第三章控制系統(tǒng)的時域分析5穩(wěn)態(tài)誤差

2023/1/1017:221§3-6控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分量反映系統(tǒng)跟蹤輸入信號的準(zhǔn)確度或抑制擾動信號的能力，用穩(wěn)態(tài)誤差描述。在系統(tǒng)的分析、設(shè)計中，穩(wěn)態(tài)誤差是一項重要的性能指標(biāo)，它與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、參數(shù)及外作用的形式有關(guān)，也與元件的不靈敏、零點漂移、老化及各種傳動機械的間隙、摩擦等因素有關(guān)。

本章只討論由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)及外作用等因素所引起的穩(wěn)態(tài)誤差。給定穩(wěn)態(tài)誤差（由給定輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差）擾動穩(wěn)態(tài)誤差（由擾動輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差）2023/1/1017:222對于隨動系統(tǒng)，給定輸入變化，要求系統(tǒng)輸出量以一定的精度跟隨輸入量的變化，因而用給定穩(wěn)態(tài)誤差來衡量系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。對于恒值系統(tǒng)，給定輸入通常是不變的，需要分析輸出量在擾動作用下所受到的影響，因而用擾動穩(wěn)態(tài)誤差來衡量系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。本章介紹穩(wěn)態(tài)誤差的概念和計算方法，研究穩(wěn)態(tài)誤差的規(guī)律以及減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的途徑。2023/1/1017:223

一、穩(wěn)態(tài)誤差的定義

系統(tǒng)的誤差e(t)一般定義為輸出量的希望值與實際值之差。誤差的定義有兩種形式：（1）系統(tǒng)誤差（從輸出端定義）Cr(s)為系統(tǒng)輸出量的希望值，其定義為E(s)=0時系統(tǒng)的輸出，C(s)為輸出量的實際值。（2）作用誤差（從輸入端定義）作用誤差就是給定輸入R(s)與主反饋信號B(s)之差。2023/1/1017:224

注釋：從輸出端定義的誤差，在性能指標(biāo)提法中經(jīng)常使用，但在實際系統(tǒng)中無法測量，因而一般只有數(shù)學(xué)意義。從輸入端定義的誤差，在系統(tǒng)中是可以測量的，因而具有實用性。對于單位反饋系統(tǒng)，要求輸出量C(s)的變化規(guī)律與給定輸入R(s)的變化規(guī)律完全一致，所以給定輸入R(s)也就是輸出量的希望值Cr(s)，即Cr(s)=R(s)。此時，誤差的兩種定義形式是一致的。

E(s)=ε(s)=R(s)-C(s)

R(s)-B(s)E(s)N(s)+C(s)2023/1/1017:225對于非單位反饋系統(tǒng)，則不難證明E(s)與ε(s)之間存在如下關(guān)系：

證明：2023/1/1017:226

可見，兩種定義對非單位反饋系統(tǒng)是存在差異的，但兩種定義下的誤差之間具有確定的關(guān)系，即誤差ε(s)可以直接或間接由E(s)來確定。從本質(zhì)上看，它們都能反映控制系統(tǒng)的控制精度。系統(tǒng)誤差與作用誤差之間的關(guān)系：2023/1/1017:227我們通常稱e(t)為系統(tǒng)的誤差響應(yīng)，它反映了系統(tǒng)在輸入信號和擾動信號作用下整個工作過程中的精度。誤差響應(yīng)e(t)也和輸出響應(yīng)c(t)一樣包含有瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量兩個部分，如果所研究系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么當(dāng)時間t趨于無窮大時，瞬態(tài)分量趨近于零，剩下的只是穩(wěn)態(tài)分量。穩(wěn)態(tài)誤差的定義：穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)誤差信號的穩(wěn)態(tài)分量稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，以ess表示。2023/1/1017:228二、輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差如果不計擾動輸入的影響，可以求得系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差。此時，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可簡化為:E(s)R(s)B(s)G(s)H(s)C(s)給定輸入作用下系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖-2023/1/1017:229由上圖可知由誤差的定義可知式中稱為給定輸入作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)。應(yīng)用拉氏變換的終值定理可以方便地求出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

2023/1/1017:2210

上式是確定給定穩(wěn)態(tài)誤差的一個基本公式。它表明，在給定輸入作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)和輸入信號的形式有關(guān)，當(dāng)系統(tǒng)給定輸入的形式確定后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差將取決于以開環(huán)傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。2023/1/1017:2211為了分析穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的關(guān)系，可以根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)來規(guī)定控制系統(tǒng)的類型。設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)的傳遞函數(shù)為：

2023/1/1017:2212

記

，為穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)。穩(wěn)態(tài)誤差可表示為因此，在單位階躍輸入下，給定穩(wěn)態(tài)誤差取決于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)。

1、

單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差

對于單位階躍輸入，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為2023/1/1017:2213對于0型系統(tǒng)，v=0可見，由于0型系統(tǒng)中沒有積分環(huán)節(jié)，它對階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值，誤差的大小與系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)K成反比，K越大，ess

越小，只要K不是無窮大，系統(tǒng)總有誤差存在。2023/1/1017:2214對于1型系統(tǒng)（或高于1型的系統(tǒng)），

可見，由于1型系統(tǒng)中有一個積分環(huán)節(jié)，它對階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為0。對實際系統(tǒng)來說，通常是允許存在穩(wěn)態(tài)誤差的，但不允許超過規(guī)定的指標(biāo)。為了降低穩(wěn)態(tài)誤差，可在穩(wěn)定條件允許的前提下，增大系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)，若要求系統(tǒng)對階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，則必須選用1型或高于1型的系統(tǒng)。

2023/1/1017:22152、

單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差對于單位斜坡輸入，此時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

記

，稱KV為穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)。

于是穩(wěn)態(tài)誤差可表示為因此，在單位斜坡輸入下，給定穩(wěn)態(tài)誤差決定于穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)。2023/1/1017:2216對于0型系統(tǒng)，對于1型系統(tǒng)，2023/1/1017:2217對于2型系統(tǒng)（或高于2型的系統(tǒng)），在單位斜坡輸入作用下，0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為，而1型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值，且誤差與開環(huán)放大系數(shù)成反比。為了使穩(wěn)態(tài)誤差不超過規(guī)定值，可以增大系統(tǒng)的K值。2型或高于2型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差總為零。因此，對于單位斜坡輸入，要使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值或為零，必需v≥1，也即系統(tǒng)必須有足夠積分環(huán)節(jié)。2023/1/1017:22183、單位拋物線輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差對于單位拋物線輸入，此時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

記

，稱Ka為穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)。于是穩(wěn)態(tài)誤差可表示為

2023/1/1017:2219對于0型系統(tǒng)，于是穩(wěn)態(tài)誤差可表示為

2023/1/1017:2220對于1型系統(tǒng)，對于2型系統(tǒng)，2023/1/1017:2221對于3型系統(tǒng)（或高于3型的系統(tǒng)），以上計算表明，在單位拋物線輸入作用下，0型和1型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為∞，2型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值，且誤差與開環(huán)放大系數(shù)成反比。對3型或高于3型的系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差為零。但是，此時要使系統(tǒng)穩(wěn)定則比較困難。2023/1/1017:2222

在各種典型輸入信號作用下，不同類型系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差如表3-1所示。

表3-1輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差I(lǐng)II系統(tǒng)類別靜態(tài)誤差系數(shù)階躍輸入斜坡輸入r(t)=Rt加速度輸入III2023/1/1017:2223

若給定的輸入信號不是單位信號時，則將系統(tǒng)對單位信號的穩(wěn)態(tài)誤差成比例的增大，就可以得到相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差。若給定輸入信號是上述典型信號的線性組合，則系統(tǒng)相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差就由疊加原理求出。例如，若輸入信號為：則系統(tǒng)的總穩(wěn)態(tài)誤差為：

綜上所述，穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)kp、kv和ka描述了系統(tǒng)對減小和消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力，提高開環(huán)放大系數(shù)K或增加開環(huán)傳遞函數(shù)中的積分環(huán)節(jié)數(shù)，都可以達到減小或消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的目的。但是，這兩種方法都受到系統(tǒng)穩(wěn)定性的限制。因此，對于系統(tǒng)的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性必須統(tǒng)籌兼顧、全面衡量。2023/1/1017:2224此外，由以上討論可知：當(dāng)時，系統(tǒng)相對的穩(wěn)態(tài)誤差為零；當(dāng)時，系統(tǒng)相對的穩(wěn)態(tài)誤差為零；當(dāng)時，系統(tǒng)相對的穩(wěn)態(tài)誤差為零。因此，當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)含有個串聯(lián)積分環(huán)節(jié)時，稱系統(tǒng)對給定輸入r(t)是階無差系統(tǒng)，而稱為系統(tǒng)的無差度。2023/1/1017:2225例如圖所示系統(tǒng)的輸入信號r(t)=10+5t，試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并求出其穩(wěn)態(tài)誤差。解由圖求得系統(tǒng)的特征方程為

R(s)-C(s)2023/1/1017:2226由特征方程列勞斯表S321+0.5KS23KS1S0K要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須K>0,1+0.5K>0（系數(shù)同號）,3(1+0.5K)－2K>0解得K>0，K>-2，K<6所以，當(dāng)0<K<6時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2023/1/1017:2227

所以，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為上述結(jié)果表明，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與K成反比，K值越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小，但K值的增大受到穩(wěn)定性的限制，當(dāng)K>6時，系統(tǒng)將不穩(wěn)定?？芍?，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)分別為2023/1/1017:2228解：首先判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由開環(huán)傳遞函數(shù)知，閉環(huán)特征方程為根據(jù)勞斯判據(jù)知閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。例

當(dāng)輸入信號r(t)=2t+t2時，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess。S30.120S2120S118S0202023/1/1017:2229第二步，求穩(wěn)態(tài)誤差ess，因為系統(tǒng)為2型系統(tǒng)，根據(jù)線性系統(tǒng)的奇次性和疊加性，有

故系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess=ess1+ess2=0.1。Matlab仿真分析見另外的ppt2023/1/1017:2230三、擾動穩(wěn)態(tài)誤差

控制系統(tǒng)除了受到給定輸入的作用外，通常還受到擾動輸入的作用。系統(tǒng)在擾動輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差的大小，反映了系統(tǒng)的抗干擾能力。擾動輸入可以作用在系統(tǒng)的不同位置，因此，即使系統(tǒng)對于某種形式的給定輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，但對同一形式的擾動輸入其穩(wěn)態(tài)誤差則不一定為零。

R(s)-B(s)+N(s)圖擾動輸入作用下系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖C(s)2023/1/1017:2231

下面根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，以下圖所示系統(tǒng)來討論由擾動輸入所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差。按照前面給出的誤差信號的定義可得擾動輸入引起的誤差為R(s)-B(s)+N(s)C(s)E(s)此時系統(tǒng)的輸出為2023/1/1017:2232式中稱為擾動輸入作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)。此時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為例設(shè)控制系統(tǒng)如圖3-26所示，其中給定輸入r(t)=Rr*1(t)，擾動輸入n(t)=Rn*1(t)（Rr和Rn均為常數(shù)），試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

2023/1/1017:2233解當(dāng)系統(tǒng)同時受到給定輸入和擾動輸入的作用時，其穩(wěn)定誤差為給定穩(wěn)態(tài)誤差和擾動穩(wěn)態(tài)誤差的疊加。令n(t)=0時，求得給定輸入作用下的誤差傳遞函數(shù)為

所以給定穩(wěn)態(tài)誤差為R(s)-+N(s)圖3-26例3-10系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖C(s)E(s)B(s)2023/1/1017:2234令r(t)=0時，求得擾動輸入作用下的誤差傳遞函數(shù)為

所以擾動穩(wěn)態(tài)誤差為由上式計算可以看出，r(t)和n(t)同是階躍信號，由于在系統(tǒng)中的作用點不同，故它們產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差也不相同。此外，由擾動穩(wěn)態(tài)誤差的表達式可見，提高系統(tǒng)前向通道中擾動信號作用點之前的環(huán)節(jié)的放大系數(shù)（即K1），可以減小系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差。

2023/1/1017:2235該系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為為了分析系統(tǒng)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)對穩(wěn)態(tài)誤差的影響，我們假設(shè)圖3-26中給定輸入和擾動輸入保持不變。這時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可按上述相同的方法求出，即2023/1/1017:2236系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為

比較以上兩次計算的結(jié)果可以看出，若要消除系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差，則系統(tǒng)前向通道中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)都起作用。若要消除系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差，則在系統(tǒng)前向通道中只有擾動輸入作用點之前的積分環(huán)節(jié)才起作用。因此，若要消除由給定輸入和擾動輸入同時作用于系統(tǒng)所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差，則串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)應(yīng)集中在前向通道中擾動輸入作用點之前。2023/1/1017:2237對于非單位反饋系統(tǒng)，當(dāng)H(s)為常數(shù)時，以上分析的有關(guān)結(jié)論同樣適用。前面定義了相對于給定輸入的無差度，同樣也可以定義相對于擾動輸入的無差度。當(dāng)系統(tǒng)的G1(s)中含有v1個串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)時,稱系統(tǒng)相對于擾動輸入是v1階無差系統(tǒng)，而v1稱為系統(tǒng)相對于擾動輸入的無差度。對本例中的前一種情況，系統(tǒng)對擾動輸入的無差度為0，而后一種情況，系統(tǒng)對擾動的無差度是1。顯然，當(dāng)談及一個系統(tǒng)的無差度時應(yīng)指明系統(tǒng)對哪一種輸入作用而言，否則，可能會得出錯誤的結(jié)論。2023/1/1017:2238四、減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的方法

增加開環(huán)傳遞函數(shù)中的串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目。但是，串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)一般不超過2；提高系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。但是，K也不能任意增大，必須以不破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性為前提?？梢圆捎眉忧梆伩刂频膹?fù)合控制方法，即從給定輸入或擾動輸入處引出一個前饋控制量，加到系統(tǒng)中去，通過適當(dāng)選擇補償裝置和作用點，就可以達到減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的目的。2023/1/1017:2239在圖示系統(tǒng)中，為消除R(s)引起的ess，可在原反饋控制的基礎(chǔ)上，從給定輸入處引出前饋量經(jīng)補償裝置Gc(s)對系統(tǒng)進行復(fù)合控制。此時系統(tǒng)誤差信號的拉氏變換式為經(jīng)整理得顯然，如果選擇補償裝置的傳遞函數(shù)為則系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差為零。R(s)E(s)C(s)-+按給定輸入補償?shù)膹?fù)合控制2023/1/1017:2240為了消除由n(t)引起的穩(wěn)態(tài)誤差，可在原反饋控制的基礎(chǔ)上，從擾動輸入引出前饋量經(jīng)補償裝置Gc(s)加到系統(tǒng)中，若設(shè)r(t)=0，則顯然，如果選擇補償裝置的傳遞函數(shù)為

C(s)R(s)N(s)E(s)--+A圖3-28按擾動輸入補償?shù)膹?fù)合控制2023/1/1017:2241則可使輸出不受擾動n(t)的影響，故系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差為零。從結(jié)構(gòu)上看，當(dāng)滿足Gc(s)=1/G1(s)時，擾動信號經(jīng)兩條通道到達A點，兩個分支信號正好大小相等，符號相反，因而實現(xiàn)了對擾動的全補償。由于物理上可實現(xiàn)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)總是滿足分母的階次大于或等于其分子的階次，要求構(gòu)造出分子的階次大于或等于其分母階次的補償裝置，這通常是不可能的。此外，由于傳遞函數(shù)的元件參數(shù)隨著時間的推移也會發(fā)生變化，這就使得全補償條件不可能成立。所以，實際上只能實現(xiàn)近似補償?？梢宰C明，前饋控制加入前后，系統(tǒng)的特征方程保持不變，因此，系統(tǒng)的穩(wěn)定性將不會發(fā)生變化。2023/1/1017:2242比例積分控制PI控制器的時域表達式為：

PI控制器的傳遞函數(shù)為：

PI控制器是由比例和積分環(huán)節(jié)并聯(lián)而成，框圖如下：

2023/1/1017:2243以典型二階系統(tǒng)為例，討論引入PI控制后的穩(wěn)態(tài)誤差先討論給定誤差:令N(s)=0,為突出積分的作用，令比例環(huán)節(jié)kp=1該系統(tǒng)為二型系統(tǒng)：v=2,系統(tǒng)閉環(huán)傳函為由Routh判據(jù)可知，當(dāng)0<ki<時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2023/1/1017:2244輸入分別為單位階躍、斜坡、加速度信號時，其靜態(tài)誤差系數(shù)分別為：則由這些輸入信號引起的給定穩(wěn)態(tài)誤差分別為：未引入PI控制引入PI控制后2023/1/1017:2245現(xiàn)在討論擾動誤差:令R(s)=0,為突出積分的作用,同樣令kp=1,由擾動信號引起的擾動誤差為：當(dāng)擾動分別為單位階躍、斜坡和加速度函數(shù)時，穩(wěn)態(tài)擾動誤差分別為0，1/ki,。而未引入PI控制的原系統(tǒng)在相同輸入情況下的穩(wěn)態(tài)誤差分別為-1，，。顯然，引入PI控制器后可減小系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差。2023/1/1017:2246例題已知:分別求在階躍信號r(t),n1(t),n1(t)+n2(t)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差解：在r(t)作用下，誤差傳函為：穩(wěn)態(tài)誤差為：2023/1/1017:2247在n1(t)作用下的誤差為：n1(t)引起的穩(wěn)態(tài)誤差為：要求n1(t)+n2(t)共同作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，必須分別求出在n1(t)，n2(t)單獨作用下的穩(wěn)態(tài)誤差在n2(t)作用下的誤差為：n2(t)引起的穩(wěn)態(tài)誤差為：在n1(t)+n2(t)共同作用下的穩(wěn)態(tài)誤差也為02023/1/1017:2248例：控制框圖如下，當(dāng)r(t)=n(t)=1時，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess；若要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0，應(yīng)如何改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)？解：由Routh判據(jù)可知，系統(tǒng)穩(wěn)定。又由于系統(tǒng)屬于1