2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步蘇教版必修二講義：第2章 平面解析幾何初步2.1.2 第2課時(shí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第2課時(shí)兩點(diǎn)式學(xué)習(xí)目標(biāo)1。掌握直線方程兩點(diǎn)式的形式、特點(diǎn)及適用范圍。2。了解直線方程截距式的形式、特點(diǎn)及適用范圍。3。會(huì)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)．知識(shí)點(diǎn)一直線方程的兩點(diǎn)式思考過點(diǎn)(1，3）和（1,5)的直線能用兩點(diǎn)式表示嗎？為什么？過點(diǎn)(2,3），（5,3)的直線呢？答案不能,因?yàn)?－1＝0，而0不能做分母．過點(diǎn)（2，3），(5,3）的直線也不能用兩點(diǎn)式表示．梳理名稱已知條件示意圖方程使用范圍兩點(diǎn)式P1(x1，y1）,P2（x2，y2）,其中x1≠x2,y1≠y2eq\f(y－y1,y2－y1）＝eq\f(x－x1,x2－x1)斜率存在且不為0知識(shí)點(diǎn)二直線方程的截距式思考已知兩點(diǎn)P1(a，0）,P2（0,b)，其中a≠0,b≠0，求通過這兩點(diǎn)的直線方程．答案由直線方程的兩點(diǎn)式，得eq\f（y－0,b－0)＝eq\f（x－a,0－a），即eq\f（x，a）＋eq\f（y，b）＝1.梳理名稱已知條件示意圖方程使用范圍截距式在x,y軸上的截距分別為a,b且a≠0，b≠0eq\f(x，a）＋eq\f（y，b）＝1斜率存在且不為0，不過原點(diǎn)1．不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用方程eq\f（x，a)＋eq\f(y，b）＝1表示．(×)2．經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1（x1，y1)，P2（x2，y2）的直線都可以用方程（y－y1)(x2－x1）＝（x－x1）（y2－y1)表示．（√）3．能用兩點(diǎn)式方程表示的直線也可用點(diǎn)斜式方程表示．（√）類型一直線的兩點(diǎn)式方程例1已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)是A(4，0)，B（6，7），C(0，3）,求三邊所在的直線方程．解直線AB過A,B兩點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得eq\f（y－0，7－0）＝eq\f（x－4，6－4），整理得7x－2y－28＝0。∴直線AB的方程為7x－2y－28＝0.直線AC過A(4,0），C(0,3）兩點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得eq\f(y－0，3－0）＝eq\f（x－4，0－4),整理得3x＋4y－12＝0。∴直線AC的方程為3x＋4y－12＝0.直線BC過B（6，7），C(0，3）兩點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得eq\f(y－7，3－7)＝eq\f（x－6,0－6）,整理得2x－3y＋9＝0.∴直線BC的方程為2x－3y＋9＝0。反思與感悟(1）當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，求過這兩點(diǎn)的直線方程時(shí)，首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的適用條件：兩點(diǎn)的連線不平行于坐標(biāo)軸，若滿足，則考慮用兩點(diǎn)式求方程．（2）由于減法的順序性，一般用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí)常會(huì)將字母或數(shù)字的順序錯(cuò)位而導(dǎo)致錯(cuò)誤．在記憶和使用兩點(diǎn)式方程時(shí)，必須注意坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練1已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A（1,1)，B(5，1),C(2eq\r（3）－1,7－2eq\r(3）)．（1）求△ABC三邊所在直線的方程；(2)求△ABC內(nèi)角A，B的大?。猓?)直線AB過點(diǎn)A(1，1），B（5,1），由于A，B的縱坐標(biāo)相等，所以直線AB的方程為y＝1.直線AC過點(diǎn)A(1,1)，C(2eq\r(3)－1，7－2eq\r(3））,由兩點(diǎn)式方程可得eq\f(y－1,6－2\r(3）)＝eq\f(x－1，2\r（3)－2），整理得eq\r(3)x－y＋1－eq\r(3）＝0，這就是直線AC的方程．直線BC過點(diǎn)B(5,1),C(2eq\r（3)－1,7－2eq\r(3)),由兩點(diǎn)式方程可得eq\f（y－1，6－2\r（3)）＝eq\f(x－5，2\r（3）－6）,整理得x＋y－6＝0，這就是直線BC的方程．（2)因?yàn)閗AC＝eq\r(3)，所以直線AC的傾斜角α＝60°.又AB平行于x軸，所以∠A＝60°。因?yàn)閗BC＝－1，所以直線BC的傾斜角β＝135°.又AB平行于x軸,所以∠B＝45°.類型二直線的截距式方程eq\x(命題角度1與三角形有關(guān)的直線方程）例2過點(diǎn)P(1，3)，且與x軸、y軸的正半軸圍成的三角形的面積等于6的直線方程是______________．答案3x＋y－6＝0解析設(shè)所求的直線方程為eq\f(x,a）＋eq\f(y，b）＝1（a〉0，b>0)，由于過點(diǎn)P（1，3)且與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形面積等于6，因此有eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（1，a）＋\f(3,b）＝1，，\f（1,2）ab＝6，））解得a＝2,b＝6，故所求直線的方程為eq\f（x，2)＋eq\f（y,6）＝1，即3x＋y－6＝0.反思與感悟求解此類問題的兩個(gè)步驟：一是待定系數(shù)法，即根據(jù)題中條件設(shè)出直線方程，如在x軸、y軸上的截距分別為a,b(a≠0，b≠0）的直線方程常設(shè)為eq\f(x，a）＋eq\f（y,b）＝1;二是方程（組)思想，即根據(jù)已知條件，尋找關(guān)于參數(shù)的方程(組),解方程(組），得參數(shù)的值．跟蹤訓(xùn)練2直線l與兩坐標(biāo)軸在第一象限所圍成的三角形的面積為2，兩截距之差為3，求直線l的方程．解由題設(shè)知，直線l不過原點(diǎn)，且在x軸、y軸上的截距都大于0，設(shè)直線l的方程為eq\f(x，a）＋eq\f(y，b）＝1（a〉0，b〉0），則由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)ab＝2，,｜a－b｜＝3。））①當(dāng)a≥b時(shí),①可化為eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（1,2）ab＝2，，a－b＝3，)）解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝4，,b＝1）)或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝－1，,b＝－4）)(舍去）；當(dāng)a〈b時(shí)，①可化為eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)ab＝2，,b－a＝3，）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝1，，b＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝－1)）(舍去)．所以直線l的方程為eq\f(x,4)＋y＝1或x＋eq\f（y,4)＝1，即x＋4y－4＝0或4x＋y－4＝0.eq\x(命題角度2判斷直線的條數(shù)）例3過點(diǎn)A(3,－1)且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等的直線有________條．答案3解析當(dāng)截距都為零時(shí)滿足題意要求，直線為y＝－eq\f（1,3)x,當(dāng)截距不為零時(shí),設(shè)直線方程為eq\f（x，a)＋eq\f（y,b)＝1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3，a)＋\f（－1，b）＝1，，｜a｜＝|b|，)）∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝2，，b＝2））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝4，,b＝－4，））即直線方程為eq\f(x,2）＋eq\f(y,2）＝1或eq\f（x，4）＋eq\f（y，－4)＝1，∴滿足條件的直線共有3條．反思與感悟如果問題中出現(xiàn)直線在兩坐標(biāo)軸上的“截距相等”“截距互為相反數(shù)"“在一坐標(biāo)軸上的截距是另一坐標(biāo)軸上截距的m倍(m〉0)”等條件時(shí)，若采用截距式求直線方程,則一定要注意考慮“零截距”的情況．跟蹤訓(xùn)練3過點(diǎn)P(2,3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線有________條．答案2解析設(shè)直線的兩截距都是a，則有①當(dāng)a＝0時(shí)，直線設(shè)為y＝kx，將P（2,3）代入得k＝eq\f（3,2）,∴直線l的方程為3x－2y＝0；②當(dāng)a≠0時(shí)，直線設(shè)為eq\f（x，a)＋eq\f(y,a）＝1，即x＋y＝a,把P（2，3)代入得a＝5,∴直線l的方程為x＋y＝5。∴直線l的方程為3x－2y＝0或x＋y－5＝0.1．過兩點(diǎn)(－2，1)和(1,4）的直線方程為________．答案x－y＋3＝0解析代入兩點(diǎn)式得直線方程eq\f（y－1,4－1）＝eq\f（x＋2，1＋2），整理得x－y＋3＝0.2．若直線l的方程為eq\f（x，－2）＋eq\f(y,2)＝1，則該直線的傾斜角為____________．答案45°3．經(jīng)過P（4,0）,Q(0，－3）兩點(diǎn)的截距式方程為________________．答案eq\f（x，4)－eq\f（y，3)＝1解析由兩點(diǎn)的坐標(biāo)知直線在x軸，y軸上的截距分別為4，－3，所以直線方程為eq\f(x,4)＋eq\f（y，－3)＝1,即eq\f（x，4）－eq\f（y，3)＝1。4．過點(diǎn)（5，2），且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍的直線方程是________．答案x＋2y－9＝0或2x－5y＝0解析當(dāng)y軸上截距b＝0時(shí)，設(shè)直線方程為y＝kx.將點(diǎn)(5,2）代入，得y＝eq\f(2,5）x，即2x－5y＝0.當(dāng)b≠0時(shí)，設(shè)直線方程為eq\f（x，2b）＋eq\f(y,b）＝1，將點(diǎn)(5,2）代入，得eq\f(5,2b）＋eq\f(2，b）＝1，解得b＝eq\f(9,2),即直線方程為eq\f(x,9）＋eq\f（y,\f(9,2)）＝1,整理，得x＋2y－9＝0.5．下列四個(gè)結(jié)論：①方程k＝eq\f（y－2,x＋1）與方程y－2＝k(x＋1）可表示同一直線；②直線l過點(diǎn)P（x1，y1），傾斜角為90°，則其方程是x＝x1;③直線l過點(diǎn)P(x1,y1)，斜率為0,則其方程是y＝y(tǒng)1；④所有的直線都有點(diǎn)斜式和截距式方程．正確的為________．(填序號(hào)）答案②③解析①中兩個(gè)方程的定義域不同；④中傾斜角為90°的直線沒有點(diǎn)斜式方程，也沒有截距式方程,傾斜角為0°的直線沒有截距式方程．1．當(dāng)直線斜率不存在(x1＝x2)或斜率為0（y1＝y(tǒng)2)時(shí)，不能用兩點(diǎn)式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f（x－x1，x2－x1）求它的方程，此時(shí)直線的方程分別是x＝x1和y＝y(tǒng)1，而它們都適合（x2－x1）·(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，即兩點(diǎn)式的整式形式，因此過任意兩點(diǎn)的直線的方程都可以寫成（x2－x1）(y－y1)＝（y2－y1)(x－x1)的形式．2．直線的截距式是兩點(diǎn)式的一個(gè)特殊情形，用它來畫直線以及判斷直線經(jīng)過的象限或求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積比較方便．注意直線過原點(diǎn)或與坐標(biāo)軸平行時(shí)，沒有截距式方程，但直線過原點(diǎn)時(shí)兩截距存在且同時(shí)等于零。一、填空題1．直線eq\f（x，a2）－eq\f(y，b2)＝1在y軸上的截距是________．答案－b2解析令x＝0,得y＝－b2.2．過點(diǎn)(－1，1）和(3,9）的直線在x軸上的截距為______________．答案－eq\f（3，2）解析由兩點(diǎn)式eq\f（y－1,9－1)＝eq\f（x＋1,3＋1），得y＝2x＋3，令y＝0,有x＝－eq\f(3,2)，即在x軸上的截距為－eq\f（3，2)。3．已知直線l過（－1，－1)，(2，5)兩點(diǎn)，且點(diǎn)(1008，b)在直線l上，則b的值為__________．答案2017解析直線l的方程為eq\f(y－－1，5－－1)＝eq\f（x－－1，2－－1），eq\f(y＋1，6）＝eq\f(x＋1，3）,即y＝2x＋1。令x＝1008，得y＝2017，所以b＝2017。4．已知直線eq\f(x，a）＋eq\f（y,6）＝1與坐標(biāo)軸圍成的圖形面積為6,則a的值為________．答案±2解析由eq\f（x,a）＋eq\f（y，6)＝1知S＝eq\f(1,2)|a|·｜6|＝6，所以a＝±2.5．利用斜二測(cè)畫法，作出直線AB的直觀圖如圖所示，若O′A′＝O′B′＝1，則直線AB在直角坐標(biāo)系中的方程為____________．答案2x－y－2＝0解析由斜二測(cè)畫法可知在直角坐標(biāo)系中，A(1,0），B(0，－2)，由兩點(diǎn)坐標(biāo)可得直線方程為x－eq\f(y，2）＝1，即2x－y－2＝0。6．過點(diǎn)(0,3）,且在兩坐標(biāo)軸上截距之和等于5的直線方程是____________________．答案3x＋2y－6＝0解析由題意知，直線在y軸上的截距為3，則在x軸上的截距為2，∴該直線的截距式方程為eq\f(x,2)＋eq\f(y，3)＝1,即3x＋2y－6＝0.7．已知A（3,0)，B（0,4），動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0）在線段AB上移動(dòng)，則4x0＋3y0的值為________．答案12解析AB所在直線方程為eq\f(x，3)＋eq\f(y,4）＝1,則eq\f（x0,3）＋eq\f（y0，4）＝1，即4x0＋3y0＝12。8．已知直線l過兩點(diǎn)(m,3)和(3,2），且在x軸上的截距是1，則m＝________.答案4解析由直線l在x軸上的截距是1，得m≠3，所以直線的兩點(diǎn)式方程為eq\f（y－2，3－2)＝eq\f（x－3，m－3）。當(dāng)y＝0時(shí)，則x＝6－2m＋3＝1，知m＝4。9．兩條直線l1：eq\f(x,a)－eq\f(y，b）＝1和l2：eq\f（x,b）－eq\f(y，a）＝1在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可以是_____．(填序號(hào)）答案①解析兩條直線化為截距式分別為eq\f（x，a)＋eq\f（y,－b）＝1，eq\f(x,b）＋eq\f(y，－a)＝1。假定l1，判斷a,b，從而確定l2的位置，知圖象①符合．經(jīng)檢驗(yàn)知其他圖象均不正確．10．直線l在x,y軸上的截距的倒數(shù)之和為eq\f(1，2)，則直線過定點(diǎn)__________．答案（2,2)解析由題意可設(shè)直線方程為eq\f(x，a)＋eq\f(y，b）＝1，∴eq\f（1，a)＋eq\f(1,b）＝eq\f（1，2)?！鄀q\f(2,a)＋eq\f（2,b)＝1，∴直線過定點(diǎn)（2,2）．11．若直線l與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形,且此三角形的面積為18，則直線l的方程為________．答案x＋y±6＝0，x－y±6＝0解析因?yàn)橹本€l與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，所以直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等或互為相反數(shù)且不為0。若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且設(shè)為a，則直線方程為eq\f（x,a)＋eq\f(y,a）＝1，即x＋y－a＝0.∵eq\f(1，2)|a|·|a|＝18，即a2＝36，∴a＝±6,∴直線方程為x＋y±6＝0。若l在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，不妨設(shè)橫截距為a，則縱截距為－a,故直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f（y,－a)＝1，即x－y－a＝0?！遝q\f（1,2）｜－a｜·|a|＝18,即a2＝36，∴a＝±6，∴直線方程為x－y±6＝0。綜上所述，直線l的方程為x＋y±6＝0或x－y±6＝0。二、解答題12．若過點(diǎn)(1,－1)的直線在y軸上的截距比在x軸上的截距大eq\f（1,2），求此直線的方程．解設(shè)直線在x軸上的截距為a，則在y軸上的截距為a＋eq\f（1,2),由題意可知a≠0且a≠－eq\f(1,2），則此直線的方程為eq\f(x，a）＋eq\f（y,a＋\f（1，2))＝1.又此直