平面向量的概念

第六章第六章平面向量及其應用第一節(jié)平面向量的概念知識點1數(shù)量與向量定義：在數(shù)學中,把既有大又有方向的量叫做向量，而把只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量.如年齡、身高、長度面積、體積、質量等都是數(shù)量知識點2向量的兩個要素向量由大小與方向兩個要素組成，向量的大小是代數(shù)特冊征，方向是幾何特征，因為方向沒有大小之分，所以向量不能第像實數(shù)那樣比較大小注意事項：向量和數(shù)量的區(qū)別.向量常用有向線段來表示，但不能說有向線段就是向量知識點3向量的幾何表示方法有向線段：(1)概念:具有方向的線段叫做有向線段.通常在有向線段的終點處畫上箭頭表示它的方向.以A為起點、B為終點的有向線段記作,線段AB的長度叫做有向線段的長度，記作注意事項：有向線段包含三個要素:起點、方向、長度知道了有向線段的起點方向和長度,它的終點就唯一確定了2.向量的表示(1)幾何表示:用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示，如向量（2）.字母表示：向量可以用字母a,b,c…表示.3.向量的長度的表示：向量的長度稱為向量的大小，（或稱模），記作，向量的長度在數(shù)值上等于線段AB的長度，因此向量的長度是非負實數(shù)，可以比較大小向量相關概念既念的注意點:(1)表示有有向線段時，起點一定要要寫在終點的前面.(2)要注意0與0的區(qū)別)及聯(lián)系,0是一個實數(shù),0是一個向量,且有[0|=0.知識點4特殊向量歸納1.零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，規(guī)定：零向量的方向是任意的；2.單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量（與共線的單位向量是）；3.相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；4.平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,例如：a與b平行，記作a線向量：任一組平行向量都可以平移到同一條直線上，因此，平行向量也叫做共線向量.例題探究例題探究例題1.如圖所示，在中，，，BQ與CR相交于點I，AI的延長線與邊BC交于點P．（1）用和分別表示和；（2）如果，求實數(shù)和的值；（3）確定點P在邊BC上的位置．【答案】（1）；；（2）；（3）點為靠近點的的三等分點【詳解】（1），（2）由（1）知：，解得：（3）設，由（2）知：又，解得：，即點為靠近點的的三等分點例題2．已知平面直角坐標系中有三點、、，其中為坐標原點.（1）求與同向的單位向量的坐標；（2）若點是線段（包括端點）上的動點，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【詳解】（1）（2）平面直角坐標系中點、線段的方程為，即設，.則，則上式為關于的開口向上，對稱軸為的二次函數(shù).當時取得最小值當時取得最小值所以例題3．如圖所示，平行四邊形中，是兩對角線，的交點，設點集，向量集合，試求集合中元素的個數(shù).【答案】12【詳解】由題可知，集合中的元素實質上是中任意兩點連成的有向線段，共有20個，即，，。由平行四邊形的性質可知，共有對向量相等：即，，，，，，，，因為集合元素具有互異性，所以集合中的元素共有12個。例題4．已知(1)求的單位向量(2)若與的夾角為銳角,求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)且【詳解】(1)，則，的單位向量(2)，，夾角為銳角則，解得：且與不同向，即，解得：綜上所述：且例題5．如圖，矩形ACDF中，AC＝2CD，B，E分別為AC，DF的中點，寫出：（1）與相等的向量；（2）與的負向量相等的向量；（3）與共線的向量．【答案】（1），；（2），，；（3），，，，【詳解】在矩形ACDF中，且AC＝2CD，B，E分別為AC，DF的中點，得（1）與相等的向量為：，；（2）與的負向量相等的向量為：，，；（3）與共線的向量為：，，，，．隨堂練習隨堂練習1．在如圖所示的坐標紙上(每個小方格邊長為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：（1），使||＝4，點A在點O北偏東45°；（2），使＝4，點B在點A正東；（3），使＝6，點C在點B北偏東30°.2．在如圖的方格紙上，已知向量，每個小正方形的邊長為1.（1）試以B為起點畫一個向量，使；（2）在圖中畫一個以A為起點的向量，使，并說出向量的終點的軌跡是什么？3．已知向量，．（1）若，求的值；（2）若，，求的值．4．設兩個向量滿足，（1）求的單位向量；（2）若向量與向量的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍.5．如圖，設O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中所示向量與、、相等的向量．參考答案1．（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【詳解】（1）由于點A在點O北偏東45°處，所以在坐標紙上點A距點O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等．又||＝，小方格邊長為1，所以點A距點O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，于是點A位置可以確定，畫出向量如下圖所示．（2）由于點B在點A正東方向處，且＝4，所以在坐標紙上點B距點A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，于是點B位置可以確定，畫出向量如下圖所示．（3）由于點C在點B北偏東30°處，且＝6，依據勾股定理可得：在坐標紙上點C距點B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為≈，于是點C位置可以確定，畫出向量如下圖所示．2．（1）作圖見解析；（2）向量的終點的軌跡是以A為圓心，為半徑的圓，作圖見解析.【詳解】（1）由題意，B為起點畫一個向量，使，如圖所示.（2）因為，則向量的終點表示以為圓心，半徑為的圓，如圖所示：3．（1）；（2）或【詳解】解：（1），，，，，（2），，