2018-2019數(shù)學新學案同步必修二人教A版全國通用版講義：第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系2.3.1

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精§2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2。3。1直線與平面垂直的判定學習目標1.了解直線與平面垂直的定義；了解直線與平面所成角的概念.2.掌握直線與平面垂直的判定定理。3.會用直線與平面垂直的判定定理解決問題．知識點一直線與平面垂直的定義定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線l與平面α互相垂直記法l⊥α有關(guān)概念直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，它們唯一的公共點P叫做垂足圖示畫法畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直知識點二直線和平面垂直的判定定理將一塊三角形紙片ABC沿折痕AD折起，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD，DC與桌面接觸)．如圖,觀察折痕AD與桌面的位置關(guān)系．思考1折痕AD與桌面一定垂直嗎?答案不一定．思考2當折痕AD滿足什么條件時，AD與桌面垂直?答案當AD⊥BD且AD⊥CD時，折痕AD與桌面垂直．梳理文字語言一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直符號語言l⊥a,l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α圖形語言知識點三直線與平面所成的角有關(guān)概念對應圖形斜線與平面α相交，但不和平面α垂直,圖中直線PA斜足斜線和平面的交點，圖中點A射影過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影，圖中斜線PA在平面α上的射影為直線AO直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，圖中∠PAO規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是90°；一條直線和平面平行,或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°取值范圍設(shè)直線與平面所成的角為θ，0°≤θ≤90°1．若直線l⊥平面α，則l與平面α內(nèi)的直線可能相交，可能異面,也可能平行．（×)2．若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則l⊥α.(×）3．若a⊥b，b⊥α，則a∥α。(×）類型一線面垂直的定義及判定定理的理解例1下列命題中，正確的序號是________．①若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則l⊥α;②若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；③若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線；④若直線l不垂直于平面α,則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直；⑤過一點和已知平面垂直的直線有且只有一條．考點直線與平面垂直的判定題點判定直線與平面垂直答案④⑤解析當直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直時,l與α不一定垂直,所以①不正確;當l與α內(nèi)的一條直線垂直時，不能保證l與平面α垂直，所以②不正確；當l與α不垂直時,l可能與α內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，所以③不正確，④正確；過一點有且只有一條直線垂直于已知平面，所以⑤正確．反思與感悟（1）對于線面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內(nèi)的所有直線”說法與“直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線"不是一回事，后者說法是不正確的，它可以使直線與平面斜交．(2)判定定理中要注意必須是平面內(nèi)兩相交直線．跟蹤訓練1(1）若三條直線OA,OB,OC兩兩垂直，則直線OA垂直于（)A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC(2)如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的:①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑;④正五邊形的兩邊．能保證該直線與平面垂直的是________．（填序號)考點直線與平面垂直的判定題點判定直線與平面垂直答案(1）C（2)①③④解析(1）∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC?平面OBC，∴OA⊥平面OBC.(2）根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，平面內(nèi)這兩條直線必須是相交的，①③④中給定的兩直線一定相交，能保證直線與平面垂直，而②梯形的兩邊可能是上、下底邊，它們互相平行，不滿足定理條件．類型二線面垂直的判定例2如圖，在三棱錐S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點,且SA＝SB＝SC.(1）求證：SD⊥平面ABC；（2）若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.考點直線與平面垂直的判定題點直線與平面垂直的證明證明(1）因為SA＝SC，D是AC的中點，所以SD⊥AC。在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB,所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD。又AC∩BD＝D，AC,BD?平面ABC，所以SD⊥平面ABC。(2)因為AB＝BC,D為AC的中點，所以BD⊥AC.由（1）知SD⊥BD。又因為SD∩AC＝D，SD，AC?平面SAC，所以BD⊥平面SAC.反思與感悟(1)利用線面垂直的判定定理證明線面垂直的步驟①在這個平面內(nèi)找兩條直線，使它們和這條直線垂直；②確定這個平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線；③根據(jù)判定定理得出結(jié)論．（2)平行轉(zhuǎn)化法（利用推論）：①a∥b，a⊥α?b⊥α；②α∥β，a⊥α?a⊥β.跟蹤訓練2如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°,C點到AB1的距離為CE，D為AB的中點．求證：（1）CD⊥AA1；(2)AB1⊥平面CED。考點直線與平面垂直的判定題點直線與平面垂直的證明證明（1)由題意知AA1⊥平面ABC，CD?平面ABC,所以CD⊥AA1。（2）因為D是AB的中點,△ABC為等腰直角三角形,∠ACB＝90°，所以CD⊥AB.又CD⊥AA1，AB∩A1A＝A,AB，A1A?平面A1B1BA，所以CD⊥平面A1B1BA.因為AB1?平面A1B1BA,所以CD⊥AB1。又CE⊥AB1，CD∩CE＝C，CD，CE?平面CED，所以AB1⊥平面CED。類型三直線與平面所成的角例3如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A1B與平面AA1D1D所成的角；（2）求A1B與平面BB1D1D所成的角．考點直線與平面所成的角題點直線與平面所成的角解(1）∵AB⊥平面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B與平面AA1D1D所成的角，在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，∴∠AA1B＝45°，∴A1B與平面AA1D1D所成的角是45°。(2）連接A1C1交B1D1于點O，連接BO?！逜1O⊥B1D1,BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1,B1D1?平面BB1D1D，∴A1O⊥平面BB1D1D，∴∠A1BO就是A1B與平面BB1D1D所成的角．設(shè)正方體的棱長為1，則A1B＝eq\r(2），A1O＝eq\f(\r(2),2).又∵∠A1OB＝90°，∴sin∠A1BO＝eq\f（A1O,A1B）＝eq\f(1,2），又∠A1BO∈［0°，90°],∴∠A1BO＝30°，∴A1B與平面BB1D1D所成的角是30°.反思與感悟求直線與平面所成角的步驟:（1）尋找過斜線上一點與平面垂直的直線．(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角．（3）把該角歸結(jié)在某個三角形中，通過解三角形,求出該角．跟蹤訓練3如圖所示，AB是圓柱的母線，BD是圓柱底面圓的直徑，C是底面圓周上一點，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°,求直線BD與平面ACD所成角的大小．考點直線與平面所成的角題點直線與平面所成的角解取AC的中點E，連接BE，DE。由題意知AB⊥平面BCD，故AB⊥CD.又BD是底面圓的直徑，∴∠BCD＝90°，即CD⊥BC.∵AB∩BC＝B，AB,BC?平面ABC，∴CD⊥平面ABC,又∵BE?平面ABC，∴CD⊥BE?！逜B＝BC＝2，AB⊥BC，∴BE⊥AC且BE＝eq\r(2），又AC∩CD＝C,AC，CD?平面ACD,∴BE⊥平面ACD，∴∠BDE即為BD與平面ACD所成的角，又BD＝eq\r(2)BC＝2eq\r（2)，∴sin∠BDE＝eq\f(BE，BD）＝eq\f（\r(2），2\r(2)）＝eq\f(1，2），∴∠BDE＝30°,即BD與平面ACD所成的角為30°.1．空間中直線l和三角形的兩邊AC，BC同時垂直，則這條直線和三角形的第三邊AB的位置關(guān)系是（）A．平行 B．垂直C．相交 D．不確定考點直線與平面垂直的性質(zhì)題點根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判定線線垂直答案B解析由于直線l和三角形的兩邊AC，BC同時垂直，而這兩邊相交于點C，所以直線l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三邊AB在這個平面內(nèi)，所以l⊥AB.2．已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面，那么下面給出的條件中,一定能推出m⊥β的是（)A．α∥β，且m?αB．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n?βD．m⊥n，且n∥β考點直線與平面垂直的判定題點判定直線與平面垂直答案B解析A中,由α∥β,且m?α，知m∥β；B中,由n⊥β，知n垂直于平面β內(nèi)的任意直線,再由m∥n，知m也垂直于β內(nèi)的任意直線，所以m⊥β，符合題意；C，D中,m?β或m∥β或m與β相交，不符合題意,故選B。A．60°B．45°C．30°D．120°考點直線與平面所成的角題點直線與平面所成的角答案A解析∠ABO即是斜線AB與平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝eq\f（1,2）,即∠ABO＝60°.故選A.4．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，異面直線BD1與A1D所成的角為________．考點異面直線所成的角題點求異面直線所成的角答案90°解析連接AD1，∵AB⊥A1D,AD1⊥A1D,AB∩AD1＝A，AB，AD1?平面ABD1，∴A1D⊥平面ABD1,∴A1D⊥BD1。5．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2,BC＝2eq\r（2)，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點．證明：PC⊥平面BEF.考點直線與平面垂直的判定題點直線與平面垂直的證明證明如圖,連接PE,EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD,AE＝DE,所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中點，所以EF⊥PC.又BP＝eq\r（AP2＋AB2）＝2eq\r（2）＝BC，F(xiàn)是PC的中點，所以BF⊥PC.又BF∩EF＝F，BF,EF?平面BEF，所以PC⊥平面BEF。1．直線和平面垂直的判定方法:（1）利用線面垂直的定義．（2)利用線面垂直的判定定理．（3)利用下面兩個結(jié)論：①若a∥b，a⊥α，則b⊥α；②若α∥β，a⊥α，則a⊥β。2．線線垂直的判定方法：（1)異面直線所成的角是90°.(2)線面垂直，則線線垂直．3．求線面角的常用方法：（1)直接法(一作(或找）二證(或說)三計算)．(2)轉(zhuǎn)移法(找過點與面平行的線或面）．(3）等積法(三棱錐變換頂點，屬間接求法）.一、選擇題1．如圖,在正方形ABCD中，E,F分別是BC，CD的中點，G是EF的中點，現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H,那么，在這個空間圖形中必有（)A．AG⊥△EFH所在平面B．AH⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面考點直線與平面垂直的判定題點判定直線與平面垂直答案B解析根據(jù)折疊前、后AH⊥HE，AH⊥HF不變，∴AH⊥平面EFH，B正確；2．正方體ABCD－A1B1C1D1中與AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1CB．平面A1DBC．平面A1B1C1D1D．平面A1DB1考點直線與平面垂直的判定題點判定直線與平面垂直答案D解析∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，∴AD1⊥平面A1DB1。故選D。3．如圖所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA與BD的位置關(guān)系是（)A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直考點直線與平面垂直的性質(zhì)題點根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判定線線垂直答案C解析連接AC。因為ABCD是菱形，所以BD⊥AC。又MC⊥平面ABCD,則BD⊥MC。因為AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC。又MA?平面AMC，所以MA⊥BD.顯然直線MA與直線BD不共面，因此直線MA與BD的位置關(guān)系是垂直但不相交．4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下面結(jié)論錯誤的是（)A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1DD．異面直線AD與CB1所成的角為45°考點直線與平面垂直的判定題點判定直線與平面垂直答案C解析由正方體的性質(zhì)得BD∥B1D1，且BD?平面CB1D1,所以BD∥平面CB1D1，故A正確；因為BD⊥平面ACC1A1，所以AC1⊥BD，故B正確；異面直線AD與CB1所成的角即為AD與DA1所成的角，故為45°，所以D正確．5．下列說法中,正確的有（)①如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線和這個平面垂直；②過直線l外一點P，有且僅有一個平面與l垂直；③如果三條共點直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面；④垂直于角的兩邊的直線必垂直角所在的平面；⑤過點A垂直于直線a的所有直線都在過點A垂直于a的平面內(nèi)．A．2個 B．3個C．4個 D．5個考點直線與平面垂直的判定題點判定直線與平面垂直答案B解析①④不正確,其他三項均正確．6．如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC,PA＝AB，D為PB的中點，則下列結(jié)論正確的有(）①BC⊥平面PAB；②AD⊥PC；③AD⊥平面PBC；④PB⊥平面ADC。A．0個B．1個C．2個D．3個考點直線與平面垂直的判定題點判定直線與平面垂直答案D解析∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC，又BC⊥AB,PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，故①正確；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，又PA＝AB，D是PB的中點，∴AD⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC?平面PBC，∴AD⊥平面PBC,∴AD⊥PC，故②正確；由AD⊥平面PBC，∴③正確．故選D.7．把正方形ABCD沿對角線AC折起，當以A，B，C，D四點為頂點棱錐體積最大時，直線BD和平面ABC所成的角的大小為（)A．90°B．60°C．45°D．30°考點直線與平面所成的角題點直線與平面所成的角答案C解析如圖,當DO⊥平面ABC時,三棱錐D－ABC的體積最大．∴∠DBO為直線BD和平面ABC所成的角，∵在Rt△DOB中，OD＝OB，∴直線BD和平面ABC所成的角大小為45°。二、填空題8．如圖，已知四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD，則圖中共有直角三角形的個數(shù)為________．考點直線與平面垂直的性質(zhì)題點根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判定線線垂直答案4解析∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD,故共有4個直角三角形．9．如圖所示，AB是⊙O的直徑，PA⊥⊙O所在的平面，C是圓上一點，且∠ABC＝30°，PA＝AB,則直線PC與平面ABC所成角的正切值為________．考點直線與平面所成的角題點直線與平面所成的角答案2解析因為PA⊥平面ABC，所以AC為斜線PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即為PC與平面ABC所成的角．在Rt△PAC中，AC＝eq\f(1，2)AB＝eq\f(1,2）PA,所以tan∠PCA＝eq\f（PA,AC）＝2。10．如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，當?shù)酌鍭1B1C1滿足條件________時，有AB1⊥BC1.(注:填上你認為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情況）考點直線與平面垂直的判定題點判定直線與平面垂直答案∠A1C1B1＝90°解析如圖所示，連接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要證AB1⊥BC1，則只要證明BC1⊥平面AB1C，即只要證AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知,只要證AC⊥BC即可．因為A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要證A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的條件，如∠A1C1B1＝90°等)11．在三棱錐P－ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PB,則定點P在底面上的投影是底面△ABC________心．考點直線與平面垂直的判定題點三角形的四心答案垂解析設(shè)O是P在底面ABC上的投影,∵PB⊥PA，PB⊥PC，PA∩PC＝P，∴PB⊥平面PAC，∴PB⊥AC。①又∵O是P在底面ABC上的投影，∴PO⊥平面ABC，∴PO⊥AC。②由①②可得，AC⊥平面PBO，∴AC⊥BO.同理可得AO⊥BC，∴O是△ABC的垂心．三、解答題12．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AD＝2，PA＝2，PD＝2eq\r(2），求證：AD⊥平面PAB.考點直線與平面垂直的判定題點直線與平面垂直的證明證明在△PAD中，由PA＝2，AD＝2，PD＝2eq\r(2）,可得PA2＋AD2＝PD2,即AD⊥PA。又AD⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以AD⊥平面PAB。13．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2。（1）求證：AC⊥B1D；(2)求三棱錐C－BDB1的體積．考點直線與平面垂直的性質(zhì)題點根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判定線線垂直（1)證明∵ABCD－A1B1C1D1為正方體，∴BB1⊥平面ABCD。∵又AC?平面ABCD，∴BB1⊥AC。又∵底面ABCD為正方形，∴AC⊥BD?！連B1∩BD＝B，BB1，BD?平面BB1D，∴AC⊥平面BB1D?！連1D?平面BDB1，∴AC⊥B1D。（2）解＝。∵B1B⊥平面ABCD，∴B1B是三棱錐B1－BDC的高．∵＝eq\f(1,3）S△BDC·BB1＝eq\f（1，3)×eq\f(1，2)×2×2×2＝eq\f(4，3)，∴三棱錐C－BDB1的體積為eq\f(4,3).四、探究與拓展14．如圖所示，四棱錐S－ABC