數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷

數(shù)學(xué)必修二檢測(cè)試卷(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)1.在△ABC中，若A＝60°，C＝45°，c＝eq\r(3)，則a等于()\f(3\r(2),2)\f(2\r(3),3)2.設(shè)復(fù)數(shù)z＝eq\f(2i,1＋i)(其中i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.某單位青年、中年、老年職員的人數(shù)之比為10∶8∶7，從中抽取200名職員作為樣本，若每人被抽取的概率是，則該單位青年職員的人數(shù)為()0004.已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，則|a＋b|等于()\r(2)\r(5)\r(6)5.已知a＝(2，－3)，b＝(1，－2)，且c⊥a，b·c＝1，則c的坐標(biāo)為()A.(3，－2) B.(3,2)C.(－3，－2) D.(－3,2)6.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測(cè)雨”題，大概意思如下：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為2尺8寸，盆底直徑為1尺2寸，盆深1尺8寸，若盆中積水深9寸，則平均降雨量是(注：①平均降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②1尺等于10寸)()寸寸寸寸7.甲、乙兩個(gè)人進(jìn)行“剪子、包袱、錘”的游戲，兩人都隨機(jī)出拳，則一次游戲兩人平局的概率為()\f(1,3)\f(2,3)\f(1,4)\f(2,9)8.正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線AD與平面A1BC1所成角的正弦值為()\f(1,2)\f(\r(3),2)\f(\r(3),3)\f(\r(6),3)二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分)9.對(duì)于兩個(gè)平面α，β和兩條直線m，n，下列命題中假命題是()A.若m⊥α，m⊥n，則n∥αB.若m∥α，α⊥β，則m⊥βC.若m∥α，n∥β，α⊥β，則m⊥nD.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥n10.從裝有兩個(gè)紅球和三個(gè)黑球的口袋里任取兩個(gè)球，那么不互斥的兩個(gè)事件是()A.“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”B.“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”C.“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”D.“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”11.在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，如圖，則下列等式成立的是()A.|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))B.|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))C.|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))D.|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝eq\f((\o(AC,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)))×(\o(BA,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→))),|\o(AB,\s\up6(→))|2)12.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF＝eq\f(1,2)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

⊥AF∥平面ABCDC.三棱錐A－BEF的體積為定值D.△AEF的面積與△BEF的面積相等三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13.甲、乙、丙三人向同一飛機(jī)射擊，設(shè)擊中的概率分別為，,，若只有1人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為，若2人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為，若3人擊中，則飛機(jī)一定被擊落，則飛機(jī)被擊落的概率為_(kāi)_____.14.已知非零向量a，b滿足|a|＝4|b|，且b⊥(a＋2b)，則a與b的夾角為_(kāi)_______.15.某人5次上班途中所花的時(shí)間(單位：分鐘)分別為x，y,10,11,9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則|x－y|的值為_(kāi)_______.16.△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知a＝b，c2＝2b2(1－sinC)，則C＝________.四、解答題(本大題共6小題，共70分)17.(10分)已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(－2,0).(1)求a－b的坐標(biāo)以及a－b與a之間的夾角；(2)當(dāng)t∈[－1,1]時(shí)，求|a－tb|的取值范圍.18.(12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠ABC＝90°，PA＝PB＝eq\f(\r(2),2)AB，求證：(1)AD∥平面PBC；(2)平面PBC⊥平面PAD.19.(12分)在△ABC中，cos(A＋C)＝0，sinA＝eq\f(1,3).(1)求sinC的值；(2)設(shè)∠ABC的平分線與AC交于D，若AC＝3，求BD的長(zhǎng).20.(12分)某集團(tuán)公司為了加強(qiáng)企業(yè)管理，樹(shù)立企業(yè)形象，考慮在公司內(nèi)部對(duì)遲到現(xiàn)象進(jìn)行處罰，現(xiàn)在員工中隨機(jī)抽取200人進(jìn)行調(diào)查，當(dāng)不處罰時(shí)，有80人遲到，處罰時(shí)，得到如下數(shù)據(jù)：處罰金額x(單位：元)50100150200遲到的人數(shù)y5040200若用表中數(shù)據(jù)所得頻率代替概率.(1)當(dāng)處罰金額定為100元時(shí)，員工遲到的概率會(huì)比不進(jìn)行處罰時(shí)降低多少？(2)將選取的200人中會(huì)遲到的員工分為A，B兩類：A類員工在罰金不超過(guò)100元時(shí)就會(huì)改正行為；B類是其他員工.現(xiàn)對(duì)A類與B類員工按分層隨機(jī)抽樣的方法抽取4人依次進(jìn)行深度問(wèn)卷，則前兩位均為B類員工的概率是多少？21.(12分)某市為增強(qiáng)市民的環(huán)境保護(hù)意識(shí)，面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者.現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機(jī)抽取100名按年齡分組：第1組[20,25)，第2組[25,30)，第3組[30,35)，第4組[35,40)，第5組[40,45]，得到的頻率分布直方圖如圖所示.(1)若從第3,4,5組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場(chǎng)的宣傳活動(dòng)，應(yīng)從第3,4,5組各抽取多少名志愿者？(2)在(1)的條件下，該市決定在這6名志愿者中隨機(jī)抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗(yàn)，求第5組志愿者有被抽中的概率.22.(12分)如圖在△AOB中，D是邊OB的中點(diǎn)，C是OA上靠近O的三等分點(diǎn)，AD與BC交于M點(diǎn)，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.(1)用a，b表示eq\o(OM,\s\up6(→))；(2)過(guò)點(diǎn)M的直線與邊OA，OB分別交于E，F(xiàn).設(shè)eq\o(OE,\s\up6(→))＝peq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝qeq\o(OB,\s\up6(→))，求eq\f(1,p)＋eq\f(2,q)的值.參考答案：1.答案B解析由正弦理得，a＝eq\f(csinA,sinC)＝eq\f(3\r(2),2).2.答案A解析z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i(1－i),(1＋i)(1－i))＝eq\f(2i(1－i),2)＝1＋i，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,1)，在第一象限.3.答案C解析由題意知這是一個(gè)分層隨機(jī)抽樣問(wèn)題，∵青年、中年、老年職員的人數(shù)之比為10∶8∶7，從中抽取200名職員作為樣本，∴要從該單位青年職員中抽取的人數(shù)為eq\f(10,10＋8＋7)×200＝80，∵每人被抽取的概率為，∴該單位青年職員共有eq\f(80,＝400(人).4.答案D解析∵|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b，∴a·b＝eq\f(1,2)，∵|a＋b|2＝|a－b|2＋4a·b，∴|a＋b|2＝6，∴|a＋b|＝eq\r(6).5.答案C解析設(shè)c＝(x，y)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝0，,x－2y＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－2.))故c＝(－3，－2).6.答案A解析作出圓臺(tái)的軸截面如圖所示，由題意知，BF＝14寸，OC＝6寸，OF＝18寸，OG＝9寸，即G是OF的中點(diǎn)，∴GE為梯形OCBF的中位線，∴GE＝eq\f(14＋6,2)＝10寸，即積水的上底面半徑為10寸，∴盆中積水的體積為eq\f(1,3)π×(100＋36＋10×6)×9＝588π(立方寸)，又盆口的面積為142π＝196π(平方寸)，∴平均降雨量是eq\f(588π,196π)＝3(寸)，即平均降雨量是3寸.7.答案A解析甲、乙兩個(gè)人進(jìn)行“剪子、包袱、錘”的游戲，所以可能出現(xiàn)的結(jié)果列表如下：甲乙錘剪子包袱錘(錘，錘)(錘，剪子)(錘，包袱)剪子(剪子，錘)(剪子，剪子)(剪子，包袱)包袱(包袱，錘)(包袱，剪子)(包袱，包袱)因?yàn)橛杀砀窨芍?，共?種等可能情況.其中平局的有3種(錘，錘)、(剪子，剪子)、(包袱，包袱).設(shè)事件A為“甲和乙平局”，則P(A)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).8.答案C解析如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線AD與B1C1平行，則直線AD與平面A1BC1所成角的正弦值即為B1C1與平面A1BC1所成角的正弦值.因?yàn)椤鰽1BC1為等邊三角形，則B1在平面A1BC1上的投影即為△A1BC1的中心O，則∠B1C1O為B1C1與平面A1BC1所成角.可設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，顯然BO＝eq\f(\r(3),3)×eq\r(2)＝eq\f(\r(6),3)，因此B1O＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)))2)＝eq\f(\r(3),3)，則sin∠B1C1O＝eq\f(B1O,B1C1)＝eq\f(\r(3),3).9.答案ABC解析A中n可能在α內(nèi)，A是假命題；B中m也可能在β內(nèi)，B是假命題；m與n可能平行，C是假命題；m⊥α，α⊥β，則m?β或m∥β，若m?β，則由n⊥β得n⊥m，若m∥β，則β內(nèi)有直線c∥m，而易知c⊥n，從而m⊥n，D是真命題.10.答案AB解析“至少有一個(gè)黑球”中包含“都是黑球”，A正確；“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”可能同時(shí)發(fā)生，B正確；“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”不可能同時(shí)發(fā)生，C不正確；“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”不可能同時(shí)發(fā)生，D不正確.11.答案ABD解析eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|cosA，由|eq\o(AB,\s\up6(→))|·cosA＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|可得|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))，即選項(xiàng)A正確，eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(BA,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cosB，由|eq\o(BA,\s\up6(→))|·cosB＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|可得|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，即選項(xiàng)B正確，由eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))||eq\o(CD,\s\up6(→))|cos(π－∠ACD)<0，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|2>0，知選項(xiàng)C錯(cuò)誤，由圖可知Rt△ACD∽R(shí)t△ABC，所以AC·BC＝AB·CD，由選項(xiàng)A，B可得|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝eq\f((\o(AC,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)))×(\o(BA,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→))),|\o(AB,\s\up6(→))|2)，即選項(xiàng)D正確.12答案AD解析A.因?yàn)锳C⊥BD，而B(niǎo)D∥B1D1，所以AC⊥B1D1，即AC⊥EF，若AC⊥AF，則AC⊥平面AEF，即可得AC⊥AE，由圖分析顯然不成立，故A不正確；B.因?yàn)镋F∥BD，EF?平面ABCD，BD?平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，故B正確；－BEF＝eq\f(1,3)×S△BEF×eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×EF×BB1×eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,12)×EF×BB1×AC，所以體積是定值，故C正確；D.設(shè)B1D1的中點(diǎn)是O，點(diǎn)A到直線EF的距離是AO，而點(diǎn)B到直線EF的距離是BB1，所以AO>BB1，S△AEF＝eq\f(1,2)×EF×AO，S△BEF＝eq\f(1,2)×EF×BB1，所以△AEF的面積與△BEF的面積不相等，D不正確.13.答案解析設(shè)甲、乙、丙三人擊中飛機(jī)為事件A，B，C，依題意，A，B，C相互獨(dú)立，故所求事件概率為P＝[P(Aeq\x\to(B)eq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A)Beq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)C)]×＋[P(ABeq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A)BC)＋P(Aeq\x\to(B)C)]×＋P(ABC)＝××＋××＋×××＋××＋××＋×××＋××＝.14答案eq\f(2π,3)解析設(shè)a與b的夾角為θ，根據(jù)題意，可得b·(a＋2b)＝0，即|a|·|b|cosθ＋2b2＝0，代入|a|＝4|b|，得到cosθ＝－eq\f(1,2)，于是a與b的夾角為eq\f(2π,3).15．答案4解析由題意可得，x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，設(shè)x＝10＋t，y＝10－t，則2t2＝8，解得t＝±2，∴|x－y|＝2|t|＝4. 16.答案eq\f(π,4)解析∵c2＝2b2(1－sinC)，∴可得，sinC＝1－eq\f(c2,2b2)，又∵a＝b，由余弦定理可得，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝1－eq\f(c2,2b2)＝sinC，∴sinC－cosC＝0，可得eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C－\f(π,4)))＝0，∵C∈(0，π)，可得C－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，∴C－eq\f(π,4)＝0，可得C＝eq\f(π,4).17.解(1)a－b＝(1，eq\r(3))－(－2,0)＝(3，eq\r(3))，所以a－b的坐標(biāo)為(3，eq\r(3)).設(shè)a－b與a之間的夾角為θ，則cosθ＝eq\f((a－b)·a,|a－b||a|)＝eq\f(3×1＋\r(3)×\r(3),\r(9＋3)×\r(1＋3))＝eq\f(\r(3),2)，而0≤θ≤π，故θ＝eq\f(π,6).(2)因?yàn)閍－tb＝(1，eq\r(3))－t(－2,0)＝(1＋2t，eq\r(3))，所以|a－tb|＝eq\r((1＋2t)2＋3)＝eq\r(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2＋3)，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))上遞減，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))上遞增，所以t＝－eq\f(1,2)時(shí)，|a－tb|取最小值為eq\r(3)，t＝1時(shí)，|a－tb|取最大值為2eq\r(3)，故|a－tb|的取值范圍為[eq\r(3)，2eq\r(3)]18.證明(1)∵BC∥平面PAD，而B(niǎo)C?平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，∴BC∥AD.∵AD?平面PBC，BC?平面PBC，∴AD∥平面PBC.(2)∵PA＝PB＝eq\f(\r(2),2)AB，滿足PA2＋PB2＝AB2，∴PA⊥PB.由∠ABC＝90°知BC⊥AB.又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，BC?平面ABCD，∴BC⊥平面PAB.又∵PA?平面PAB，∴BC⊥PA.又∵PB∩BC＝B，PB?平面PBC，BC?平面PBC，∴PA⊥平面PBC.又∵PA?平面PAD，∴平面PBC⊥平面PAD.19．解(1)由cos(A＋C)＝0，得A＋C＝eq\f(π,2)，又由A＋B＋C＝π，所以B＝eq\f(π,2)，所以sinC＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))＝cosA＝eq\f(2\r(2),3).(2)在Rt△ABC中，sinA＝eq\f(1,3)，AC＝3，所以BC＝AC·sinA＝3×eq\f(1,3)＝1，在△DBC中，sin∠BDC＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋A))＝eq\f(\r(2),2)(sinA＋cosA)＝eq\f(4＋\r(2),6)，由正弦定理得，eq\f(BD,sinC)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，所以BD＝eq\f(BCsinC,sin∠BDC)＝eq\f(\f(2\r(2),3),\f(4＋\r(2),6))＝eq\f(8\r(2)－4,7).20.解(1)設(shè)“當(dāng)罰金定為100元時(shí)，某員工遲到”為事件A，則P(A)＝eq\f(40,200)＝eq\f(1,5)，不處罰時(shí)，某員工遲到的概率為eq\f(80,200)＝eq\f(2,5).∴當(dāng)罰金定為100元時(shí)，比不制定處罰，員工遲到的概率會(huì)降低eq\f(1,5).(2)由題意知，A類員工和B類員工各有40人，分別從A類員工和B類員工各抽出兩人，設(shè)從A類員工抽出的兩人分別為A1，A2，從B類員工抽出的兩人分別為B1，B2，設(shè)“從A類與B類員工按分層隨機(jī)抽樣的方法抽取4人依次進(jìn)行深度問(wèn)卷”為事件M，則事件M中首先抽出A1的基本事件有(A1，A2，B1，B2)，(A1，A2，B2，B1)，(A1，B1，A2，B2)，(A1，B1，B2，A2)，(A1，B2，A2，B1)，(A1，B2，B1，A2)共6種，同理，首先抽出A2，B1，B2的事件也各有6種，故事件M共有4×6＝24(種)基本事件，設(shè)“抽取4人中前兩位均為B類員工”為事件N，則事件N有(B1，B2，A1，A2)，(B1，B2，A2，A1)，(B2，B1，A1，A2)，(B2，B1，A2，A1)共4種基本事件，∴P(N)＝eq\f(4,24)＝eq\f(1,6)，∴抽取4人中前兩位均為B類員工的概率是eq\f(1,6).21.解(1)第3組的人數(shù)為×100＝30，第4組的人數(shù)為×100＝20，第5組的人數(shù)為×100＝10，因?yàn)榈?,4,5組共有60名志愿者，所以利用分層隨機(jī)抽樣的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每組抽取的人數(shù)分別為：第3組eq\f(30,60)×6＝3；第4組eq\f(20,60)×6＝2；第5組eq\f(10,60)×6＝1.所以應(yīng)從第3,4,5組中分別抽取3人，2人，1人.(2)設(shè)“第5組的志愿者有被抽中”為事件A.記第3組的3名志愿者為A1，A2，A3，第4組的2名志愿者為B1，B2，第5組的1名志愿者為C1，則