北師大初三年級數(shù)學上冊期中試卷(含答案解析)

.@:第24頁北師大2019初三年級數(shù)學上冊期中試卷〔含答案解析〕北師大2019初三年級數(shù)學上冊期中試卷〔含答案解析〕一、精挑細選，火眼金睛〔每題3分，共24分〕1．如圖，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，那么以下結(jié)論不正確的選項是〔〕A．BC=2DEB．△ADE∽△ABCC．=D．S△ABC=3S△ADE2．兩個相似三角形的對應(yīng)邊分別是15cm和23cm，它們的周長相差40cm，那么這兩個三角形的周長分別是〔〕A．75cm，115cmB．60cm，100cmC．85cm，125cmD．45cm，85cm3．按如下方法，將△ABC的三邊縮小的原來的，如圖，任取一點O，連AO、BO、CO，并取它們的中點D、E、F，得△DEF，那么以下說法正確的個數(shù)是〔〕①△ABC與△DEF是位似圖形②△ABC與△DEF是相似圖形③△ABC與△DEF的周長比為1：2④△ABC與△DEF的面積比為4：1．A．1B．2C．3D．44．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，CD是直徑，∠B=40°，那么∠ACD的度數(shù)是〔〕A．40°B．50°C．60°D．75°5．在△ABC中，假設(shè)cosA=，tanB=，那么這個三角形一定是〔〕A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形6．如圖，PA、PB切⊙O于點A、B，PA=8，CD切⊙O于點E，交PA、PB于C、D兩點，那么△PCD的周長是〔〕A．8B．18C．16D．147．半徑相等的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長之比為〔〕A．1：：B．：：1C．3：2：1D．1：2：38．如圖，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E互相外離，它們的半徑都是1，順次連接五個圓心得到五邊形ABCDE，那么圖中五個扇形〔陰影部分〕的面積是〔〕A．πB．1.5πC．2πD．2.5π二、認真填寫，試一試自己的身手〔每題3分，共18分〕9．在相似三角形中，其中一個三角形三邊的長是4，6，8．另一個三角形的最小邊長是2，那么另一個三角形的周長是．10．傳送帶與程度面所成斜坡的坡度i=1：2.4，假如它把物體送到離地面5米高的地方，那么物體所經(jīng)過的路程為．11．△ABC三個頂點A〔3，6〕、B〔6，2〕、C〔2，﹣1〕，以原點為位似中心，得到的位似圖形△A′B′C′三個頂點分別為A′〔1，2〕，B′〔2，〕，C〔，﹣〕，那么△A′B′C′與△ABC的位似比是．12．如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，那么AB的長為．13．一條弦把圓分為2：3兩部分，那么這條弦所對的圓周角的度數(shù)為．14．如圖，三角板ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=6．三角板繞直角頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)，當點A的對應(yīng)點A′落在AB邊的起始位置上時即停頓轉(zhuǎn)動，那么點B轉(zhuǎn)過的途徑長為〔結(jié)果保存π〕．三、認真解答，一定要細心．〔總分值38分，要寫出必要的計算推理、解答過程〕15．計算：〔1〕sin45°?cos45°+tan60°?sin60?〔2〕sin30°﹣cos45°+tan230°+sin260°﹣cos260°．16．如圖，M為線段AB的中點，AE與BD交于點C，∠DME=∠A=∠B，且DM交AC于F，ME交BC于G，寫出圖中兩對相似三角形，并證明其中的一對．17．用反證法證明：在△ABC中，假如M、N分別是邊AB、AC上的點，那么BN、CM不能互相平分．18．如圖，A、B、C、D是⊙O上的四點，AB=DC，△ABC與△DCB全等嗎？為什么？四、綜合解答題〔此題4小題，總分值40分，要寫出必要的計算、推理、解答過程〕19．如下圖，圖中的小方格都是邊長為1的正方形，△ABC與△A′B′C′是以點O為位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點上．〔1〕畫出位似中心點O；〔2〕直接寫出△ABC與△A′B′C′的位似比；〔3〕以位似中心O為坐標原點，以格線所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系，畫出△A′B′C′關(guān)于點O中心對稱的△A″B″C″，并直接寫出△A″B″C″各頂點的坐標．20．：如圖，AB是⊙O的弦，∠OAB=45°，C是優(yōu)弧AB上的一點，BD∥OA，交CA延長線于點D，連接BC．〔1〕求證：BD是⊙O的切線；〔2〕假設(shè)AC=，∠CAB=75°，求⊙O的半徑．21．如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，點P從B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向C挪動，點Q從C出發(fā)，以1cm/s的速度向A挪動，假設(shè)P、Q分別從B、C同時出發(fā)，設(shè)運動時間為ts，當為何值時，△CPQ與△CBA相似？22．如圖是某品牌太陽能熱水器的實物圖和橫斷面示意圖，真空集熱管與支架CD所在直線相交于水箱橫斷面⊙O的圓心O，支架CD與程度面AE垂直，AB=150厘米，∠BAC=30°，另一根輔助支架DE=76厘米，∠CED=60°．〔1〕求垂直支架CD的長度；〔結(jié)果保存根號〕〔2〕求水箱半徑OD的長度．〔結(jié)果保存三個有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.73〕北師大2019初三年級數(shù)學上冊期中試卷〔含答案解析〕參考答案與試題解析一、精挑細選，火眼金睛〔每題3分，共24分〕1．如圖，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，那么以下結(jié)論不正確的選項是〔〕A．BC=2DEB．△ADE∽△ABCC．=D．S△ABC=3S△ADE考點：三角形中位線定理；相似三角形的斷定與性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：根據(jù)三角形的中位線定理得出DE是△ABC的中位線，再由中位線的性質(zhì)得出△ADE∽△ABC，進而可得出結(jié)論．解答：解：∵在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，∴DE∥BC，DE=BC，∴BC=2DE，故A正確；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故B正確；∴=，故C正確；∵DE是△ABC的中位線，∴AD：BC=1：2，∴S△ABC=4S△ADE故D錯誤．應(yīng)選D．點評：此題考察的是相似三角形的斷定與性質(zhì)及三角形的中位線定理，熟記以上知識是解答此題的關(guān)鍵．2．兩個相似三角形的對應(yīng)邊分別是15cm和23cm，它們的周長相差40cm，那么這兩個三角形的周長分別是〔〕A．75cm，115cmB．60cm，100cmC．85cm，125cmD．45cm，85cm考點：相似三角形的性質(zhì)．分析：根據(jù)題意兩個三角形的相似比是15：23，可得周長比為15：23，計算出周長相差8份及每份的長，可得兩三角形周長．解答：解：根據(jù)題意兩個三角形的相似比是15：23，周長比就是15：23，大小周長相差8份，所以每份的周長是40÷8=5cm，所以兩個三角形的周長分別為5×15=75cm，5×23=115cm．應(yīng)選A．點評：此題考察對相似三角形性質(zhì)的理解：〔1〕相似三角形周長的比等于相似比；〔2〕相似三角形面積的比等于相似比的平方；〔3〕相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比．3．按如下方法，將△ABC的三邊縮小的原來的，如圖，任取一點O，連AO、BO、CO，并取它們的中點D、E、F，得△DEF，那么以下說法正確的個數(shù)是〔〕①△ABC與△DEF是位似圖形②△ABC與△DEF是相似圖形③△ABC與△DEF的周長比為1：2④△ABC與△DEF的面積比為4：1．A．1B．2C．3D．4考點：位似變換．專題：計算題．分析：根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，得出①△ABC與△DEF是位似圖形進而根據(jù)位似圖形一定是相似圖形得出②△ABC與△DEF是相似圖形，再根據(jù)周長比等于位似比，以及根據(jù)面積比等于相似比的平方，即可得出答案．解答：解：根據(jù)位似性質(zhì)得出①△ABC與△DEF是位似圖形，②△ABC與△DEF是相似圖形，∵將△ABC的三邊縮小的原來的，∴△ABC與△DEF的周長比為2：1，故③選項錯誤，根據(jù)面積比等于相似比的平方，∴④△ABC與△DEF的面積比為4：1．應(yīng)選C．點評：此題主要考察了位似圖形的性質(zhì)，正確的記憶位似圖形性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．4．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，CD是直徑，∠B=40°，那么∠ACD的度數(shù)是〔〕A．40°B．50°C．60°D．75°考點：圓周角定理．分析：首先連接AD，由直徑所對的圓周角是直角，∠CAD=90°，又由圓周角定理，即可求得∠D的度數(shù)，繼而求得答案．解答：解：連接AD，如下圖，∵CD是直徑，∴∠CAD=90°，∵∠D=∠B=40°，∴∠ACD=90°﹣∠D=50°．應(yīng)選B．點評：此題考察了圓周角定理．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．5．在△ABC中，假設(shè)cosA=，tanB=，那么這個三角形一定是〔〕A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形考點：特殊角的三角函數(shù)值．分析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值和三角形的內(nèi)角和定理求出角的度數(shù)，再進展判斷．解答：解：∵cosA=，tanB=，∴∠A=45°，∠B=60°．∴∠C=180°﹣45°﹣60°=75°．∴△ABC為銳角三角形．應(yīng)選A．點評：此題考察特殊角三角函數(shù)值的計算，特殊角三角函數(shù)值計算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主．6．如圖，PA、PB切⊙O于點A、B，PA=8，CD切⊙O于點E，交PA、PB于C、D兩點，那么△PCD的周長是〔〕A．8B．18C．16D．14考點：切線長定理．分析：由PA，PB切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，根據(jù)切線長定理可得：PB=PA=8，CA=CE，DB=DE，繼而可得△PCD的周長=PA+PB．解答：解：∵PA，PB切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，∴PB=PA=8，CA=CE，DB=DE，∴△PCD的周長=PC+CE+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB+PD=PA+PB=16．應(yīng)選：C．點評：此題考察了切線長定理．此題難度不大，注意從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角．7．半徑相等的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長之比為〔〕A．1：：B．：：1C．3：2：1D．1：2：3考點：正多邊形和圓．專題：壓軸題．分析：從中心向邊作垂線，構(gòu)建直角三角形，通過解直角三角形可得．解答：解：設(shè)圓的半徑是r，那么多邊形的半徑是r，那么內(nèi)接正三角形的邊長是2rsin60°=r，內(nèi)接正方形的邊長是2rsin45°=r，正六邊形的邊長是r，因此半徑相等的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長之比為：：1．應(yīng)選B．點評：正多邊形的計算一般是通過中心作邊的垂線，連接半徑，把正多邊形中的半徑，邊長，邊心距，中心角之間的計算轉(zhuǎn)化為解直角三角形．8．如圖，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E互相外離，它們的半徑都是1，順次連接五個圓心得到五邊形ABCDE，那么圖中五個扇形〔陰影部分〕的面積是〔〕A．πB．1.5πC．2πD．2.5π考點：扇形面積的計算；多邊形內(nèi)角與外角．專題：壓軸題．分析：圓心角之和等于五邊形的內(nèi)角和，由于半徑一樣，那么根據(jù)扇形的面積2公式計算即可．解答：解：圖中五個扇形〔陰影部分〕的面積是=1.5π應(yīng)選B．點評：解決此題的關(guān)鍵是把陰影部分當成一個扇形的面積來求，圓心角為五邊形的內(nèi)角和．二、認真填寫，試一試自己的身手〔每題3分，共18分〕9．在相似三角形中，其中一個三角形三邊的長是4，6，8．另一個三角形的最小邊長是2，那么另一個三角形的周長是9．考點：相似三角形的性質(zhì)．分析：由在相似三角形中，其中一個三角形三邊的長是4，6，8．另一個三角形的最小邊長是2，即可求得其中一個三角形的周長，由相似三角形的周長的比等于相似比，即可求得答案．解答：解：∵一個三角形三邊的長是4，6，8，∴這個三角形的周長為：4+6+8=18，∵在相似三角形中，另一個三角形的最小邊長是2，∴它們周長的比為：4：2=2：1，∴另一個三角形的周長是9．故答案為：9．點評：此題考察了相似三角形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意熟記定理是解此題的關(guān)鍵．10．傳送帶與程度面所成斜坡的坡度i=1：2.4，假如它把物體送到離地面5米高的地方，那么物體所經(jīng)過的路程為13m．考點：解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．分析：首先根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)坡度的定義，由勾股定理即可求得答案．解答：解：如圖，由題意得：斜坡AB的坡度：i=1：2.4，AE=5米，AE⊥BD，∵i==，∴BE=12米，∴在Rt△ABE中，AB==13〔米〕．故答案為：13m．點評：此題考察了坡度坡角問題．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意理解坡度的定義．11．△ABC三個頂點A〔3，6〕、B〔6，2〕、C〔2，﹣1〕，以原點為位似中心，得到的位似圖形△A′B′C′三個頂點分別為A′〔1，2〕，B′〔2，〕，C〔，﹣〕，那么△A′B′C′與△ABC的位似比是1：3．考點：位似變換；坐標與圖形性質(zhì)．分析：由△ABC三個頂點A〔3，6〕、B〔6，2〕、C〔2，﹣1〕，以原點為位似中心，得到的位似圖形△A′B′C′三個頂點分別為A′〔1，2〕，B′〔2，〕，C〔，﹣〕，根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，即可求得△A′B′C′與△ABC的位似比．解答：解：∵△ABC三個頂點A〔3，6〕、B〔6，2〕、C〔2，﹣1〕，以原點為位似中心，得到的位似圖形△A′B′C′三個頂點分別為A′〔1，2〕，B′〔2，〕，C〔，﹣〕，∴△A′B′C′與△ABC的位似比是：1：3．故答案為：1：3．點評：此題考察了位似圖形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意以原點為位似中心的位似圖形的位似比是對應(yīng)點的對應(yīng)坐標的比．12．如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，那么AB的長為3+．考點：解直角三角形．專題：幾何圖形問題．分析：過C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根據(jù)含30度角的直角三角形求出CD，根據(jù)勾股定理求出AD，相加即可求出答案．解答：解：過C作CD⊥AB于D，∴∠ADC=∠BDC=90°，∵∠B=45°，∴∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD，∵∠A=30°，AC=2，∴CD=，∴BD=CD=，由勾股定理得：AD==3，∴AB=AD+BD=3+．故答案為：3+．點評：此題考察了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和斷定，含30度角的直角三角形性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．13．一條弦把圓分為2：3兩部分，那么這條弦所對的圓周角的度數(shù)為72°或108°．考點：圓心角、弧、弦的關(guān)系．分析：先求出這條弦所對圓心角的度數(shù)，然后分情況討論這條弦所對圓周角的度數(shù)．解答：解：如圖，連接OA、OB．弦AB將⊙O分為2：3兩部分，那么∠AOB=×360°=144°；∴∠ACB=∠AOB=72°，∠ADB=180°﹣∠ACB=108°；故這條弦所對的圓周角的度數(shù)為72°或108°．點評：此題考察了圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；需注意的是在圓中，一條弦〔非直徑〕所對的圓周角應(yīng)該有兩種情況，不要漏解．14．如圖，三角板ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=6．三角板繞直角頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)，當點A的對應(yīng)點A′落在AB邊的起始位置上時即停頓轉(zhuǎn)動，那么點B轉(zhuǎn)過的途徑長為2π〔結(jié)果保存π〕．考點：弧長的計算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．分析：點B轉(zhuǎn)過的途徑長是以點C為圓心，BC為半徑，旋轉(zhuǎn)角度是60度，根據(jù)弧長公式可得．解答：解：∵AC=A′C，且∠A=60°∴△ACA′是等邊三角形．∴∠ACA′=60°即旋轉(zhuǎn)角為60°，∴∠BCB′=60°，∴點B轉(zhuǎn)過的途徑長是：=2π．故答案為：2π．點評：此題的關(guān)鍵是弄清所求的是那一段弧長，圓心用半徑，圓心角分別是多少，然后利用弧長公式求解．三、認真解答，一定要細心．〔總分值38分，要寫出必要的計算推理、解答過程〕15．計算：〔1〕sin45°?cos45°+tan60°?sin60?〔2〕sin30°﹣cos45°+tan230°+sin260°﹣cos260°．考點：特殊角的三角函數(shù)值．分析：〔1〕直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入求出即可；〔2〕直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入求出即可．解答：解：〔1〕原式=×+×=2；〔2〕原式=﹣++﹣=1﹣．點評：此題主要考察了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．16．如圖，M為線段AB的中點，AE與BD交于點C，∠DME=∠A=∠B，且DM交AC于F，ME交BC于G，寫出圖中兩對相似三角形，并證明其中的一對．考點：相似三角形的斷定．分析：根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠AFM=∠BMG，再根據(jù)相似三角形的斷定推出即可．解答：答：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，證明：∵∠DME=∠A=∠B，∴∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠BMG，∠A=∠B，∴△AMF∽△BGM．點評：此題考察了相似三角形的斷定和三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，主要考察學生運用定理進展推理的才能，用到的知識點是有兩角相等的兩個三角形相似，難度適中．17．用反證法證明：在△ABC中，假如M、N分別是邊AB、AC上的點，那么BN、CM不能互相平分．考點：反證法．專題：證明題．分析：首先假設(shè)BN、CM能互相平分，利用平行四邊形的性質(zhì)進而求出即可．解答：在△ABC中，M、N分別是邊AB、AC上的點，求證：BN、CM不能互相平分．證明：假設(shè)BN、CM能互相平分，那么四邊形BCNM為平行四邊形，那么BM∥CN，即：AB∥AC，這與在△ABC中，AB、AC交于A點相矛盾，所以BN、CM能互相平分結(jié)論不成立，故BN、CM不能互相平分，點評：此題主要考察了反證法，正確掌握反證法的步驟是解題關(guān)鍵．18．如圖，A、B、C、D是⊙O上的四點，AB=DC，△ABC與△DCB全等嗎？為什么？考點：圓心角、弧、弦的關(guān)系；全等三角形的斷定；圓周角定理．專題：探究型．分析：要證明△ABC與△DCB全等，的條件是AB=DC，那么他們所對的弧就相等，那么優(yōu)弧ADC=優(yōu)弧BAD，∠ABC=∠BCD，又因為∠A，∠D所對的是同一條弦，那么可得出∠A=∠D，這樣就構(gòu)成了ASA，可以確定其全等．解答：解：△ABC與△DCB全等．證明：∵圓周角∠A，∠D所對的是同一條弦，那么∠A=∠D∵AB=CD，∴劣弧AB=劣弧CD∴優(yōu)弧ADC=優(yōu)弧BAD∴∠ABC=∠BCD又∵AB=CD，∴△ABC與△DCB中，∴△ABC≌△DCB〔ASA〕．點評：此題考察了全等三角形的斷定．要注意此題中圓周角定理的應(yīng)用．四、綜合解答題〔此題4小題，總分值40分，要寫出必要的計算、推理、解答過程〕19．如下圖，圖中的小方格都是邊長為1的正方形，△ABC與△A′B′C′是以點O為位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點上．〔1〕畫出位似中心點O；〔2〕直接寫出△ABC與△A′B′C′的位似比；〔3〕以位似中心O為坐標原點，以格線所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系，畫出△A′B′C′關(guān)于點O中心對稱的△A″B″C″，并直接寫出△A″B″C″各頂點的坐標．考點：作圖-位似變換．專題：作圖題；壓軸題．分析：〔1〕連接CC′并延長，連接BB′并延長，兩延長線交于點O；〔2〕由OB=2OB′，即可得出△ABC與△A′B′C′的位似比為2：1；〔3〕，連接B′O并延長，使OB″=OB′，延長A′O并延長，使OA″=OA′，C′O并延長，使OC″=OC′，連接A″B″，A″C″，B″C″，那么△A″B″C″為所求，從網(wǎng)格中即可得出△A″B″C″各頂點的坐標．解答：解：〔1〕圖中點O為所求；〔2〕△ABC與△A′B′C′的位似比等于2：1；〔3〕△A″B″C″為所求；A″〔6，0〕；B″〔3，﹣2〕；C″〔4，﹣4〕．點評：此題考察了作圖﹣位似變換，畫位似圖形的一般步驟為：①確定位似中心，②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點；③根據(jù)相似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點；順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形．20．：如圖，AB是⊙O的弦，∠OAB=45°，C是優(yōu)弧AB上的一點，BD∥OA，交CA延長線于點D，連接BC．〔1〕求證：BD是⊙O的切線；〔2〕假設(shè)AC=，∠CAB=75°，求⊙O的半徑．考點：切線的斷定與性質(zhì)；解直角三角形．專題：計算題；證明題．分析：〔1〕連接OB，如圖．根據(jù)題意得，∠1=∠OAB=45°．由AO∥DB，得∠2=∠OAB=45°．那么∠1+∠2=90°．即BD⊥OB于B．從而得出CD是⊙O的切線．〔2〕作OE⊥AC于點E．由OE⊥AC，AC=，求得AE，由∠BAC=75°，∠OAB=45°，得出∠3．在Rt△OAE中，求得OA即可．解答：〔1〕證明：連接OB，如圖．∵OA=OB，∠OAB=45°，∴∠1=∠OAB=45°．∵AO∥DB，∴∠2=∠OAB=45°．∴∠1+∠2=90°．∴BD⊥OB于B．∴又點B在⊙O上．∴BD是⊙O的切線．〔2〕解：作OE⊥AC于點E．∵OE⊥AC，AC=，∴AE==．∵∠BAC=75°，∠OAB=45°，∴∠3=∠BAC﹣∠OAB=30°．∴在Rt△OAE中，解法