《用向量方法討論立體幾何中的位置關系（1）》示范公開課教案【高中數(shù)學北師大】

《用向量方法討論立體幾何中的位置關系（1）》教案教學目標教學目標1．能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直與平行關系．2．能用向量方法證明有關直線、平面位置關系的判定定理．3．能用向量方法證明空間中的直線、平面的關系．4．會用三垂線定理及逆定理解題．5．學會用向量方法證明幾何問題．教學重難點教學重難點重點：用向量方法證明立體幾何中的垂直與平行問題．難點：用空間向量表達幾何的位置關系．教學過程教學過程一、新課導入激趣導入：牌樓與牌坊類似，是中國傳統(tǒng)建筑之一，最早見于周朝.在園林、寺觀、宮苑、陵墓和街道常有建造.舊時牌樓主要有木、石、木石、磚木、琉璃幾種，多設于要道口.如圖，牌樓的柱子與地面是垂直的，如果牌樓上部的下邊線與柱子垂直，我們就能知道下邊線與地面平行.這是為什么呢？生思考、交流、回答師小結引出本節(jié)內容，出示課題：用向量方法討論立體幾何中的位置關系（1）．設計意圖：通過激趣導入，引導學生思考和交流，教師進行總結出示課題，激發(fā)學生學習的興趣，引發(fā)對空間位置的思考，為順利進入本節(jié)課的學習做好鋪墊．二、新知探究探究1：用向量方法表示幾何位置關系問題：平行和垂直是立體幾何中主要的位置關系，那么如何用向量方法進行研究呢？分析：因為直線的方向向量與平面的法向量是確定直線和平面位置的關鍵因素，所以可以利用直線的方向向量和平面的法向量表示空間直線與平面間的平行、垂直等位置關系.設向量l，m分別是直線l，m的方向向量，n1，n思考交流：用向量語言描述下表的幾何關系幾何關系向量語言l//mlα//βllα⊥β分析：有的問題比較簡單，只是將幾何語言轉化為向量語言，如證明兩條直線平行可以轉化為證明這兩條直線的方向向量是否共線.但有的問題較為復雜，不僅僅是幾何語言與向量語言的轉化，還涉及證明的方法，如用向量方法證明l//α思路1若只從直線的方向向量和平面的法向量入手考慮，設向量l是直線l的方向向量，n1是平面α的法向量，則只需證明l思路2考慮向量與平面平行的定義，以及平面向量基本定理，從而得到如下證明方法：將直線l的方向向量l用平面α的一組基線性表示，此時必有l(wèi)//α思路3直接將線面平行的判定定理向量化，找到m?a，且直線l與由此可知，運用向量證明幾何問題的方法，一方面源于立體幾何中定理的向量化表述，另一方面也需要結合向量自身的特點.結論：設向量l，m分別是直線l，m的方向向量，n1，n2l//m或l與m重合l//α或lα//β或α與β重合?nl⊥l⊥α?α⊥β?n注意：直線的方向向量不是唯--的，解題時，優(yōu)先選取坐標較簡單的方向向量；一個平面的法向量有無數(shù)個，且它們互相平行.探究2：用向量方法證明一些立體幾何中的定理立體幾何中的定理：1.直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.2.兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.（1）已知：如下圖（1），a,b是平面α內的兩條相交直線，直線n⊥a，且n⊥b.分析：設m是平面α內的任意一條直線.要證明n⊥α，只需證明：n⊥m.如何充分運用條件，表達“m是平面α內的任意一條直線”呢？可以考慮將直線m證明：m是平面α內的任意一條直線（如上圖（2）），a，b，m，n依次為直線a，b，m，n的方向向量，因為直線a，b相交，所以向量a，m=x故n因為n⊥a，n所以n·a=0所以n·m=0，故n所以n⊥α（2）已知：如下圖，a，b是平面α內的兩條相交直線，且a//β，證明：設向量a，b分別是直線a，b的方向向量.因為a//β設n是平面β的法向量，則n⊥a，n⊥b.因為直線a，b設計意圖：通過對用向量方法表示幾何位置關系、用向量方法證明一些立體幾何中的定理進行探究，在探究中引導學生一步步思考，在思考中獲得知識，形成知識點以及對知識點在實踐中的運用．三、應用舉例例1根據下列條件，判斷相應的線、面位置關系：（1）不重合的直線l1與l2的方向向量分別是a=（2）直線l1與l2的方向向量分別是a=（3）平面α與β的法向量分別是μ=（1，-（4）平面α與β的法向量分別是μ=（2，-3（5）直線l的方向向量，平面α的法向量分別是a=（0，-解：（1）因為a=（2，3，-1），b=（-6（2）因為a=（-2，1，4），b=（（3）因為μ=（1，-1，2），υ=（4）因為μ=（2，-3，4），υ=（4，-2，1），所以（5）因為a=（0，-8，12），μ=（0，2，方法技巧：1.兩條不重合的直線的方向向量共線時，這兩直線平行；否則這兩直線相交或異面.2.直線的方向向量與平面的法向量共線時，直線和平面垂直；直線的方向向量與平面的法向量垂直時，直線在平面內或線面平行；否則直線與平面相交但不垂直.3.兩個平面的法向量共線（垂直）時，兩平面平行（垂直）；否則兩平面相交但不垂直.例2．已知，如下圖，AB⊥α，垂足為點B，AC∩α=C，l?α，且證明：設l是直線l的一個方向向量，則由l⊥BC，可知l因為AB⊥α，l?α，所以AB⊥l，即AB⊥lAC·l因此l⊥AC，即知識點：（1）三垂線定理：若平面內的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內的投影垂直,則它也和這條斜線垂直.（2）三垂線定理的逆定理：若平面內的一條直線和這個平面的一條斜線垂直,則它也和這條斜線在這個平面內的投影垂直.設計意圖：通過三個例子對用向量方法表示幾何位置關系、用向量方法證明一些立體幾何中的定理進行實際應用，加深對用向量方法解決問題的理解，學生在實踐中加強練習，懂得運用方法進行問題解決，嘗試自主實踐，進行遷移應用．四、課堂練習1.判斷對錯（正確的打“√”，錯誤的打“×”）（1）直線的方向向量與平面的法向量的方向相同或相反時，直線與平面垂直.（）（2）直線的方向向量與平面的法向量垂直，則直線與平面垂直.（）（3）兩個平面的法向量垂直，則這兩個平面垂直.（）（4）若一條直線的方向向量垂直于一個平面內兩條直線的方向向量，則直線和平面垂直.（）2．已知三條直線l1，l2，l3的一個方向向量分別為a=（4，-1，0），b=3.若兩條直線的方向向量分別是a=(2，44.已知向量a=（1，1，0），b=（-參考答案：1.（1）√（2）×（3）√（4）×解析：（1）直線的方向向量與平面的法向量共線（方向相同或相反）時，直線與平面垂直.故正確.（2）直線的方向向量與平面的法向量垂直，直線與平面平行或者在平面內.故錯誤.（3）兩個平面的法向量垂直，這兩個平面就垂直.故正確.（4）當平面內兩條直線的方向向量共線時，直線不一定和平面垂直.故錯誤.2．l1⊥l2，l解析：因為a·b=4，-1，0·1，4，5=4-4+0=0，為a·c=4，-13．x的值為-12，y的值為15解析：因為兩條直線平行,所以a//b.于是2-64．45解析：由題意可知，ka+b=k1，1，0+-1，0，1=（k-1，k，1），2a-b=21，1，0五、課堂小結1．用向量方法表示幾何位置關系：設向量l，m分別是直線l，m的方向向量，n1，nl//m或l與m重合l//α或lα//β或α與β重合?nl⊥l⊥