11級數(shù)復習課課件

第十一章無窮級數(shù)復習與習題第十一章無窮級數(shù)復習與習題1第十一章無窮級數(shù)第一節(jié)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)1.常數(shù)項級數(shù)的定義：為(常數(shù)項)（無窮）級數(shù).一般項◆級數(shù)的（前n項）部分和數(shù)列：◆級數(shù)的（前n項）部分和：一、常數(shù)項級數(shù)的概念第十一章無窮級數(shù)第一節(jié)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)1.常數(shù)項級22.常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散的定義:2.常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散的定義:3推論二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)級數(shù)的收斂性不變.性質(zhì)1級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù),性質(zhì)2即收斂級數(shù)可以逐項相加和逐項相減.推論二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)級數(shù)的收斂性不變.性質(zhì)1級數(shù)的每一4性質(zhì)3在級數(shù)中任意去掉、加上、改變有限項,級數(shù)的收斂性不變.性質(zhì)4推論1如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)發(fā)散.推論2如果兩種加括號后所成的級數(shù)都收斂,但和不同,則原級數(shù)發(fā)散.四、級數(shù)收斂的必要條件定理性質(zhì)3在級數(shù)中任意去掉、加上、改變有限項,級數(shù)的收斂性不變51.定義:這種級數(shù)稱為正項級數(shù).2.正項級數(shù)收斂的充要條件:◆基本定理第二節(jié)常數(shù)項級數(shù)的審斂法一、正項級數(shù)及其審斂法1.定義:這種級數(shù)稱為正項級數(shù).2.正項級數(shù)收斂的充要條件:63.比較審斂法3.比較審斂法7證明例證明例84.比較審斂法的極限形式(比較極限法）:解故原級數(shù)發(fā)散.例故原級數(shù)收斂.4.比較審斂法的極限形式(比較極限法）:解故原級數(shù)發(fā)散.例故95.比值審斂法(達朗貝爾D’Alembert判別法)：

解例5.比值審斂法(達朗貝爾D’Alembert判別法)：解例106.根值審斂法(柯西判別法)：

解例6.根值審斂法(柯西判別法)：解例11三、交錯級數(shù)及其審斂法:◆定義:稱正負相間或負正相間的級數(shù)為交錯級數(shù).◆萊布尼茨定理三、交錯級數(shù)及其審斂法:◆定義:稱正負相間或負正相間的級12解由萊布尼茨定理知,例原級數(shù)收斂.解由萊布尼茨定理知,例原級數(shù)收斂.13◆對于一般的級數(shù)四、絕對收斂與條件收斂定理例解◆對于一般的級數(shù)四、絕對收斂與條件收斂定理例解14◆定義:例解故原級數(shù)收斂,且為條件收斂.◆定義:例解故原級數(shù)收斂,且為條件收斂.15練習題練習題16第三節(jié)冪級數(shù)一、函數(shù)項級數(shù)的概念1.定義:2.收斂點、發(fā)散點，收斂域、發(fā)散域:第三節(jié)冪級數(shù)一、函數(shù)項級數(shù)的概念1.定義:2.收斂點、發(fā)散172.收斂點、發(fā)散點，收斂域、發(fā)散域:2.收斂點、發(fā)散點，收斂域、發(fā)散域:18余項(對于收斂域上的任何x)注意函數(shù)項級數(shù)在某點x處的收斂問題,實質(zhì)上就是常數(shù)項級數(shù)的收斂問題.3.和函數(shù):余項(對于收斂域上的任何x)注意函數(shù)項級數(shù)在某點x處的收斂19解例解例201.定義:2.收斂域:二、冪級數(shù)及其收斂性1.定義:2.收斂域:二、冪級數(shù)及其收斂性21定理1[阿貝爾(Abel)定理]◆幾何說明:收斂發(fā)散發(fā)散定理1[阿貝爾(Abel)定理]◆幾何說明:收斂發(fā)散發(fā)散22◆收斂半徑的定義:則稱R為冪級數(shù)的收斂半徑.稱開區(qū)間(-R,R)為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.◆規(guī)定◆收斂半徑的定義:則稱R為冪級數(shù)的收斂半徑.稱開區(qū)間(-R,23定理2定理224例求下列冪級數(shù)的收斂域:解發(fā)散，收斂，故收斂域為：例求下列冪級數(shù)的收斂域:解發(fā)散，收斂，故收斂域為：25故收斂域為：故收斂域為：故收斂域為：故收斂域為：26發(fā)散,收斂,所以所求收斂域為(0,1].發(fā)散,收斂,所以所求收斂域為(0,1].27三、冪級數(shù)的運算◆和函數(shù)的分析運算性質(zhì):性質(zhì)1性質(zhì)2三、冪級數(shù)的運算◆和函數(shù)的分析運算性質(zhì):性質(zhì)1性質(zhì)228性質(zhì)3性質(zhì)329習題習題30四、求冪級數(shù)的收斂域.五、四、求冪級數(shù)31習題求解提示提示:提示:提示:習題求解提示提示:提示:提示:32提示:提示:提示:提示:提示:提示:33提示:提示:34提示:提示:35四、求冪級數(shù)的收斂域.五、解:四、求冪級數(shù)36第十一章無窮級數(shù)復習與習題第十一章無窮級數(shù)復習與習題37第十一章無窮級數(shù)第一節(jié)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)1.常數(shù)項級數(shù)的定義：為(常數(shù)項)（無窮）級數(shù).一般項◆級數(shù)的（前n項）部分和數(shù)列：◆級數(shù)的（前n項）部分和：一、常數(shù)項級數(shù)的概念第十一章無窮級數(shù)第一節(jié)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)1.常數(shù)項級382.常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散的定義:2.常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散的定義:39推論二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)級數(shù)的收斂性不變.性質(zhì)1級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù),性質(zhì)2即收斂級數(shù)可以逐項相加和逐項相減.推論二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)級數(shù)的收斂性不變.性質(zhì)1級數(shù)的每一40性質(zhì)3在級數(shù)中任意去掉、加上、改變有限項,級數(shù)的收斂性不變.性質(zhì)4推論1如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)發(fā)散.推論2如果兩種加括號后所成的級數(shù)都收斂,但和不同,則原級數(shù)發(fā)散.四、級數(shù)收斂的必要條件定理性質(zhì)3在級數(shù)中任意去掉、加上、改變有限項,級數(shù)的收斂性不變411.定義:這種級數(shù)稱為正項級數(shù).2.正項級數(shù)收斂的充要條件:◆基本定理第二節(jié)常數(shù)項級數(shù)的審斂法一、正項級數(shù)及其審斂法1.定義:這種級數(shù)稱為正項級數(shù).2.正項級數(shù)收斂的充要條件:423.比較審斂法3.比較審斂法43證明例證明例444.比較審斂法的極限形式(比較極限法）:解故原級數(shù)發(fā)散.例故原級數(shù)收斂.4.比較審斂法的極限形式(比較極限法）:解故原級數(shù)發(fā)散.例故455.比值審斂法(達朗貝爾D’Alembert判別法)：

解例5.比值審斂法(達朗貝爾D’Alembert判別法)：解例466.根值審斂法(柯西判別法)：

解例6.根值審斂法(柯西判別法)：解例47三、交錯級數(shù)及其審斂法:◆定義:稱正負相間或負正相間的級數(shù)為交錯級數(shù).◆萊布尼茨定理三、交錯級數(shù)及其審斂法:◆定義:稱正負相間或負正相間的級48解由萊布尼茨定理知,例原級數(shù)收斂.解由萊布尼茨定理知,例原級數(shù)收斂.49◆對于一般的級數(shù)四、絕對收斂與條件收斂定理例解◆對于一般的級數(shù)四、絕對收斂與條件收斂定理例解50◆定義:例解故原級數(shù)收斂,且為條件收斂.◆定義:例解故原級數(shù)收斂,且為條件收斂.51練習題練習題52第三節(jié)冪級數(shù)一、函數(shù)項級數(shù)的概念1.定義:2.收斂點、發(fā)散點，收斂域、發(fā)散域:第三節(jié)冪級數(shù)一、函數(shù)項級數(shù)的概念1.定義:2.收斂點、發(fā)散532.收斂點、發(fā)散點，收斂域、發(fā)散域:2.收斂點、發(fā)散點，收斂域、發(fā)散域:54余項(對于收斂域上的任何x)注意函數(shù)項級數(shù)在某點x處的收斂問題,實質(zhì)上就是常數(shù)項級數(shù)的收斂問題.3.和函數(shù):余項(對于收斂域上的任何x)注意函數(shù)項級數(shù)在某點x處的收斂55解例解例561.定義:2.收斂域:二、冪級數(shù)及其收斂性1.定義:2.收斂域:二、冪級數(shù)及其收斂性57定理1[阿貝爾(Abel)定理]◆幾何說明:收斂發(fā)散發(fā)散定理1[阿貝爾(Abel)定理]◆幾何說明:收斂發(fā)散發(fā)散58◆收斂半徑的定義:則稱R為冪級數(shù)的收斂半徑.稱開區(qū)間(-R,R)為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.◆規(guī)定◆收斂半徑的定義:則稱R為冪級數(shù)的收斂半徑.稱開區(qū)間(-R,59定理2定理260例求下列冪級數(shù)的收斂域:解發(fā)散，收斂，故收斂域為：例求下列冪級數(shù)的收斂域:解發(fā)散，收斂，故收斂域為：61故收斂域為：故收斂域為：故收斂域為：故收斂域為：62發(fā)散,收斂,所以所求收斂域為(0,1].發(fā)散,收斂,所以所求收斂域為(0,1].63三、冪級數(shù)的運算◆和函數(shù)的分析運算性質(zhì):性質(zhì)1性質(zhì)2三、冪級數(shù)的運算◆和函數(shù)的分析運算性質(zhì):性質(zhì)1性質(zhì)264性質(zhì)3性質(zhì)365習題習題66四、求冪級數(shù)的收斂域.五、四、求冪