2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修五北師大版講義：第三章 不等式滾動訓(xùn)練四

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精滾動訓(xùn)練（四)一、選擇題1．在△ABC中，已知AB＝3,A＝120°，且△ABC的面積為eq\f(15\r（3），4），則BC等于(）A．3 B．5C．7 D．15考點用正弦、余弦定理解三角形題點用正弦、余弦定理解三角形答案C解析由S△ABC＝eq\f(1，2）×AB×AC×sinA＝eq\f(15\r(3),4)，得eq\f（1，2)×3×ACsin120°＝eq\f（15\r(3)，4)，所以AC＝5，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝9＋25＋2×3×5×eq\f（1,2）＝49，解得BC＝7。2．已知數(shù)列{an｝對任意的p，q∈N＋滿足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于（）A．－165B．－33C．－30D．－21考點數(shù)列的遞推公式題點由遞推公式求項答案C解析由已知a4＝a2＋a2＝－12，a8＝a4＋a4＝－24，a10＝a8＋a2＝－30.3．已知x＞1，y＞1,且eq\f（1,4)lnx，eq\f（1,4)，lny成等比數(shù)列，則xy的最小值為（)A.eq\r(e)B．2C．eD．e2考點題點答案C解析由題意得eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，4)））2＝eq\f(1，4）lnx·lny，∴l(xiāng)nx·lny＝eq\f(1，4)，∵x＞1，y＞1，∴l(xiāng)nx>0，lny＞0，又ln(xy）＝lnx＋lny≥2eq\r(lnx·lny)＝1，當(dāng)且僅當(dāng)lnx＝lny＝eq\f（1，2)時，等號成立,∴xy≥e.即xy的最小值為e。4．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若asinA＋bsinB<csinC，則△ABC的形狀是（)A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不確定考點判斷三角形形狀題點利用正弦定理、余弦定理判斷三角形形狀答案C解析根據(jù)正弦定理可得a2＋b2<c2。由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2，2ab)<0，故C是鈍角，即△ABC是鈍角三角形．5．設(shè)f(n）＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋10（n∈N)，則f(n）等于（)A。eq\f(2，7）（8n－1) B.eq\f(2，7)（8n＋1－1）C.eq\f（2,7)（8n＋3－1） D。eq\f（2，7）(8n＋4－1）考點等比數(shù)列前n項和題點求等比數(shù)列的前n項和答案D解析依題意,f（n)為首項為2，公比為8的前n＋4項的和，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可得D正確．二、填空題6．小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(a<b)，其全程的平均時速為v，則a，b，v的大小關(guān)系由小到大依次為________．考點題點答案a<v<b解析設(shè)甲、乙兩地相距s，則由甲至乙用時eq\f(s,a),由乙至甲用時eq\f(s，b），∴全程時速v＝eq\f（2s，\f（s,a）＋\f(s，b））＝eq\f(2，\f（1,a）＋\f(1，b)）＝eq\f（2ab,a＋b），∵a<b,∴a＝eq\f（2ab,2b）〈eq\f(2ab，a＋b）〈eq\f(2ab,2a）＝b，即a<v<b。7．若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列｛bn}滿足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，則eq\f（a2,b2)＝________?？键c等差、等比數(shù)列綜合應(yīng)用題點等差、等比基本量問題綜合答案1解析設(shè)等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比分別為d和q，則－1＋3d＝－q3＝8，求得q＝－2，d＝3，那么eq\f(a2,b2）＝eq\f（－1＋3,2）＝1.8．已知△ABC的三邊長分別為3,5,7，則該三角形的外接圓半徑為________．考點用余弦定理解三角形題點已知三邊解三角形答案eq\f(7\r（3)，3)解析由已知a＝3，b＝5，c＝7,∴cosC＝eq\f（a2＋b2－c2,2ab）＝－eq\f(1,2)，∴sinC＝eq\f（\r（3),2)，∴R＝eq\f(c，2sinC)＝eq\f(7\r(3）,3)。9.如圖所示，位于A處的信息中心獲悉:在A處的正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在A處的南偏西30°、相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援,則cosθ＝________.考點解三角形求角度題點解三角形求角度答案eq\f（\r(21），14）解析在△ABC中,AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，所以BC＝20eq\r(7).由正弦定理得sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq\f（\r（21),7).由∠BAC＝120°知,∠ACB為銳角，故cos∠ACB＝eq\f（2\r(7),7),故cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB·cos30°－sin∠ACB·sin30°＝eq\f（\r（21），14）。10．如圖,在矩形ABCD中，AB＝eq\r（3)，BC＝3，E在AC上，若BE⊥AC，則ED＝_____。考點幾何圖形中的計算問題題點四邊形有關(guān)的幾何圖形計算問題答案eq\f（\r(21),2）解析在Rt△ABC中,BC＝3，AB＝eq\r（3），所以∠BAC＝60°.因為BE⊥AC，AB＝eq\r(3），所以AE＝eq\f（\r(3)，2）。在△EAD中,∠EAD＝30°，AD＝3，由余弦定理知，ED2＝AE2＋AD2－2AE·AD·cos∠EAD＝eq\f（3,4)＋9－2×eq\f(\r（3)，2）×3×eq\f（\r（3)，2)＝eq\f（21,4），故ED＝eq\f（\r(21）,2).三、解答題11．在數(shù)列{an｝中，a1＝2，an＋1＝an＋cn(c是常數(shù)，n＝1，2,3，…)，且a1,a2，a3是公比不為1的等比數(shù)列．(1)求c的值;（2)求｛an｝的通項公式．考點遞推數(shù)列通項公式求法題點an＋1＝pan＋f（n)型解(1）a1＝2，a2＝2＋c，a3＝2＋3c，因為a1,a2，a3成等比數(shù)列,所以(2＋c）2＝2(2＋3c），解得c＝0或c＝2,當(dāng)c＝0時，a1＝a2＝a3，不符合題意，舍去，故c＝2.(2)當(dāng)n≥2時,由于a2－a1＝c，a3－a2＝2c，…，an－an－1＝(n－1）c,所以an－a1＝［1＋2＋…＋（n－1)］c＝eq\f（nn－1，2)c，又a1＝2，c＝2，故an＝2＋n（n－1）＝n2－n＋2（n＝2,3,…）．當(dāng)n＝1時,上式也成立，所以an＝n2－n＋2（n＝1,2,…)．12．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b,c，且滿足cos2C－cos2A＝2sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π，3)＋C））·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π，3）－C))。(1)求角A的值；（2）若a＝eq\r（3)且b≥a,求2b－c的取值范圍．考點正弦、余弦定理與其他知識的綜合題點正弦、余弦定理與三角函數(shù)的綜合解(1)由已知得2sin2A－2sin2C＝2eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3，4）cos2C－\f(1，4)sin2C))，又A∈(0,π），化簡得sinA＝eq\f（\r（3）,2），故A＝eq\f（π，3）或eq\f(2π,3).(2）由題意知，若b≥a，則A＝eq\f（π，3），又a＝eq\r(3),所以由正弦定理可得eq\f（b,sinB)＝eq\f(c,sinC）＝eq\f（a,sinA）＝2,得b＝2sinB，c＝2sinC,故2b－c＝4sinB－2sinC＝4sinB－2sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（2π,3)－B）)＝3sinB－eq\r（3）cosB＝2eq\r(3）sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（B－\f（π,6)）).因為b≥a,所以eq\f（π，3)≤B<eq\f（2π，3)，eq\f（π,6）≤B－eq\f（π,6）〈eq\f(π，2),所以2eq\r（3)sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f（π，6)））∈[eq\r(3),2eq\r（3））．即2b－c的取值范圍為［eq\r（3），2eq\r（3))．13．解關(guān)于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4〉0?？键c一元二次不等式的解法題點含參數(shù)的一元二次不等式解法解(1）當(dāng)a＝0時,原不等式可化為－2x＋4〉0,解得x〈2,所以原不等式的解集為｛x|x〈2}．(2)當(dāng)a〉0時，原不等式可化為(ax－2)（x－2）>0，對應(yīng)方程的兩個根為x1＝eq\f(2，a），x2＝2。①當(dāng)0〈a<1時，eq\f(2，a)〉2，所以原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1(x〉\f（2,a）或x<2）))）;②當(dāng)a＝1時,eq\f（2,a)＝2，所以原不等式的解集為{x|x≠2}；③當(dāng)a〉1時，eq\f（2，a）<2，所以原不等式的解集為eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（x〉2或x<\f(2,a)）)））.（3)當(dāng)a<0時，原不等式可化為(－ax＋2)(x－2）<0，對應(yīng)方程的兩個根為x1＝eq\f（2,a)，x2＝2，則eq\f(2,a）<2,所以原不等式的解集為eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（2,a)<x〈2））)）.綜上,當(dāng)a〈0時,原不等式的解集為eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2，a)〈x〈2）)））;當(dāng)a＝0時,原不等式的解集為{x|x<2}；當(dāng)0<a≤1時，原不等式的解集為eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(2,a)或x<2））))；當(dāng)a〉1時，原不等式的解集為eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1（x>2或x<\f（2，a))))）.四、探究與拓展14．在△ABC中，若eq\f（sinA－B，sinA＋B)＝eq\f（a2－b2,a2＋b2)，則△ABC的形狀一定是__________．考點判斷三角形形狀題點利用正弦、余弦定理、三角變換判斷三角形形狀答案等腰或直角三角形解析原式可化為eq\f(sinA－B，sinA＋B）＝eq\f（sin2A－sin2B，sin2A＋sin2B)?sin2A·［sin（A－B)－sin(A＋B）]＋sin2B［sin(A－B)＋sin（A＋B）]＝0?－sin2AcosAsinB＋sin2BsinAcosB＝0?－sin2A＋sin2B＝0?sin2A＝sin2B?A＝B或A＋B＝eq\f（π，2),故該三角形是等腰或直角三角形．15．已知｛an｝是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d，對任意的n∈N＋，bn是an和an＋1的等比中項．（1)設(shè)cn＝beq\o\al(2,n＋1)－beq\o\al(2,n)，n∈N＋,求證：數(shù)列｛cn}是等差數(shù)列；(2）設(shè)a1＝d,Tn＝eq\o（∑，\s\up6(2n),\s\do4(k＝1)）(－1）kbeq\o\al（2，k），n∈N＋,求證:eq\o（∑,\s\up6（n)，\s\do4（k＝1）)eq\f（1，Tk）<eq\f（1,2d2）.考點數(shù)列綜合問題題點數(shù)列與不等式的綜合證明（1）由題意得beq\o\al(2，n）＝anan＋1，cn＝beq\o\al（2，n＋1)－beq\o\al（2,n)＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1。因此cn＋1－cn＝2d（an＋2－an＋1）＝2d2，所以｛cn}是等差數(shù)列．（2)Tn＝（－beq\o\al（2,1）＋beq\o\al(2，2)）＋(－beq\o\al（2，3）＋beq\o\al(2，4))＋…＋(－beq\o\al(2,2n－1)＋beq\o\al（2,2n））＝2d（a2＋a4＋…＋a2n）＝2d·eq\f（na2＋a2n，2）＝2d2n(n＋1）．所以eq\o（∑，\s\up6(n)，\s\do4（k＝1）)eq\f(1,Tk)＝eq\f(1,2d2）eq