2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修五蘇教版講義：第二章 數(shù)列滾動(dòng)訓(xùn)練（三）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精滾動(dòng)訓(xùn)練（三)一、填空題1．在△ABC中，AB＝eq\r(3），A＝45°,C＝75°，則BC＝______?？键c(diǎn)正弦定理的應(yīng)用題點(diǎn)正弦定理的應(yīng)用答案3－eq\r(3)解析設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b，c.∵AB＝eq\r(3），A＝45°,C＝75°，由正弦定理，得eq\f(a，sinA)＝eq\f(c，sinC）?eq\f（BC，sin45°）＝eq\f(AB，sin75°)＝eq\f（\r(3),\f（\r（6)＋\r(2），4）)，解得BC＝3－eq\r(3).2．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為________．考點(diǎn)等差數(shù)列前n項(xiàng)和題點(diǎn)等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的基本量計(jì)算問(wèn)題答案4解析設(shè)公差為d，a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝2a1＋7d＝24，S6＝6a1＋eq\f(6×5，2）d＝6a1＋15d＝48,聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2a1＋7d＝24，,6a1＋15d＝48，)）解得d＝4.3．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊a，b，c滿足b2＋c2＝a2＋bc，且bc＝8，則△ABC的面積等于________．考點(diǎn)用余弦定理解三角形題點(diǎn)逆用面積公式、余弦定理解三角形答案2eq\r(3)解析因?yàn)閎2＋c2＝a2＋bc,所以cosA＝eq\f（b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f（1，2），A＝eq\f(π,3)，三角形面積S＝eq\f（1,2）bcsinA＝2eq\r(3)。4．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈?”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈________盞．考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和應(yīng)用題題點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用題答案3解析由題可知，塔每一層的燈數(shù)由上至下構(gòu)成等比數(shù)列．設(shè)塔的頂層的燈數(shù)為a1，七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q,則由題意知S7＝381，q＝2,∴S7＝eq\f(a11－q7，1－q)＝eq\f(a11－27，1－2）＝381，解得a1＝3。5．在梯形ABCD中，AB∥CD,AB＝1,AC＝2，BD＝2eq\r（3）,∠ACD＝60°，則AD＝________.考點(diǎn)幾何圖形中的計(jì)算問(wèn)題題點(diǎn)四邊形有關(guān)的幾何圖形計(jì)算問(wèn)題答案eq\r(7)解析在△ABC中,由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°，解得BC＝eq\r(3)，所以AC2＝AB2＋BC2，故BC⊥AB，在Rt△BCD中，CD＝eq\r（BD2－BC2）＝eq\r（12－3)＝3，在△ACD中，由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos60°＝7,所以AD＝eq\r（7)。6．已知△ABC的三邊長(zhǎng)為三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，且最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍，則最小內(nèi)角的余弦值是________．考點(diǎn)用正弦、余弦定理解三角形題點(diǎn)用正弦、余弦定理解三角形答案eq\f（3，4)解析設(shè)三邊長(zhǎng)分別為x－1,x,x＋1，所以eq\f（x－1,sinA)＝eq\f（x＋1,sin2A）＝eq\f（x＋1,2sinAcosA）,所以cosA＝eq\f(x＋1，2x－1)＝eq\f（x2＋x＋12－x－12，2xx＋1），解得x＝5，則三邊長(zhǎng)為4,5，6，所以cosA＝eq\f(3,4）。7．等比數(shù)列{an｝的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，已知S3＝eq\f(7，4),S6＝eq\f(63，4)，則a8＝________.考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和題點(diǎn)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和有關(guān)的基本量計(jì)算問(wèn)題答案32解析設(shè)｛an}的首項(xiàng)為a1,公比為q，由題可知q≠1，則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(a11－q3，1－q）＝\f（7,4)，,\f(a11－q6，1－q）＝\f（63,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a1＝\f（1，4）,,q＝2,))所以a8＝eq\f（1，4)×27＝25＝32。8．已知｛an}是首項(xiàng)為32的等比數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和，且eq\f（S6，S3）＝eq\f(65,64),則數(shù)列｛|log2an|｝的前10項(xiàng)和為________．考點(diǎn)等差等比數(shù)列綜合應(yīng)用題點(diǎn)等差等比基本量問(wèn)題綜合答案58解析根據(jù)題意eq\f(S6－S3，S3)＝eq\f（1,64)＝q3，所以q＝eq\f(1，4），從而有an＝32·eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,4))）n－1＝27－2n，所以log2an＝7－2n，所以有｜log2an｜＝｜2n－7｜，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為5＋3＋1＋1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝eq\f（5＋1×3，2)＋eq\f（1＋13×7，2)＝58.9．等差數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3＝3，S4＝10,則eq\i\su(k＝1，n,）eq\f(1,Sk）＝________.考點(diǎn)數(shù)列前n項(xiàng)和的求法題點(diǎn)裂項(xiàng)相消法求和答案eq\f（2n,n＋1）解析設(shè)等差數(shù)列{an｝的公差為d，則由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a3＝a1＋2d＝3,,S4＝4a1＋\f(4×3，2)d＝10,））得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a1＝1,，d＝1。))∴Sn＝n×1＋eq\f(nn－1，2)×1＝eq\f（nn＋1，2），eq\f（1，Sn）＝eq\f(2，nn＋1）＝2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，n)－\f（1,n＋1）)).∴eq\i\su（k＝1,n，）eq\f(1，Sk)＝eq\f（1,S1)＋eq\f(1，S2)＋eq\f（1，S3)＋…＋eq\f（1，Sn)＝2eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f（1，2)＋\f(1,2）－\f(1，3)＋\f(1,3)－\f(1,4)＋…＋\f(1,n）－\f（1,n＋1))）＝2eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f（1，n＋1)))＝eq\f(2n，n＋1)。10．某沿海四個(gè)城市A，B，C,D的位置如圖所示，其中∠ABC＝60°，∠BCD＝135°，AB＝80nmile,BC＝40＋30eq\r(3）nmile，CD＝250eq\r(6）nmile?，F(xiàn)在有一艘輪船從A出發(fā)以50nmile/h的速度向D直線航行，60min后，輪船由于天氣原因收到指令改向城市C直線航行,則收到指令時(shí)該輪船到城市C的距離是________nmile.考點(diǎn)解三角形求距離題點(diǎn)測(cè)量方向角求距離答案100解析在△ABC中,AC2＝802＋（40＋30eq\r(3))2－2×80×(40＋30eq\r(3））×cos60°＝7500，則AC＝50eq\r(3），所以sin∠ACB＝eq\f(80×sin60°，50\r(3）)＝eq\f(4，5)，所以cos∠ACB＝eq\f(3，5)，sin∠ACD＝sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（135°－∠ACB）)＝eq\f(\r（2）,2）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（3，5)＋\f（4，5）)）＝eq\f（7\r(2），10)，則cos∠ACD＝eq\f（\r(2),10)，AD2＝（50eq\r(3））2＋(250eq\r(6))2－2×50eq\r(3）×250eq\r(6)×eq\f(\r（2),10)，可得AD＝50eq\r(147)＝350eq\r(3)，設(shè)收到指令時(shí)該輪船到城市C的距離是x，則eq\f（50\r（3)2＋502－x2，2×50\r（3）×50)＝eq\f（50\r(3)2＋350\r（3）2－250\r（6)2,2×50\r（3）×350\r（3)）,求得x＝100。11．若等比數(shù)列｛an｝的公比為eq\f（1，3），且a1＋a3＋…＋a99＝60,則{an}的前100項(xiàng)和為________．考點(diǎn)數(shù)列前n項(xiàng)和的求法題點(diǎn)分組求和法答案80解析令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100,則S100＝X＋Y，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)知：eq\f（Y,X）＝q＝eq\f(1,3），所以Y＝20,即S100＝X＋Y＝80.二、解答題12．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinA＋eq\r（3)cosA＝0，a＝2eq\r(7)，b＝2。(1）求c；（2）設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求△ABD的面積．考點(diǎn)幾何圖形中的計(jì)算問(wèn)題題點(diǎn)三角形有關(guān)的幾何圖形計(jì)算問(wèn)題解(1)由已知可得tanA＝－eq\r(3），又A∈（0，π），所以A＝eq\f(2π，3）.在△ABC中,由余弦定理,得28＝4＋c2－4c·coseq\f(2π，3)，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去），c＝4.(2)由題設(shè)可得∠CAD＝eq\f(π，2），所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝eq\f(π,6）。故△ABD的面積與△ACD的面積的比值為eq\f（\f(1，2)AB·AD·sin\f（π，6)，\f(1,2）AC·AD)＝1.又△ABC的面積為eq\f(1，2）×4×2sin∠BAC＝2eq\r(3），所以△ABD的面積為eq\r(3）。13．如圖，已知平面上直線l1∥l2,A，B分別是l1，l2上的動(dòng)點(diǎn),C是l1，l2之間的一定點(diǎn)，C到l1的距離CM＝1，C到l2的距離CN＝eq\r(3），△ABC三內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b,c,a〉b,且bcosB＝acosA。(1)判斷△ABC的形狀;（2)記∠ACM＝θ,f(θ)＝eq\f(1，AC）＋eq\f（1,BC),求f(θ）的最大值．考點(diǎn)正弦、余弦定理與其他知識(shí)的綜合題點(diǎn)正弦、余弦定理與三角函數(shù)的綜合解(1）由正弦定理得eq\f（b,sinB)＝eq\f(a，sinA)，且bcosB＝acosA，得sin2B＝sin2A，又a>b，所以A〉B，且A,B∈(0，π)，所以2A＋2B＝π,所以C＝eq\f(π,2），所以△ABC是直角三角形．（2)∠ACM＝θ，由（1）得∠BCN＝eq\f（π,2）－θ,則AC＝eq\f（1，cosθ)，BC＝eq\f(\r(3）,sinθ），f（θ)＝eq\f(1，AC）＋eq\f（1,BC）＝cosθ＋eq\f（\r(3)，3）sinθ＝eq\f(2，\r（3））coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（θ－\f（π，6））），所以當(dāng)θ＝eq\f(π,6）時(shí)，f（θ）的最大值為eq\f（2\r（3),3）.14．已知{xn｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2。（1）求數(shù)列｛xn｝的通項(xiàng)公式;（2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連結(jié)點(diǎn)P1（x1,1），P2(x2,2）,…,Pn＋1(xn＋1，n＋1）得到折線P1P2…Pn＋1,求由該折線與直線y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所圍成的區(qū)域的面積Tn.考點(diǎn)數(shù)列前n項(xiàng)和的求法題點(diǎn)錯(cuò)位相減法求和解（1）設(shè)數(shù)列｛xn｝的公比為q.由題意得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x1＋x1q＝3，，x1q2－x1q＝2.））所以3q2－5q－2＝0,由已知得q＞0，所以q＝2，x1＝1。因此數(shù)列{xn｝的通項(xiàng)公式為xn＝2n－1。(2)過(guò)P1，P2，…，Pn＋1向x軸作垂線，垂足分別為Q1，Q2，…，Qn＋1.由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1，記梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面積為bn，由題意得bn＝eq\f（n＋n＋1,2)×2n－1＝（2n＋1）×2n－2，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋（2n－1）×2n－3＋(2n＋1）×2n－2。 ①又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1）×2n－2＋(2n＋1）×2n－1， ②①－②得－Tn＝3×2－1＋（2＋22＋…＋2n－1）－（2n＋1)×2n－1＝eq\f(3,2）＋eq\f（21－2n－1,1－2)－(2n＋1）×2n－1。所以Tn＝eq\f(2n－1×2n＋1，2）。三、探究與拓展15．在△ABC中，若eq\f（sinA－B,sinA＋B)＝eq\f(a2－b2，a2＋b2），則△ABC的形狀一定是__________．考點(diǎn)判斷三角形形狀題點(diǎn)利用正弦、余弦定理、三角變換判斷三角形形狀答案等腰或直角三角形解析原式可化為eq\f(sinA－B，sinA＋B）＝eq\f（sin2A－sin2B，sin2A＋sin2B)?sin2A·[sin（A－B）－sin(A＋B)］＋sin2B[sin(A－B)＋sin（A＋B)］＝0?－sin2AcosAsinB＋sin2BsinAcosB＝0?－sin2A＋sin2B＝0?sin2A＝sin2B?A＝B或A＋B＝eq\f（π，2）,故該三角形是等腰或直角三角形．16．已知｛an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d，對(duì)任意的n∈N＊，bn是an和an＋1的等比中項(xiàng)．（1）設(shè)cn＝beq\o\al（2,n＋1)－beq\o\al（2，n），n∈N＊，求證：數(shù)列｛cn｝是等差數(shù)列；（2）設(shè)a1＝d，Tn＝eq\o（∑，\s\up6（2n），\s\do4(k＝1)）（－1）kbeq\o\al(2，k)，n∈N*,求證：eq\o（∑，\s\up6(n),\s\do4（k＝1)）eq\f（1，Tk)<eq\f（1,2d2).