2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修四人教B版全國通用版講義：第二章 平面向量2.3.3

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2．3。3向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與度量公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1。理解兩個(gè)向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的推導(dǎo)過程，能運(yùn)用數(shù)量積的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量數(shù)量積的運(yùn)算。2。能根據(jù)向量的坐標(biāo)計(jì)算向量的模，并推導(dǎo)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式.3.能根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量的夾角及判定兩個(gè)向量垂直．知識(shí)點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)e1,e2是兩個(gè)互相垂直且分別與x軸、y軸的正半軸同向的單位向量．思考1e1·e1，e2·e2,e1·e2分別是多少？答案e1·e1＝1×1×cos0＝1,e2·e2＝1×1×cos0＝1，e1·e2＝0。思考2取e1，e2為坐標(biāo)平面內(nèi)的一組基底，設(shè)a＝（a1,a2),b＝(b1,b2），試將a，b用e1，e2表示，并計(jì)算a·b.答案∵a＝a1e1＋a2e2，b＝b1e1＋b2e2，∴a·b＝(a1e1＋a2e2)·（b1e1＋b2e2）＝a1b1eeq\o\al（2，1)＋（a1b2＋a2b1）e1·e2＋a2b2eeq\o\al(2，2）＝a1b1＋a2b2.梳理設(shè)a＝(a1，a2），b＝(b1，b2)，則a·b＝a1b1＋a2b2.即兩個(gè)向量的數(shù)量積等于相應(yīng)坐標(biāo)乘積的和．知識(shí)點(diǎn)二向量模的坐標(biāo)表示及兩點(diǎn)間距離公式思考若a＝(a1，a2）,試將向量的模|a|用坐標(biāo)表示．答案∵a＝（a1，a2)，∴｜a｜2＝a·a＝（a1，a2）·（a1，a2）＝aeq\o\al(2，1)＋aeq\o\al(2，2)，∴|a|＝eq\r（a\o\al(2,1）＋a\o\al(2，2)）。梳理(1）向量的長度公式：設(shè)a＝（a1，a2）,則|a|＝eq\r(a\o\al（2,1)＋a\o\al(2，2））。（2）兩點(diǎn)間距離公式：若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則｜eq\o(AB,\s\up6（→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12）.知識(shí)點(diǎn)三兩個(gè)向量夾角余弦的坐標(biāo)表達(dá)式思考設(shè)a,b都是非零向量,a＝(a1,a2),b＝（b1，b2），θ是a與b的夾角，那么cosθ如何用坐標(biāo)表示？答案cosθ＝eq\f(a·b,｜a|｜b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2，\r(a\o\al（2,1)＋a\o\al（2,2）)·\r（b\o\al（2,1)＋b\o\al（2，2)））.梳理設(shè)a＝（a1,a2)，b＝（b1，b2),a與b的夾角為θ，則（1)cosθ＝eq\f（a1b1＋a2b2,\r(a\o\al(2,1）＋a\o\al(2，2））·\r（b\o\al（2，1)＋b\o\al（2,2）))。（2)a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＝0.1．若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0。（√)2．若a＝(x1，y1），b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0。（√）3．若兩個(gè)非零向量的夾角θ滿足cosθ>0，則兩向量的夾角θ一定是銳角．(×)提示當(dāng)兩向量同向共線時(shí)，cosθ＝1>0，但夾角θ＝0，不是銳角。類型一平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算例1已知a與b同向,b＝(1,2），a·b＝10.(1）求a的坐標(biāo)；（2）若c＝(2，－1)，求a（b·c)及(a·b)c。解(1）設(shè)a＝λb＝（λ,2λ)（λ〉0)，則有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝（2,4)．（2）∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，∴a（b·c)＝0a＝0，（a·b)c＝10（2,－1)＝（20,－10）．反思與感悟(1)解答有關(guān)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算問題時(shí)，靈活應(yīng)用基本公式是前提，設(shè)向量一般有兩種方法：一是直接設(shè)坐標(biāo)，二是利用共線或垂直的關(guān)系設(shè)向量．(2)一般情況下(a·b）·c≠a·(b·c),即向量運(yùn)算結(jié)合律一般不成立．跟蹤訓(xùn)練1向量a＝(1,－1)，b＝（－1,2)，則(2a＋b）·a等于（)A．－1B．0C．1D．2答案C解析因?yàn)閍＝(1，－1)，b＝（－1,2)，所以2a＋b＝2（1，－1）＋(－1,2）＝(1,0)，則(2a＋b）·a＝（1,0）·（1，－1)＝1，故選C。

類型二向量的模、夾角問題例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是原點(diǎn)（如圖）．已知點(diǎn)A(16,12)，B（－5,15）．(1）求｜eq\o(OA,\s\up6（→))｜，|eq\o（AB，\s\up6(→))｜；（2)求∠OAB。解(1）由eq\o(OA，\s\up6(→））＝(16，12），eq\o(AB，\s\up6(→））＝（－5－16，15－12）＝（－21,3），得|eq\o（OA，\s\up6(→）)｜＝eq\r(162＋122)＝20,|eq\o(AB,\s\up6（→))|＝eq\r(－212＋32)＝15eq\r(2).(2)cos∠OAB＝cos<eq\o(AO,\s\up6（→)),eq\o(AB，\s\up6（→）)>＝eq\f(\o（AO,\s\up6（→))·\o（AB，\s\up6(→）)，｜\o(AO，\s\up6(→)）|｜\o（AB,\s\up6（→））|）.其中eq\o(AO，\s\up6(→）)·eq\o（AB，\s\up6（→））＝－eq\o（OA,\s\up6(→))·eq\o（AB，\s\up6（→)）＝－(16，12)·（－21,3）＝－［16×（－21)＋12×3]＝300，故cos∠OAB＝eq\f(300，20×15\r（2））＝eq\f(\r（2),2）.∴∠OAB＝45°。反思與感悟利用向量的數(shù)量積求兩向量夾角的一般步驟(1）利用向量的坐標(biāo)求出這兩個(gè)向量的數(shù)量積．(2）利用|a|＝eq\r(x2＋y2）求兩向量的模．（3)代入夾角公式求cosθ,并根據(jù)θ的范圍確定θ的值．跟蹤訓(xùn)練2已知a＝（1,－1)，b＝（λ，1),若a與b的夾角α為鈍角,求λ的取值范圍．解∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，∴|a｜＝eq\r(2）,｜b｜＝eq\r（1＋λ2）,a·b＝λ－1.又∵a，b的夾角α為鈍角，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－1〈0，,\r（2)·\r(1＋λ2)≠1－λ，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ〈1，，λ2＋2λ＋1≠0.））∴λ<1且λ≠－1。∴λ的取值范圍是（－∞，－1）∪（－1，1）．類型三向量垂直的坐標(biāo)形式例3（1）已知a＝(－3,2)，b＝（－1,0），若向量λa＋b與a－2b垂直，則實(shí)數(shù)λ的值為（）A.eq\f(1，7)B．－eq\f(1，7）C。eq\f（1,6）D．－eq\f（1,6)答案B解析由向量λa＋b與a－2b垂直，得（λa＋b）·(a－2b)＝0.因?yàn)閍＝(－3,2)，b＝（－1，0)，所以(－3λ－1,2λ）·（－1，2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0,解得λ＝－eq\f(1,7)。(2）在△ABC中,eq\o（AB，\s\up6(→))＝（2,3),eq\o(AC，\s\up6（→））＝（1，k),若△ABC是直角三角形，求k的值．解∵eq\o(AB，\s\up6（→）)＝（2,3)，eq\o（AC,\s\up6（→））＝（1，k)，∴eq\o（BC，\s\up6(→））＝eq\o(AC，\s\up6(→）)－eq\o(AB,\s\up6（→)）＝（－1,k－3)．若∠A＝90°，則eq\o(AB，\s\up6(→)）·eq\o(AC,\s\up6（→）)＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－eq\f（2，3)；若∠B＝90°,則eq\o(AB，\s\up6（→)）·eq\o(BC，\s\up6(→))＝2×（－1）＋3（k－3）＝0，∴k＝eq\f（11,3）；若∠C＝90°，則eq\o(AC,\s\up6(→）)·eq\o(BC,\s\up6（→））＝1×（－1)＋k(k－3)＝0，∴k＝eq\f(3±\r(13)，2）.故所求k的值為－eq\f(2，3）或eq\f(11,3)或eq\f（3±\r(13）,2）。反思與感悟利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示解決垂直問題的實(shí)質(zhì)是把垂直條件代數(shù)化，在關(guān)于三角形的問題中，未明確哪個(gè)角是直角時(shí)，要分類討論．跟蹤訓(xùn)練3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(1,4），B(－2,3)，C(2,－1），若（eq\o(AB,\s\up6（→））－teq\o(OC，\s\up6(→）)）⊥eq\o（OC,\s\up6(→）)，則實(shí)數(shù)t＝____。答案－1解析∵eq\o(AB,\s\up6（→）)＝(－3,－1），∴eq\o(AB,\s\up6(→)）－teq\o(OC,\s\up6（→））＝(－3－2t,－1＋t）．又∵eq\o(OC，\s\up6（→))＝(2，－1）,（eq\o(AB，\s\up6（→）)－teq\o(OC,\s\up6(→））)⊥eq\o（OC，\s\up6(→)），∴（－3－2t）·2＋(－1＋t)·（－1)＝0，∴t＝－1。1．已知a＝(3,－1），b＝(1，－2），則a與b的夾角為(）A。eq\f(π,6）B。eq\f(π,4)C。eq\f(π,3)D.eq\f（π，2)答案B解析∵|a|＝eq\r(10）,|b｜＝eq\r（5)，a·b＝5,∴cos〈a,b〉＝eq\f（a·b,｜a｜｜b｜）＝eq\f(5,\r（10)×\r（5)）＝eq\f(\r（2),2）。又∵a,b的夾角范圍為［0，π]，∴a與b的夾角為eq\f（π，4).2．已知向量eq\o(BA，\s\up6（→)）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)，\f（\r(3），2）)),eq\o（BC,\s\up6(→）)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（\r(3),2），\f(1，2）))，則∠ABC等于()A．30°B．45°C．60°D．120°答案A解析∵｜eq\o（BA，\s\up6（→)）|＝1,｜eq\o(BC,\s\up6(→)）|＝1,∴cos∠ABC＝eq\f(\o（BA，\s\up6(→)）·\o(BC,\s\up6（→））,|\o（BA,\s\up6（→)）||\o(BC,\s\up6(→)）｜)＝eq\f(\r(3)，2），∴∠ABC＝30°。3．已知向量m＝（λ＋1，1），n＝（λ＋2,2)，若（m＋n）⊥（m－n），則λ等于（)A．－4B．－3C．－2D．－1答案B解析因?yàn)閙＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，又(m＋n）⊥（m－n)，所以（m＋n）·(m－n)＝(2λ＋3，3)·(－1,－1）＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.4．已知平面向量a，b，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，則向量b＝____________。答案eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（4,5），－\f（3，5）))解析∵|a｜＝5，cos〈a,b〉＝eq\f(a·b，|a||b｜)＝1，∴a,b方向相同，∴b＝eq\f（1，5）a＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(4,5)，－\f（3,5）)）。5．已知a＝（4,3),b＝(－1，2)．(1）求a與b的夾角的余弦值；（2)若(a－λb)⊥（2a＋b），求實(shí)數(shù)λ的值．解（1)∵a·b＝4×(－1）＋3×2＝2，|a|＝eq\r（42＋32）＝5，|b｜＝eq\r(－12＋22）＝eq\r(5),∴cos〈a，b>＝eq\f（a·b,｜a｜｜b|)＝eq\f（2,5\r（5))＝eq\f（2\r（5),25）。(2）∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ），2a＋b＝（7,8)，又（a－λb）⊥(2a＋b），∴（a－λb)·（2a＋b）＝7(4＋λ）＋8（3－2λ）＝0,∴λ＝eq\f（52，9）。1．平面向量數(shù)量積的定義及其坐標(biāo)表示，提供了數(shù)量積運(yùn)算的兩種不同的途徑．準(zhǔn)確地把握這兩種途徑,根據(jù)不同的條件選擇不同的途徑，可以優(yōu)化解題過程．同時(shí)，平面向量數(shù)量積的兩種形式溝通了“數(shù)"與“形”轉(zhuǎn)化的橋梁，成為解決距離、角度、垂直等有關(guān)問題的有力工具．2．應(yīng)用數(shù)量積運(yùn)算可以解決兩向量的垂直、平行、夾角以及長度等幾何問題,在學(xué)習(xí)中要不斷地提高利用向量工具解決數(shù)學(xué)問題的能力．3．注意區(qū)分兩向量平行與垂直的坐標(biāo)形式，二者不能混淆，可以對(duì)比學(xué)習(xí)、記憶．若a＝(x1,y1)，b＝(x2，y2），則a∥b?x1y2－x2y1＝0，a，b不為0時(shí)，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.4．事實(shí)上應(yīng)用平面向量的數(shù)量積公式解答某些平面向量問題時(shí)，向量夾角問題隱藏了許多陷阱與誤區(qū)，常常會(huì)出現(xiàn)模糊“兩向量的夾角的概念”和忽視“兩向量夾角的范圍"的問題，稍不注意就會(huì)帶來失誤與錯(cuò)誤。一、選擇題1．已知向量a＝（－5，6），b＝(6，5),則a與b（)A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向 D．平行且反向答案A解析∵a·b＝－5×6＋6×5＝0，∴a⊥b。2．已知向量a＝(1，n）,b＝(－1，n)，若2a－b與b垂直,則|a|等于（）A．1B.eq\r（2)C．2D．4答案C解析∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2（－1＋n2)－(1＋n2）＝n2－3＝0，∴n2＝3，∴｜a｜＝eq\r（12＋n2）＝2。3．若向量a＝（1,2）,b＝(1，－1)，則2a＋b與a－b的夾角等于()A．－eq\f（π，4)B。eq\f（π,6）C。eq\f（π,4)D.eq\f(3π,4)答案C解析∵2a＋b＝2(1，2)＋(1,－1)＝(3，3），a－b＝(1,2）－(1，－1)＝（0,3),∴（2a＋b）·(a－b)＝9，｜2a＋b｜＝3eq\r(2），｜a－b|＝3。設(shè)所求兩向量的夾角為α，則cosα＝eq\f(9，3\r（2)×3)＝eq\f(\r（2)，2)，又∵0≤α≤π,∴α＝eq\f（π,4)。4．若a＝(2，－3），則與向量a垂直的單位向量的坐標(biāo)為()A．(3,2)B.eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（3\r（13)，13）,\f(2\r(13),13）)）C。eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（3\r（13),13)，\f(2\r(13)，13)））或eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(3\r（13),13）,－\f(2\r(13),13)))D．以上都不對(duì)答案C解析設(shè)與a垂直的單位向量坐標(biāo)為(x,y）,∴eq\r(x2＋y2）＝1,即x2＋y2＝1。①又∵（x，y)表示的向量垂直于a，∴2x－3y＝0。②由①②得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f(3\r(13）,13)，,y＝\f(2\r（13),13）))或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－\f(3\r（13),13），，y＝－\f(2\r（13）,13).))5．已知平面向量a＝（1,2）,b＝(4，2)，c＝ma＋b（m∈R），且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m等于（)A．－2B．－1C．1D．2答案D解析因?yàn)閍＝（1,2)，b＝（4，2)，所以c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2），所以a·c＝m＋4＋2(2m＋2)＝5m＋8,b·c＝4（m＋4）＋2(2m＋2）＝8m＋20。因?yàn)閏與a的夾角等于c與b的夾角，所以eq\f(a·c,｜a｜|c｜)＝eq\f（b·c,｜b｜|c｜）,即eq\f（a·c，｜a｜)＝eq\f(b·c，|b｜），所以eq\f(5m＋8，\r(5)）＝eq\f(8m＋20,2\r(5))，解得m＝2，故選D。6．已知eq\o(OA,\s\up6（→）)＝(－2，1），eq\o（OB,\s\up6（→)）＝（0，2)且eq\o(AC，\s\up6（→））∥eq\o(OB，\s\up6（→））,eq\o(BC,\s\up6（→))⊥eq\o(AB，\s\up6(→)），則點(diǎn)C的坐標(biāo)是(）A．(2，6) B．(－2，－6）C．（2,－6） D．（－2，6)考點(diǎn)向量平行與垂直的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)向量平行與垂直的坐標(biāo)表示的綜合應(yīng)用答案D解析設(shè)C（x，y)，則eq\o(AC，\s\up6（→)）＝(x＋2，y－1）,eq\o(BC，\s\up6(→))＝（x，y－2)，eq\o(AB,\s\up6(→)）＝(2,1)，∵eq\o（AC,\s\up6(→）)∥eq\o（OB,\s\up6（→））,∴2(x＋2)＝0，①∵eq\o（BC，\s\up6（→)）⊥eq\o(AB，\s\up6（→）),∴2x＋y－2＝0，②由①②可得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－2,,y＝6,))∴C(－2,6）．7．已知向量a＝（2,1），a·b＝10,|a＋b｜＝5eq\r(2），則|b|等于（）A。eq\r(5）B。eq\r（10）C．5D．25答案C解析∵|a＋b|＝5eq\r(2),∴|a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝5＋2×10＋b2＝(5eq\r（2）)2，∴｜b｜＝5。二、填空題8．已知a＝(3,eq\r(3）),b＝（1,0),則（a－2b)·b＝________。答案1解析∵a－2b＝(1，eq\r(3）)，∴（a－2b）·b＝1×1＋eq\r（3)×0＝1.9．已知A(－3，0)，B(0，eq\r(3)），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C在第二象限，且∠AOC＝30°，eq\o（OC,\s\up6(→）)＝λeq\o（OA,\s\up6(→）)＋eq\o（OB,\s\up6(→)），則實(shí)數(shù)λ的值為________．答案1解析由題意知eq\o(OA,\s\up6(→））＝（－3,0），eq\o(OB,\s\up6（→））＝(0，eq\r（3）),則eq\o(OC,\s\up6(→）)＝（－3λ，eq\r(3)）．eq\o(OA，\s\up6(→))·eq\o（OC，\s\up6(→)）＝（－3，0)·（－3λ，eq\r（3）)＝9λ，∴cos∠AOC＝eq\f（\o(OA,\s\up6(→)）·\o(OC,\s\up6（→)）,｜\o(OA，\s\up6（→）)｜｜\o(OC,\s\up6(→）)｜）＝eq\f（9λ,3×\r（9λ2＋3）)＝eq\f(\r（3）,2）,∴λ2＝1，又C在第二象限，∴λ＝1.10．已知a＝(1,3),b＝(2＋λ，1）,且a與b的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________．答案eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5，－\f（5,3)))∪eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(5,3）,＋∞）)解析由a與b的夾角為銳角，得a·b＝2＋λ＋3＞0,λ＞－5。當(dāng)a∥b時(shí)，（2＋λ）×3－1＝0，λ＝－eq\f（5,3).故λ的取值范圍為λ＞－5且λ≠－eq\f（5,3）.11．已知點(diǎn)A(1，－2)，若向量eq\o(AB，\s\up6(→））與a＝(2,3)同向，且|eq\o（AB，\s\up6（→）)｜＝2eq\r(13)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________．答案(5,4)解析設(shè)eq\o（AB，\s\up6（→））＝(2λ,3λ)（λ〉0)，則|eq\o（AB，\s\up6(→))|＝eq\r（4λ2＋9λ2)＝2eq\r(13)，∴13λ2＝13×22，∴λ＝2，∴eq\o（AB，\s\up6(→))＝(4,6）．∴eq\o(OB，\s\up6（→））＝eq\o(OA,\s\up6(→）)＋eq\o（AB,\s\up6（→））＝（1,－2)＋(4，6)＝（5,4）．∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5,4）．12．已知a，c是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，其中a＝(1，2）．若｜c(diǎn)｜＝2eq\r（5)，且c與a方向相反，則c的坐標(biāo)為________．答案(－2，－4)解析設(shè)c＝（x，y)，由c∥a及｜c(diǎn)｜＝2eq\r（5），可得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(1·y－2·x＝0，,x2＋y2＝20,））所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，，y＝4)）或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－2,,y＝－4.））因?yàn)閏與a方向相反，所以c＝(－2，－4)．三、解答題13．已知三個(gè)點(diǎn)A（2，1），B(3，2),D(－1,4）．（1）求證：AB⊥AD;(2）要使四邊形ABCD為矩形,求點(diǎn)C的坐標(biāo)并求矩形ABCD兩條對(duì)角線所成的銳角的余弦值．（1）證明∵A（2,1），B(3，2),D（－1,4)，∴eq\o(AB,\s\up6（→))＝(1，1),eq\o（AD，\s\up6（→）)＝（－3，3)．又∵eq\o（AB,\s\up6（→））·eq\o(AD,\s\up6（→))＝1×（－3)＋1×3＝0,∴eq\o(AB,\s\up6（→）)⊥eq\o(AD，\s\up6(→）），即AB⊥AD.(2)解∵eq\o(AB，\s\up6(→)）⊥eq\o（AD，\s\up6（→)），四邊形ABCD為矩形,∴eq\o(DC，\s\up6（→））＝eq\o（AB,\s\up6（→））。設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則eq\o（AB,\s\up6(→））＝(1,1),eq\o（DC，\s\up6（→））＝（x＋1，y－4）,∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋1＝1，，y－4＝1，））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝0，，y＝5。）)∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,5）．由于eq\o（AC，\s\up6（→)）＝（－2，4)，eq\o（BD，\s\up6（→)）＝（－4,2），所以eq\o(AC，\s\up6（→））·eq\o（BD，\s\up6(→））＝8＋8＝16〉0。又｜eq\o（AC,\s\up6（→）)|＝2eq\r(5),｜eq\o（BD,\s\up6(→）)|＝2eq\r（5），設(shè)eq\o(AC,\s\up6(→））與eq\o（BD,\s\up6（→)）的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(\o（AC，\s\up6（→))·\o(BD，\s\up6（→)),｜\o(AC,\s\up6（→))|｜\o（BD,\s\up6(→))|）＝eq\f（16，20)＝eq\f（4,5)〉0，∴矩形的兩條對(duì)角線所成的銳角的余弦值為eq\f（4,5)。四、探究與拓展14．已知向量a＝(1,2），b＝(2，－3）．若向量c滿足（c＋a)∥b，c⊥（a＋b），則c＝________.答案eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（7，9）,－\f(7，3)））解析設(shè)c＝(x，y),則c＋a＝(x＋1，y＋2),∵(c＋a）∥b,∴2（y＋2）＋3(x＋1)＝0.①又∵c⊥（a＋b）,∴（x，y）·（3，－1）＝3x