內(nèi)積空間的張量積、投影與隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn)

PAGEPAGE13基于內(nèi)積空間的張量積、投影與隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn)的分析摘要：矩陣張量積的計(jì)算是矩陣計(jì)算中的一類重要問(wèn)題，與乘法相比，張量積的計(jì)算量更為龐大。分析了分塊矩陣張量積的相關(guān)數(shù)學(xué)特性、證明了在置換相抵意義下兩個(gè)矩陣的張量積運(yùn)算可以交換,特別刻畫(huà)了這類置換矩陣、并由此證明了在置換相抵條件下分塊矩陣可以分塊地進(jìn)行張量積運(yùn)算。在此基礎(chǔ)上,討論了矩陣張量積的并行計(jì)算問(wèn)題，提出了幾種并行計(jì)算模型，進(jìn)行了必要的算法分析、并通過(guò)實(shí)例闡述了這些算法的思想和過(guò)程。預(yù)備知識(shí)1.內(nèi)積概念及相關(guān)性質(zhì)：內(nèi)積空間的基本概念：設(shè)是域上的線性空間，對(duì)任意，有一個(gè)中數(shù)與之對(duì)應(yīng)，使得對(duì)任意；滿足；，當(dāng)且僅當(dāng)；＝；；＝＋；稱是上的一個(gè)內(nèi)積，上定義了內(nèi)積稱為內(nèi)積空間。定義1.1設(shè)[]為內(nèi)積空間，稱為向量的長(zhǎng)度，若=1，則稱為單位向量。定義1.2在內(nèi)積空間中。若向量，滿足=0，則稱向量組與是正交的。定理1.1設(shè)是內(nèi)積空間，則對(duì)空間中任意向量，，都有，其中等式成立的充要條件是與線性相關(guān)。定理1.2設(shè)是內(nèi)積空間，則對(duì)任意有：。設(shè)是內(nèi)積空間，對(duì)任意，命則是上的一個(gè)范數(shù)。定理1.3設(shè)是內(nèi)積空間，則內(nèi)積是的連續(xù)函數(shù)，即時(shí)，，。定理1.4設(shè)是內(nèi)積空間，對(duì)任意，有以下關(guān)系式成立，平行四邊形法則：＋＝2；極化恒等式：＝（－＋－定理1.5設(shè)是賦范空間，如果范數(shù)滿足平行四邊形法則，則可在中定義一個(gè)內(nèi)積，使得由它產(chǎn)生的范數(shù)正是中原來(lái)的范數(shù)。定理1.6不含向量的正交向量組是線性無(wú)關(guān)的。定義1.3在內(nèi)積空間中，若一組基滿足條件則稱為的標(biāo)準(zhǔn)正交基。定理1.7設(shè)是內(nèi)積空間[]中線性無(wú)關(guān)的向量組，則由如下方法：，，k=2,3,…,m,所得向量組是正交向量組。2.張量積2.1概念及相關(guān)性質(zhì)：設(shè)、為線性空間，其代數(shù)張量積空間為=。按通常張量的定義，有。當(dāng)、上分別具有內(nèi)積和時(shí)，引入下述定義。定義對(duì)，規(guī)定（）=，并線性地?cái)U(kuò)充到上，稱之為上的內(nèi)積，帶有內(nèi)積的張量積空間簡(jiǎn)記為。定理2.1,均為半定的內(nèi)積空間，當(dāng)且僅當(dāng)是半定的，為零性空間的充要條件是和之一為零性空間。定理2.2設(shè)是的子空間，非退化，則。推論2.1設(shè)設(shè)是的子空間，非退化，則。推論2.2,是非退化內(nèi)積空間的充要條件是為非退化內(nèi)積空間。推論2.3設(shè)零性子空間，是它的對(duì)偶空間，非退化，則是的對(duì)偶空間。推論2.4若,是非退化內(nèi)積空間，有限維子空間，則。定理2.3若分別是,中直交可補(bǔ)的子空間，則是的直交可補(bǔ)子空間；設(shè)非退化，是的子空間，直交可補(bǔ),則直交可補(bǔ)。引理2.1非退化內(nèi)積空間上內(nèi)積(·,·)關(guān)于為一元連續(xù)。引理2.2設(shè)在非退化內(nèi)積空間,上有，則在上有。定理2.4設(shè)在非退化內(nèi)積空間,上則上內(nèi)積(·,·)關(guān)于為二元連續(xù)。定理2.5設(shè)=，=，，則存在上自配極的范數(shù)，使=。例子:結(jié)果的秩為1,結(jié)果的維數(shù)為4×3=12。這里的秩指示\o"張量秩（頁(yè)面不存在）"張量秩（所需\o"指標(biāo)"指標(biāo)數(shù)），而維數(shù)計(jì)算在結(jié)果數(shù)組(陣列)中自由度的數(shù)目；\o"矩陣的秩"矩陣的秩是1。代表情況是任何兩個(gè)被當(dāng)作矩陣的矩形數(shù)組的\o"克羅內(nèi)克積"克羅內(nèi)克積。在同維數(shù)的兩個(gè)向量之間的張量積的特殊情況是\o"并矢積"并矢積。兩個(gè)張量的張量積：有兩個(gè)(或更多)張量積的分量的一般公式。例如，如果

U

和

V

是秩分別為

n

和

m

的兩個(gè)\o"協(xié)變"協(xié)變張量，則它們的張量積的分量給出為所以兩個(gè)張量的張量積的分量是每個(gè)張量的分量的普通積。注意在張量積中，因子

U

消耗第一個(gè)rank(U)指標(biāo)，而因子

V

消耗下一個(gè)rank(V)指標(biāo)，所以例子：設(shè)U是類型(1,1)的張量，帶有分量；并設(shè)V是類型(1,0)的張量，帶有分量。則張量積繼承它的因子的所有指標(biāo)。對(duì)于矩陣這個(gè)運(yùn)算通常叫做克羅內(nèi)克積，用來(lái)明確結(jié)果有特定\o"分塊矩陣"塊結(jié)構(gòu)在其上，其中第一個(gè)矩陣的每個(gè)元素被替代為這個(gè)元素與第二個(gè)矩陣的積。對(duì)于矩陣和：多重線性映射的張量積：給定\o"多重線性映射"多重線性映射和它們的張量積是多重線性函數(shù)在域上的兩個(gè)\o"向量空間"向量空間和的張量積有,通過(guò)“生成元和關(guān)系”的方法的形式定義。在這些的關(guān)系下的等價(jià)類被叫做“張量”,并指示為。通過(guò)構(gòu)造，可以證明在張量之間的多個(gè)恒等式并形成張量的代數(shù)。要構(gòu)造，采用在之上帶有基的向量空間，并應(yīng)用(因子化所生成的子空間)下列多線性關(guān)系：在解決正交投影這類問(wèn)題，如果要用定理證明的方法求出線性空間的一個(gè)規(guī)范正交基。那么首先要對(duì)定理進(jìn)行證明，在理論上作必要的準(zhǔn)備！3.投影3.1概念及相關(guān)性質(zhì)：正交和投影定義5.2.1設(shè)是內(nèi)積空間，，若，則稱與正交，記作。正交性質(zhì)：(1)若，則；(2)若，則；(3)若，則；(4)對(duì)，恒有；注不意味著。(5)勾股弦定理：當(dāng)時(shí)，。引理5.2.1設(shè)是內(nèi)積空間，，則是的閉線性子空間。推論設(shè)，若是張成的閉線性子空間，則。定義5.2.2設(shè)是內(nèi)積空間，是的兩個(gè)線性子空間，若，則稱。為與的正交和，記作。命題5.2.1設(shè)內(nèi)積空間能分解為與的線性和則它為正交和。定義5.2.3設(shè)是內(nèi)積空間的線性子空間，.若存在，使得。則稱是在上的（正交）投影，或在上的投影分量。注1是在上的（正交）投影，或在上的投影分量。注2一般說(shuō)來(lái)，對(duì)于內(nèi)積空間的任意向量以及任意子空間，在上的投影并不一定存在。注3若在上有投影，則投影必定是唯一的。定理5.2.1設(shè)是內(nèi)積空間的線性子空間，.若是在上的投影，則,且是中使(5.2.2)成立的惟一向量。5.2.2投影定理引理5.2.2（變分引理）設(shè)是內(nèi)積空間中完備的凸集，.記，則必有唯一的，使得。引理5.2.3設(shè)是內(nèi)積空間中的線性子空間，，.若，則，即。定理5.2.2（投影定理）設(shè)是內(nèi)積空間中的完備線性子空間，則對(duì)，在上的投影唯一地存在。即：存在，使得，且這種分解是唯一的。特別地，當(dāng)時(shí)，。推論1設(shè)是內(nèi)積空間中的完備線性子空間，且，則在中必有非零元素。推論2設(shè)是Hilbert空間中的線性子空間，則。特別地，若，則在中稠密。3.2應(yīng)用舉例例在標(biāo)準(zhǔn)歐幾里得空間V=R中有向量=（1，-1，-1，1）=（1，-1，0，1）=(1,-1,0,1)線性空間W=L(,)求向量=（2，4，1，2）在W上的正交投影。解這道題有很多方法，第一種方法就是按定理證明的方法。該方法涉及到格拉姆——施密特正交化。因而首先對(duì)格拉姆——施密特正交化在理論上給予證明。先考慮在三維空間V中一組線性無(wú)關(guān)的向量，則令再將在上的投影向量記為R?。簁則（如下圖所示）有內(nèi)積得相關(guān)知識(shí)可得k=由于與共面，因此與也共面。因而在平面的投影向量維R,則：R=R+其中取則再將分別單位化為即得到一組正交單位向量,它與向量組是等價(jià)的。即在三維空間中存在一組單位正交基與等價(jià)，那么對(duì)于，這組線性無(wú)關(guān)的向量組是否存在正交向量組與它是否等價(jià)呢？令顯然與等價(jià)，再令為保證正交即（）=0則可得到：也就是說(shuō)取時(shí)。顯然有與等價(jià)。再令由可得故并且與也等價(jià)。繼續(xù)上述步驟，假定已找到兩兩正交的非零向量滿足條件。使得與等價(jià)。（其中S=1,2,3t),為使與均正交。即得：由此可以得到一個(gè)正交向量組使與等價(jià)因而格拉姆——施密特正交化為：若存在W中的一個(gè)基可以得到與該向量等價(jià)的單位向量正交基，滿足條件：對(duì)格拉姆——施密特正交化從理論上證明后，用理論進(jìn)行求解就不難了！有觀察可知是線形無(wú)關(guān)的故將其正交化可得：向量在W上的正交投影是：第二種方法：我們要利用正交投影的定義將進(jìn)行分解，其中，令①則）=（2-，4+，1+，2）由于故（由此可得方程組：解之可得：代入①式可得：該方法的主要特點(diǎn)是間接的求，因?yàn)榈南蛄孔鴺?biāo)已知故利用的坐標(biāo)可將的坐標(biāo)表示出來(lái)。再利用進(jìn)行求解，這種設(shè)而不求得方法在初等數(shù)學(xué)中是非常常見(jiàn)的。可以利用矩陣的知識(shí)進(jìn)行求解，設(shè)其中因此令，①以作為列向量得到矩陣以①中線性表示的系數(shù)作為列矩陣X這樣有：則有：由于內(nèi)積（表示的矩陣形式就是：.故表示的矩陣形式就是：則有即解之得：于是事實(shí)上用矩陣求解只是單純的引入了矩陣這個(gè)運(yùn)算工具而已，其最根本的原理與方法二類似，只是使計(jì)算更具可能性，目的性，比方法二的計(jì)算更加簡(jiǎn)明，在具體的計(jì)算操作性上較方法二要強(qiáng)。對(duì)于正交投影這類問(wèn)題計(jì)算一般都較復(fù)雜，因此在計(jì)算時(shí)，要根據(jù)基向量的個(gè)數(shù)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，一般情況下選擇定義法為宜。4.隨即不動(dòng)點(diǎn)2.1不動(dòng)點(diǎn)相關(guān)定義定義1設(shè)為非空集合，是一個(gè)映射，如果使得成立，則稱為映射的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。特別地，函數(shù)是定義在上的函數(shù)，如果使得成立，則稱為函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。定義2設(shè)是距離空間，是到其自身的映射，且對(duì)于任意的，不等式都成立，其中是滿足的常數(shù)。則稱是上的壓縮映射。2.2不動(dòng)點(diǎn)思想首先，對(duì)于函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，有兩個(gè)方面的理解：1）的不動(dòng)點(diǎn)，是方程的根。2）的不動(dòng)點(diǎn)，是函數(shù)與的交點(diǎn)。有了這兩個(gè)方面的理解，很顯然，可以用不動(dòng)點(diǎn)思想來(lái)求方程的根和函數(shù)的交點(diǎn)。其次，由于無(wú)論迭代多少次，總是本身，所以不動(dòng)點(diǎn)思想可以在函數(shù)迭代及數(shù)列中有廣泛的應(yīng)用。2.3不動(dòng)點(diǎn)相關(guān)定理定理1設(shè)為完備的距離空間，是上的壓縮映射，則在中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)，即存在唯一的，使得。并且該不動(dòng)點(diǎn)可以用迭代法求得。有時(shí)候映射不能滿足定理1的條件，故不能應(yīng)用它，因此有必要將定理加以拓廣，由此得到定理2。定理2設(shè)為完備的距離空間，是到其自身的映射，如果存在常數(shù)以及自然是使得對(duì)于任意的，成立，那么在中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。為使用的方便，由上述定理1的證明過(guò)程，容易得到下面的定理3。定理3若數(shù)列滿足條件則一定存在極限。在定理1中取,為中常見(jiàn)距離，則又可以得到下述定理4。定理4若函數(shù)是定義在上的函數(shù)，若使得，那么函數(shù)在中存在唯一不動(dòng)點(diǎn)。若滿足更強(qiáng)的條件，在是可導(dǎo)，則由微分中值定理，可得定理5。定理5若函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，其中，則函數(shù)在中存在唯一不動(dòng)點(diǎn)。將此結(jié)論應(yīng)用到數(shù)列中，有可得到下述的定理。定理6設(shè)函數(shù)可導(dǎo)且滿足，定義數(shù)列，那么一定存在極限。有了上述一系列的定理，我們可以應(yīng)用它們解決很多問(wèn)題。5.總結(jié)參考文獻(xiàn)：[1]林熙,郭鐵信.隨機(jī)內(nèi)積空間[J].科學(xué)通報(bào),1990,35(22):1707-1709.[2]郭鐵信.關(guān)于隨機(jī)賦范空間與隨機(jī)內(nèi)積的某些基本理論[J].