課件-常系數(shù)線性方程

1y(n)Py(1

y

y(ypyqyypyqyf(一一般形式 ypyqy

由方程特點可看出:y,y,y為同一類型函數(shù)將yex代入(1)得2pq

ye(2pq)ex(2)滿足(2)時,ex是(1)的一個特解特征根為相異實根1 得到 e1x, e2

且

e(12x常即y1y2是(1)則(1)的通解為 C1e

C2e特征根為二重根11ye11

是(1)的一個特解,求另一個線性無關的特解設y2ux)e1 p)u(2pq)u u 取u

得到另一個線性無關的特解y2xe則(1)的通解為 C1e

C2xe

(C1C2x)e特征根為共軛復根

1i,2i( ye(i)x, e(i)

(i) (i)

ex(cosxisinxex(cosxisinxy y y y

(yy)excos (yy)exsinx 則(1)yex(CcosxCsinx) ypyqy

2pq特征根的情況通解的表達實根1實根1復根12 yC1e C2ey(C1C2x)eyex(C1cosxC2sinx例:y2y3y22311,23,則通解為yC1e

(3)(1)3C2e例:y4y4y y|x01,y|x024412

(2)2 y(C1C2x)e2y2(C1C2x)e2

Ce22y|x01C1

y|x00C2則特解 y(12x)e2例:y2y2y解：222 1,21i yex

cosx121

sin長為100cm的鏈條從桌面上由靜止狀態(tài)開始無摩擦地沿桌子邊緣下滑。設運動開始時，鏈條已有20cm垂于桌，則鏈條的質(zhì)量為100再設當時刻t時，鏈條的下端距桌面的距離為x(t則根

d2

gx

d2xgxd2xgxd2xgx2x(0)20 x(0)0注:n階常系數(shù)線性齊次方程 2y(n)py(n1)py(n2 2

pny

1np1

pn

pn一個解 1,2兩個解excosxexsinxk重實根k個解ex,xex,,xk1ex一對k1,2excosx,xexcosx,,xk1exexsinx,xexsinx ,xk1ex例 y(5)y(4)y(3)y解：特征方程543 4(1)2(1)(1)2(21)特征根120,31,4i5 e cosx,sinyc1c2xc3exccosxcsin 例

y(5)y(

2y(3)2yyy 特征方程為54232214(1)22(1)(1)0,(1)(21)20,特征根為1e

23cossin

45i,xcosxsiny (C2C3x)cosx(C4C5x)sin ypyqyf( 由解的結構可知1)的通解是:yY故只要求出mfxP mfx)ex[PxcosxPxsinx] mfxPx)exm

設yQy*'Q'(x)exQ(x)ex[Q'(x)Q(y*''Q''(x)ex2Q(x)ex2Q([Q''(x)2Q(x)2Q(Q(2p)Q(2pq)QP(x) mQ(2p)Q(2pq)QPm(x)當不是特征根時:2pq

Q(x) (x)bxm m

xm1bx yQ(m當是特征單根時:2pq0,2p因此Q(x)是m次多項式 Q(x)是m+1次多項式y(tǒng)xQ(mQ(2p)Q(2pq)QPm(x) 當是特征重根時:

pq0,2pQx)是m次多項式,Qx)m+2次多項式y(tǒng) (m

m綜上設y*xkexQ (x)m

k22

是單根f(x)P(xm型例6:求yf(x)P(xm型x223x13,2

3

由于0不是特征根 則設yAx Bxy代入方程得

y3x24x3原方程的通解yY(3x 4x143例7:求y4y4y(6x2)e2x的通解解：244 12則對應的齊次方程的通解為YC1e2xCxe222是特征二重根,則設yx2AxB)e2 y*'(x)[2Ax3(3A2B)x22Bx]e2y*''(x)[4Ax3(12A4B)x2(8B6A)x2B]e26Ax2B6x 6A62B2

解 A1,B y*(x)(x3x2)e2y(x)(x3x2)e2x

cx)e21212.fxex[PxcosxPxsinx] k i1 i1yxkex[Q(x)cosxR(x)sinx] nnmax{l,m}例8:求yy10e2xcos 的一個特解

10,11,2由于i2i不是特征根 ye2x(AcosxBsinx將y代入方程得 ye2x(cosx2sin f(x)10e2xcosx中不含(13)的sinx但應認為是式中的Pl(x0y(x)ae2xcosy(x)e2x(acosxbsinx)y3y2yexcos2x的一個特解形 ).1yAexcos2x1 yAxexcos2xBxexsin2x yA cos2xB sin2xxx11 () yyA cos2xB sin2xxx11 性質(zhì)3 設非齊次方程(2)的右端f(x)是幾個函 如yP(x)yQ(x)yf1(x)f2(x)而y1與y2分別是方y(tǒng)P(x)yQ(x)yf(1yP(x)yQ(x)yf(2的特解 那么y1y2就是原方程的特解例9：y6y8yx21)e2xcos4解：要利用疊加原理y6y8y(x21)e2x

*xe2x(ax2bx1*y6y8ycos4x y2*

a2cos4xb2sin4則 y2是原方程的特齊次的特征方

268 12，24Yc1e2xc42例：寫出微分方程y4y4y6x28e2： 設y4y4y6x：y4y4y8e2x

yy12 yy121則所求特解為y*1 44y*Ax2Bx

21,22y*Dx2e2 y*Ax2BxCDx2e2 y(n)py(n1)py(n2

pny

npn1pn

一個解 1,2兩個解excosxexsinxk重實根k個解ex,xex,,xk1ex一對k1,2excosx,xexcosx,,xk1exexsinx,xexsinx ,xk1exmfxPx)exm 不是my*xkexQ (x)m

k22

是單根是重fxex[PxcosxPxsinx] k i1 i1yxkex[Q(x)cosxR(x)sinx] nnmax{l,m}11標準形式：yn)1.f(x)Pm(

Py(

Pn1yPny( my*xkexQxk 是單根ml 是l重lf(x)ex[P(x)cosxP(x)sinx] k is issnnmax{l,yxkex[Qn(x)cosxRnnmax{l,例試求方程y'''3y''3y'yex解：332 1(1)(21)3(1)(1)3 123Y(C1C2xC3x2)e1設特解y*x0Aexx f(x)sinx0 (xt)f(t)dtx f(x)sinxx

f(t)dt

tf(t (1xf'(x)