北京東城24中高二上學(xué)期期中考試卷數(shù)學(xué) 北師大版 worad 含解析

.@:第8頁(yè)北京市第二十四中學(xué)2019-2019學(xué)年度第一學(xué)期高二年級(jí)理科數(shù)學(xué)學(xué)科期中考試試卷一、選擇題1．體積為的球的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為〔〕． A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)球的半徑為，由得，設(shè)球的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為，那么，解得，應(yīng)選．2．一個(gè)幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的外表積為〔〕． A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)三視圖知：幾何體是直四棱柱，且直四棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)是，其底面為直角梯形，梯形的上底為，下底為，直角腰為，另一腰長(zhǎng)為，∴該幾何體外表積．應(yīng)選．3．直線平面，直線平面，給出以下命題，其中正確的選項(xiàng)是〔〕．A．②④ B．②③④ C．①③ D．①②③【答案】C【解析】①中，由，直線平面可得，又平面，所以，故①正確；②中，由，直線平面可得或，平面，所以與相交、平行、異面都有可能，故②錯(cuò)誤；③中，由，直線平面可得平面，又平面，所以，故③正確；④中，由，直線平面可得平面，所以與相交、平行都有可能，故④錯(cuò)誤；綜上所述，命題中正確的選項(xiàng)是①③，應(yīng)選：C．4．如圖，在正方體中，異面直線與所成的角為〔〕． A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，連接，，∵，∴即異面直線和所成夾角，∵在正方體中，各面對(duì)角線相等，∴為等邊三角形，即異面直線與所成角為．應(yīng)選．5．以下四個(gè)正方體圖形中，、為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，、、分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出平面的圖形的序號(hào)是〔〕． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【解析】①項(xiàng)，如圖，連接，，可知，，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面，故①?xiàng)正確；②項(xiàng)，假設(shè)下底面中心為，那么，平面，所以與面不平行，故②項(xiàng)錯(cuò)誤；③項(xiàng)，如圖，連接，，但與平面相交，所以與面不平行，故③項(xiàng)錯(cuò)誤；④項(xiàng)，如圖，連接，那么，所以平面，故④項(xiàng)正確．綜上，能得出平面的是①④，應(yīng)選．6．如圖，為正方體，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是〔〕． A．平面 B． C．平面 D．異面直線與角為【答案】D【解析】選項(xiàng)，∵，∴平面，故項(xiàng)正確；選項(xiàng)，由正方體性質(zhì)可得，，而是在底面內(nèi)的射影，由三垂線定理知，故項(xiàng)正確；選項(xiàng)，由三垂線定理可得，，∴平面，故項(xiàng)正確；選項(xiàng)，∵，∴即是與所成角，顯然，故項(xiàng)正確．7．、，直線過(guò)點(diǎn)，且與直線相交，那么直線的斜率的取值范圍是〔〕． A． B． C． D．【答案】A【解析】由可得：，，假設(shè)直線與有交點(diǎn)，那么或，所以直線的斜率的取值范圍是，應(yīng)選．8．直線與平行，那么的值是〔〕． A．或 B．或 C．或 D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，兩直線的斜率都不存在，滿足題意，當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，或，應(yīng)選．9．經(jīng)過(guò)兩直線和的交點(diǎn)，且和原點(diǎn)相距為的直線的條數(shù)為〔〕． A． B． C． D．【答案】C【解析】由方程組，解得兩條直線的交點(diǎn)為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，符合題意，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)所求直線的方程為：，即，由點(diǎn)到直線的間隔公式得，解得：，直線方程為：．故所求直線方程為：或．∴滿足條件的直線有條，應(yīng)選．10．圓心在軸上，半徑為，且過(guò)點(diǎn)的圓的方程為〔〕． A． B． C． D．【答案】A【解析】∵圓心在軸上，半徑為，∴設(shè)圓的方程為，∵圓過(guò)點(diǎn)，∴將代入圓的方程得，解得：，那么所求圓的方程為，應(yīng)選．11．圓的圓心是直線與軸的交點(diǎn)，且圓與直線相切，那么圓的方程是〔〕． A． B．C． D．【答案】A【解析】∵圓的圓心是直線與軸的交點(diǎn)，∴令中，得，即圓心為，∵圓與直線相切，∴圓心的到直線的間隔，即，∴圓的方程是，應(yīng)選．12．圓，圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，那么圓的方程為〔〕． A． B．C． D．【答案】D【解析】由題，圓的圓心與圓的圓心關(guān)于直線對(duì)稱，那么圓的半徑為，的圓心為，設(shè)的圓心為，那么，解得，所以圓的方程為，應(yīng)選．二、填空題〔每題3分，共24分〕13．直線，和平面，且，，那么與的位置關(guān)系是__________．【答案】或【解析】由線面的位置關(guān)系可知當(dāng)，時(shí)，或．14．如圖，在四棱錐中，底面，底面為梯形，，，，，．假設(shè)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，那么滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是__________．【答案】【解析】連結(jié)，∵底面，，∴平面從而．故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在梯形中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，求滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，設(shè)，那么，∴，化簡(jiǎn)得，解得或，故滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是，即滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是．15．如圖，在直三棱柱中，，，，那么異面直線與所成角的余弦值是__________．【答案】【解析】∵，∴〔或其補(bǔ)角〕就是異面直線與所成的角，在中，，，，16．直線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，那么直線的傾斜角的取值范圍是__________．【答案】【解析】，所以．17．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，那么直線的方程為_(kāi)_________．【答案】或【解析】設(shè)直線的方程為，∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴將點(diǎn)代入可得：，又，聯(lián)立，解得或，∴直線的方程為或，即或．18．以點(diǎn)為圓心并且與圓相外切的圓的方程是__________．【答案】【解析】設(shè)所求圓的方程為，∵該圓與圓，即相外切，∴圓心距，解得：，故所求圓的方程為：．19．在平面直角坐標(biāo)系中，圓上有且只有四個(gè)點(diǎn)到直線的間隔為，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】∵圓的半徑是，圓上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線的間隔為，∴坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的間隔小于，即，∴，解得，故的取值范圍是．20．圓，那么圓心的坐標(biāo)是__________；假設(shè)直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，那么的取值范圍是__________．【答案】；【解析】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程是，∴圓心的坐標(biāo)是，又∵直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴圓心到直線的間隔，即，解得：，故的取值范圍是．三、解答題〔共40分〕21．如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)、分別是和的中點(diǎn)．求證：〔〕平面．〔〕平面平面．【答案】見(jiàn)解析【解析】〔〕證明：連結(jié)交于，那么是中點(diǎn)，連接，∵在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∵平面，平面;∴平面．〔〕證明：由直三棱柱的性質(zhì)可知，平面，∵平面，又∵，是的中點(diǎn)，∵平面，又平面，∴平面平面．22．直線與直線相交于點(diǎn)．求：〔〕經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線方程．〔〕過(guò)點(diǎn)與直線垂直的直線方程．【答案】見(jiàn)解析【解析】聯(lián)立，解得，即點(diǎn)．∵直線過(guò)和點(diǎn)，故直線方程為．〔〕設(shè)與直線垂直的直線方程為，將代入得，解得，故過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為：．23．圓．〔〕不過(guò)原點(diǎn)的直線與圓相切，且在軸，軸上的截距相等，求直線的方程．〔〕求經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且被圓截得的線段長(zhǎng)為的直線方程．【答案】見(jiàn)解析【解析】〔〕圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓心為，半徑為，因直線不過(guò)原點(diǎn)，且在軸，軸上的截距相等，故可設(shè)直線方程為，∵直線，解得或，故直線的方程為或．〔〕假設(shè)直線被圓截得的線段長(zhǎng)為，那么圓心到直線的間隔，又直線過(guò)原點(diǎn)，①當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線為，符合題意；②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，即．圓心到直線間隔，解得：，∴直線方程為：．綜上所述，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且被圓截得的線段長(zhǎng)為的直線方程為：或．24．如圖，一四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，且側(cè)棱底面，且，是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)． 〔〕求四棱錐的體積．〔〕證明：．〔〕求二面角的正切值．【答案】見(jiàn)解析【解析】〔〕因?yàn)樗睦忮F的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，且側(cè)棱底面，，所以．〔〕連結(jié)，∵是正方形，∴，又∵底面，平面，∴平面，又∵平面，〔〕設(shè)，相交于，連，由〔〕知，平面，∴，又，∴是面角的一個(gè)平面角．所以，即面角的正切值為．〔第25題1班學(xué)生必做！〕25．半徑為的圓的圓心在軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與直線相切．〔〕求圓的方程．〔〕設(shè)直線與圓相交于、兩點(diǎn)，務(wù)實(shí)數(shù)的取值范圍．〔〕在〔〕的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得過(guò)點(diǎn)的直線垂直平分弦？假設(shè)存在，求出實(shí)數(shù)的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)解析【解析】〔〕設(shè)圓心為，