旋轉(zhuǎn)講義教師版

南師教育旋轉(zhuǎn)單元要點(diǎn)分析教學(xué)內(nèi)容1．主要內(nèi)容：圖形的旋轉(zhuǎn)及其有關(guān)概念：包括旋轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角．圖形旋轉(zhuǎn)的有關(guān)性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．通過不同形式的旋轉(zhuǎn)，設(shè)計(jì)圖案．中心對稱及其有關(guān)概念：中心對稱、對稱中心、關(guān)于中心的對稱點(diǎn)；關(guān)于中心對稱的兩個圖形．中心對稱的性質(zhì)：對稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分；關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等圖形．中心對稱圖形：概念及性質(zhì)：包括中心對稱圖形、對稱中心．關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)：兩個點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時，它們的坐標(biāo)符號都相反，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為P′（-x，-y）．課題學(xué)習(xí)．圖案設(shè)計(jì)．2．本單元在教材中的地位與作用：學(xué)生通過平移、平面直角坐標(biāo)系，軸對稱、反比例函數(shù)、四邊形等知識的學(xué)習(xí)，初步積累了一定的圖形變換數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)．本章在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生進(jìn)行觀察、分析、畫圖、簡單圖案的欣賞與設(shè)計(jì)等操作性活動形成圖形旋轉(zhuǎn)概念．它又對今后繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，尤其是幾何，包括圓等內(nèi)容的學(xué)習(xí)起著橋梁鋪墊之作用．教學(xué)目標(biāo)1．知識與技能了解圖形的旋轉(zhuǎn)的有關(guān)概念并理解它的基本性質(zhì)．了解中心對稱的概念并理解它的基本性質(zhì)．了解中心對稱圖形的概念；掌握關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)的關(guān)系并應(yīng)用；再通過幾何操作題的練習(xí)，掌握課題學(xué)習(xí)中圖案設(shè)計(jì)的方法．基本題型（一）正三角形類型在正ΔABC中，P為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，將ΔABP繞A點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)600，使得AB與AC重合。經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化，將圖（1-1-a）中的PA、PB、PC三條線段集中于圖（1-1-b）中的一個ΔP'CP中，此時ΔP'AP也為正三角形。例1.如圖：（1-1）：設(shè)P是等邊ΔABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA=3，PB=4，PC=5，∠APB的度數(shù)是________.（二）正方形類型在正方形ABCD中，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，將ΔABP繞B點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)900，使得BA與BC重合。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變化，將圖（2-1-a）中的PA、PB、PC三條線段集中于圖（2-1-b）中的ΔCPP'中，此時ΔBPP'為等腰直角三角形。例2

.如圖（2-1）：P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P到正方形的三個頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面積。

（三）等腰直角三角形類型在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=Rt∠,P為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，將ΔAPC繞C點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)900，使得AC與BC重合。經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化，在圖（3-1-b）中的一個ΔP'CP為等腰直角三角形。

例3．如圖，在ΔABC中，∠ACB=900，BC=AC，P為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=3，PB=1，PC=2。求∠BPC的度數(shù)。平移、旋轉(zhuǎn)和翻折是幾何變換中的三種基本變換。所謂幾何變換就是根據(jù)確定的法則，對給定的圖形(或其一部分)施行某種位置變化，然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系．這類實(shí)體的特點(diǎn)是：結(jié)論開放，注重考查學(xué)生的猜想、探索能力；便于與其它知識相聯(lián)系，解題靈活多變，能夠考察學(xué)生分析問題和解決問題的能力．在這一理念的引導(dǎo)下，近幾年中考加大了這方面的考察力度，特別是2006年中考，這一部分的分值比前兩年大幅度提高。

為幫助廣大考生把握好平移，旋轉(zhuǎn)和翻折的特征，巧妙利用平移，旋轉(zhuǎn)和翻折的知識來解決相關(guān)的問題，下面以近幾年中考題為例說明其解法，供大家參考。一．平移、旋轉(zhuǎn)平移：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動稱為平移．“一定的方向”稱為平移方向，“一定的距離”稱為平移距離。平移特征：圖形平移時，圖形中的每一點(diǎn)的平移方向都相同，平移距離都相等。旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點(diǎn)沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度成為與原來相等的圖形，這樣的圖形運(yùn)動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，這個定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，圖形轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角．旋轉(zhuǎn)特征：圖形旋轉(zhuǎn)時，圖形中的每一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角都相等，都等于圖形的旋轉(zhuǎn)角。例1．如圖，將ΔABC繞頂點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60o后得到ΔAB′C′，且C′為BC的中點(diǎn)，則C′D:DB′=（）A．1:2B．1:C．1:D．1:3分析：由于ΔAB′C′是ΔABC繞頂點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60o后得到的，所以，旋轉(zhuǎn)角∠CAC′=60o，ΔAB′C′≌ΔABC，∴AC′=AC，∠CAC′=60o，∴ΔAC′C是等邊三角形，∴AC′=AC′．又C′為BC的中點(diǎn)，∴BC′=CC′，易得ΔAB′C、ΔABC是含30o角的直角三角形，從而ΔAC′D也是含30o角的直角三角形點(diǎn)評：本例考查靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)前后兩個圖形是全等的性質(zhì)、等邊三角形的判斷和含30o角的直角三角形的性質(zhì)的能力，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)ΔAC′C是等邊三角形．二、翻折翻折：翻折是指把一個圖形按某一直線翻折180o后所形成的新的圖形的變化。翻折特征：平面上的兩個圖形，將其中一個圖形沿著一條直線翻折過去，如果它能夠與另一個圖形重合，那么說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線就是對稱軸。解這類題抓住翻折前后兩個圖形是全等的，弄清翻折后不變的要素。

翻折在三大圖形運(yùn)動中是比較重要的，考查得較多．另外，從運(yùn)動變化得圖形得特殊位置探索出一般的結(jié)論或者從中獲得解題啟示，這種由特殊到一般的思想對我們解決運(yùn)動變化問題是極為重要的，值得大家留意。例2．（2006年江蘇省宿遷市）如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，若∠BAD′＝30°，則∠AED′等于（）

A．30° B．45°C．60° D．75°分析：由已知條件∠BAD′＝30°，易得∠DAD′=60o，又∵D、D′關(guān)于AE對稱，∴∠EAD=∠EAD′=30o，∴∠AED=∠AED′=60o．故選C點(diǎn)評：本例考查靈活運(yùn)用翻折前后兩個圖形是全等的性質(zhì)的能力，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)∠EAD=∠EAD′，∠AED=∠AED′

點(diǎn)評：圖形沿某條線折疊，這條線就是對稱軸，利用軸對稱的性質(zhì)并借助方程的的知識就能較快得到計(jì)算結(jié)果。

由此看出，近幾年中考，重點(diǎn)突出，試題貼近考生，貼近初中數(shù)學(xué)教學(xué)，圖形運(yùn)動的思想(圖形的旋轉(zhuǎn)、翻折、平移三大運(yùn)動)都一一考查到了．因此在平時抓住這三種運(yùn)動的特征和基本解題思路來指導(dǎo)我們的復(fù)習(xí)，將是一種事半功倍的好方法。平移與旋轉(zhuǎn)實(shí)際上是一種全等變換，由于具有可操作性，因而是考查同學(xué)們動手能力、觀察能力的好素材，也就成了近幾年中考試題中頻繁出現(xiàn)的內(nèi)容。題型多以填空題、計(jì)算題呈現(xiàn)。在解答此類問題時，我們通常將其轉(zhuǎn)換成全等求解。根據(jù)變換的特征，找到對應(yīng)的全等形，通過線段、角的轉(zhuǎn)換達(dá)到求解的目的。例1：如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，將腰CD以D為中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90°至ED，連結(jié)AE、CE，則△ADE的面積是（）A1B2C3D不能確定分析：解題的關(guān)鍵是求△ADE的邊AD上的高。可先求作直角梯形的高DF，想到將△CDF繞D逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△EDG，由EG=GF，只要CF的長，就可以求出△ADE的面積。解：過D做DF⊥BC于F，過E做EG⊥，交AD的延長線于G∵∠B=90°，AD∥BC∴四邊形ABFD為矩形∴FC=BC－AD=3－2=1，∠EDC=∠FDC=90°∴∠FDC=∠EDG，又∵∠DFC=∠G=90°，ED=CD∴△EDG≌△CDF，∴EG=CF=1

因此，選擇A點(diǎn)評：明確△ADE的邊AD上的高的概念不要誤寫成DE，作梯形高是常見的解題方法之一。變式題1：如圖，已知△ABC中AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE，PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，給出以下五個結(jié)論：

（1）AE=CF（2）∠APE=∠CPF（3）△EPF是等腰直角三角形（4）EF=AP（5）S四邊形AEPF=S△ABC÷2，當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時（點(diǎn)E不與A、B重合）上述結(jié)論中始終正確的序號有＿＿＿例2D、E為AB的中點(diǎn)，將△ABC沿線段DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處。若∠B=50°，則∠BDF=＿＿＿分析：通過折紙實(shí)驗(yàn)，多次嘗試，得出結(jié)論。解：∵D、E為AB的中點(diǎn)，∴DE∥BC，∠ADE=∠B=50°由折紙實(shí)驗(yàn)得：∠ADE=∠FDE∴∠BDF=180°－∠ADE－∠FDE=180°－2×50°=80°點(diǎn)評：幾何變換沒有可套用的模式，關(guān)鍵是同學(xué)們要善于多角度、多層次、多側(cè)面地思考問題，觀察問題、分析問題。變式題2：如圖，矩形紙片ABCD，AB=2，∠ADB=30°，將它沿對角線BD折疊（使△ABD和△EBD落在同一平面內(nèi)）則A、E兩點(diǎn)間的距離為＿＿＿旋轉(zhuǎn)具有以下特征：（1）圖形中的每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度；（2）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（3）對應(yīng)角、對應(yīng)線段相等；（4）圖形的形狀和大小都不變。

利用旋轉(zhuǎn)的特征，可巧妙解決很多數(shù)學(xué)問題，如一.求線段長.例：如圖，已知長方形ABCD的周長為20，AB=4，點(diǎn)E在BC上，且AE⊥EF，AE=EF，求CF的長?！窘馕觥浚簩ⅰ鰽BE以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)90°，此時點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B'處，AE與EF重合，由旋轉(zhuǎn)特征知：B'E⊥BC，四邊形B'ECF為長方形，∴CE=BF'=AB

∵CF+CE=B'E+CE=BE+EC=BC=6∴CF=BC-CE=6-4=2二.求角的大小例:如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)E、D分別為AB、BC上的兩點(diǎn)，且BE=CD，AD與CE交于點(diǎn)M，求∠AME的大小。

【解析】：因?yàn)锽C=AC，∠ABC=∠ACD=60°,BE=CD,所以以△ABC的中心（等邊三角形三條中線的交點(diǎn)）O為旋轉(zhuǎn)

中心，將△ADC順時針旋轉(zhuǎn)120°就得到了△CEB，∴∠AME=180°-∠AMC=180°-120°=60°三.進(jìn)行幾何推理

例：如圖，點(diǎn)F在正方形ABCD的邊BC上，AE平分∠DAF，請說明DE=AF-BF成立的理由

。

數(shù)學(xué)思想是解數(shù)學(xué)題的精髓和重要的指導(dǎo)方法，在平移和旋轉(zhuǎn)中的應(yīng)用也相當(dāng)?shù)膹V泛，一般可以歸結(jié)為兩種思想——對稱的思想和旋轉(zhuǎn)的思想，具體的分析如下：

1、對稱的思想：在平移、旋轉(zhuǎn)、對稱這些概念中，對稱這一概念非常重要.它包括軸對稱、旋轉(zhuǎn)對稱、中心對稱.對稱是一種種要的思想方法，在解題的應(yīng)用非常廣泛.例：觀察圖中所給的圖案，它可以看成由哪個較基本的圖形經(jīng)過哪些運(yùn)動變換產(chǎn)生的？它是不是軸對稱圖形？旋轉(zhuǎn)對稱圖形？中心對稱圖形？

分析：這是一個涉及軸對稱平移、旋轉(zhuǎn)的綜合性例子。解題思路主要通過直觀觀察取得。這個圖案較基本的圖形是正方形，一個小正方形沿對角線方向平移一個對角線長、兩個對角線長后得一正方形串，然后在串的軸線上找一點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三個90°后得到題目中給出的圖案，整個過程如圖所示。

這個圖形是軸對稱、旋轉(zhuǎn)對稱.中心對稱圖形。方法探究：這里的較基本圖形也可以看成線段。一線段經(jīng)平移、旋轉(zhuǎn)后得一正方形，然后重復(fù)上面的過程。2、旋轉(zhuǎn)的思想：旋轉(zhuǎn)也是