矩陣的秩及向量組的極大無(wú)關(guān)組求法課件

定義1

設(shè)A是m╳n矩陣，在A中任取k行k列(1≤k≤min{m,n})，位于k行k列交叉位置上的k2個(gè)元素，按原有的次序組成的k階行列式，稱為A的k階子式.如矩陣

第1,3行及第2,4列交叉位置上的元素組成的一個(gè)二階子式為

三階子式共有4個(gè)

下頁(yè)7.1矩陣的秩的概念定義1設(shè)A是m╳n矩陣，在A中任取k行k列(1

定義2

若矩陣A有一個(gè)r階子式不為零，而所有r+1階子式(如果存在的話)全等于零，則r稱為矩陣A的秩，記作r(A).規(guī)定零矩陣的秩為零.

易見(jiàn)：（1）若A是m╳n矩陣，則r(A)≤min{m,n}.

（2）若m╳n矩陣A中有一個(gè)r階子式不等于零，則r(A)≥r；若所有r+1階子式全等于零，則r(A)≤r.

（3）r(A)=r(AT).（4）r(kA)=r(A)，k≠0.（5）對(duì)n階方陣A，若|A|≠0，則r(A)=n,稱A為滿秩矩陣

;

若|A|=0，則r(A)<n,稱A為降秩矩陣.結(jié)論：n階方陣A可逆的充分必要條件是A滿秩.下頁(yè)定義2若矩陣A有一個(gè)r階子式不為零，而所有r+例1.

求下列矩陣的秩.

解:C的最高階子式三階子式全部都等于零，即

但二階子式

所以

下頁(yè)例1.求下列矩陣的秩.解:C的最高階子式三階子式全定理1

初等變換不改變矩陣的秩.

定義3

滿足下面兩個(gè)條件的矩陣稱為行階梯形矩陣，簡(jiǎn)稱階梯形矩陣：（1）若有零行，零行都在非零行的下方(元素全為零的行稱為零行，否則稱為非零行)；（2）從第一行起，下面每一行從左向右第一個(gè)非零元素前面零的個(gè)數(shù)逐行增加.如下頁(yè)7.2初等變換求矩陣的秩定理1初等變換不改變矩陣的秩.定義3

定理2

任何一個(gè)秩為r的矩陣A=(aij)m╳n都可以通過(guò)初等行變換化為行階梯形矩陣Br，且Br的非零行數(shù)為r.即結(jié)論：行階梯形矩陣Br的非零行的個(gè)數(shù)，即為矩陣A的秩.

下頁(yè)定理2任何一個(gè)秩為r的矩陣A=(aij)m╳n例2.

求矩陣

的秩.

下頁(yè)例2.求矩陣的秩.下頁(yè)所以，r(A)=3.

解：對(duì)矩陣作初等行變換，將其化成行階梯形矩陣下頁(yè)所以，r(A)=3.解：對(duì)矩陣作初等行變換，將其化成行階例3.

設(shè)方陣

判斷A是否可逆.

解法1:

因?yàn)?/p>

,所以，A滿秩(可逆).

解法2:

用初等行變換將A化成行階梯形矩陣，得

所以r(A)=3，A滿秩，故A可逆.

下頁(yè)例3.設(shè)方陣判斷A是否可逆.解法1:因?yàn)?所以

定義4

矩陣A的行向量組的秩稱為矩陣A的行秩，列向量組的秩稱為矩陣A的列秩.即下頁(yè)7.3向量組方面的一些重要方法行向量組a1，a2，，am的秩，稱為矩陣A的行秩.列向量組b1，b2，，bn的秩，稱為矩陣A的列秩.定理3

矩陣的行秩等于其列秩，且等于矩陣的秩.定義4矩陣A的行向量組的秩稱為矩陣A的行秩，列向求向量組的秩的方法下頁(yè)①把向量組的向量作為矩陣的列（或行）向量組成矩陣A；②對(duì)矩陣A進(jìn)行初等行變換化為階梯形矩陣B；③階梯形B中非零行的個(gè)數(shù)即為所求向量組的秩．例4.

求下列向量組a１=(1,2,3,4)，a2

=(2,3,4,5)，a3

=(3,4,5,6)的秩.

解1：以a１,a２,a３為列向量作成矩陣A，用初等變換將A化為階梯形矩陣后可求.因?yàn)殡A梯形矩陣的秩為2，所以向量組的秩為2．求向量組的秩的方法下頁(yè)①把向量組的向量作為矩陣的列（或行）向例4.

求下列向量組a１=(1,2,3,4)，a2

=(2,3,4,5)，a3

=(3,4,5,6)的秩.

解2：以a１,a２,a３為行向量作成矩陣A，用初等變換將A化為階梯形矩陣后可求.因?yàn)殡A梯形矩陣的秩為2，所以向量組的秩為2．求向量組的秩的方法下頁(yè)①把向量組的向量作為矩陣的列（或行）向量組成矩陣A；②對(duì)矩陣A進(jìn)行初等行變換化為階梯形矩陣B；③階梯形B中非零行的個(gè)數(shù)即為所求向量組的秩．問(wèn)題：基本單位向量組的秩是多少？它們相關(guān)/無(wú)關(guān)？例4.求下列向量組a１=(1,2,3,4)，a2=

定理4

矩陣A經(jīng)初等行變換化為B，則B的列向量組與A對(duì)應(yīng)的列向量組有相同的線性相關(guān)性.證明從略,下面通過(guò)例子驗(yàn)證結(jié)論成立.線性關(guān)系:矩陣A矩陣A1矩陣A2求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組的方法下頁(yè)定理4矩陣A經(jīng)初等行變換化為B，則B的列向量組與①把向量組的向量作為矩陣的列向量組成矩陣A；②對(duì)矩陣A進(jìn)行初等行變換化為階梯形矩陣B；③A中的與B的每階梯首列對(duì)應(yīng)的向量組，即為極大無(wú)關(guān)組．由上可得，求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組的方法：下頁(yè)矩陣A2矩陣A3矩陣B①把向量組的向量作為矩陣的列向量組成矩陣A；由上可得，求向量例5.

求下列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，其中：解：以給定向量為列向量作成矩陣A，用初等行變換將A化為階梯形矩陣

矩陣B已是階梯形矩陣,B的每階梯首列所在的列是1，2，4列，所以A的第1，2，4列就是A的列向量組的極大線性無(wú)關(guān)組，即a１,a２,a４是向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.下頁(yè)例5.求下列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，其中：解：以給定向量

行最簡(jiǎn)形矩陣一個(gè)矩陣是行最簡(jiǎn)形矩陣(或稱行最簡(jiǎn)式)是指它為階梯形矩陣,且它的每一行的第一個(gè)非零元素均為1,第一個(gè)非零元素所在的列其余元素均為0．

例如,

利用初等行變換將A先化為階梯形矩陣B，再化成行最簡(jiǎn)形矩陣C.用極大線性無(wú)關(guān)組表示其它向量的方法下頁(yè)

即列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組化為了單位向量組.行最簡(jiǎn)形矩陣一個(gè)矩陣是行最簡(jiǎn)形矩陣(或稱行最簡(jiǎn)式)是指用極大線性無(wú)關(guān)組表示其它向量的方法為：①把向量組的向量作為矩陣的列向量組成矩陣A；②對(duì)矩陣A進(jìn)行初等行變換化為階梯形矩陣B；③把階梯形B進(jìn)行初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣C；④根據(jù)行最簡(jiǎn)形矩陣列向量的分量，用極大無(wú)關(guān)組表示其它向量．下頁(yè)初等矩陣A,B,C初等變換行作為求秩無(wú)關(guān)B中見(jiàn)線性表示C作陪初等矩陣A,B,C初等變換行作為求秩無(wú)關(guān)B中見(jiàn)線性無(wú)關(guān)C做陪用極大線性無(wú)關(guān)組表示其它向量的方法為：①把向量組的向量作為矩例6.

求下列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并用極大無(wú)關(guān)表示其它向量:解：以給定向量為列向量作成矩陣A，用初等行變換將A化為行最簡(jiǎn)形:

根據(jù)行最簡(jiǎn)形矩陣C可知a１,a２,a４是向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，且

a3=2a1-a２+0a４,a5=a1+a２+a４.下頁(yè)3560假設(shè)第5列為，該如何表示？例6.求下列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并用極大無(wú)關(guān)表示其它一、填空題1．若向量組a１，a２，…，am線性相關(guān)，則它的秩（）m．2．一個(gè)向量組若含有兩個(gè)以上的極大無(wú)關(guān)組，則各極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)必（）．3．設(shè)a１，a２，…，ar線性無(wú)關(guān)，且可由b１，b２，…，bs線性表示，則r()s．１．設(shè)A是n階方陣且|A|＝0，則（）．

1)A中必有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)成比例．

2)A中至少有一行（列）的元素全為0．

3)A中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的線性組合．

4)A中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的線性組合．二、單選題下頁(yè)一、填空題1．若向量組a１，a２，…，am線性相關(guān)，2．設(shè)n階矩陣A的秩為r，則結(jié)論（）成立.①|(zhì)A|≠0;②|A|＝0;③r>n;④r≤n.3．向量組a１，a２，…，as線性無(wú)關(guān)的充要條件是（）①

r>1;②它有一個(gè)部分向量組線性無(wú)關(guān);③r≥0;④它所有的部分向量組線性無(wú)關(guān).4．若矩陣A有一個(gè)r階子式D≠0，且A中有一個(gè)含有D的r＋１階子式等于零，則一定有（）.①r(A)≥r;②r(A)<r;③r(A)=r;④r(A)=r+1.5．設(shè)向量組a１，a２，a３線性無(wú)關(guān)，則下列向量組中，線性無(wú)關(guān)的是（）.①a１+a２，a２+a３，a３-a１

②a１+a２，a２+a３，a１+2a２+a３③a１+2a２，2a２-3a３，3a３+a１

④a１+a２+a３，2a１-3a２+2a３，3a１+5a２-5a３下頁(yè)2．設(shè)n階矩陣A的秩為r，則結(jié)論（）成立.3．向量作業(yè)：

77頁(yè)13141779頁(yè)3135

結(jié)束作業(yè)：77頁(yè)131417結(jié)束

定義1

設(shè)A是m╳n矩陣，在A中任取k行k列(1≤k≤min{m,n})，位于k行k列交叉位置上的k2個(gè)元素，按原有的次序組成的k階行列式，稱為A的k階子式.如矩陣

第1,3行及第2,4列交叉位置上的元素組成的一個(gè)二階子式為

三階子式共有4個(gè)

下頁(yè)7.1矩陣的秩的概念定義1設(shè)A是m╳n矩陣，在A中任取k行k列(1

定義2

若矩陣A有一個(gè)r階子式不為零，而所有r+1階子式(如果存在的話)全等于零，則r稱為矩陣A的秩，記作r(A).規(guī)定零矩陣的秩為零.

易見(jiàn)：（1）若A是m╳n矩陣，則r(A)≤min{m,n}.

（2）若m╳n矩陣A中有一個(gè)r階子式不等于零，則r(A)≥r；若所有r+1階子式全等于零，則r(A)≤r.

（3）r(A)=r(AT).（4）r(kA)=r(A)，k≠0.（5）對(duì)n階方陣A，若|A|≠0，則r(A)=n,稱A為滿秩矩陣

;

若|A|=0，則r(A)<n,稱A為降秩矩陣.結(jié)論：n階方陣A可逆的充分必要條件是A滿秩.下頁(yè)定義2若矩陣A有一個(gè)r階子式不為零，而所有r+例1.

求下列矩陣的秩.

解:C的最高階子式三階子式全部都等于零，即

但二階子式

所以

下頁(yè)例1.求下列矩陣的秩.解:C的最高階子式三階子式全定理1

初等變換不改變矩陣的秩.

定義3

滿足下面兩個(gè)條件的矩陣稱為行階梯形矩陣，簡(jiǎn)稱階梯形矩陣：（1）若有零行，零行都在非零行的下方(元素全為零的行稱為零行，否則稱為非零行)；（2）從第一行起，下面每一行從左向右第一個(gè)非零元素前面零的個(gè)數(shù)逐行增加.如下頁(yè)7.2初等變換求矩陣的秩定理1初等變換不改變矩陣的秩.定義3

定理2

任何一個(gè)秩為r的矩陣A=(aij)m╳n都可以通過(guò)初等行變換化為行階梯形矩陣Br，且Br的非零行數(shù)為r.即結(jié)論：行階梯形矩陣Br的非零行的個(gè)數(shù)，即為矩陣A的秩.

下頁(yè)定理2任何一個(gè)秩為r的矩陣A=(aij)m╳n例2.

求矩陣

的秩.

下頁(yè)例2.求矩陣的秩.下頁(yè)所以，r(A)=3.

解：對(duì)矩陣作初等行變換，將其化成行階梯形矩陣下頁(yè)所以，r(A)=3.解：對(duì)矩陣作初等行變換，將其化成行階例3.

設(shè)方陣

判斷A是否可逆.

解法1:

因?yàn)?/p>

,所以，A滿秩(可逆).

解法2:

用初等行變換將A化成行階梯形矩陣，得

所以r(A)=3，A滿秩，故A可逆.

下頁(yè)例3.設(shè)方陣判斷A是否可逆.解法1:因?yàn)?所以

定義4

矩陣A的行向量組的秩稱為矩陣A的行秩，列向量組的秩稱為矩陣A的列秩.即下頁(yè)7.3向量組方面的一些重要方法行向量組a1，a2，，am的秩，稱為矩陣A的行秩.列向量組b1，b2，，bn的秩，稱為矩陣A的列秩.定理3

矩陣的行秩等于其列秩，且等于矩陣的秩.定義4矩陣A的行向量組的秩稱為矩陣A的行秩，列向求向量組的秩的方法下頁(yè)①把向量組的向量作為矩陣的列（或行）向量組成矩陣A；②對(duì)矩陣A進(jìn)行初等行變換化為階梯形矩陣B；③階梯形B中非零行的個(gè)數(shù)即為所求向量組的秩．例4.

求下列向量組a１=(1,2,3,4)，a2

=(2,3,4,5)，a3

=(3,4,5,6)的秩.

解1：以a１,a２,a３為列向量作成矩陣A，用初等變換將A化為階梯形矩陣后可求.因?yàn)殡A梯形矩陣的秩為2，所以向量組的秩為2．求向量組的秩的方法下頁(yè)①把向量組的向量作為矩陣的列（或行）向例4.

求下列向量組a１=(1,2,3,4)，a2

=(2,3,4,5)，a3

=(3,4,5,6)的秩.

解2：以a１,a２,a３為行向量作成矩陣A，用初等變換將A化為階梯形矩陣后可求.因?yàn)殡A梯形矩陣的秩為2，所以向量組的秩為2．求向量組的秩的方法下頁(yè)①把向量組的向量作為矩陣的列（或行）向量組成矩陣A；②對(duì)矩陣A進(jìn)行初等行變換化為階梯形矩陣B；③階梯形B中非零行的個(gè)數(shù)即為所求向量組的秩．問(wèn)題：基本單位向量組的秩是多少？它們相關(guān)/無(wú)關(guān)？例4.求下列向量組a１=(1,2,3,4)，a2=

定理4

矩陣A經(jīng)初等行變換化為B，則B的列向量組與A對(duì)應(yīng)的列向量組有相同的線性相關(guān)性.證明從略,下面通過(guò)例子驗(yàn)證結(jié)論成立.線性關(guān)系:矩陣A矩陣A1矩陣A2求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組的方法下頁(yè)定理4矩陣A經(jīng)初等行變換化為B，則B的列向量組與①把向量組的向量作為矩陣的列向量組成矩陣A；②對(duì)矩陣A進(jìn)行初等行變換化為階梯形矩陣B；③A中的與B的每階梯首列對(duì)應(yīng)的向量組，即為極大無(wú)關(guān)組．由上可得，求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組的方法：下頁(yè)矩陣A2矩陣A3矩陣B①把向量組的向量作為矩陣的列向量組成矩陣A；由上可得，求向量例5.

求下列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，其中：解：以給定向量為列向量作成矩陣A，用初等行變換將A化為階梯形矩陣

矩陣B已是階梯形矩陣,B的每階梯首列所在的列是1，2，4列，所以A的第1，2，4列就是A的列向量組的極大線性無(wú)關(guān)組，即a１,a２,a４是向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.下頁(yè)例5.求下列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，其中：解：以給定向量

行最簡(jiǎn)形矩陣一個(gè)矩陣是行最簡(jiǎn)形矩陣(或稱行最簡(jiǎn)式)是指它為階梯形矩陣,且它的每一行的第一個(gè)非零元素均為1,第一個(gè)非零元素所在的列其余元素均為0．

例如,

利用初等行變換將A先化為階梯形矩陣B，再化成行最簡(jiǎn)形矩陣C.用極大線性無(wú)關(guān)組表示其它向量的方法下頁(yè)

即列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組化為了單位向量組.行最簡(jiǎn)形矩陣一個(gè)矩陣是行最簡(jiǎn)形矩陣(或稱行最簡(jiǎn)式)是指用極大線性無(wú)關(guān)組表示其它向量的方法為：①把向量組的向量作為矩陣的列向量組成矩陣A；②對(duì)矩陣A進(jìn)行初等行變換化為階梯形矩陣B；③把階梯形B進(jìn)行初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣C；④根據(jù)行最簡(jiǎn)形矩陣列向量的分量，用極大無(wú)關(guān)組表示其它向量．下頁(yè)初等矩陣A,B,C初等變換行作為求秩無(wú)關(guān)B中見(jiàn)線性表示C作陪初等矩陣A,B,C初等變換行作為求秩無(wú)關(guān)B中見(jiàn)線性無(wú)關(guān)C做陪用極大線性無(wú)關(guān)組表示其它向量的方法為：①把向量組的向量作為矩例6.

求下列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并用極大無(wú)關(guān)表示其它向量:解：以給定向量為列向量作成矩陣A，用初等行變換將A化為行最簡(jiǎn)形:

根據(jù)行最簡(jiǎn)形矩陣C可知a１,a２,a４是向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，且

a3=2a1-a２+0a４,a5=a1+a２+a４.下頁(yè)3560假設(shè)第5列為，該如何表示？例6.求下列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并用極大無(wú)關(guān)表示其它一、填空題1．若向量組a１，a２，…，am線性相關(guān)，則它的秩（）m．2．一個(gè)向量組若含有兩個(gè)以上的極大無(wú)關(guān)組，則各極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)必（）．3．設(shè)a１，a２，…，ar線性無(wú)關(guān)，且可由b１，b２，…，bs線性表示，則r()s．１．設(shè)A是n階方陣且|A|＝0，則（）．

1)A中必有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)成比例．

2)A中至少有一行（列）的元素全為0．