1

相互獨立D．A，A，A是兩兩互斥的事件1 2 3答案BD解析由題意A，A

是兩兩互斥的事件，PA 5

1 2 31PA 2 1 ()＝＝，()＝＝，1 102PA 3

2 105()＝，3 10P

1 4×211 4)＝ 11 PA1由此知，B

＝ ＝11121PBA 3 PBA 3(|)＝，(|)＝，2 11 3 111 2 36)＋1PAPBA

1 2 21 4 1 3

3 3 7()(|)＝×＋×＋×＝.由此知A，C3 3 211511101122教師備選1．(多選)若()＝，PAB1．(多選)若()＝，

1PA 2PB 1 A B )()＝，()＝，則事件與的關系錯誤的是(事件AB互斥()＝，()＝，則事件與的關系錯誤的是(事件AB對立

9 3 3事件AB相互獨立事件AB答案ABD解析由題意可得P(A)＝1－P(A

1)＝，3P

1PB 1因為()＝，()＝，9 3所以P(AB)＝P(A)·P(B)，故事件AB相互獨立．121立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壺口的概率為，31投中壺耳的概率為.四支箭投完，以得分多者贏．請問乙贏得這局比賽的概率( 513 3 8 8A.B.C.D.757515答案A解析由題意，若乙要贏得這局比賽，按照乙第三支箭的情況可分為兩類：(1)第三支箭投中壺口，第四支箭必須投入壺耳，其概率為

11 1P＝×＝；1 3515(2)第三支箭投入壺耳，第四支箭投入壺口、壺耳均可，其概率為＝×＋＝，所以乙贏得這局比賽的概率為P11 8其概率為＝×＋＝，所以乙贏得這局比賽的概率為

＝＋PP＝＋

1 8 132 5375

1 2 157575＝＋＝＝＋＝相互獨立事件同時發(fā)生的概率等于他們各自發(fā)生的概率之積．7當正面計算較復雜或難以入手時，可從其對立事件入手計算．跟蹤訓練2安全教育，某市組織了一次學生安全知識競賽，規(guī)定每隊3人，每人回答一個問題，答對得21分，答錯得0分．在競賽中，假設甲隊每人回答問題的正確率均為，乙隊每人回答問題的31232343121解(13分”為事件1分”為事件3PA 222 8其概率

()＝××＝，33327甲隊得1分，即三人中只有1人回答正確，其余2人都回答錯誤，其概率PB 2

＋

2

2233 3 ()＝×33 3

×1－

××1－

＋1－

×1－

×＝.故甲隊總得分為333 3 3933 3 39分與1分的概率分別為，.2793333(2)記“甲隊總得分為2分”為事件C，“乙隊總得分為1分”為事件D.甲隊得2分，即甲隊三人中有2人回答正確，1人回答錯誤，3333333PC 22 333

2

2

224則()＝××1－

＋×1－

×＋1－

××＝，339乙隊得1分，即乙隊三人中只有1人回答正確，其余2人回答錯誤，339PD 1

2

3123則()＝×1－23

×1－

＋1－

××1－

＋1－2×1－

×＝.4234344由題意得事件C與事件D相互獨立，4234344

PCD

PCPD

41121分的概率為(

)＝()

()＝×＝.949題型三全概率公式的應用3(10.05,0.15,0.30保險人中“謹慎的”被保險人占20%，“一般的”被保險人占5030%，A．0.155C．0.016答案B

B．0.175D．0.0968解析設事件B1

表示“被保險人是‘謹慎的’”，事件B2

表示“被保險人是‘一般的’”，B表示“被保險人是‘冒失的’”，則)＝20%，P(B.設事件A3 1 2 3表示“被保險人在一年內(nèi)發(fā)生事故”，則)＝0.05，P(A|B)＝0.15，P(A|B)＝0.30.1 2 33由全概率公式，得P(B)＝0.05×20%＋0.15×50%＋0.30×30%＝0.175.3i ii＝1(2)人們?yōu)榱私庖恢Ч善蔽磥硪欢〞r期內(nèi)價格的變化，往往會去分析影響股票價格的基本因素比如利率的變化現(xiàn)假設人們經(jīng)分析估計利率下調(diào)的概率為利率不變的概率為根據(jù)經(jīng)驗，人們估計，在利率下調(diào)的情況下，該支股票價格上漲的概率為80%，而在利率變的情況下，其價格上漲的概率為40%，則該支股票將上漲的概率．答案0.64解析記“利率下調(diào)”為事件A，“價格上漲”為事件A)＝40%，A)＝40%，AA)＝0.48＋0.16＝0.64.教師備選已知在所有男子中有5%患有色盲癥，在所有女子中有0.25%患有色盲癥，隨機抽一人發(fā)現(xiàn)色盲癥，其為男子的概率(設男子和女子的人數(shù)相)( )10 2011A. B.112111 112C.21 D.12答案B解析設AP(A)＝0.5，P(B)＝0.5，

PAPPAPC|A＋PBPC|B0.05×0.5 20＝ ＝.0.5×0.05＋0.5×0.002521思維升華利用全概率公式的思路按照確定的標準，將一個復雜事件分解為若干個互斥事件Ai求)和所求事件B在各個互斥事件A發(fā)生條件下的概率)；i i i i9代入全概率公式計算．跟蹤訓練3(1)某考生回答一道四選一的考題，假設他知道正確答案的概率為0.5，知道正確答案時，答對的概率為100%，而不知道正確答案時猜對的概率為0.25，那么他答對題目的概率為()A．0.625C．0.5答案A

B．0.75D．0解析用A表示事件“考生答對了”，用BB表示“考生不知道正確答案”，BB)＝0.25，B)BB)＝1×0.5＋0.25×0.5＝0.625.(2)葫蘆ft莊襟渤海之遼闊仰天角之雄奇勘葫蘆之蘊涵顯人文之魅力是渤海灣著名的人文景區(qū)，是葫蘆島市“葫蘆文化與關東民俗文化”代表地和中小學綜合實踐教育基地．ft莊中葫蘆品種分為亞腰、瓢、長柄錘、長筒、異型、花皮葫蘆等系列．其中亞腰胡蘆具有天然迷彩花紋，果實形狀不固定，觀賞性強，每株亞腰葫蘆可結(jié)出果20～80個.2021年初葫蘆ft莊播種用的一等亞腰葫蘆種子中混有2%的二等種子的三等種子的四等種子，一、二、三、四等種子長出的葫蘆秧結(jié)50顆以上果實的概率分別為則這批種子所生長出的葫蘆秧結(jié)出50顆以上果實的概率．答案0.4825A，則Ω1 2 3 4＝A∪A∪A∪A，且A兩兩互斥，設B表示“從這批種子中任選一顆，所生長出1 2 3 4 1 2 3 4的葫蘆秧結(jié)出50顆以上果實”，)1 1 2 2 3 3 4 4＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.4825.課時精練101 11．從應屆高中生中選拔飛行員，已知這批學生體型合格的概率為，視力合格的概率為，其3 615互不影)( 4 1 45A.B.C.D.9905答案B111 1解析各項均合格的概率為××＝.36590開封模)某盞吊燈上并聯(lián)著4個燈泡如果在某段時間內(nèi)每個燈泡能正常照明概率都是0.8，那么在這段時間內(nèi)該吊燈上的燈泡至少有兩個能正常照明的概率( )A．0.8192C．0.9744答案B

B．0.9728D．0.9984解析41所以至少有兩個能正常照明的概率是1－0.0016－0.0256＝0.9728.已知B)＝1，則事件A與事件)互斥C．答案C解析依題意，

對立D．B則P(B|A)＝P(B)，PAB即PA

＝P(B)，于是得P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A與事件B相互獨立．4．某道數(shù)學試題含有兩問，當?shù)谝粏栒_做答時，才能做第二問，為了解該題的難度，調(diào)了100名學生的做題情況做對第一問的學生有80人既做對第一問又做對第二問的學生有72人，以做對試題的頻率近似作為做對試題的概率，已知某個學生已經(jīng)做對第一問，則該學生做對第二問的概率( )11A．0.72C．0.9答案C

B．0.8D．0.28072事件，則PB

PAB 0.72率(|

)＝PA

＝0.8＝0.9.5．(多下列各對事件中是相互獨立事件的( )擲1枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)”，事件偶數(shù)”51次摸到紅球”，事件B＝“第2次摸到紅球”2枚相同的硬幣，事件1枚為正面”，事件D．一枚硬幣擲兩次，事件第一次為正面”，事件第二次為反面”答案CD解析在ABCPM 1PN 1P

1PMN PM PN MN中，()＝，()＝，()＝，()＝()·()，因此，是相互獨立事件；在D2 2 4中，第一次為正面對第二次的結(jié)果不影響，因此是相互獨立事件．6．(多選)(2022·316%，2,31,2,325%,30%,45%，則下列選項正確的有()A．1B．任取一個零件是次品的概率為0.05252C．如果取到的零件是次品，且是第2臺車床加工的概率為72D．如果取到的零件是次品，且是第3臺車床加工的概率為7答案BC解析記AB為事件“任取一個零件為次i品”，)＝0.25，P(A)＝0.3，P(A)＝0.45，1 2 3A，即)＝0.25×0.06＝0.015，A1 1 1)1 1 2 2 3 312＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.0525，B正確；對于C，PAB

PA·PB|A

0.3×0.05(|)＝ 2 2 ＝2 PB 0.05252＝，C正確；7對于D，PAB

PA·PB|A

0.45×0.05(|)＝ 3 3 ＝3 PB 0.05253＝，D錯誤．7更UV2②石墨烯層；③表面封裝層．每個環(huán)節(jié)生產(chǎn)合格的概率均為，且各生產(chǎn)環(huán)節(jié)相互獨立．則成3功生產(chǎn)出質(zhì)量合格的發(fā)熱膜的概率8答案27解析由題意，要成功生產(chǎn)出質(zhì)量合格的發(fā)熱膜，則制作石墨烯發(fā)熱膜的三個環(huán)節(jié)都必須合格，∴成功生產(chǎn)出質(zhì)量合格的發(fā)熱膜的概率為P222 8＝××＝.33327某學校有兩家餐廳，甲同學第一天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐．如果第一天A餐廳那么第二天去A餐廳的概率為如果第一天去B餐廳那么第二天去A餐廳的概率為0.8.則甲同學第二天去A餐廳用餐的概率．答案0.7A＝“1A餐廳用餐”，1B＝“1天去B餐廳用餐”，1A＝“2天去A餐廳用餐”，2∪B，且A與B互斥，1 1 1 1根據(jù)題意得：)＝0.5，P(A|A)＝0.6，1 1 2 1|B)＝0.8，2 1由全概率公式，得13|A|B)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7.2 1 2 1 1 2 1“西北狼聯(lián)盟”學校為了讓同學們樹立自己的學習目標，特進行了“生涯規(guī)劃”知識競賽．已知甲、乙兩隊參賽，每隊32 221零分．假設甲隊中每人答對的概率均為，乙隊中3人答對的概率分別為，，，且各人回3 332答正確與否相互之間沒有影響．0，2(2)21解(1)記“甲隊總得分為0分”為事件A，“甲隊總得分為2分”為事件B， 2 1327甲隊總得分為0分，即甲隊三人都回答錯誤，其概率()1－3＝；327甲隊總得分為2分，即甲隊三人中有1人答錯，其余兩人答對，2 2 4339其概率()＝321－＝.3393233232181分”為事件21分”為事件，事件C21323323218PC

2

2

1 5 3則()＝1－3

××1－

＋×1－

×1－

＋1－3×1－

×＝，21同時發(fā)生，PD PBP

4 5 10則()＝(

)()＝×＝.91881兩臺車床加工同樣的零件0.0求任意取出的零件是合格品的概率；如果任意取出的零件是廢品，求它是第二臺車床加工的概率．解設Ai表示“出現(xiàn)合i格品”．1 2 1 2)1 1 2 22 1＝×(1－0.03)＋×(1－0.02)≈0.973.3 3PAB(2)P(A22 PB＝PA1

PA2P1

P2＋PA2

P2141×0.023＝2 1

＝0.25.×0.03＋×0.023 3115名男生和2名女生中任選3的機會均等)，記APA 3 9A．()＝7 35PB 2 PBA 3C．()＝7

D．(|)＝5答案ABDC2 153解析由題意得P(A)＝6＝＝，故A正確；PAB

C37C1·C1＋1 9

357C()＝2 4C37

＝，故B正確；35PB C3 105()＝1－5＝1－＝，故C錯誤；PBA

C37PAB

3579353(|)＝PA

＝＝，故D正確．353712．(2022·張家口模某大學進行“羽毛球”、“美術(shù)”、“音樂”三個社團選拔．某同學經(jīng)過考核選拔通過該校的“羽毛球”、“美術(shù)”、“音樂”三個社團的概率依次為1 12，已知三個社團中他恰好能進入兩個的概率為，假設該同學經(jīng)過考核通過這三個社團選拔25成功與否相互獨立，則該同學一個社團都不能進入的概率( 133 3A.B.C.D.254 答案D1解析由題意知，三個社團中他恰好能進入兩個的概率為，5則ab

1

b 1 a 1·1－＋a(1－)＋b(1－)＝，2 2 2 51ab 1 1所以(＋)－ab＝，2 2 515abab2所以＋－＝，5所以該同學一個社團都不進入的概率P a b

＝(1－)(1－)·1－21 ab ab＝[1－(21

＋)＋]ab ab＝{1－[(＋)－]}2251 25＝×1－3＝.10AB 1 A B )設兩個相互獨立事件，

都不發(fā)生的概率為，則與9

都發(fā)生的概率可能為(8252A.B.C.D.939答案D解析因為是相互獨立事件，設A不發(fā)生的概率為不發(fā)生的概率為則xy1 xy＝，0<9

，≤1，xyx1

x1 2

x1 xy1xx

＋9

·9x＝，當且僅當

＝x，即

＝＝時，等號成立，所以3 33 3

xy xy4＝(1－

)(1－

)＝1－(＋)＋≤.9某病毒會造成“持續(xù)的人傳人”，即存在A傳又傳又傳D的傳染現(xiàn)象，那么就被稱為第一代、第二代、第三代傳播者．假設一個身體健康的人被第一代、第代、第三代傳播者感染的概率分別為0.9,0.8，0.7.已知健康的小明參加了一次多人宴會，參加宴會的人中有5名第一代傳播者名第二代傳播者名第三代傳播者若小明參加宴會僅和感染的10個人中的一個有所接觸，則被感染的概率．答案0.83解析設事件E＝“小明與第一代傳播者接觸”，事件F＝“小明與第二代傳播者接觸”，事件G＝“小明與第三代傳播者接觸”，事件D＝“小明被感染”，則P(E)＝0.5，P(F)＝0.3，P(G)＝0.2，P(D|E)＝0.9，P(D|F)＝0.8，P(D|G)＝0.7，16所以＝P(D|E)P(E＝0.9×0.5＋0.8×0.3＋0.7×0.2＝0.83.所以所求概率為0.83.15X1nn1X這X個整數(shù)中隨機抽取的一個整數(shù)，( )n PX Y 1A．當

＝2

＝2，

＝1)＝4B．當7241C．當＝(≥2且N*＝＝＝2k 2－1D．當＝2(≥2且N

P(X＝2i，Y＝1)＝

22ki＝1答案ACD解析對于A，當PX Y

111(＝2，＝1)＝×＝，故A正確；224對于B，當n＝4時，∵X≥Y，則由X＋Y＝4可得X＝3，Y＝1或X＝2，Y＝2，PXY

PX Y

PX Y

1111 5，故B錯誤；∴(＋

＝4)＝(

＝3，

＝1)＋(

＝2，

＝2)＝×＋×＝434224對于，當＝(≥2且∈N)時，PXkY

111則(＝，

＝)＝