高中數(shù)學(xué)高考66第十章 計數(shù)原理 10 1　分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

§10.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理第十章

計數(shù)原理NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)題型分類深度剖析課時作業(yè)1基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)PARTONE1.分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝______種不同的方法.2.分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝_____種不同的方法.知識梳理ZHISHISHULIm＋nm×n3.分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事.1.在解題過程中如何判定是用分類加法計數(shù)原理還是分步乘法計數(shù)原理？提示如果已知的每類辦法中的每一種方法都能完成這件事，應(yīng)該用分類加法計數(shù)原理；如果每類辦法中的每一種方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法計數(shù)原理.2.兩種原理解題策略有哪些？提示①分清要完成的事情是什么；②分清完成該事情是分類完成還是分步完成，“類”間互相獨立，“步”間互相聯(lián)系；③有無特殊條件的限制；④檢驗是否有重復(fù)或遺漏.【概念方法微思考】題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.(

)(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事.(

)(3)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分步完成的，其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事，只有每個步驟都完成后，這件事情才算完成.(

)×基礎(chǔ)自測JICHUZICE123456√√(4)如果完成一件事情有n個不同步驟，在每一步中都有若干種不同的方法mi(i＝1,2,3，…，n)，那么完成這件事共有m1m2m3…mn種方法.(

)(5)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的.(

)123456√√2.[P12A組T5]已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，從M，N這兩個集合中各選一個元素分別作為點的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、第二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是A.12B.8C.6D.4題組二教材改編123456√解析分兩步：第一步先確定橫坐標(biāo)，有3種情況，第二步再確定縱坐標(biāo)，有2種情況，因此第一、二象限內(nèi)不同點的個數(shù)是3×2＝6，故選C.1234563.[P10練習(xí)T4]已知某公園有4個門，從一個門進，另一個門出，則不同的走法的種數(shù)為A.16 B.13C.12

D.10解析將4個門編號為1,2,3,4，從1號門進入后，有3種出門的方式，共3種走法，從2,3,4號門進入，同樣各有3種走法，共有不同走法3×4＝12(種).√4.現(xiàn)用4種不同顏色對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有A.24種

B.30種

C.36種

D.48種123456題組三易錯自糾√解析需要先給C塊著色，有4種方法；再給A塊著色，有3種方法；再給B塊著色，有2種方法；最后給D塊著色，有2種方法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有4×3×2×2＝48(種)著色方法.5.從0,2中選一個數(shù)字，從1,3,5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為A.24B.18C.12D.6123456√解析分兩類情況討論：第1類，奇偶奇，個位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有2種選擇，共有3×2×2＝12(個)奇數(shù)；第2類，偶奇奇，個位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有1種選擇，共有3×2×1＝6(個)奇數(shù).根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共有12＋6＝18(個)奇數(shù).1234566.如果把個位數(shù)是1，且恰有3個數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由1,2,3,4四個數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有____個.12解析當(dāng)組成的數(shù)字有三個1，三個2，三個3，三個4時共有4種情況.當(dāng)有三個1時：2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141，有9種，當(dāng)有三個2,3,4時：2221,3331,4441，有3種，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，共有12種結(jié)果.2題型分類深度剖析PARTTWO題型一分類加法計數(shù)原理1.滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為A.14B.13C.12D.10自主演練√解析方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的情況應(yīng)分類討論.①當(dāng)a＝0時，方程為一元一次方程2x＋b＝0，不論b取何值，方程一定有解.此時b的取值有4個，故此時有4個有序數(shù)對.②當(dāng)a≠0時，需要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.顯然有3個有序數(shù)對不滿足題意，分別為(1,2)，(2,1)，(2,2).a≠0時，(a，b)共有3×4＝12個實數(shù)對，故a≠0時滿足條件的實數(shù)對有12－3＝9個，所以答案應(yīng)為4＋9＝13.2.如果一個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1<a2，且a2>a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為A.240B.204C.729D.920解析若a2＝2，則百位數(shù)字只能選1，個位數(shù)字可選1或0，“凸數(shù)”為120與121，共2個.若a2＝3，則百位數(shù)字有兩種選擇，個位數(shù)字有三種選擇，則“凸數(shù)”有2×3＝6(個).若a2＝4，滿足條件的“凸數(shù)”有3×4＝12(個)，…，若a2＝9，滿足條件的“凸數(shù)”有8×9＝72(個).所以所有凸數(shù)有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(個).√3.(2016·全國Ⅲ)定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若m＝4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有A.18個

B.16個

C.14個

D.12個解析第一位為0，最后一位為1，中間3個0,3個1,3個1在一起時為000111,001110；只有2個1相鄰時，共

個，其中110100,110010,110001,101100不符合題意；三個1都不在一起時有

個，共2＋8＋4＝14(個).√分類標(biāo)準(zhǔn)是運用分類加法計數(shù)原理的難點所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞，關(guān)鍵元素，關(guān)鍵位置.(1)根據(jù)題目特點恰當(dāng)選擇一個分類標(biāo)準(zhǔn).(2)分類時應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù).(3)分類時除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏.思維升華題型二分步乘法計數(shù)原理例1

(1)(2016·全國Ⅱ)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為A.24B.18C.12D.9師生共研√解析從E點到F點的最短路徑有6條，從F點到G點的最短路徑有3條，所以從E點到G點的最短路徑有6×3＝18(條)，故選B.(2)有六名同學(xué)報名參加三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參加一項，則共有____種不同的報名方法.解析每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目有4種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有6×5×4＝120(種).1201.本例(2)中若將條件“每項限報一人，且每人至多參加一項”改為“每人恰好參加一項，每項人數(shù)不限”，則有多少種不同的報名方法？解每人都可以從這三個比賽項目中選報一項，各有3種不同的報名方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有36＝729(種).引申探究2.本例(2)中若將條件“每項限報一人，且每人至多參加一項”改為“每項限報一人，但每人參加的項目不限”，則有多少種不同的報名方法？解每人參加的項目不限，因此每一個項目都可以從這六人中選出一人參賽，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有63＝216(種).(1)利用分步乘法計數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事.(2)分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

一個旅游景區(qū)的游覽線路如圖所示，某人從P點處進，Q點處出，沿圖中線路游覽A，B，C三個景點及沿途風(fēng)景，則不同(除交匯點O外)的游覽線路有___種.(用數(shù)字作答)48解析根據(jù)題意，從點P處進入后，參觀第一個景點時，有6個路口可以選擇，從中任選一個，有6種選法；參觀完第一個景點，參觀第二個景點時，有4個路口可以選擇，從中任選一個，有4種選法；參觀完第二個景點，參觀第三個景點時，有2個路口可以選擇，從中任取一個，有2種選法.由分步乘法計數(shù)原理知，共有6×4×2＝48(種)不同游覽線路.題型三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用師生共研例2

(1)(2017·天津)用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有_____個.(用數(shù)字作答)故符合題意的四位數(shù)一共有960＋120＝1080(個).1080(2)現(xiàn)有5種不同顏色的染料，要對如圖所示的四個不同區(qū)域進行涂色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能使用同一種顏色，則不同的涂色方法的種數(shù)是A.120 B.140C.240

D.260√解析由題意，先涂A處共有5種涂法，再涂B處有4種涂法，最后涂C處，若C處與A處所涂顏色相同，則C處共有1種涂法，D處有4種涂法；若C處與A處所涂顏色不同，到C處有3種涂法，D處有3種涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(種).故選D.(3)如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面組”.在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是A.60B.48C.36D.24√解析長方體的6個表面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)為6×6＝36，另含4個頂點的6個面(非表面)構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)為6×2＝12，故符合條件的“平行線面組”的個數(shù)是36＋12＝48.利用兩個計數(shù)原理解決應(yīng)用問題的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么.(2)確定是先分類后分步，還是先分步后分類.(3)弄清分步、分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么.(4)利用兩個計數(shù)原理求解.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(1)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有A.144個

B.120個

C.96個

D.72個解析由題意，首位數(shù)字只能是4,5，若萬位是5，則有3×

＝72(個)；若萬位是4，則有2×

＝48(個)，故比40000大的偶數(shù)共有72＋48＝120(個).故選B.√(2)如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”.在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是____.36解析第1類，對于每一條棱，都可以與兩個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有2×12＝24(個)；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個.所以正方體中“正交線面對”共有24＋12＝36(個).(3)如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)為____.96解析按區(qū)域1與3是否同色分類：①區(qū)域1與3同色：先涂區(qū)域1與3有4種方法，再涂區(qū)域2,4,5(還有3種顏色)有

種方法.∴區(qū)域1與3同色時，共有4＝24(種)方法.②區(qū)域1與3不同色：第一步涂區(qū)域1與3有

種方法，第二步涂區(qū)域2有2種涂色方法，第三步涂區(qū)域4只有1種方法，第四步涂區(qū)域5有3種方法.∴共有

×2×1×3＝72(種)方法.故由分類加法計數(shù)原理可知，不同的涂色種數(shù)為24＋72＝96.3課時作業(yè)PARTTHREE1.(2018·貴州省凱里市第一中學(xué)月考)集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{3,4,5,6,7,8,9}，從集合A，B中各取一個數(shù)，能組成的沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為A.52B.58C.64D.70√基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516123456789101112131415162.(2018·保定質(zhì)檢)三個人踢毽，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有A.4種

B.6種

C.10種

D.16種√解析分兩類：甲第一次踢給乙時，滿足條件的有3種傳遞方式(如圖)，同理，甲先傳給丙時，滿足條件的也有3種傳遞方式.由分類加法計數(shù)原理可知，共有3＋3＝6(種)傳遞方式.123456789101112131415163.十字路口來往的車輛，如果不允許回頭，則行車路線共有A.24種

B.16種

C.12種

D.10種√解析根據(jù)題意，車的行駛路線起點有4種，行駛方向有3種，所以行車路線共有4×3＝12(種)，故選C.4.(2018·玉林聯(lián)考)若自然數(shù)n使得作豎式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)各位數(shù)均不產(chǎn)生進位現(xiàn)象，則稱n為“開心數(shù)”.例如：32是“開心數(shù)”.因為32＋33＋34不產(chǎn)生進位現(xiàn)象；23不是“開心數(shù)”，因為23＋24＋25產(chǎn)生進位現(xiàn)象，那么，小于100的“開心數(shù)”的個數(shù)為A.9B.10C.11D.1212345678910111213141516√12345678910111213141516解析根據(jù)題意個位數(shù)n需要滿足n＋(n＋1)＋(n＋2)<10，即n<2.3，∴個位數(shù)可取0,1,2三個數(shù)，∵十位數(shù)k需要滿足3k<10，∴k<3.3，∴十位數(shù)可以取0,1,2,3四個數(shù)，故小于100的“開心數(shù)”共有3×4＝12(個).故選D.5.如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽(約3世紀初)在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案共有A.120種

B.260種

C.340種

D.420種√12345678910111213141516解析由題意可知上下兩塊區(qū)域可以相同，也可以不同，則共有5×4×3×1×3＋5×4×3×2×2＝180＋240＝420.故選D.6.如圖，給7條線段的5個端點涂色，要求同一條線段的兩個端點不能同色，現(xiàn)有4種不同的顏色可供選擇，則不同的涂色方法種數(shù)有A.24 B.48C.96

D.12012345678910111213141516√解析若A，D顏色相同，先涂E有4種涂法，再涂A，D有3種涂法，再涂B有2種涂法，C只有1種涂法，共有4×3×2＝24(種)；若A，D顏色不同，先涂E有4種涂法，再涂A有3種涂法，再涂D有2種涂法，當(dāng)B和D相同時，C有2種涂法，當(dāng)B和D不同時，C只有1種涂法，共有4×3×2×(2＋1)＝72(種)，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，共有24＋72＝96(種)，故選C.解析33000的因數(shù)由若干個2(共有23,22,21,20四種情況)，若干個3(共有3,30兩種情況)，若干個5(共有53,52,51,50四種情況)，若干個11(共有111,110兩種情況)，由分步乘法計數(shù)原理可得33000的因數(shù)共有4×2×4×2＝64(個)，不含2的共有2×4×2＝16(個)，∴正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)為64－16＝48，即33000的正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)是48，故選A.7.(2018·湖北省黃岡中學(xué)月考)對33000分解質(zhì)因數(shù)得33000＝23×3×53×11，則33000的正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)是A.48B.72C.64D.9612345678910111213141516√123456789101112131415168.從1,2,3,4,7,9六個數(shù)中，任取兩個數(shù)作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則所有不同對數(shù)值的個數(shù)為____.解析當(dāng)所取兩個數(shù)中含有1時，1只能作真數(shù)，對數(shù)值為0，當(dāng)所取兩個數(shù)中不含有1時，可得到

＝20(個)對數(shù)，但log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93.綜上可知，共有20＋1－4＝17(個)不同的對數(shù)值.17123456789101112131415169.設(shè)a，b，c∈{1,2,3,4,5,6}，若以a，b，c為三條邊的長可以構(gòu)成一個等腰(含等邊)三角形，則這樣的三角形有___個.2712345678910111213141516解析先考慮等邊的情況，a＝b＝c＝1,2，…，6，有六個，再考慮等腰的情況，若a＝b＝1，c<a＋b＝2，此時c＝1與等邊重復(fù)，若a＝b＝2，c<a＋b＝4，則c＝1,3，有兩個，若a＝b＝3，c<a＋b＝6，則c＝1,2,4,5，有四個，若a＝b＝4，c<a＋b＝8，則c＝1,2,3,5,6，有五個，若a＝b＝5，c<a＋b＝10，則c＝1,2,3,4,6，有五個，若a＝b＝6，c<a＋b＝12，則c＝1,2,3,4,5，有五個，故一共有27個.1234567891011121314151610.2017年1月27日，哈爾濱地鐵3號線一期開通運營，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定乘坐地鐵去城鄉(xiāng)路、哈西站和哈爾濱大街.每人只能去一個地方，哈西站一定要有人去，則不同的游覽方案為____種.65解析根據(jù)題意，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定乘坐地鐵去城鄉(xiāng)路、哈西站和哈爾濱大街.每人只能去一個地方，則每人有3種選擇，則4人一共有3×3×3×3＝81種情況，若哈西站沒人去，即四位同學(xué)選擇了城鄉(xiāng)路和哈爾濱大街.每人有2種選擇方法，則4人一共有2×2×2×2＝16種情況，故哈西站一定要有人去有81－16＝65種情況，即哈西站一定有人去的游覽方案有65種.1234567891011121314151611.(2018·金華模擬)聯(lián)合國國際援助組織計劃向非洲三個國家援助糧食和藥品兩種物資，每種物資既可以全部給一個國家，也可以由其中兩個或三個國家均分，若每個國家都要有物資援助，則不同的援助方案有____種.2512345678910111213141516解析根據(jù)題意，可分為：三個國家糧食和藥品都有，有1種方法；一個國家糧食，兩個國家藥品，有3種方法；一個國家藥品，兩個國家糧食，有3種方法；兩個國家糧食，三個國家藥品，有3種方法；兩個國家藥品，三個國家糧食，有3種方法；兩個國家糧食，兩個國家藥品，有3×2＝6種方法；三個國家糧食，一個國家藥品，有3種方法；三個國家藥品，一個國家糧食，有3種方法，故方法總數(shù)是25.12.將數(shù)字“124467”重新排列后得到不同的偶數(shù)的個數(shù)為_____.12345678910111213141516240解析將數(shù)字“124467”重新排列后所得數(shù)字為偶數(shù)，則末位數(shù)應(yīng)為偶數(shù)，①若末位數(shù)字為2，因為含有2個4，所以有

＝60(種)情況；②若末位數(shù)字為6，同理有

＝60(種)情況；③若末位數(shù)字為4，因為有2個相同數(shù)字4，所以共有5×4×3×2×1＝120(種)情況.綜上，共有60＋60＋120＝240(種)情況.技能提升練1234567891011121314151613.工人在安裝一個正六邊形零件時，需要固定如圖所示的六個位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是____.60解析根據(jù)題意，第一個可以從6個螺栓里任意選一個，共有6種選擇方法，并且是機會相等的，若第一個選1號螺栓，第二個可以選3,4,5號螺栓，依次選下去，共可以得到10種方法，所以總共有10×6＝60種方法，故答案是60.1234567891011121314151614.已知集合M＝{1,2,3}，N＝{1,2,3,4}，定義函數(shù)f：M→N.若點A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，△ABC的外接圓圓心為D，且

＝λ(λ∈R)，則滿足條件的函數(shù)f(x)有____種.12解析由

＝λ(λ∈R)，說明△ABC是等腰三角形，且|BA|＝|BC|，必有f(1)＝f(3)，f(1)≠f(2).當(dāng)f(1)＝f(3)＝1時，f(2)＝2,3,4，有三種情況；f(1)＝f(3)＝2，f(2)＝1,3,4，有三種情況；f(1)＝f(3)＝3，f(2)＝2,1,4，有三種情況；f(1)＝f(3)＝4，f(2)