我大一-復變函數節(jié)積分概念

曲內起點為終點A終點為條光滑的有向曲線。 f(0k∫fC

s

OC存在性f(z在分段光滑曲線C上連續(xù)，則f(z)dz存在Czz(t)x(t)記f(z)ux,yivx,y

t:且z(t∫f(z)dz∫(uiv)(dx ∫(udxvdy)i∫(vdx xx(tyy(tt:∫xx(tyy(tt: ∫[ux(t)vy(t)]dti∫[vx(t)uy(t ∫(uiv)[x(t)iy(t∫f[z(t)]z(t)dt

C:zz(t),t:∫f(z)dz∫f(z)dz, C∫[k1f(z)k2g(z)]dzk1∫f(z)dzk2∫g(z)dz, k1k2為復常數C=C1+C2+…+Cn∫f(z)dz∫f ∫f(z)dz ∫f ∫f ∫f(z)dsML 其中，f(z)MzCL為C的長度例1.∫zdz,其中C為從原點到點3+4iCz(34i)t,dz(31∫zdz∫(34i)2tdt

t:01(34i)22例2

,其中Cy1x從原到點1+i的y1x1+i的直線段所接成的折線；1解：1)C z(t)(1i)t,t:01∫zdzC

0(1i)t(1i)dtC1 z(t)t,t:01,C2 z(t)1it,t:01,1∫zdz 1

tdt

1(1it0 C1i例3.

∫(zz∫

,n為整數C:|zz0|rzz0zzrei,:02dzireid,0∫∫(zz)n1

rn1ei(n1) 2

21

z

2

rn

d2 n

n第節(jié)柯西-古薩基本定理例1:∫zdz與路徑無Cf(z)=z在單例2:∫zdz與路徑有Cf(zz例

2i與路徑有

z被積函數f

z

f(z)在單連通區(qū)域B內處處解析，則對Bf(z)dz (C1825年，Cauchy在附加條件“f(z)在B內連續(xù)”下證得結論1900年，Goursat去掉條件f(z)在B內連續(xù)”證得結論，假設f(z)在區(qū)域Bf(z)u(x,y)iv(x,f(z)在B內解f(z)uxivxvyiu∫f(z)dz∫udxvdyi∫vdx Green∫udxvdy∫∫(vxuy ∫f(z)dzC

注√(2)如閉曲線C是區(qū)域Bf(z)在BB∪C上解析則∫f(z)dzC如閉曲線C是區(qū)域B的邊界，函數f(z)在B內解析,且f(z)∫f(z)dzC例1.,C:|z|1∫ dz ∫CzCez C

C

2z

dz,coszC

z3dz,(2z)2第節(jié)原函數與不定積分定理一f(z在單連通區(qū)域Bf(z)dz與連接起點及終點的路線CC∫f(z)dz∫f(z)dz∫f(z)dz 固定z0，讓z1在B內變動，并記z1=zf(z)dz在BF(zzF(z)∫f定理二f(z在單連通域Bzf(z)dz 必為B內的一個解析函數，并且F(z)f原函數的定義如(z)f(z),則稱(z)為f(zf(z定義不定積分:f(z)dzG(zC,ewton-Leibniz∫f(z)dzG(z1)G(z0例1：求∫zezdz,其中C是從01i ∫zezdzC

120

zez(zez

1 0(12

12

1 12例2：求∫1dz其中C是區(qū)域

argz

內從1zC z解:z∫1∫C

1lnz1ln例3：Im(z)≥0,Re(z)≥0內的圓弧|z|=1iln(z1∫z 1∫z ∫z 1

dz

1ln2(zi i n22

ln24

3ln

ln2 第節(jié)柯西-古薩基本定理的推廣f(z)在單連通區(qū)域B內處處解析，則對Bf(z)dz (CDCDC

∫f(z)dzC ∫f(z)dzCDCzC如C的內部不全含于D，則不一定有f(zDCzC如∫|zz0|

dz zz0

2CDCDCC1設C,C1是D內任意兩條簡單閉曲線，都取正向，且以C和C1為邊界的區(qū)域D1CC1設CC1是D內任意兩條簡單閉曲線，都取正向，且以CFABFABDCE∫f(z)dz∫f(z)dz1 C1?∫f(z)dz∫f(z)dz Γ是一個多連通域的正Γ是一個多連通域的正1記CC1

∫f(z)dz設C為多連通域D內的一條簡單閉曲nC2…，Cn是在C內部的簡單閉曲線，它們互不包含也互不相交，并且以C，C1，C2，…，Cn為邊界的區(qū)域全含于D。如果f(z)在D內解析，那么nf(z)dzf(z)dz,C，CkC2C kC2C∫f(z)dzCC C 計算∫(z 計算

,n為整數Γ為任一不經過z0點的正向解：1)當z0在Γ所圍區(qū)域D的外部時,∫z∫z(zz 0Γ當 D時0?！蕁10,n1∫∫(zz)n1

如n10,即n1時，由閉路變 z0z∫∫(zz

0(zz0∫∫(zz

(zz00∫∫Γ(zz)nΓ

n n2i,當z0在Γ所圍區(qū)域的內部且n

當z0在Γ所圍區(qū)域的外部或n

z0

2

∫2z1dzz2z為包含圓周解在內作兩個互不包含也互 2z1dz

2z1dz 2z1 ∫z2

∫z2

∫z2

C C C ∫zdz∫z1 ∫zdz∫z1C C2i002i4z z

∫ezdz,其中o12z2和負向圓周z1組成o12解顯然C1和C2個圓環(huán)域.

f(z)z構成復合閉路,所以根據∫z∫zedz ∫z∫z

dz z∫zz∫

dz

∫(z2

dz其中Γ:|z|RR0且R11)(z 設B為單連通域f(z)在B內解析z0∈B,設C為Bz0Cz0C0f(z)在z不解析0z在C內部作CR:|zz0|=R(取其正向∫f(z)d

∫f(z)

RRdz R

f(z0)dR zR

z

z2πif(z0C為D內的任何一條正向簡單閉曲線,它的內部完全含于D,z0為C內部的任一點,則f(z0)

2π

f(z)dz.zz

f(z)或z

dz2πif(z0∫ ∫CCD 故任給>0,存在>0,當|zz0|<時,在C內部作CR:|zz0|=R(取其正向∫f(z)dz∫f(z)dz∫f(z0)dz∫f(z)f(z0)d z z z z 2πif(z0∫f(z)f(z0)dzCDR∫f(z)f(z0)dR zR

∫|f(z)f(z0)|dR |zz0R∫ds2πRR ∫f(z)f(z0)dzR zR∫ f(z)∫z

dz2πif(z0f(z0)

2π

f(z)d∫z∫

f(z) ∫f(z)dz02πCz0說明:1) f(z) ∫f(z)dz02πCz0特別如C|zz0|R,z=z0+Reif(z) 2 f Rei)d 2π 柯西積分公式的應用可求積分∫f(z)d

z 1

∫sinzd ∫ dz;2πi

|z|2zd

z2∫∫

2z1ez(z2z)

dC 由式,f(z0)

f(z)dz.∫z∫ 如果各階導數存在,進行,

f(z)

f(z0)

2i∫(zz

dz,

Cf(z)21

0f0

dz,(2C C

(zz

f(n)(z)

n! f

dz.

0 0

C(zzC 設函數f(z)在區(qū)域D內解析z0在D內，C是D內繞z0的任一正向簡單閉曲線且C的內部全含于D,則f(z)在z0處存在各階導數,并且0f(n)(z)0

f(z)2πi (zz∫ ∫

(n1,2,3, CzCz0D)f(n)(z0

f(z) d∫(zz∫

b)z0在C的內部高階導數公式的作用:不在于通過積分來求導,例1.

z3∫(z∫z

dz. 因為函數f(z)

z01在z2內,n=3,根據高階導數公式0f(n)(z)0

n!

f(z) dz,∫0C(zz∫04∫z31dz4

[z3

2i.z2(z

例

∫ezcosz

dz. 因為函數f(z)ezcosz在復平面解析,z00在z1內,n=1,根據高階導數公式.∫z

ezcoszdz

(e

2i[ezcoszezsin

例3.求積分

ez2dz其中C

zrCz2ez解.函數(z2 在C內的z

在C內分別以i-iC1yiiCoeze∫C(z21)2 ez ez1

(z2

2dz2

(z2

2dz.eze

2dz

(zi)2

(z2 2i(21)!(zi)2

(1i)e2eziiCo 同理 dz

(zi)2dz(1i)ei2.2 ez (1

(zi) (1i)ei∫C(z21)2dz (1i)(ei iei)i(sin12f(z)在B內解析f(z)dz0C為BMorera定 設B為單連通域，如f(z)在B內連續(xù)，且對B內何一條簡單閉曲線C有f(z)dz0,則f(z)在BC1.

dz. ∫1zz2 ∫zi2

z(zi)z(zi)1 z(z2

z(zi)(z

z

z0i i

∫f(z)zi2

z(z2 zi2

z2i

1z(z1z(zi)

x2y2f(z)

327

求f(1i). 根據 f(z)2πi327 2i3z27z 于是f(z)2i(6z7),而1+i在C內,f(1i)2(6例 計算積

dz,其中zC 2zC

z

12

z

1 (3)2

z (1)根據sin

sinsinsin4z∫z12

z2

dz

z12

zz

dz2i

z12 22根據

sin

dz

z1z12

z12

z2i

sinsin4z

222∫

dz

dz

sinπ z

z2 z112

z2

z12

z2 2i2

2i2

例

e∫ez

dz,

其中n為整數ez (1)n0時,函數zn

z1上解析由Cauchy積分定理eze∫z

dzn=1時,由z∫ez∫nz1n

dz2i(ez

2i.n>1時,根據0f(n)(z)0

n!

f(z) dz,∫0C(zz∫0ez

(∫z

zndz

(e(n

(n1)!例

∫coszdz其中C z Czr

cos z

.但cosz在C內處處解析,所以根據.5∫coszdz5

(z

(5

偏導數(Laplace方程x2

則稱(x,y)是區(qū)域D內的調和函數 設f(z)u(x,y)iv(x,y)是區(qū)域D內的解 因為f(z)在D內解析,所以滿足C-R條件 xy yx

將uv

u 2u

2u

x2

當混合偏導數連續(xù)時，求導次序可以交換.2u x2

.D內兩個調和函數u(x,y)和考慮f(z)x2y22xyi和f(z)x2y22xyi.如果u(x,y)和v(x,y)都是區(qū)域D內的調和函數,且 區(qū)域D內解析函數的虛部為實部的共軛調和已知u(x,y)是區(qū)域D內的調和函數，是否存在u(x,y)的共軛調和函數v(x,y)，使得函數f(z)=u＋iv或者已知調和函數v(x,y)時，是否存在調和函數u(x,y)，使得f(z)=u＋iv是D內的解析函數?例

u(x,y)

3x2y解u6

6 x2u3y2

3x2

6于是x

2u

故ux,y)為調和函數

由

6xy, v6∫xydy3xy2g(x),3y2g(x).x又因為vu3y23x2 3y2g(x)3y23x2gx∫3x2dxx3C(其中C為任意實常數vx,yx33xy2Cwy33x2yi(x33xy2C令xzz,yzz wf(z)i(z3C22因為u622

3

3x, f(z) uiu6xy3(y2x2 令y0,即z在實軸上取值,則f(x)3ix2 實部u不包含常數故fx)ix3C)(C是實常數將x替換成z即得f(z)i(z3C注：此處用到解析函數的惟一性定理 v(x,y)ex(ycosyxsiny)x是解析函數f(z)的虛部且f(0)=1求f(z)的表達式 因為u

, ye(cosyysinyxcosy)u∫ x(cosyysinyxcosy)1dxex(xcosyysiny)xg(又因為

u, xe(ycosyxsinysiny)ex(ycosyxsinysiny)ex(xsinyycosy